Đại số tuyến tính tài liệu giảng dạy

A = {1, 3, 5, 7} - Phương pháp chỉ ra thuộc tính đặc trưng: Một tập hợp có thể nhận biết bằng cách chỉ ra thuộc tính của các phần tử nằm trong tập hợp và dựa vào thuộc tính này nhận biế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

PHẠM MỸ HẠNH

Tài liệu giảng dạy “Đại số tuyến tính” do tác giả Phạm Mỹ Hạnh, công tác tại Khoa Sư phạm thực hiện Tác giả đã báo cáo nội dung và được Hội đồng Khoa học và Đào tạo Khoa thông qua ngày 21 tháng 10 năm 2014

Tác giả biên soạn

LỜI CẢM TẠ

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy, cô bộ môn Toán, khoa Sư phạm

đã nhiệt tình đọc bản thảo tài liệu và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để tài liệu ngày càng được hoàn thiện hơn

Long Xuyên, ngày 14 tháng 11 năm 2014

Người thực hiện

PHẠM MỸ HẠNH

LỜI CAM KẾT

Tôi xin cam đoan đây là tài liệu giảng dạy của riêng tôi Nội dung tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng

Long Xuyên, ngày 14 tháng 11 năm 2014

Người biên soạn

PHẠM MỸ HẠNH

LỜI NÓI ĐẦU

Đại số Tuyến tính là môn học cơ bản của Toán cao cấp và đã có rất nhiều giáo trình, tài liệu biên soạn về nội dung này Đây chính là nguồn tư liệu học tập và tham khảo bổ ích cho các sinh viên và giảng viên

Đối với trường Đại học An Giang, Đại số Tuyến tính được chia thành hai học phần Đại số Tuyến tính 1 và Đại số Tuyến tính 2 và giảng dạy trong học kỳ 1 và 3 cho sinh viên năm thứ nhất, năm thứ hai thuộc ngành Sư phạm Toán Đây là một trong những môn học cơ bản làm tiền đề cho các môn học tiếp theo Tuy nhiên, sinh viên bước đầu làm quen với phương pháp học ở bậc đại học và tiếp cận một số khái niệm mới, khá trừu tượng của môn học này nên cũng gặp không ít khó khăn Vì thế, tài liệu này được biên soạn với mong muốn góp phần phục vụ tốt hơn cho việc học tập của sinh viên Thông qua nội dung các chương và các bài tập áp dụng, sinh viên

sẽ hệ thống được các kiến thức cơ bản của Đại số Tuyến tính

Theo tác giả, muốn nắm vững kiến thức môn học này, sinh viên cần hiểu rõ các khái niệm cơ bản, trình bày được các ví dụ cụ thể và giải nhiều dạng bài tập để củng

cố thêm kiến thức Dựa trên chương trình khung của ngành Sư phạm Toán và chương trình chi tiết môn Đại số Tuyến tính thì tài liệu được bố cục thành các chương sau:

Chương 1 Tập hợp – Ánh xạ - Quan hệ - Phép thế - Số phức – Logic

Chương 2 Ma trận và Định thức

Chương 3 Hệ phương trình tuyến tính

Chương 4 Không gian vectơ

Chương 5 Ánh xạ tuyến tính

Chương 6 Chéo hóa và ứng dụng– Dạng chuẩn tắc Jordan

Chương 7 Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương

Chương 8 Không gian Euclide

Chương 9 Không gian Unita

Chương 10 Một số nội dung cơ bản của Hình học Giải tích

Mặc dù trong quá trình biên soạn, bản thân tác giả đã có nhiều cố gắng, nhưng vẫn không tránh khỏi những mặt hạn chế và thiếu sót nhất định Tác giả mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của quý đồng nghiệp và sinh viên để tài liệu này ngày càng hoàn chỉnh hơn Xin chân thành cám ơn./

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 TẬP HỢP - ÁNH XẠ - QUAN HỆ - PHÉP THẾ - SỐ PHỨC –

LOGIC

1.1 Tập hợp và các phép toán trên tập hợp 01 1.2 Ánh xạ - Các dạng ánh xạ đặc biệt – Các phép toán trên ánh xạ 07

CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

3.1 Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính 111 3.2 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 116 3.3 Giải và biện luận một hệ phương trình tuyến tính tổng quát 125 3.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách 132 giải hệ phương trình

CHƯƠNG 4 KHÔNG GIAN VECTƠ

4.1 Không gian vectơ – Không gian vectơ con 141 4.2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của hệ vectơ 146 4.3 Hệ sinh, cơ sở, số chiều của một không gian vectơ 153 4.4 Tọa độ vectơ trong cơ sở - Công thức đổi tọa độ 161 4.5 Cách tìm cơ sở của một số không gian con đặc biệt 171 4.6 Tổng và tổng trực tiếp các không gian con, 177 giao các không gian con

5.6 Nghiên cứu ánh xạ tuyến tính thông qua ma trận 220

6.5 Dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận 265

CHƯƠNG 7 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TOÀN PHƯƠNG

CHƯƠNG 8 KHÔNG GIAN EUCLIDE

8.1 Một số khái niệm cơ bản về không gian Euclide 302 8.2 Cơ sở trực giao và cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide 305 8.3 Ma trận trực giao và phép biến đổi trực giao 312 8.4 Ma trận Gram và phần bù trực giao của không gian vectơ con 316 8.5 Phép biến đổi đối xứng và chéo hóa trực giao ma trận đối xứng 319 8.6 Phương pháp giá trị riêng để tìm dạng chính tắc 323 của dạng toàn phương

CHƯƠNG 9 KHÔNG GIAN UNITA

9.1 Một số khái niệm cơ bản về không gian Unita 329 9.2 Phép biến đổi tuyến tính liên hợp - Phép biến đổi tuyến tính 331

tự liên hợp

9.3 Phép biến đổi unita – Ma trận unita 335 9.4 Phép biến đổi đối xứng – Phép biến đổi đối xứng lệch 339 CHƯƠNG 10 MỘT SỐ NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

DANH SÁCH HÌNH

Hình 1 Biểu diễn dạng đại số của số phức trên mặt phẳng phức

Hình 2 Dạng lượng giác của số phức

Hình 3 Hình ellipse và parabola

Hình 4 Các mặt hypeboloic một tầng, hyperboloic hai tầng, mặt ellipsoid, mặt paraboloic, mặt hyperboloic paraboloid

det ( )A hoặc A Định thức của ma trận A

rank( )A hoặc r A( ) Hạng của ma trận A

[ ]x / B Tọa độ của vectơ x đối với cơ sở B

V =U ÅW Không gian vectơ V là tổng trực tiếp của

hai không gian con U và W

CHƯƠNG 1 TẬP HỢP - ÁNH XẠ - QUAN HỆ - PHÉP THẾ

SỐ PHỨC - LOGIC 1.1 Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

1.1.1 Tập hợp

Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không được định nghĩa, mà được hiểu

một cách trực giác như sau: “Một tập hợp là một sự quần tụ các đối tượng có cùng

thuộc tính nào đó Những đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp.”

Tập rỗng là tập hợp không có phần tử nào

Ký hiệu: Æ

Ta thường ký hiệu tập hợp bởi chữ cái viết hoa như , , , , , A B C X Y Z và các

phần tử của tập hợp thường được ký hiệu bởi một chữ cái viết thường , , , a b x y

Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp , A ta viết a Î A và đọc là “a thuộc A ”

Nếu b không phải là phần tử của A thì ta ký hiệu bÏ A và đọc là “b không

Cách xác định một tập hợp

Một tập hợp có thể được xác định bằng hai phương pháp:

- Phương pháp liệt kê:

Một tập hợp có thể xác định bằng cách liệt kê ra hết các phần tử thuộc tập hợp

đó Phương pháp này chỉ dùng đối với tập hợp hữu hạn

Ví dụ 4 A = {1, 3, 5, 7}

- Phương pháp chỉ ra thuộc tính đặc trưng:

Một tập hợp có thể nhận biết bằng cách chỉ ra thuộc tính của các phần tử nằm trong tập hợp và dựa vào thuộc tính này nhận biết phần tử nào đó có thuộc tập hợp

đó hay không

Ví dụ 5

a) Cho O là một điểm cố định và r là một số thực dương cho trước

B = M OM = r là tập hợp các điểm nằm trên mặt cầu tâm O bán kính r

b) C = {n Î ¥ | nM là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3 3 }

c)D = {x Î ¡ |x3- 5x2 + 6= 0} là tập nghiệm thực của phương trình

- Với mọi tập hợpA thì ÆÐ A.

- Nếu A Ð B và B Ð C thì AÐ C (tính chất bắc cầu)

Định nghĩa 2 Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu mọi phần tử của

A đều là phần tử của B và ngược lại mỗi phần tử của B đều là phần tử của A

Ký hiệu:A = B

Từ định nghĩa muốn chứng minh A = B phải chứng minh hai mệnh đề sau:

- Nếu x Î A thì x Î B (hay chứng minh A Ð B)

- Nếu x Î B thì x Î A (hay chứng minh B Ð A)

Quy ƣớc: Xét tập hợp X thì ( )P X là tập hợp tất cả các tập con của tập X

Ngược lại, giả sử x Î AÇ(B ÈC) thì x Î B hoặc x Î C, nên x Î AÇ hoặc B

Ngược lại, giả sử x Î (AÈB)Ç(AÈC) thì x Î AÈB và x Î AÈC

Khi đó nếu x Ï A thì x Î B và x Î C Suy ra x Î B ÇC

Do đó, (AÈB)Ç(AÈC)Ð AÈ(B ÇC)

Vậy AÈ(B ÇC)= (AÈB)Ç(AÈC)

1.1.3.3 Hiệu của hai tập hợp

Định nghĩa 6 Cho hai tập ,A B tùy ý Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B được gọi là hiệu của tập A và tập B

Vì C B A( )= {x Î A x| Ï B} nên C B là hiệu A( ) A\ B với điều kiện B Ð A

nên mọi tính chất liên quan đến phần bù được suy ra từ tính chất của phép hiệu

\

Định lý 8 Với các tập , ,A B C tùy ý, khi đó:

a) A\ (B ÈC)= ( \A B)Ç( \A C)

Do đó, xÎ A\ B hoặc x Î A C\ khi đó A\ (B ÇC)Ð ( \A B)È( \A C) Vậy A\ (B ÇC) = ( \A B)È( \A C).

1.1.3.4 Hiệu đối xứng của A và B

Định nghĩa 9 Cho ,A B là hai tập hợp bất kỳ, khi đó hiệu đối xứng của Avà

B là tập hợp được xác định bởi công thức A BD = ( \A B)È(B \ A)

Nhận xét:

Cho ,A B là hai tập hợp tùy ý, khi đó:

Nếu A1= A2 = = A n = Athì tích Descartes A´ A´ ´ A n ( lần) được gọi

là lũy thừa Descartes cấp n của A

Nếu phần tử y Î Y là tương ứng với phần tử x Î X qua ánh xạ ,f khi đó x được gọi là tạo ảnh của y và ngược lại y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f

Tập X được gọi là tập nguồn (miền xác định) và Y được gọi là tập đích (miền giá trị) của ánh xạ f

Ví dụ 1

a) Hàm số y = x- 1 là ánh xạ từ tập số thực ¡ vào chính nó

b) Hàm số y = lgx là ánh xạ từ ¡ vào + ¡

c) Phép tương ứng mỗi số thực dương xvới một số thực y sao cho x = y2

không là ánh xạ vì với một giá trị x > 0 ta sẽ có hai giá trị của y xác định bởi

y = x và y = - x đều tương ứng với x

c) Quy tắc f cho tương ứng mỗi số thực x Î ¡ với số thực y xác định bởi

1: ( )

1

x

+ không phải là ánh xạ vì nếu x = - 1Î ¡ thì không tìm được giá

trị y Î ¡ tương ứng với x đã cho

Ví dụ 3 Bằng việc sử dụng định nghĩa ánh xạ hãy trả lời cho các câu hỏi sau:

Giả sử XDlà tập hợp các tam giác, 0

b) Quy tắc cho tương ứng mỗi đường tròn với tam giác nội tiếp trong nó có phải

là ánh xạ từ 0

X đến XDkhông? Tại sao?

Định nghĩa 2 Cho f và g là hai ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y Ánh xạ

f được gọi là bằng ánh xạ g nếu ( )f x = g x( ) với mọi x Î X

Nếu với mọi x Î Xđều có ( )f x = a với a là một phần tử xác định của ,Y thì f được gọi là ánh xạ không đổi, hay ánh xạ hằng số

Nếu X = Y và ( ) f x = x,với mọi x Î X thì f được gọi là ánh xạ đồng nhất

f X ®Y khi đó tập con của Y gồm ảnh của tất cả các phần tử x thuộc A được

gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f

Nếu x Î B thì y = f x( )Î f B( )

Do đó, y Î f A( )Èf B( ) hay (f AÈB)Ð f A( )Èf B( )

Ngược lại, xét phần tử yÎ f A( )Èf B( )

Nếu y Î f A( ) thì tồn tại x Î A thỏa y = f x( )

Nếu y Î f B( )thì tồn tại x Î B sao cho y = f x( )

Do đó, luôn tồn tại x Î AÈB sao cho y= f x( )Î f A( ÈB)

1.2.2.2 Tạo ảnh của một tập hợp

Định nghĩa 6 Xét hai tập hợp ,X Y tùy ý và ánh xạ : f X ® Y Tập con của X

gồm các phần tử x Î X sao cho ( )f x Î Utrong đó U là một tập con của Y được gọi

là tạo ảnh của U qua ánh xạ f

Ký hiệu: f-1( )U

Định lý 7 Giả sử ,X Y là hai tập hợp tùy ý và ánh xạ : f X ®Y Nếu ,A B là

hai tập con của Y thì

Định nghĩa 8 Cho hai tập hợp ,X Y khi đó ánh xạ : f X ®Y được gọi là đơn

ánh nếu với hai phần tử khác nhau x1và x2 bất kỳ của X thìf x( )1 ¹ f x( ).2

- Trong trường hợp ánh xạ f :X ®Y được cho bởi công thức xác định ảnh ( ).

y = f x Khi đó, f là đơn ánh nếu y" Î Y thì phương trình ( )f x = y có không quá một nghiệm x Î X

Ví dụ 6

a) Ánh xạ f :¡ ® ¡ xác định bởi 2

( ) = x không là đơn ánh vì (1) ( 1) 1

A

®a

là một đơn ánh được gọi là đơn ánh chính tắc từ A vào E

Ví dụ 8

a) Ánh xạ f :¡ ® ¡ xác định bởi công thức ( )f x = cosx không là toàn ánh vì

với 2 Î ¡ thì không tồn tại x Î ¡ để cosx = 2 Tuy nhiên, nếu xét ánh xạ g từ tập số thực ¡ vào đoạn [-1, 1] sao cho ( )g x = cosx thì g là toàn ánh

b) Ánh xạ h :¥ ® ¥ xác định bởi công thức ( )h x = x x( + 1) không là một toàn ánh

Thật vậy, xét phương trình y = x2 + x Û x2 + x - y = 0 Phương trình này

Nhận thấy với mỗi y Î ¡ thì tồn tại duy nhất x Î ¡ sao cho , y = f x( )

Do đó, f là đơn ánh đồng thời nó cũng là toàn ánh

- Chứng minh rằng y" ẻ Y tồn tại duy nhất x ẻ X sao cho ( )f x = y.

Vớ dụ 10

a) Trờn tập hợp X xột ỏnh xạ đồng nhất

id :

X X X

đa

Khi đú nú là một song ỏnh

b) Ánh xạ

2

:

c) Ánh xạ

3

:

12

g

y y y

đớùùùù

ỡ ùùùùợ

a

Khi đú f là đơn ỏnh nhưng khụng là toàn ỏnh

Ngược lại, glà toàn ỏnh nhưng nú khụng là đơn ỏnh

1.2.3.4 Tớch cỏc ỏnh xạ

Định nghĩa 11 Cho hai ỏnh xạ :f X đY và :g Y đ Z Khi đú, ỏnh xạ

Nếu y chẵn

Nếu y lẻ

: ( ( ))

đa

được gọi là ỏnh xạ tớch của hai ỏnh xạ f và g

Ký hiệu: h = go hay f h = g f hoặc h = gf

Vớ dụ 12

Xột hai ỏnh xạ

: 2

12

g

y y y

đớùùùù

ỡ ùùùùợ

1

x x x

đớùù

ỡ ùùợ

a

Nếu x chẵn Nếu x lẻ Nếu ychẵn Nếu y lẻ

a) Nếu gf là đơn ánh thì f là đơn ánh

b) Nếu gf là toàn ánh thì g là toàn ánh

a) Nếu ,f g là các đơn ánh thì h là đơn ánh

b) Nếu ,f g là toàn ánh thì h là toàn ánh

c) Giả sử f :X ®Y và :g Y ® T là các song ánh thì gf cũng là song ánh

d) Nếu h là song ánh và f là toàn ánh thì f và g là song ánh

Nếu z1 = z2 thì y1 = y2 do g là một đơn ánh Vì f đơn ánh nên x1 = x2.

Vậy h = gf là đơn ánh

b) Giả sử f và g là một toàn ánh thì ( )f X =Y g Y, ( )=T,

suy ra ( )( )gf X = g f X[ ( )]= g Y( )= T Vậy h là toàn ánh

c) Từ a) và b) suy ra nếu ,f g là các song ánh thì h = gf là song ánh

d) Nếu f không là đơn ánh, thì tồn tại các phần tử x1 và x2 thuộc X sao cho

Điều này mâu thuẫn với y1 ¹ y2

Do đó, g là một đơn ánh Vậyglà một song ánh

- Nếu f :E ® F và g F: ® G là những song ánh thìgf :E ® G là song ánh

f

- ¡ ® ¡a

1.2.3.6 Thu hẹp và thác triển (hoặc mở rộng) ánh xạ

A

®a

¡a

x x

1 0

g

x

x x

Phép thế nêu trên được gọi là một vòng xích độ dài k.

Nếu phép thế p chỉ đổi chỗ hai phần tử i < j cho nhau và giữ nguyên các phần

tử ở các vị trí còn lại thì phép thế p được gọi là chuyển vị

Để tính số nghịch thế của phép thế s ta có thể tiến hành như sau:

Giả sử k là số các phần tử 1 s( )i < s(1) trong dãy (1), (2), , ( )s s s n và k là số 2

- Phép nhân các vòng xích độc lập có tính chất giao hoán

Ví dụ 6 Cho các phép thế bậc 4, f và g như sau

Thật vậy, xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: (s n + 1)= n + 1

Vì s là một song ánh nên tập {1, 2, , n} ổn định đối với s Xét

: {1, , } {1, , } ( )

thì nó là một phép thế của tập {1, 2, , n} nên theo giả thiết quy nạp ¢s được phân tích thành tích các chuyển vị

-=

=

- Cách phân tích một phép thế bậc n thành tích các chuyển vị không duy nhất

Ví dụ 7 Hãy phân tích phép thế sau thành tích các chuyển vị

Định nghĩa 5 Phép thế với số nghịch thế chẵn (lẻ) được gọi là phép thế chẵn

(lẻ) Dấu của p nhận giá trị bằng 1 nếu p là phép thế chẵn và bằng – 1 nếu p là phép thế lẻ

Ký hiệu: sgn( )p là dấu của phép thế p

1.4 Quan hệ hai ngôi

1.4.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1 Cho X là một tập hợp khác rỗng, khi đó R được gọi là một quan

hệ hai ngôi trên X nếu R là một tập con của tích Descartes X2

Nếu hai phần tử ,a b thuộc tập X thỏa ( , )a b Î R thì a được gọi là có quan hệ R

Ví dụ 2 Trong tập hợp số tự nhiên thì các quan hệ như: Quan hệ bằng nhau và

quan hệ lớn hơn hoặc bằng giữa các số là các quan hệ hai ngôi

Xét quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X khi đó quan hệ này có thể có các tính chất sau:

Tính phản xạ: " Îx X x R x, (Mọi phần tử x có quan hệ R với chính nó)

Tính đối xứng: "x y, Î X xRy, Þ yRx (Nếu phần tử x có quan hệ R với y thì ngược lại y cũng có quan hệ với x)

1.4.2 Quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự

1.4.2.1 Quan hệ tương đương

Định nghĩa 2 Một quan hệ hai ngôi S trên tập X được gọi là quan hệ tương

đương nếu nó thỏa các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu

Ví dụ 4 Quan hệ bằng nhau giữa các số trong các tập hợp số , , ,¥ ¢ ¤ ¡ là quan

hệ tương đương vì thỏa các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu

Ví dụ 5 Xét trong tập hợp số thực¡ quan hệ hai ngôi S xác định bởi

a) Gọi X là tập các đường thẳng trong mặt phẳng, quan hệ cùng phương của hai

đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng là quan hệ tương đương trong đó hai đường thẳng được gọi là cùng phương nếu chúng song song hoặc trùng nhau

b) Quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng trong mặt phẳng không phải là quan

hệ tương đương vì không thỏa tính phản xạ

c) Quan hệ chia hết cho trong tập hợp số tự nhiên ¥ không phải là quan hệ tương đương vì không có tính chất đối xứng

d) Quan hệ nguyên tố cùng nhau giữa các số trên tập hợp số tự nhiên ¥ không

là quan hệ tương đương vì không có tính chất bắc cầu Cụ thể ta có ƯCLN (2, 3) = 1

và ƯCLN (4, 3) = 1 nhưng ƯCLN(4,2)= 2¹ 1

- Theo trên ta nhận được một phân hoạch của X qua các lớp tương đương ( ).S x

Tập hợp tất cả các lớp tương đương này được ký hiệu là X /S và gọi là tập thương

của X qua quan hệ tương đương S

Ví dụ 7 Trong tập hợp số thực ¡ xét quan hệ hai ngôi S xác định bởi

Định nghĩa 3 Một quan hệ hai ngôi S trên tập X được gọi là quan hệ thứ tự

nếu quan hệ đó có các tính chất phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng

Nếu tập X có một quan hệ thứ tự S thì ta nói X là một tập được sắp thứ tự bởi

S

Ta thường dùng ký hiệu £ để chỉ một quan hệ thứ tự

Với hai phần tử ,x y Î X nếu x có quan hệ với y ta viết x £ y(xbé hơn hay bằng y) hoặc viết y ³ x (y lớn hơn hay bằng x)

Khi x ¹ y thì thay cho x £ y(hayy ³ x ) ta viết x < y (hay y > x )

Quan hệ thứ tự £ trong X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần (hay quan hệ

thứ tự tuyến tính) nếu với mọi , x y Î X ta đều có x £ y hoặc y £ x

Một quan hệ thứ tự không toàn phần được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận (hay

quan hệ thứ tự từng phần)

Định nghĩa 4 Cho X là tập được sắp thứ tự bởi £ và A là một tập con của X

Phần tử a Î A được gọi là phần tử tối đại (lớn nhất) của A nếu với mọi x Î A

Quan hệ thứ tự £ trong X là một quan hệ thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng

của X đều có phần tử bé nhất, khi đóX được sắp tốt bởi quan hệ £

Ví dụ 8

a) Cho X là một tập hợp khác rỗng, xét tập hợp các tập con của X,P X xét ( )quan hệ bao hàm tập hợp con Ð thì đây là một quan hệ thứ tự bộ phận trên ( ).P X Ngoài ra, nếu X chứa ít nhất hai phần tử x ¹ y thì quan hệ thứ tự trên không phải tuyến tính (hay quan hệ thứ tự toàn phần) vì A:= { }x không so sánh được với : { }

b) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp các số nguyên ¢ là một quan hệ thứ

tự tuyến tính, nhưng không phải quan hệ thứ tự tốt vì không phải mọi tập con khác rỗng của ¢ đều có phần tử bé nhất Cụ thể xét tập hợp { , - 2, -1, 0} không có phần

Định lý 6 (Nguyên lý sắp tốt) Mọi tập hợp không rỗng đều có thể được sắp tốt,

hay tồn tại một quan hệ thứ tự tốt trên tập đó

Định lý 7 (Bổ đề Zorn) Cho X là một tập không rỗng được sắp thứ tự bởi £ Nếu mọi tập con A của X được sắp toàn phần bởi £ đều có cận trên thì X có phần

Biểu thức dạng z = a+ ib là dạng đại số của số phức z trong đó a là phần thực, ký hiệu là Re( )z và b được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu Im( ).z

Khi đó z = a- bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z

Im( ) 0

z Î ¡ Û z = Nếu z ¹ 0 và Re( )z = 0thì ta nói z là số thuần ảo

Số z z = a2 +b2 được gọi là modul của số phức z (hay còn gọi là chuẩn của