c/ Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất... Chứng minh rằng:.[r]
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (VÒNG 2)
MÔN : TOÁN - THỜI GIAN : 90 PHÚT
NĂM HỌC: 2007-2008
Bài 1: (2đ)
a/ Cho x + y = a , x2 + y2 = b, x3 + y3 = c
Chứng minh a3 + 2c = 3ab
b/ Với giá trị nào của x thì phân thức sau bằng 0
P = x4+x3+x +1
x4− x3 +2 x2− x+1
Bài 2: (1,5đ)
Cho biểu thức: Q = 4 a2+10 a+ 4
2 a3+9 a2+12 a+ 4
a/ Rút gọn Q
b/ Tìm các giá trị của a để Q đạt giá trị nguyên
Bài 3: (1,5đ)
Giải phương trình:
x
2008+
x +1
2009+
x +2
2010+
x +3
2011+
x+4
2012=5
Bài 4: (2đ)
Cho tam giác ABC , ba đường cao AA', BB', CC' cắt nhau tại H
Chứng minh: HA'
AA' + HB'
BB' +
HC'
CC' =1
Bài 5: (3đ)
Cho hình vuông ABCD M là điểm tùy ý trên đường chéo BD Kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD
a/ Chứng minh DE = CF, DE vuông góc với CF
b/ Chứng minh DE, BF, CM đồng quy
c/ Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất
******************************
Trang 2ĐÁP ÁN TOÁN 8
Bài 1: (2đ)
a/ (0,75đ) a3 + 2c = (x + y)3 + 2(x3 + y3)
= 3x3 + 3y3 + 3x2y +3xy2 (0,25)
3ab = 3(x + y)(x2 + y2)
= 3x3 + 3y3 + 3x2y +3xy2 (0,25)
b/ (1,25đ)
Biến đổi được P = (x3+1)(x +1)
¿ ¿ (0,5)
Lý luận được mẫu thức > o với mọi x (0,25)
P = 0 ⇔(x +1)2(x2 - x + 1) = 0 (0,25)
⇔ (x +1) = 0
⇔ x = -1 (0,25)
Bài 2: (1,5đ)
a/ Biến đổi Q = 2(a+2)(2 a+1)
¿ ¿ =a+22 (a-2; a -12) (1đ) Thiếu điều kiện trừ 0,25đ
b/ Q nguyên ⇔ a + 2 là ước của 2
⇔ a+2 {1 ;−1 ;2;− 2} (0,25)
⇔ a {−1 ;−3 ;0 ;− 4} (0,25)
Bài 3: (1,5đ)
2008x + x +1
2009+
x +2
2010+
x +3
2011+
x+4
2012=5
⇔( x
2008 −1)+(
x +1
2009− 1)+(
x+2
2010 −1)+(
x +3
2011 − 1)+(
x+4
2012− 1)=0 (0,25)
⇔ (x-2008)( 1
2008+
1
2009 +
1
2010+
1
2011+
1
Vì ( 1
2008+
1
2009+
1
2010+
1
2011+
1
Bài 4: (2đ) Hình vẽ 0,25đ
SHBC+SHAC+SHAB=SABC (0,5)
⇔ SHBC
SABC+
SHAC
SABC+
SHAB
SABC=1 (0,5) ⇔ HA ' BC AA ' BC+HB' AC
BB ' AC +
HC ' AB
CC ' AB =1 (0,5)
j H
C'
B'
B
A
Trang 3⇔ HA ' AA '+HB '
BB' +
HC'
CC ' =1 (0,25)
Bài 5: (3đ) Hình vẽ 0,25đ
a/ (1đ) C/m AEMF là hình chữ nhật suy ra MF = AE
C/m ∆MFO vuông cân tại F suy ra MF = FD Suy ra AE = FD (0,25)
C/m ∆DAE = ∆CDF (c.g.c) suy ra DE = CF (0,25)
ADE+ EDC = 900
⇒ DCF+ EDC = 900 (0,25)
b/ (0,75đ)
C/m tương tự ta có EC = FB và EC FB
C/m ∆FEB = ∆CME (EC = FB, ADE = DCF, ME = EB)
∆CEFcó CM,DE,BF là các đường cao nên chúng đồng qui (0,25)
c/ (1đ)
⇔AEMF là hình vuông (0,25) ⇔MO là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN - LỚP 8 (VÒNG 2) NĂM HỌC: 2008 - 2009
M
F
E
B A
Trang 4THỜI GIAN : 90 PHÚT
Bài 1: (2,5đ)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:x5 – 5x3 + 4x
b/ Cho a + b = 1 Tính giá trị của biểu thức: A = a2(2a - 3) + b2(-3 + 2b)
Bài 2: (2,5đ)
a/ Cho a;b;c 0, a + b + c =1 và 1a+ 1
b+
1
c = 0 Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 = 1
b/ Giải phương trình:
1991x+18+x+17
1992 +
x+ 16
1993 +
x +15
1994 =− 4
Bài 3: (2đ)
Cho biểu thức: M = x2
(x + y )(1− y) −
y2
(x+ y)(1+x ) −
x2y2
(1+x )(1− y)
a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức M
b/ Rút gọn biểu thức M
c/ Tìm các cặp số nguyên (x;y) để biểu thức M có giá trị bằng 3
Bài 4: (3đ)
Cho hình thang ABCD (AB//CD) và O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD Chứng minh rằng:
a/ Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC
b/ Tích của diện tích tam giác AOB và diện tích tam giác COD bằng bình phương diện tích tam giác BOC
-Hết -ĐÁP ÁN TOÁN 8:
Bài 1: (2,5đ)
a/ (1,5đ) x5 – 5x3 + 4x = x(x4 -5x2 + 4) (0,25)
Trang 5= x[x 2 ( x 2 -1)-4(x 2 -1)] (0,5)
= x( x2-1)(x2-4) (0,25)
= (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) (0,5)
b/ (1đ) A = a2(2a - 3) + b2(-3 + 2b)
= 2(a3+b3)-3(a2+b2) (0,25) = 2(a+b)(a2 –ab + b2) -3(a2+b2) (0,25) = 2(a2 –ab + b2) -3(a2+b2) (vì a+b=1) (0,25) = -2ab-a2-b2 = -(a+b)2 = -1 (0,25)
Bài 2: (2,5đ)
a/ (1đ) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc = 1 (0,25)
1a+ 1
b+
1
c= 0 ⇒ab+ac+bc
abc = 0 (0,25) ⇒ ab + ac + bc = 0 (0,25)
⇒ 2ab + 2ac + 2bc = 0 ⇒ a2 + b2 + c2 = 1 (0,25) b/(1,5đ) 1991x+18+x+17
1992 +
x+ 16
1993 +
x +15
1994 =− 4
⇔ x +2009
x +2009
x +2009
x +2009
1994 =0 (0,5) ⇔(x+2009) ( 1
1991+
1
1992+
1
1993+
1
1994 )=0 (0,25) ⇔(x+2009) = 0 (vì 19911 + 1
1992+
1
1993+
1
1994 ≠0¿ (0,5) ⇔ x =-2009 (0,25) Bài 3: (2đ)
a/ (0,5đ) x -1, y1, xy (Thiếu,sai 1ĐK trừ 0,25đ)
b/ (1đ) M = x2
(x + y )(1− y) −
y2
(x+ y)(1+x ) −
x2y2
(1+x )(1− y)
= x2(1+x )− y2(1− y)− x2y2(x + y )
(x + y )(1− y)(1+x ) (0,25) = (1+x)(1− y)[ x2(1+ y)+ y2(x − 1)]
(x + y )(1− y)(1+x ) (0,25) = (1+ x)(1− y)(x + y )(x − y+xy)
(x + y)(1− y)(1+ x ) (0,25) = x – y + xy (0,25) c/ (0,5đ) M = 3 ⇔ x – y + xy = 3 ⇔ (x –1) (y+1) = 2 (0,25)
Trang 6
⇒
x − 1=1
y +1=2
⇔
¿x =2
y =1
¿ {
(loại)
Hoặc
x − 1=−1
y +1=− 2
⇔
¿x =0
y =−3
¿ {
¿
¿
(thỏa)
Vậy (x;y) = (0;-3) (0,25)
Bài 4: (3đ)
Hình vẽ phục vụ câu a (0,5), ( Hình vẽ chưa phục vụ chứng minh (0,25))
M O
N
H K
Vẽ AHDC, BKDC (H,KDC)
SADC= 1
2AH DC(0 , 25)
SBDC= 1
2BK DC(0 , 25)
⇒ SADC=SBDC(doAH=BK)(0 , 25)
⇒SAOD+SDOC=SBOC+SDOC(0 , 25)
⇒ SAOD=SBOC(0 , 25)
b/ (1,25đ)
Vẽ DMAC (MAC), BNAC (NAC)
Ta có:
SAOB
SBOC=
1
2BN AO 1
2BN OC
= AO OC
¿
¿
(0,25)
Trang 7SDOC=
1
2DN AO 1
2DN OC
= AO OC
¿
¿
(0,25)
⇒ SAOB
SBOC
=SAOD
SCOD (0,25)
⇒ SAOB SCOD=SAOD SBOC (0,25)
⇒ SAOB SCOD= ¿ (0,25)
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (VÒNG 2) MÔN : TOÁN - THỜI GIAN : 90 PHÚT
NĂM HỌC: 2009-2010
Bài 1: (2,5đ)
a) Xác định a để cho đa thức x3 - 3x + a chia hết cho (x - 1)2
b) Tìm x biết: x2 (x -1) + 2x (1-x) = 0
Bài 2: (2,5đ)
a) Cho biểu thức: P = x4− x3− x +1
x4 +x3 +3 x 2 +2 x +2
Rút gọn rồi chứng minh P không âm với mọi giá trị cuả x
b) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc thì a = b = c
Bài 3: (2đ)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4
b) Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác thì A > 0
Bài 4: (3đ)
Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác của các góc A,B,C,D của hình bình hành lần lượt cắt nhau tại E,F,G,H
a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh rằng EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề một đỉnh của hình bình hành ABCD
c) Hình bình hành ABCD cần có thêm điều kiện gì để EFGH là hình vuông?
*************************
Trang 8HƯỚNG DẪN CHẤM:
Bài 1: (2,5đ)
a) (1,25đ) x3 - 3x + a = (x2 - 2x +1)(x +2) + a - 2(0,75)
(x3 - 3x + a) chia hết cho (x - 1)2⇔a-2 = 0 ⇔a = 2 (0,5)
b) (1,25đ) x2 (x -1) + 2x (1-x) = 0
⇔x(x-1)(x-2) = 0 (0,5)
Bài 2: (2,5đ)
a) (1,25đ) P = x4− x3− x +1
x4+x3+3 x2+2 x +2= ¿ ¿ (0,5)
Vì x2 0 với mọi x, nên x2 + 2 > 0
Và (x - 1)2 0 với mọi x (0,5) Suy ra ¿ ¿0 với mọi x, hay P 0 (0,25)
b) (1,25đ) a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc
⇔2a2 +2b2 +2c2 -2ab -2ac-2bc = 0
⇔(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = 0 (0,5)
⇔
a − b=0
a− c=0
b − c=0
¿ { {
¿
¿
(0,25)
⇔ a = b = c (0,5)
Bài 3: (2đ)
a) (1đ) A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4
= 4a2b2 - ( a4 + 2a2b2 + b4) + (2b2c2 + 2a2c2) - c4 (0,5) = (2ab)2- [(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4]
= (2ab)2-[(a2+b2) - c2]2 (0,25) = (2ab + a2 + b2 - c2)(2ab - a2 - b2+c2)
= (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) (0,25) b) (1đ) Nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác thì a >0, b >0, c >0 (0,25)
Trang 9và các nhân tử của biểu thức trên đều dương (theo bất đẳng thức tam giác) (0,5) Nên A >0 (0,25)
Bài 4: (3đ) Hình vẽ 0.25đ
a) (1đ)
Tam giác AHD có: HAD + HDA = 1/2( A+ D) =900.Nên AHD=900 (0,5) Tương tự: BFC=900 , AEB=900 (0,25)
Do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật (0,25)
N
M H
G F
E
D
C B
A
b) (1đ) C/m tam giác ABM cân tại B, do đó E là trung điểm của AM (0,25)
C/m tương tự G là trung điểm của CN
Nên BG là đường trung bình của hình bình hành AMCN
nên EG = 1/2(MC+AN)=MC (o,25)
Suy ra MC=CB-BM= CB-BA (o,25)
Vậy EG=FH=CB-AB (0,25)
c) (0,75đ)
C/m EG//AD , FH//AB (0,25)
Hình chữ nhật EFGH là hình vuông
⇔EG FH ⇔AD AB ⇔ A =900 ⇔ABCD là hình chữ nhật (0,5)
( Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)
**********************