Xét hình chóp A.BCDEF tạo bởi 5 cạnh của khối 20 mặt chung đỉnh A thì A.BCDEF là hình chóp ngũ giác đều có đỉnh là A, đáy là hình ngũ giác đều BCDEF cạnh bằng a, các cạnh bên AB, AC, AD,[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi : 20/03/2009
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 : (4,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
3 2x y x y x (1 2x ) y
Bài 2 : (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2
1 x 1 2x
2 x
b) Tìm giá trị lớn nhất của a để bất phương trình sau có nghiệm:
2
Bài 3 : (5,0 điểm)
Cho dãy số un xác định như sau: u1u2 1, u3 2,… ,
n 1 n 2
n 3
n
u
u
( n ) Chứng minh rằng u n , n
Bài 4 : (3,0 điểm)
Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp một khối đa diện hai mươi mặt đều có độ dài cạnh bằng a (a > 0)
Bài 5 : (3,0 điểm)
Cho một đa giác đều A A A A A1 2 3 4 n, (n 3) biết 4 đỉnh liên tiếp A , A , A , A1 2 3 4 của đa giác thoả mãn đẳng thức 1 2 1 3 1 4
A A A A A A Tìm số cạnh của đa giác đều đã cho
- HẾT
- Đề thi có 01 trang;
- Giám thị không giải thích gì thêm
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN - LỚP 12 THPT - BẢNG B – 2009
(Đáp án này có 03 trang)
Bài
(4 điểm)
Viết hệ đã cho thành
2 2 6 4 4
0.5
Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được
4 (1 x y) 1 (x y) (x y ) 1 hay 4 (1 x y) 2 2 1 (x y) 2 (x3 y )2 21 (*)
1
Ta thấy 4 (1 x y) 2 2 , 2 1 (x y) 2 (x3 y )2 2 1 2 1
Suy ra (*) xảy ra khi và chỉ khi
2 2
2 2
3 2
3 2 2
1
Bài 2a
(3 điểm)
Điều kiện: x ≠ 0
Nhận xét :
2
2
Phương trình viết về dạng
0.5
1
Đặt
f (t) 2 t, f '(t) 2 ln 2 0, t
f(t) là hàm đồng biến nên ta có
2
2
x 0
x 2
Bài 2b
(2 điểm)
Giả sử bất phương trình có nghiệm là xo thì xo 1 và a 0, ta có
0
x a
0.5
Do
0
a
(x 1)
3
Với
1 a 16
thì
0 0
0
4 4 0
0
x
k , k Z x
2
Vậy giá trị lớn nhất cần tìm của a là
1
16
1
Bài 3
Cho n 1 , ta có:
3 1 4
2
u u 7 2.1 7
0.5
Trang 3Biểu thức đúng với n 1
Giả sử biểu thức đúng với n k , ta có:
k 2 k 1
k 3
k
u
u
Chứng minh biểu thức đúng với n k 1 , hay uk 4
Ta có:
k 4 k 1 k 3 k 2
k 3 k k 2 k 1
k 4 k 2 k 2 k
k 3 k 1
Nếu k lẻ, ta có:
1 3
k 4 k 2 k 2 k
Vậy: uk 4 3uk 3 uk 2 Mà uk 3 , uk 2 , nên uk 4
1
Nếu k chẵn, ta có:
k 4 k 2 k 2 k 2 4
Vậy: uk 4 5uk 3 uk 2 Mà uk 3 , uk 2 , nên uk 4 .(đpcm)
1
Tóm lại: n , ta có: Nếu k lẻ: u2n 3 3u2n 2 u2n 1
Nếu k chẵn: u2n 2 5u2n 1 u2n
Vậy dãy un
có các số hạng đều là số nguyên
1
Bài 4
(3 điểm)
a/2
72
I
F
E D
C
S
O F
B D
H
A
C H
E
B
Khối 20 mặt thuộc loại 3;5
Xét hình chóp A.BCDEF tạo bởi 5 cạnh của khối 20 mặt chung đỉnh A thì A.BCDEF là hình chóp ngũ giác đều có đỉnh là A, đáy là hình ngũ giác đều BCDEF cạnh bằng a, các cạnh bên AB, AC, AD, AE, AF đều bằng a Suy ra trục AH của ngũ giác đều BCDEF là đường thẳng đi qua tâm O của hình cầu ngoại tiếp hình 20 mặt
0.5
Tính r = HB bán kính của đường tròn ngoại tiếp ngũ giác BCDEF:
Do tam giác BHC cân đỉnh H, BHC 72 0, nên 0
a r
2sin 36
0.5
Tính R bán kính của khối cầu ngoại tiếp khối hai mươi mặt:
Ta có: ASB ABH (góc có các cạnh vuông góc từng đôi)
cos
(do tam giác ABH vuông tại H)
0.5
sin
nên ta có:
2
R
2 1
a
0.5
Trang 4Thay kết quả r ta được:
2
0
R
4sin 36 1 a
2 a
2sin 36
Tính thể tích khối cầu:
3 0
2 0
4 a sin 36 V
0.5
Bài 5
(3 điểm)
Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều n cạnh, ta có:
A A 2R sin , A A 2R sin , A A 2R sin
Đẳng thức đã cho có thể viết:
1
Biến đổi biểu thức:
sin sin sin sin sin sin
7 2.sin sin cos 0
1
Do đẳng thức sinn 0
và sin2n 0
không thể xảy ra, nên chỉ có
7
2n
Từ đó: 7 2k 1
hay 7 n 2k 1 Suy ra: n = 7 Vậy đa giác đều có 7 cạnh
1
- Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa phần đó