(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân(Luận văn thạc sĩ) Về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LỜI CẢM ƠNLuận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Song Hà Tôi xin bày tỏlòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc tới người thầy đã dành nhiều thời giantrực tiếp hướng dẫn cũng như giải đáp những thắc mắc của tôi trong suốtquá trình làm và hoàn thiện luận văn Qua đây, tôi cũng xin được gửi lời cảm

ơn tới các thầy cô giáo tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học Cuối cùng, xin gửilời cảm ơn tới Ban giám hiệu, tập thể giáo viên trường THPT Nam Phù Cừ,nơi tôi đang công tác đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trongthời gian tôi học tập và làm luận văn tốt nghiệp

Tác giả

Hà Thị Ngọc Bích

Mục lục

1.1 Một số vấn đề về điểm bất động và phép chiếu mêtric 2

1.2 Dưới vi phân hàm lồi 12

1.3 Ánh xạ đơn điệu và liên tục 16

1.4 Ánh xạ KKM 21

Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trong Rn 24 2.1 Mô hình bài toán 24

2.2 Sự tồn tại nghiệm trường hợp miền ràng buộc là tập compact 28 2.3 Sự tồn tại nghiệm trường hợp miền ràng buộc không compact 31 2.4 Một vài phương pháp xấp xỉ nghiệm bài toán (VIP) 40

Kết luận chung và đề nghị 51 Tài liệu tham khảo 52 Trang b¼a phö i

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

Rn Không gian thực hữu hạn chiều

co(C) Bao lồi của tập C

C\D Phần bù của tập hợp D trong C

hx, yi Tích vô hướng của hai véctơ x và y

∇f (x) Gradient của ánh xạ f tại x

∂f (x) Dưới vi phân của ánh xạ f tại x

xn → x Dãy {xn} hội tụ đến x khi n → +∞(VIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân

(MVIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân MintyFix(T ) Tập điểm bất động của ánh xạ T

KKM Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz

giá trị τ thay đổi 50

Mở đầu

Bài toán bất đẳng thức biến phân được hình thành từ những công trìnhnghiên cứu của Lion, Stampacchia và Minty [1, 6] vào những năm 50 củathế kỉ trước Bài toán này có liên hệ mật thiết với nhiều bài toán lí thuyếtnhư: bài toán tối ưu, bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động, bài toánminimax, bài toán điểm yên ngựa, phương trình với toán tử đơn điệu, bàitoán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng và đóng vai trò rấtquan trọng trong nghiên cứu nhiều lĩnh vực thực tiễn như: công nghệ thôngtin và truyền thông, giao thông, kinh tế, y học, quân sự Vì lẽ đó, trongsuốt hơn 70 mươi năm qua, bài toán này đã và đang thu hút được sự quantâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước

Những nghiên cứu về bài toán này chủ yếu theo ba hướng chính: Một là,nghiên cứu các tính chất định tính của bài toán về sự tồn tại và tính duynhất nghiệm, tính ổn định nghiệm, độ nhạy nghiệm hay tính chất tôpô củatập nghiệm Hai là, nghiên cứu đề xuất các thuật toán hoặc phương pháp giải

số hữu hiệu tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán Ba là, nghiên cứu ứng dụng líthuyết bài toán này vào giải quyết các mô hình thực tiễn

Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu và trình bày lại có hệ thống

về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gianhữu hạn chiều cùng một số phương pháp xấp xỉ nghiệm

Với mục tiêu như vậy, ngoài phần mở đầu, luận văn gồm có hai chương,kết luận và tài liệu tham khảo Chương 1, hệ thống lại một số kiến thức cơbản của giải tích lồi và giải tích hàm nhằm phục vụ cho việc trình bày cácnội dung chính ở phần sau của luận văn Chương 2, dành để giới thiệu lớpbài toán nghiên cứu cùng các kết quả tồn tại nghiệm được xây dựng trêntính chất loại đơn điệu của ánh xạ mục tiêu và cấu trúc tôpô của miền ràngbuộc Phần cuối chương, chúng tôi trình bày ba phương pháp chiếu (phươngpháp chiếu gradient, phương pháp chiếu lai ghép và phương pháp chiếu tăngcường) tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán cùng các ví dụ số minh họa cụ thể

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản phục

vụ cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn Cấu trúccủa chương được chia thành ba phần: Mục 1.1 chúng tôi trình bày một số nộidung cơ bản về lý thuyết điểm bất động và phép chiếu mêtric trên tập conlồi khác rỗng trong không gian hữu hạn chiều Mục 1.2 trình bày một số kháiniệm và tính chất cơ bản về dưới vi phân hàm lồi Các khái niệm về ánh xạloại đơn điệu và liên tục được cụ thể hóa trong Mục 1.3 Phần cuối chương,Mục 1.4 dùng để giới thiệu về lớp ánh xạ đa trị KKM và nguyên lí ánh xạKKM Đây là công cụ chính để chứng minh các kết quả tồn tại nghiệm trongChương 2

1.1 Một số vấn đề về điểm bất động và phép chiếu mêtric

Giả sử Rn là không gian Euclide n chiều, tích vô hướng và chuẩn trênkhông gian này được kí hiệu lần lượt là h., i và k.k Tích vô hướng củahai véctơ x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn và y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn xác định bởi

hx, yi = x1y1 + x2y2 + + xnyn và chuẩn của véctơ x = (x1, x2, , xn) ∈ Rntương ứng sinh bởi tích vô hướng này là kxk =px2

1 + x22 + + x2

n.Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C vàvới mọi λ ∈ [0, 1] ta có

∆ = {x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn : hA, xi ≤ b},trong đó x0 ∈ Rn

(i) Giao của một họ tùy ý các tập lồi là tập lồi

(ii) Nếu C là tập lồi thì αC cũng là tập lồi với mọi số thực α

(iii) Tổng của hai tập lồi là tập lồi

(iv) Tích Descartes của hai tập lồi là tập lồi

(v) Ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua một phép biến đổi tuyến tính làtập lồi

Chứng minh (i) Giả sử {Ci}, i ∈ I là một họ tùy ý các tập lồi, ở đây I là tậpchỉ số nào đó Khi đó, với mọi x, y ∈ \

λx + (1 − λ)y = λ(αu) + (1 − λ)(αv) = α[λu + (1 − λ)v] ∈ αC.

Do đó, αC là tập lồi

(iii) Giả sử C và D là hai tập lồi Lấy tùy ý hai phần tử x, y ∈ C + D và

λ ∈ [0, 1] Khi đó, x và y lần lượt có dạng x = u + v và y = w + z, trong đó

u, w ∈ C và v, z ∈ D Do C, D lồi nên λu+(1−λ)w ∈ C và λv +(1−λ)z ∈ D

Từ đó suy ra

λx + (1 − λ)y = λ(u + v) + (1 − λ)(w + z)

= [λu + (1 − λ)w] + [λv + (1 − λ)z] ∈ C + D

Vì vậy, C + D là tập lồi

(iv) Giả sử H và K là hai tập lồi Lấy tùy ý hai phần tử x = (u, v) ∈

H × K, y = (w, z) ∈ H × K và λ ∈ [0, 1] Từ tính lồi của H, K suy ra

λx + (1 − λ)y = λf (u) + (1 − λ)f (v) = f (λu + (1 − λ)v),

ở đây, u, v ∈ C và x = f (u), y = f (v) ∈ f (C) Vì C lồi nên λu + (1 − λ)v ∈ C

và vì thế suy ra λx + (1 − λ)y ∈ f (C) Hay nói cách khác ảnh của C quaphép biến đổi f là tập lồi

Bây giờ, nếu x, y ∈ f−1(D) thì f (x) ∈ D và f (y) ∈ D Vì D lồi nên

f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 − λ)f (y) ∈ D

Điều này dẫn đến

λx + (1 − λ)y ∈ f−1(D)

Do đó, f−1(D) là tập lồi

Định nghĩa 1.2 Véctơ x ∈ Rn được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ xi ∈ Rn

(i = 1, 2, · · · , m) nếu tồn tại λi ≥ 0 (i = 1, 2, · · · , m) với

Do đó, theo giả thiết quy nạp ta có

Định nghĩa 1.3 Cho C ⊆ Rn Giao của các tập con lồi chứa C được gọi làbao lồi của tập C và kí hiệu là co(C)

Nhận xét 1.1 co(C) là một tập lồi (Mệnh đề 1.1) và đó là tập lồi nhỏ nhấtchứa C Nếu C là tập lồi thì co(C) = C Hơn nữa, co(C) trùng với tập tất

cả các tổ hợp lồi của C, tức là x ∈ co(C) khi và chỉ khi x biểu diễn đượcdưới dạng

Thật vậy, vì C ⊆ co(C) nên co(C) chứa tất cả các tổ hợp của C (Mệnh

đề 1.2) Mặt khác, tập tất cả các tổ hợp lồi của C là lồi và chứa C nên nóchứa co(C)

Định nghĩa 1.4 Tập con C ⊆ Rn được gọi là:

(i) tập bị chặn nếu với mọi x ∈ C đều tồn tại số thực dương M sao chokxk ≤ M

(ii) tập đóng nếu với mọi dãy {xn} ⊆ C, xn → x thì ta đều có x ∈ C

(iii) tập compact nếu với mọi dãy {xn} ⊆ C đều tồn tại một dãy con {xnk}thỏa mãn xnk → x và x ∈ C

Mệnh đề 1.3 [1, 2] Trong Rn, ta có các khẳng định sau:

(i) Tập con đóng của một tập compact là tập comapct

(ii) Một tập là compact khi và chỉ khi tập đó đóng và bị chặn

Định nghĩa 1.5 Cho C là một tập con khác rỗng của Rn và F : C → C

là một ánh xạ xác định trên C Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của

F nếu F (x) = x Tập tất các điểm bất động của ánh xạ F được kí hiệu làFix(F ), tức là

Fix(F ) = {x ∈ C : F (x) = x}

Ví dụ 1.3 Cho C = [0, 1] ⊂ R Nếu ánh xạ F xác định bởi F (x) = 1 − xthì F có duy nhất điểm bất động và Fix(F ) = {1/2}, nếu ánh xạ F xác địnhbởi F (x) = x2 thì F có hai điểm bất động và Fix(F ) = {0, 1}, nếu ánh xạ Fxác định bởi F (x) = x thì F có vô số điểm bất động và Fix(F ) = [0, 1] Tuynhiên, nếu ánh xạ F xác định bởi

Ví dụ 1.4 Xét trường hợp tập C = R3 Với mỗi x = (x1, x2, x3) ∈ C, khi đó

Nếu ánh xạ F : R3 → R3 xác định bởi F (x) = (−x3, x42, x1) thì F có hai điểmbất động và Fix(F ) = {(0, 0, 0), (0, 1, 0)}

Nếu ánh xạ F : R3 → R3 xác định bởi F (x) = (x1, 1, x3) thì F có vô số điểmbất động và Fix(F ) = R × {1} × R

Nếu ánh xạ F : R3 → R3 xác định bởi F (x) = (x1, x22+ 1, x43+ 1) thì F không

có điểm bất động

Định nghĩa 1.6 Cho C là một tập con khác rỗng của Rn và F : C → Rn làmột ánh xạ xác định trên C Ánh xạ F được gọi là L-liên tục Lipschitz nếutồn tại L ≥ 0 sao cho

kF (x) − F (y)k ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C

Bất đẳng thức trên đúng với 0 ≤ L < 1 thì F được gọi là ánh xạ co còn nếu

L = 1 thì F được gọi là ánh xạ không giãn

Ví dụ 1.5 Ánh xạ F : R → R xác định bởi F (x) = 1

2x (hoặc F (x) = cos(x))

là ánh xạ co (tương ứng, là ánh xạ không giãn)

F có duy nhất điểm bất động với Fix(F ) = {0}.

Cho C là tập con lồi compact trong không gian Rn và F : C → C là ánh

xạ liên tục Khi đó, ánh xạ F có điểm bất động

Định nghĩa 1.7 Cho C là tập con khác rỗng trong không gian Rn Khi đóvới mỗi x ∈ Rn, ánh xạ PC : Rn → C thỏa mãn điều kiện

Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Rn Khi đó với mỗi

x ∈ Rn tồn tại duy nhất một phần tử y ∈ C sao cho

Vì C là tập đóng nên y ∈ C Hơn nữa, ta lại có

Điều này suy ra y = z hay y là phần tử xác định duy nhất

Dưới đây là một số ví dụ cụ thể về phép chiếu mêtric lên các nửa khônggian đóng, hình cầu đóng trong không gian hữu hạn chiều

kx − yk ≤ kx − uλk, ∀z ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).

Bất đẳng thức này tương đương với

kx − yk2 ≤ kx − y + λ(y − z)k2

= kx − yk2 + λ2ky − zk2 + 2λhx − y, y − zi, ∀z ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).hay

Hệ quả 1.1 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Rn Khi

đó, phép chiếu mêtric PC là ánh xạ không giãn, tức là

kPC(x) − PC(y)k ≤ kx − yk ∀x, y ∈ Rn.Chứng minh Với mọi x, y ∈ Rn, từ Mệnh đề 1.5 ta có

hPC(y) − PC(x), x − PC(x)i ≤ 0,và

hPC(x) − PC(y), y − PC(y)i ≤ 0

Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được

hPC(x) − PC(y), −(x − PC(x)) + (y − PC(y))i ≤ 0

Bất đẳng thức này suy ra

kPC(x) − PC(y)k2 ≤ hPC(x) − PC(y), x − yi

≤ kPC(x) − PC(y)kkx − yk

Từ đây, ta có điều cần chứng minh

1.2 Dưới vi phân hàm lồi

Định nghĩa 1.8 Cho C ⊆ Rn là một tập con lồi và khác rỗng Hàm số

Ví dụ 1.9 Xét C = R và hàm số f : R → R xác định bởi f (x) = x2 là mộthàm lồi và cũng là hàm lồi chặt Tuy nhiên, hàm số

Định nghĩa 1.9 Cho f : C → R là hàm xác định trên C ⊆ Rn Khi đó,hàm f được gọi là

(i) khả vi Gâteaux tại x ∈ C nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗trên C thỏa mãn

(ii) khả vi Gâteaux nếu f khả vi Gâteaux tại mọi x ∈ C

(iii) khả vi Fréchet tại x ∈ C nếu tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗trên C thỏa mãn

(iv) khả vi Fréchet nếu f khả vi Fréchet tại mọi x ∈ C

Nhận xét 1.4 Nếu f : C → R khả vi Fréchet tại x ∈ C thì nó cũng khả

vi Gâteaux Thật vậy, điều cần chứng minh được suy ra trực tiếp từ mối liên

f (x + αz) − f (x)

α − hx∗, zi

= 0,

ở đây, ta thay y = αz với α > 0 và z 6= 0 là phần tử cố định tùy ý trong C.Tuy nhiên, một hàm f : C → R khả vi Gâteaux tại x ∈ C thì nó có thểkhông khả vi Fréchet Thật vậy, chẳng hạn ta xét hàm số f : R2 → R xácđịnh bởi

Khi đó, hàm số trên khả vi Gâteaux tại 0 vì

u5

u4 + u4

Định nghĩa 1.10 Cho f : C → R là hàm lồi trên C ⊆ Rn

(i) Phần tử x∗ ∈ Rn được gọi là dưới gradient của hàm f tại điểm ¯x ∈ E nếu

f (x) − f (¯x) ≥ hx∗, x − ¯xi ∀x ∈ C

(ii) Tập tất cả các dưới gradient của f tại ¯x được gọi là dưới vi phân của ftại ¯x, kí hiệu là ∂f (¯x), tức là

∂f (¯x) = {x∗ ∈ Rn : f (x) − f (¯x) ≥ hx∗, x − ¯xi, ∀x ∈ C}

(iii) Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại ¯x nếu ∂f (¯x) 6= ∅

Ví dụ 1.10 Cho f : R → R xác định bởi f (x) =| x − a | Khi đó, ta có dưới

Mối liên hệ giữa dưới vi phân và tính khả vi Gâteaux (hoặc khả vi Frétchet)được phát biểu trong mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 1.6 [2]

Cho f : Rn → R là hàm lồi Khi đó, ta có các khẳng định sau:

(i) Nếu f khả vi Gâteaux tại x ∈ Rn với fG0 (x) = x∗ và f khả dưới vi phântại x thì

∂f (x) = {x∗}

(ii) Nếu f là hàm liên tục tại x ∈ Rn và ∂f (x) chỉ gồm một phần tử duy nhất

x∗ thì f khả vi Gâteaux tại x và

fG0 (x) = x∗.Chứng minh (i) Giả sử f khả vi Gâteaux tại x ∈ Rn với fG0 (x) = x∗ Ta có

hy∗, yi ≤ hx∗, yi, ∀y ∈ Rn,hay

hy∗− x∗, yi ≤ 0, ∀y ∈ Rn,

Bất đẳng thức này suy ra x∗ = y∗ Vì thế, ta có ∂f (x) = {x∗}.

(ii) Giả sử ∂f (x) = {x∗} Khi đó, từ định nghĩa ta có

f (u) − f (x) ≥ hx∗, u − xi, ∀u ∈ Rn

Do đó, với u = x + λy ta nhận được

f (x + λy) − f (x)

λ ≥ hx∗, yi, ∀λ > 0, ∀y ∈ Rn.Bất đẳng thức trên dẫn đến

Từ đây suy ra điều cần chứng minh

1.3 Ánh xạ đơn điệu và liên tục

Định nghĩa 1.11 Cho C ⊆ Rn là tập con khác rỗng và F : C → Rn là ánh

xạ xác định trên C Ánh xạ F được gọi là:

(i) đơn điệu trên C nếu

hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ C (1.1)(ii) đơn điệu chặt trên C nếu

hF (x) − F (y), x − yi > 0 ∀x 6= y ∈ C (1.2)(iii) α-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại số thực dương α sao cho

hF (x) − F (y), x − yi ≥ αkx − yk2 ∀x, y ∈ C (1.3)Nhận xét 1.5 Nếu ánh xạ F là α-đơn điệu mạnh trên C thì đơn điệu chặttrên C, nếu ánh xạ F đơn điệu chặt trên C thì đơn điệu trên C Tuy nhiên,chiều ngược lại của các khẳng định trên nói chung không đúng

là ánh xạ đơn điệu chặt trên R nhưng không đơn điệu mạnh.

là ánh xạ đơn điệu trên R nhưng không đơn điệu chặt

Định nghĩa 1.12 Cho C ⊆ Rn là tập con khác rỗng Ánh xạ F : C → Rnđược gọi là giả đơn điệu trên C nếu

hF (x) − F (y), x − yi =  1

1 + x − 1

1 + y

(x − y) = − (x − y)

2

(1 + x)(1 + y) ≤ 0.Định nghĩa 1.13 Cho C ⊆ Rn là tập con khác rỗng Ánh xạ F : C → Rnđược gọi là tựa đơn điệu chính tắc trên C nếu ∀J = {x1, x2, · · · , xm} ⊆ C và

∀y ∈ co(J) đều tồn tại 1 ≤ i ≤ m sao cho

thì ta đều có

hF (x), y − xi ≥ lim sup

n→∞

hF (xn), y − xni, ∀y ∈ C

Chú ý 1.1 Trong không gian hữu hạn chiều, mọi ánh xạ liên tục hoặc ánh

xạ đơn điệu mà h-liên tục đều là ánh xạ B-giả đơn điệu (Mệnh đề 27.6, trang

Đổi vai trò x và y ta lại có

f (x) − f (y) ≥ h∇f (y), x − yi, ∀x, y ∈ C

Cộng hai vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

Z t 0

h0(w)dw ≤ 1

1 − t

Z 1 t

h0(w)dw = h(1) − h(t)

1 − tvới mọi t ∈ (0, 1) Từ ước lượng trên suy ra

(i) h-liên tục tại x ∈ C nếu với bất kì dãy {xn} các phần tử trong C mà hội

tụ tới x dọc theo một tia thì ta đều có {F (xn)} hội tụ tới F (x), tức là

F (xn) := F (x + tny) → F (x) khi tn → 0 với mọi y ∈ C

(ii) h-liên tục trên C nếu nó h-liên tục tại mọi điểm x ∈ C.

Định nghĩa 1.16 Cho C ⊆ Rn là tập con lồi khác rỗng và f : C → R làánh xạ xác định trên C Khi đó, f được gọi là:

(i) nửa liên tục trên tại x ∈ C nếu với mọi dãy {xn} các phần tử trong C

mà hội tụ tới x ta đều có

f (x) ≥ lim sup

n→∞

f (xn)(ii) nửa liên tục trên trên C nếu nó nửa liên tục trên tại mọi điểm x ∈ C.(iii) nửa liên tục dưới tại x ∈ C nếu với mọi dãy {xn} các phần tử trong C

mà hội tụ tới x ta đều có

f (x) ≤ lim inf

n→∞ f (xn)(iv) nửa liên tục dưới trên C nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ C.(v) liên tục tại x ∈ C (trên C) nếu nó vừa nửa liên tục trên và nửa liên tụcdưới tại x ∈ C (trên C)

nếu x 6= 0,

là nửa liên tục trên tại x = 0 nhưng không tồn tại giới hạn trái (không liêntục trái) cũng như giới hạn phải (không liên tục phải) của hàm số h(x) tạiđiểm này

Ví dụ 1.14 Mọi ánh xạ liên tục là h-liên tục Tuy nhiên, khẳng định ngượclại có thể không đúng Chẳng hạn, ta xét ánh xạ F : R2 → R xác định bởi

Định nghĩa 1.17 Cho C ⊆ Rn là tập con lồi khác rỗng Ánh xạ F : C ⇒ Rnđược gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn J := {x1, x2, · · · , xn} ⊂

Thật vậy, với mọi tập con hữu hạn J := {x1, x2, · · · , xn} ⊂ C và y ∈ co(J),

Thật vậy, với mọi tập con hữu hạn J := {x1, x2, · · · , xn} ⊂ C và y ∈ co(J),

kg(y) − yk < kg(y) − yk,

mâu thuẫn Do đó, ta phải có y ∈

Định lí 1.5 [1] (KKM-Fan)

Cho C là tập con lồi, khác rỗng của Rn và P : C ⇒ C là ánh xạ KKM.Khi đó, nếu các giả thiết sau bảo đảm:

(i) P (x) là tập con đóng với mọi x ∈ C,

(ii) P (x) là tập con compact với ít nhất một x ∈ C,

∂f (¯x) = {x∗ ∈ Rn : f (x) − f (¯x) ≥ hx∗, x − ¯xi, ∀x ∈ C}

(iii) Hàm f gọi khả vi phân ¯x ∂f (¯x)...

Bất đẳng thức suy x∗ = y∗ Vì thế, ta có ∂f (x) = {x∗}.

(ii) Giả... nhận

f (x + λy) − f (x)

λ ≥ hx∗, yi, ∀λ > 0, ∀y ∈ Rn .Bất đẳng thức dẫn đến

Từ suy điều cần chứng minh

1.3 Ánh xạ đơn điệu liên tục

Định