[r]
Trang 1Câu I 1) Trỷớc hết ta hãy chứng tỏ rằng từ hệ thức đã cho, suy ra phỷơng trình có nghiệm Quả vậy nếu k = 0, suy ra ac = 0 ịc
=0 (vì aạ 0), vậy phỷơng trình có nghiệm Nếu k ạ 0 (k ạ -1), suy ra
b2= (k + 1)2ac
k ị ac
k ³ 0,
do vậy:
D = b2
- 4ac = (k + 1)
2
ộ ở
ờ ờ
ự ỷ
ỳ
ỳac = (k - 1)2.ack ³ 0.
Gọi x1, x2là các nghiệm của phỷơng trình bậc hai Theo các hệ thức Viet:
(x1- kx2)(x2- kx1) = (1 + k2)x1x2- k(x + x12
2
2) = (1 + k2)x1x2- k[(x1+ x2)2- 2x1x2] =
= (1 + k2)c
a - k
b
a - 2
c
a =
(k + 1) ac - kb
a
2 2
2
ổ ố
ỗỗ
ỗỗ ửứữữữữ
ta đỷợc kết quả cần chứng minh
2) Nếu A, B, C là ba số không âm, thì ta có
A + B + C ³ 3 3
ABC,
và với mọi A, B, C ta luôn có A2+ B2+ C2³ 1
3(A + B + C)
2
vì nó tỷơng đỷơng với
3A2+ 3B2+ 3C2³ A2
+ B2+ C2+ 2AB + 2BC + 2CA hay
(A - B)2+ (B - C)2+ (C - A)2³ 0
Vì vậy
a
b
c a
1 3
a
b +
b
c +
c a
2
2
2
2
2
2 ³ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ
ổ ố
ỗỗ
ỗ ửứữữữữ2 ³ 1
3
a
b +
b
c +
c
a 3 3
a b
ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ
ổ ố
ỗỗ
ẵ
ẵ b c
c a
ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ =
Trang 2= a
b +
b
c +
c a
a
b +
b
c +
c a
ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
ẵ
ẵ ẵ
ẵ
Câu II 1) Phỷơng trình đã cho tỷơng đỷơng với
3
x
ỡ
ớ
ùù
p
ù
ợ
ùù
ùù
Giải(2) : (2) ổ
ố
ỗỗ ỗ
ử ứ
ữữữ
ộ ở
ờ ờ
ự ỷ
ỳ ỳ
2 1 - cos 6x +
2 = 1 + 8sin2xcos 2x
2
p
Û 2(1 + sin6x) = 1 + 8sin2x(1 - sin2
2x)
Û 2(1 + 3sin2x - 4sin3
2x) = 1 + 8sin2x - 8sin32x
Û sin2x = 1
ỡ ớ
ùù ùù ợ
ùù ùù
=
2
5 1
1
2
x
p
( )
ỡ ớ
ùù ùù ợ
ùù
Thay thế (3), (4) vào (1) :
1
khi k n khi k n
=
ỡ ớ
ùù ợùù
4
3
2
ỡ ớ
ùù ợùù
khi k m khi k m
Vậy nghiệm của phỷơng trình là
x =
12 + 2n , x =
5
12 + (2m + 1) (n, m )
2) Trỷớc hết xét hàm
y = x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1
Hàm số đỷợc xác định khi x ³ 1, bởi vì khi đó x - 1 ³ 0 và ta có:
Trang 3y = (x - 1) + 2 x - 1 + 1 + (x - 1) - 2 x - 1 + 1 = ( x - 1 + 1)2 + ( x - 1 - 1)2 =
2 khi 1 Ê x Ê 2,
= x - 1 + 1 + | x - 1 - 1| =
2 x - 1 khi x ³ 2.Vậy:
a) nếu 1 Ê x Ê 2, ta có phỷơng trình
2 = x + 3
2 ị x = 1 (nghiệm thích hợp);
b) nếu x ³ 2, ta có phỷơng trình
2 x - 1 = x + 3
2 ị x = 5 (nghiệm thích hợp)
Tóm lại phỷơng trình đã cho có nghiệm x = 1, x = 5
Câu III Đặt a = SA, b = SB, c = SC, a = BSC^ ,b =CSA^ ,
g = ASB^ Vậya b g p+ + = Các mặt ASB, BSC, CSA có diện tích bằng nhau, suy ra
absing = bcsina = acsinb
ị sin
sin
sin c
Xem tam giác KLM có các gócK =a, L =b , M = g và cạnh LM = a áp dụng định lí hàm sin cho tam giác này, ta
đỷợc
sin
sin
KM =
sin KL
Các tam giác ASB và KLM bằng nhau (c.g.c), suy raAB = c Tỷơng tự BC = a, AC = b
Trang 4Câu IVa
1)
/ 2
n n
0
π
= ∫ (n ∈ N) Đặt
n 1
dv sin xdx
ư
=
=
n 2
ư
= ư
= ư
/ 2
n
0
⇒ In=(n 1)Iư n 2ư ư ư(n 1)In
⇒ In n 1In 2
= + 2) Theo giả thiết : f(n)=(n 1)I I+ n n 1+ ⇒ f(n 1)+ =(n+2)In 1 n 2+ I +
mà :
n 1
=
n 1
n 2
⇒ f(n + 1) = (n + 1) I In n 1+ ⇒ f(n + 1) = f (n)
Câu Va Ta có BO
JJJG = (2, 4, 4) ⇒ BO
JJJG = 6, BA
JJJG = ( 1, 6, 2) ⇒ BAJJJG
= 41 , BO.BAJJJG JJJG
= 14 ⇒ cosB = 7
3 41 ⇒ sinB =
8 5
3 41 , vậy OO' = BOJJJG
sinB = 16 5
41
Câu IVb
1) Dễ thấy CB ⊥ (SAB) ⇒ CB ⊥ AE SB ⊥ AE (giả thiết)
⇒ AE ⊥ (SBC) ⇒ AE ⊥ SC
Tương tự, chứng minh được AF ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AEF)
2) Dễ thấy rằng tập hợp điểm P là nửa đường tròn đường kính AC = a 2
(nằm trong mặt phẳng cố định (CAx)) trừ điểm C, A
3
= = với PH là đường cao của hình chóp Suy ra
2
3V
a
Dĩ nhiên h phải thỏa mãn điều kiện h a 2
2
≤ , tức là
2
2 a
≤ hay
3 1
a
3 2
Khi đó ta có hai vị trí của S trên Ax để thể tích VP.ABCD = V cho trước
S
A
D E
H I