[r]
Trang 1Kỳ thi IMO lần thứ 30 - 1989
1 Chứng minh rằng tập {1, 2, 3, , 1989} có thể biểu diễn được thành hợp rời nhau của các tập con A1, A2, , A117 trong đó: mỗi tập con Ai bao gồm 17 phần tử và tổng của tất cả các phần tử trong mỗi tập Ai là như nhau
2 Cho tam giác nhọn ABC Đường phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt gặp đường tròn ngoại tiếp tam giác tại A1, B1, C1 Gọi A0 là giao điểm của đường thẳng AA1 với đường phân giác ngoài của các góc B và C; B0 là giao điểm của đường thẳng BB1 với đường phân giác ngoài của các góc A và C; C0 là giao điểm của đường thẳng CC1 với đường phân giác ngoài của các góc A và B Chứng minh rằng: Diện tích tam giác A0B0C0 gấp 2 lần diện tích lục giác AC1BA1CB1 và lớn hơn hoặc bằng 4 lần diện tích tam giác ABC
3 Cho n, k là hai số nguyên dương S là tập hợp của n điểm trong mặt phẳng sao cho không
có ba điểm nào thẳng hàng và với mọi P thuộc S tồn tại ít nhất k điểm thuộc S cách đều P Chứng minh rằng:
4 Cho tứ giác lồi ABCD sao cho AB = AD +BC Tồn tại một điểm P trong tứ giác có
khoảng cách h so với CD sao cho AP = h + AD và BP = h + BC Hãy chỉ ra rằng:
5 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n tồn tại n số nguyên dương liên tiếp không phải là số nguyên tố hoặc không là luỹ thừa của một sô nguyên tố
6 Một hoán vị {x1, x2, , xm} của tập {1, 2, , 2n}, trong đó n là một số nguyên dương, được gọi là có tính chất P nếu: |xi - xi+1| = n với ít nhất một i trong {1, 2, , 2n - 1} Hãy chỉ
ra rằng với mỗi n số các hoán vị có tính chất P nhiều hơn số các hoán vị không có tính chất này
Page 1 of 1 IMO Vietnamese
13/02/2003