ON TAP HSG TOAN 6VIP

Hai ngêi tham gia mét trß ch¬i, mçi ngêi lÇn lît ph¶i bèc Ýt nhÊt 11 viªn bi vµ nhiÒu nhÊt lµ 20 viªn bi ra khái hép.. Ngêi nµo bèc 11 viªn bi cuèi cïng th× thua cuéc..[r]

chuyên đề: số tự nhiên - áp dụng.

**********

* Các bài toán về dãy số viết theo quy luật.

Bài toán 1: Tính các tổng sau.

a) 1 2 3 4 n     b) 2 4 6 8 2.n    

c) 1 3 5 (2.    n1) d) 1 4 7 10 2005     

e) 2+5+8+……+2006 g) 1+5+9+….+2001

Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau: A     1 2 4 8 16 8192  

Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số

b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số

Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+….+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190

b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 2 3     n 2004

c) Chứng minh rằng: (1 2 3    n) 7  

không chia hết cho 10  n N

Bài toán 5: a) Tính nhanh 1.2 2.3 3.4 1999.2000   

b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh B 1.1 2.2 3.3 1999.1999   

c) Tính nhanh : C 1.2.3 2.3.4 48.49.50.  

Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trờng hợp tổng quát

Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau:

a) 3;8;15;24;35; b) 3; 24;63;120;195; c) 1;3;6;10;15; d) 2;5;10;17; 26; e) 6;14;24;36;50; g) 4; 28;;70;130;

Bài toán 7: Cho dãy số 1;1 2;1 2 3;1 2 3 4;      

Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?

Bài toán 8: Cho S1  1 2;S2   3 4 5;S3    6 7 8 9;S4 10 11 12 13 14;    

Tính S100

Bài toán 9: Tính bằng cách hợp lý.

a)

41.66 34.41

3 7 11 79

    b)

1 2 3 200

6 8 10 34

B    

    c)

1 5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45

*

Các bài toán về tập hợp

Bài toán 10: Cho a) A 1; 2

; B 1;3;5

b) A x y, 

; B x y z t, , ,  Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B

Bài toán 11: Cho a) Ax N x 2; 3;x x100

b) Bx N x 6;x100

Hãy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử

Bài toán 12: Cho C 353535 D 478478478

a) Viết tập hợp P các chữ số trong C và tập hợp Q các chữ số trong D bằng cách liệt kê phần tử

b) Bằng cách liệt kê phần tử hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó 2 phần tử thuộc P

và một phần tử thuộc Q

Bài toán 13: Cho a) A x N x ab a  ; 3.b

b) Bx N 20x

c) Cx N x 11.n3;n N x ; 300

Xác định các tập hợp trên bằng cách liệt kê các phần tử

Bài toán 14: Xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng.

a) A 1;4;9;16; 25;36; 49;64;81;100

b) B 2;6;12;20;30;42;56;72;90

chuyên đề: tập hợp , tập hợp con - áp dụng.

**********

Bài toán 1: Cho tập hợp Aa b c d e, , , , 

a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử

c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?.

d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?

Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trờng hợp

sau

a) A 1;3;5

; B 1;3;7

b) Ax y, 

; Bx y z, ,  c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn

Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu AB A B;  Hãy viết các tập con thực sự của tập hợp B 1; 2;3

Bài toán 4: Cho các tập hợp A 1; 2;3; 4

; B 3;4;5 Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B

Bài toán 5: Cho tập hợp A 1; 2;3; 4

a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn

b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A

Bài toán 6: Chứng minh rằng nếu AB B; D thì AD

Bài toán 7: Có thể kết luận gì về hai tập hợp A, B nếu biết:

a)  x B thì x A b) x A thì x B ,  x B thì x A

Bài toán 8: Cho tập hợp K 5;6;7;8

Viết các tập hợp con của tập hợp K sao cho các phần

tử của nó có ít nhất một số lẻ, một số chẵn

Bài toán 9: Cho H là tập hợp ba số lẻ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên.

a) Viết tập hợp L các phần tử thuộc K mà không thuộc H b) CMR: H K

c) Tập hợp M có số phần tử sao cho H M M; K

+ Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử ? nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?

+ Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thoả mãn điều kiện trên

Bài toán 10: Cho tập hợp M 30;4; 2005; 2;9

Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số:

a) Có một chữ số b) có hai chữ số c) Là số chẵn

Bài toán 11: Cho A x N x 2; 4;x x100

; Bx N x 8;x100

a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B

b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?

Bài toán 12: Cho a 18; 42;60

, b 35;52

Hãy xác định tập hợp M a b 

Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.

a) CMR: BA

b) Viết tập hợp M sao cho BM M, A Có bao nhiêu tập hợp M nh vậy

Bài toán 14: Cho A x N x 7.q3;q N x ; 150

a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A

Bài toán 15: Cho M 1;13;21; 29;52

Tìm x y M;  biết 30 x y40

chuyên đề: các phép toán về số tự nhiên - áp dụng

**********

Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên.

a) Viết tập hợp A b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A

Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 0a b c 

a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên

b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448 Tìm ba chữ số a, b, c nói trên

Bài toán 3: Thay các chữ bởi các chữ số thích hợp để đợc kết quả đúng.

a) ab bc ca abc   b) abc ab a   874

c) abcd abc ab a    4321 d) **.** ***  (2 thừa số ở vế trái chẵn và tích là

số có ba chữ số nh nhau)

Bài toán 4: Cho bốn chữ số a, b, c, d khác nhau và khác 0 Lập số lớn nhất và số nhỏ nhất có

bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên Tổng của hai số này bằng 11330 Tính tổng: a b c d  

Bài toán 5: a) Có hay không một số tự nhiên có 4 chữ số sao cho nó cộng với số gồm 4 chữ

số ấy viết theo thứ tự khác đợc tổng bằng 999

b) Tồn tại hay không một số tự nhiên có ba chữ số sao cho nó cộng với số gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự khác đợc tổng bằng 999 ?

Bài toán 6: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số của

số đó thì đợc số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu

Bài toán 7: Tìm kết quả của các phép nhân

a) 2005 2005

33 3.99 9

A 

b) 2005 2005

33 3.33 3

B 

Bài toán 8: Tổng của hai số có ba chữ số là 836 Chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5, của

số thứ hai là 3 Nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ đợc hai số có hai chữ số mà số này gấp hai lần số kia Tìm hai số đó

Bài toán 9: Chia một số tự nhiên gồm ba chữ số nh nhau cho một số tự nhiên gồm ba chữ số

nh nhau ta đợc thơng là 2, còn d Nếu xoá một chữ số ở số bị chia và xoá một chữ số ở số chia thì thơng của phép chia vẫn bằng 2 nhơng số d giảm hơn trớc là 100 Tìm số bị chia và

số chia lúc đầu

Bài toán 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A2005 1005 : (999  x) với x N

Bài toán 11: Ngời ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,… Hỏi chữ số thứ

659 là chữ số nào ?

Bài toán 12: Cho S  7 10 13 100  

a) Tính số số hạng của tổng trên

b) Tìm số hạng thứ 22 của tổng

c) Tính tổng S

Bài toán 13: Tìm số có ba chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng

chục với chữ số hàng đơn vị Chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì đợc thơng là

2 và d 2 Tích của số phải tìm với 7 là một số có chữ số tận cùng là 1

Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A=

 11 122 2

n    c.s1 n c.s2 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A đợc viết bằng 100 chữ số 3, số B đợc viết bằng 100

chữ số 6 Hãy tính tích A.B

chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng.

**********

Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các tích sau

a) 31 352 2 b) 16 1252 2 c) 200 722 2 d) 121 3162 2

Bài toán 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) a a3 9 b) ( )a5 7 b) ( ) a6 4a12 d) (2 ) (2 )3 5 3 3

Bài toán 3: Viết tích sau dới dạng một luỹ thừa

a) 4 210 30 b) 9 27 8125 4 3 c) 25 12550 5 d) 64 4 163 8 4

Bài toán 4: Viết mỗi thơng sau dới dạng một luỹ thừa

a) 3 : 38 6 ; 7 : 75 2 ; 19 :197 3 ; 2 :810 3; 12 : 67 7 ; 27 : 815 3

b) 10 :106 ; 5 : 258 2 ; 4 : 649 2 ; 2 : 3225 4 ; 18 : 93 3 ; 125 : 253 4

Bài toán 5: Tính giá trị của các biểu thức

a) 5 : 56 33 33 2 b) 4.52  2.32

Bài toán 6: Viết các tổng sau thành một bình phơng.

a) 1323 b) 132333 c) 13233343 d) 1323334353

Bài toán 7: Viết các số sau dơi dạng tổng các luỹ thừa của 10.

a) 213 b) 421 c) 1256 d) 2006 e) abc g) abcde

Bài toán 8 : Tìm x N biết

a) 3 3 243x

 b) x20 x c) 2 16x 2 1024

 d) 64.4x 168



Bài toán 9 : Viết các tích sau dới dạng một luỹ thừa

a) 5 5 5x x x b) x x1 .2 x2006 c) x x x .4 7 x100 d) x x x2 .5 8 x2003

Bài toán 10: Tìm x, y N biết

2x 80 3y

Bài toán 11: Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý

a) (217 17 ).(92 15 3 ).(215 4 4 )2 b) (71997 71995) : (71994.7)

c) (1223344 ).(15 323334 ).(33 8 81 )2 d) (288 ) : (2 2 )3 5 3

Bài toán 12: Viết kết quả phép tính sau dới dạng một luỹ thừa

a) 16 : 46 2 b) 27 : 98 4

c) 125 : 255 3 d) 4 514 28

e) 12 : 2n 2n

g) 64 16 : 44 5 20

Bài toán 13: Tìm x N biết

a) 2 4 128x

 b) x15 x c) (2x 1)3 125 d) (x 5)4 (x 5)6 e) x 10 1x g) 2x 15 17

h) (7x  11)3 2 55 2200 i) 3x 25 26.22 2.30

   k) 27.3x 243



l) 49.7x 2041

 m) 64.4x 45

 n) 3x 243

 p) 3 34 n 37



Bài toán 14: Tìm số d khi chia A, B cho 2 biết

a) A (4n6n8n10 ) (3n  n5n7n9 )n

b) B2003n2004n2005 ;n n N

Bài toán 15: Tìm n N biết: a) 9 3n 81

  b) 25 5n 125

chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)

**********

Bài toán 16: Tính giá trị của các biểu thức

a)

10 10

9 4

3 11 3 5

3 2

b)

10 10 8

2 13 2 65

2 104

c)

4

4 36 64

16 100

d)

3 2

4

72 54

108

D 

e)

6 4 5 12

4 3 9 6

E 

f)

13 5

10 2



g)

2

5

21 14.125

35 6

G 

h)

3 4 2 5

45 20 18 180

H 

i)

22 7 15

14 2

11.3 3 9 (2.3 )

Bài toán 17: Tìm n N * biết

a) 32 2n 128

  b) 2.16 2n 4

  c) 3 32 n 35



d) (2 : 4).22 n 4

 e)

1 3 3 3 9

n



g)

5 1

.2 4.2 9.2 2

h)

1 27 3 9



i) 64.4n 45

 k) 27.3n 243

 l) 49.7n 2401



Bài toán 18: Tìm x biết

a) (x 1)3 125 b) 2x2 2x96

c) (2x 1)3 343 d) 720 : 41 (2  x 5)  2 5 3

Bài toán 19: Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.

a) A  20 2122 2 2006 b) B   1 3 32 3 100

c) C  4 4243 4 n d) D   1 5 52 5 2000

Bài toán 20:

Cho A   1 2 2223 2 200 Hãy viết A+1 dới dạng một luỹ thừa

Bài toán 21:

Cho B  3 3233 3 2005 CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3

Bài toán 22:

Cho C  4 2223 2 2005 CMR: C là một luỹ thừa của 2

Bài toán 23: Chứng minh rằng:

a) 55 54 5 73 b) 7675 7 114 c) 10910810 2227

e) 106 5 597 g) 3n2 2n2 3n 2 10n n N*

h) 817 279 9 4513 i) 810 89 8 558 k) 109 10810 5557

Bài toán 24: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2 2 2 ; 2 2 223 ; 2 2 22324

b) Chứng minh rằng: A  2 2223 2 2004 chia hết cho 3; 7 và 15.

Bài toán 25: a) Viết tổng sau thành một tích 34353637

b) Chứng minh rằng: B   1 3 32 3 40 99

Bài toán 26: Chứng minh rằng:

a) S  1 5 5253 5 20046;31;156

b) S  2 2 2223 2 10031

c) s 3 1652 3315

d) S 4 53! 51! 29  

chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)

**********

* Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số.

I Tóm tắt lý thuyết.

1 Tìm chữ số tận cùng của một tích

+ Tích của các số lẻ là một số lẻ

+ Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn

+ x a0 y0 (với a N ) + x a5 y5 (với a N a ; lẻ)

2 Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa

+ x0n y0 (n N *); + x1n y1 (n N ); + x5n y5 (n N *); + x6n y6(n N *)

+

2 1

2 1

9 k 9

2

4 k 6

2

9 k 1

x y (k N *)

+

4

2 n 6

x y (n N *); + x84n y6 (n N *); + x34n y1 (n N *); + x74n y1 (n N *);

* Chú ý : Số chính phơng là số bằng bình phơng của một số tự nhiên.

- Một số chính phơng có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 không có tận cùng là 2; 3; 7; 8

II Bài tập áp dụng:

Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.

22003; 4 ;9 ;3 ;7 ;899 99 99 99 99; 789 53; 74 85; 8732; 5833; 2335

Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 2007.2009.2011 2017 2002.2004.2006.2008 

Bài toán 3: CMR: các số sau có có chữ số tận cùng nh nhau.

a) 11a và a (a N ) b) 7a và 2a (a là số chẵn)

Bài toán 4: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10

a) 481n 19991999

 b) 162001 82000 c) 192005112004

d) 8102 2102 e)1752441321 g) 122004 21000

Bài toán 5: Tìm chữ số tận cùng của các số: 22003 và 32003; 1952005; 234 57; 579 65

Bài toán 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng 5 5 2 53 5 96

Bài toán 7: Chứng minh rằng số

2006 94

2004 92 1

10

là một số tự nhiên

Bài toán 8: Cho S   30 31 32 3 30 Tìm chữ số tận cùng của S CMR: S không là số chính phơng

Bài toán 9: Có hay không số tự nhiên n sao cho n2  n 2 5

Bài toán 10:

* Chú ý: + x01n y01 (n N *) + x25n y25 (n N *) + x76n y76 (n N *)

+ Các số 3 ;81 ;7 ;51 ;9920 5 4 2 2 có tận cùng bằng 01

+ Các số: 2 ;6 ;18 ; 24 ;68 ;7420 5 4 2 4 2 có tận cùng bằng 76

+ Số 26 (n n 1) có tận cùng bằng 76.

áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau.

99

100 1991 51 99 666 101 101

2 ;7 ;51 ;99 ;6 ;14 16 ; 22003

Bài toán 11: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 71998 41998

Bài toán 12: Các tổng sau có là số chính phơng không ?

a) 1088 b) 100! 7 c) 1010010501

chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)

=====    =====

* Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số.

Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.

a) 20022005 ; 19921994 ; 332003.342003 ; 282006.811003 ; 1892.1892 1892 18924 7 100

b) 20032001; 1973 1973 1973 19731 2 3 100; 272003.92003 ; 81 343 92007 669 2007

c) 19972005; 92006.232006 ; 1997 1997 1997 19972 5 8 2003 ; 111 271999 1999

d) 1981997 ; 19982002 ; 362003.632003 ; 1998.1998 1998 19987 13 151

Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.

a) 19992001 ; 992004 ; 72005.272005 ; 99920062004 ; 999999999 ; 1999 1952006

b) 20042005 ; 19942004 ; 8 28205 205 ; 894895896; 2004 20112006 ; 194 751954

Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau

a)

2004 2001

2002 ; 199220002005 ; 72 818283;

b)

2005 2004

2003 ; 19320012004; 83 2162006

c)

2006 2000

1997 ; 27 101105110 ; 2007 200120022003

d)

2000 200

1998 ; 24201205.42201205 ; 198 200120032005

Bài toán 4:

Cho A  20 2122 2 2005

Tìm chữ số tận cùng của A Chứng tỏ rằng A không là số chính phơng

Bài toán 5:

Cho B  5 5253 5 96

a) Chứng minh rằng B96

b) Tìm chữ số tận cùng của B

Bài toán 6: Cho S  2 2223 2 100

a) Chứng minh rằng S3

b) Chứng minh rằng S15

c) Tìm chữ số tận cùng của S

Bài toán 7:

Tìm chữ số tận cùng của các số sau

a) 23! b) 37! 24! c) 2.4.6 1998 1.3.5 1997

Bài toán 8:

Các tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ?

a) 49! b) 7.8.9 81 c) 100!

Bài toán 9: Chứng minh rằng

a) 200220041002100010 b) 19992001201200510 c)

9  9 10 

Bài toán 10:

Chứng minh rằng: a) 0,3.(2003200319971997) là một số tự nhiên

b)

2006 1998

2004 1994 1

.(1997 1993 )

chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)

Các bài toán so sánh hai luỹ thừa

=====    =====

* Tóm tắt lý thuyết:

a) Nếu m n thì a m a n (a>1) b) Nếu a b thì a n b n (n>0)

c) Nếu a < b thì a.c < b.c (c > 0)

* Bài tập áp dụng:

Bài toán 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn

a) 1030 và 2100 b) 333444 và 444333

c) 1340 và 2161 d) 5300 và 3453

Bài toán 2: So sánh các số sau

a) 5217 và 11972 b) 2100 và 10249

c) 912 và 277 d) 12580 và 25118

e) 540 và 62010 f) 2711 và 818

Bài toán 3: So sánh các số sau

a) 536 và 1124 b) 6255 và 1257

c) 32n

và 23n

(n N *) d) 523 và 6.522

Bài toán 4: So sánh các số sau

a) 7.213 và 216 b) 2115 và 27 495 8

c) 19920 và 200315 d) 339 và 1121

Bài toán 5: So sánh các số sau

a) 7245 7244 và 7244 7243 b) 2500 và 5200 c) 3111 và 1714

d) 324680 và 237020 e) 21050 và 5450 g) 52n

và 2 ;(5n n N )

Bài toán 6: So sánh các số sau

a) 3500 và 7300 b) 85 và 3.47 c) 9920 và 999910

d) 202303 và 303202 e) 321 và 231 g) 111979 và 371320 h) 1010 và 48.505 i) 19901019909 và 199110

Bài toán 7: So sánh các số sau

a) 10750 và 7375 b) 291 và 535 c) 544 và 2112

Bài toán 8: Tìm x N biết

a) 16x 128

 b) 

18 / 0

5 5 5x x x 100 0 : 2

c s

 



Bài toán 9: Cho S   1 2 22 2 2005

Hãy so sánh S với 5.22004

Bài toán 10: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0.

Hãy so sánh m với 10.98

Bài toán 11: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1; 2; 3 với điều kiện mỗi chữ số

đợc dùng một lần và chỉ dùng một lần

chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên - áp dụng.

=====    =====

I Tóm tắt lý thuyết:

1 Nhắc lại về quan hệ chia hết:

Cho a b N b;  ; 0. Nếu có số tự nhiên k sao cho a b k ta nói a chia hết cho b

Kí hiệu: a b đọc là: a chia hết cho b hoặc b chia hết a; hoặc a là bội của b hoặc b là ớc của a.

2 Tính chất chia hết của một tổng:

+ Chú ý: 1) Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu a b : a m ; b m a - b m  

2) Tính chất 1 cũng đúng với một tổng nhiều số hạng:

1 ; 2 ; ; n 1 2 n

a m a m  a m  a a  a m

b) Tính chất 2: Nếu a không chia hết cho m; b chia hết cho m thì a+b không chia hết cho m

+ Chú ý: - Tính chất 2 đúng với một hiệu a>b

chia hết cho m, các số hạng còn lại đều chia hết cho m

3 Các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 3; 9.

a Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ

những số đó mới chia hết cho 2

b Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là 0 hặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số

đó mới chia hết cho 5

c Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những

số đó mới chia hết cho 9

d Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ

những số đó mới chia hết cho 3

e Các dấu hiệu chia hết cho 4; 8; 25; 125

II Bài tập áp dụng.

Bài toán 1: Chứng minh rằng: nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c

Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu a m  k a m  (k N )

Bài toán 3: Chứng minh rằng: a) ab ba  11 b) ab ba  9 với a>b

Bài toán 4: Chứng minh rằng:

a) S   1 2 22 2 39 là bội của 15 b) T 1257 259 là bội của 124

c) M  7 72  3 720008 d)

2 3 2n 1; ,

P a a  a  a a a n N

Bài toán 5: Cho a c và b c Chứng minh rằng: ma nb c ma nb c m n N  ;   ; , 

Bài toán 6: CMR: tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp

không chia hết cho 5

Bài toán 7: CMR: a) tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6,

b) tổng ba số lẻ liên tiếp không chia hết cho 6

Bài toán 8: Tìm n N để

a) n 6 n b) 4.n 5 n c) 38 3n n 

d) n5n1 e) 3n4n1 g) 2n1 16 3  n

Bài toán 9: Cho a b N;  và a b 7 Chứng minh rằng: 4a3 7b

Bài toán 10: CMR:a) n N thì  / 1

2 11 1 3

nc s

b) a b n N, ,  thì

 / 1

(10n 1) (11 1 ) 9

nc s

Bài toán 11: a) CMR:  n N thì 10n 2 3

88 8 9 9

nc s

n

  

chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên - áp dụng.

Các phơng pháp chứng minh chia hết

=====    =====

Ph

ơng pháp 1: để chứng minh A b (b 0) Ta biểu diễn A b k . trong đó k N

Bài toán 1: Cho n N Chứng minh rằng: (5 )n 100125

Bài toán 2: Cho A  2 22 2 2004 Chứng minh rằng:

a) A6 b) A7 c) A30

Bài toán 3: Cho S  3 32 3 1998 Chứng minh rằng :

a) S12 b) s39

Bài toán 4: Cho B  3 32 3 100

Chứng minh rằng: B120

Bài toán 5: Chứng minh rằng

a) 3636 9 4510 b) 810 89 8 558 c) 55 545 73

d) 767 7 115 4 e) 24 54 2 7254 24 10 63 g) 817  279 9 4513

h) 3n3 3n1 2n3 2n2 6 n N

     i) (2102112 ) : 712 là một số tự nhiên

Ph

ơng pháp 2 : Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng

Nếu a b m  và a m  b m

Bài toán 6: Tìm n N để:

a) 3n2n1 b) n22n7n2 c) n21n1

d) n8n3 e) n6n1 g) 4n 5 2 n1

h) 12 n8 n i) 20 n k) 28n 1

l) 113 n 7 m) 113 n13

Bài toán 7: Tìm n N để các phân số sau có giá trị là số tự nhiên

a)

2 3

n 

b)

7 1

n  c)

1 1

n n



 d)

2 8

n n



Ph

ơng pháp 3: Để chứng minh một biểu thức chứ chữ (Giả sử chứa n) chia hết cho b (b 0)Ta

có thể xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho b

Bài toán 8: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

c) Chứng minh rằng: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24

d) Chứng minh rằng: Tích của 5 số tự nhiên liên liếp chia hết cho 120

(Chú ý: Các bài toán trên đây đợc sử dụng trong chứng minh chia hết, không cần CM lại)

Bài toán 9: Chứng minh rằng: a) (5n 7)(4n 6) 2   n N

b) (8n1)(6n5) không chia hết cho 2 N

Bài toán 10: Chứng minh rằng: A n n (  1)(2n 1) 6   n N

Bài toán 11: a) Cho n N Chứng minh rằng: n 2 3 hoặc n2 chia 3 d 1

b) CMR: Không tồn tại n N để n  2 1 300 0

Bài toán 12: Chứng minh rằng: m n N,  ta luôn có m n m ( 2 n2) 3

Bài toán 13: Chứng minh rằng: (n20052006)(n20062005) 2 n N

Bài toán 14: CMR không tồn tại n N để

2

15 2004

1 20042004 2004

so

n        

chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên

Các phơng pháp chứng minh chia hết (Tiếp)

=====    =====



Ph ơng pháp 4: Để chứng minh A b Ta biểu diễn b dới dạng b m n . Khi đó

+ Nếu (m, n)=1 thì tìm cách chứng minh A m và A n  A m n hay A b

+ Nếu ( ; ) 1m n  ta biểu diễn A a a 1 2 rồi tìm cách chứng minh a m a n1  ; 2  thì tích

1 2

a a m n tức A b

Bài toán 1: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

c) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24

d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120

Bài toán 2 : Chứng minh rằng: nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a  2 1 6

Bài toán 3: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8

b) Chứng minh rằng: Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48

c) Chứng minh rằng: Tích của bốn số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 384

Bài toán 4: : Chứng minh rằng: B10n18n 1 27

Bài toán 5: Chứng minh rằng:

a) 10n 36n1 27  n N n; 2

b) số 27 / 1

11 1 27

c s





Ph ơng pháp 5: Dùng dấu hiệu chia hết

Bài toán 6: Chứng minh rằng: 1020006 8 72

Bài toán 7:

Chứng minh rằng: a) Số  / 5

55 5

nc s không chia hết cho 125 (n N *) b) 10n 2 93

  c) 3737 23 1023

Bài toán 8:

Chứng minh rằng: a) 1033 8 2;9 b) 1010 14 3; 2

c) 1050 5 3;5 d) 102526 2;9

Bài toán 9:

Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ số biết rằng một số chia hết cho 125, số kia chia hết cho 8

Bài toán 10: Chứng minh rằng  n N thì

a) 24n1 3 5

  b) 24n2 1 5

  c) 92n1 1 10

  d) 74n 1 5

  e) 34n1 2 5

 

Bài toán 11 : Chứng minh rằng (2101) 2510