Hái cuèn s¸ch ®ã cã bao nhiªu trang.[r]
Trang 1Phần 1
Số tự nhiên
Bài 1 - Tập hợp số
I- Tập hợp- số phần tử của tập hợp
* Lý thuyết
- Để xác định một tập hợp ta có thể liệt kê các phần tử hoặc nêu tính chất đặc trng của tập hợp đó
VD: A = {1; 2; 3}; B = {x N/ 2< x < 7}
- a là một phần tử của tập hợp A ta ký hiệu a A; b không là phần tử của tập hợp B ta ký hiệu b B
- Một tập hợp có thể có 1 hoặc nhiều phần tử, có tập hhợp khồn có phần tử nào(Tập rỗng – KH ), có tập hợp có vô số phần tử
- Hai tập hợp bằng nhau A và B kí hiệu A = B nếu mõi phần tử thuộc tập hợp A
đều thuộc tâp hợp B và ngợc lại
- Tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B( KH A B nếu mõi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B Từ đó ta có:
Nếu A = B thì A B và B A
A A với mọi A
A với mọi A
* Các bài tập:
Bài 1: Viết các tập hợp sau và chỉ rõ mỗi tập hợp đó có bao nhiêu phần tử.
a) Tập hợp A các số thự nhiên x mà 8 : x = 2
b) Tập hợp B các số thự nhiên x mà x + 3 < 5
c) Tập hợp Ccác số thự nhiên x mà x – 2 = x + 2
d) Tập hợp D các số thự nhiên x mà x : 2 = x : 4
e) Tập hợp E các số thự nhiên x mà x + 0 = x
Bài 2: Cho các tập hợp:
A = {x N, x là số tự nhiên nhỏ hơn 10}
B = {x N, x là số chẵn khác 0 và có một chữ số}
a) Hãy xác định các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử của nó
b) Viết tập hợp C các phần tử thuộc A mà không thuộc B, Tập hợp D các phần tử thuộc B
mà không thuộc A
c) Viết các tập hợp con của B Các tập hợp này có làt tập con của tập hợp A hay không? vì sao?
Bài 3: Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng của các phần tử
thuộc tập hợp đó
a) A = {1; 3; 5; 7 ;…;49} b) B = { 11; 22; 33; …; 99}
c) C = {tháng 1; tháng 3; tháng 5; tháng 7; tháng 8; tháng 10; tháng 12}
Bài 4: Mời học sinh của một trờng dự thi học sinh giỏi môn toán và đạt điểm số nh
sau(điểm tối đa của bài thi là 20 điểm): Anh: 15, Bảo: 15 Cờng 10, Duy 11, Hạnh: 19, Minh: 12, Nga 17, Phơng: 10, Quang: 18, Tùng :18
Trang 2Các học sinh đạt 19, 20 điểm đợc giảI nhất
17, 18 điểm đạt giảI nhì
15, 16 điểm đạt giảI 3
13, 14 điiểm đạt giảI khuyến khích
Viết tập hợp A các học sinh đạt giảI nhất
Tập hợp B các học sinh đạt giảI nhì
Tập hợp C các học sinh đạt giảI ba
Tập hợp D các học sinh đạt giảI khuyến khích
Bài 5: Tính số điểm 10 về môn toán của học sinh lớp 6A trong học kỳ I biết có 40 em
đạt ít nhất một điểm 10, 27 em đạt ít nhất hai điểm 10, 19 em đạt ít nhất ba điểm 10, 14
em đạt ít nhất bốn điểm 10 và không có em nào đạt 5 điểm 10 cả Hỏi cả lớp đạt bao nhiêu điểm 10
Bài 6: A có là tập hợp con của B hay không?
a) A = {1; 3; 5} B = { 1; 3; 7}; b) A = {x; y} B = {x; y; z} c) A là tập hợp các số tự nhiên có số tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn II- Tập hợp số tự nhiên- các ghi số tự nhiên
* Lý thuyết
- Tập hợp số tự nhiên đợc ký hiệu là N = {0; 1; 2; 3; 4;…}
- Mỗi số tự nhiên đợc biểu diễn bởi một điểm trên tia số; số nhỏ đứng bên tráI số lớn, số
0 là số tự nhiên bé nhất, không có số tự nhiên lớn nhất
- Mỗi số tự nhiên có 1 số liến sau duy nhất
- Tập hợp các số tự nhiên khác 0 kí hiệu N* = {1; 2; 3; 4;…}
- Để ghi sô trong hệ thập phân ngời ta dùng 10 chữ số là:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 giá trị của số đó phụ thuộc vào vị trí của nó trong số đợc ghi, còn trong số la mã thì giá trị của
nó không thay đổi cho dùnó đứng ở vị trí nào
- Trong cách ghi số ở hệ thập phân cứ 10 đơn vị của một hàng thì làm một đơn vị hàng tiếp theo: ab=10 a+b ; abc=100 a+10 b+c ;abcd=1000 a+100b +10 c+d
- Có thể ghi số tự nhiên bằng các chữ số La Mã gồm bảy ký hiệu:
- Giá trị của số La mã là tổng giá trị các chữ số của nó viết từ lớn đến nhỏ, trừ sáu trờng hợp đặc biệt:
* Các ví
dụ và bài tập
Bài 1: Viết tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số sao cho trong mỗi số
a) Có ít nhất một chữ số 5
b) Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị
Trang 3c) Chữ số hàng chục bé hơn chữ số hàng đơn vị
Bài 2: Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp số: Lố số chẵn và lớp số lẻ hỏi
lớp nào có tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
Bài 3: tính tổng của số tự nhiên lớn nhất có năm chữ số khác nhau và số tự nhiên nhỏ
nhất có 5 chữ số khác nhau
Bài 4: Tìm các số tự nhiên a và b biết; 12 < a < b < 16
Bài 5: Cho 25 < a < b < 29, a < c < b tìm c.
Bài 6: Viết các sốtự nhiên có bốn chữ số trong dó có hai chữ số 3 một chữ số 2 và mộtc
hữ số 1
Bài 7: Cho số tự nhiên a bằng cách viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 15 Hãy xoá
đI 15 chữ số của a để đợc số: a) Nhỏ nhất; b) Lớn nhất
Bài 8: Viết các số La Mã nh sau có đúng không? Nừu sai sửa lại cho đúng:
19 = IXX; 49 = IL ; 95 = VC ; 99 = IC
Bài 9: Viết các số sau bằng chữ số La Mã: 54, 68, 93, 97, 345, 1998
****************************************
Bài 2 - đếm số- đếm chữ số
I – Lý thuyết
- để giảI các bài tập về đếm số, đếm chữ số, trớc hết cần phân biệt số và chữ số Chẳng hạn số 2010 là một số có bốn chữ số 2, 0, 1, 0
- Từ 1 đến 9 có 9 số mỗi số có 1 chữ số Phải viết 9.1 = 9 chữ số
- từ 10 đến 99 có 90 số có hai chữ số, phải viết 2.90 = 180 chữ số
- Từ 100 – 999 có 900 số có 3 chữ số, phảI viết 900.3 = 2700 chữ số
- đối với dãy số mà số sau lớn hơn số trớc cùng một số đơn vị ta có dãy số cộng, ta có công thức đếm số:
Số số hạng = số cuối −số d ầu
khoảng cách +1
Ví dụ: dãy 3; 5; 7; 9; ; 99 có (99- 3): 2 + 1 = 49 số
- Ta cũng có thể đếm số bằng quy tắc nhân:
Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên abc trong đó a {1; 3; 5; 7; 9}; b ={1;4;8}; C = {0; 2}
Giải: chữ số a có 5 cách chọn
Với mỗi chữ số a chữ số b có 3 cách chọn
Với mỗi số ab chữ số c có 2 cách chọn vậy có tất cả: 5 3 2 = 30 số
II- Bài tập
Bài 1: Để đánh số trang của một cuốn sách cần dùng tất cả 1995 chữ số Hỏi cuốn sách
đó có bao nhiêu trang Chữ số thứ 1000, ở trang nào và là chữ số nào?
Trang 4Bài 2: Cho dãy số 10, 13, 16, 19, …, 100 Hỏi dãy đó có bao nhiêu số?
Bài 3: Cho 4 số 0, 1, 2, 3.
a) Viết tập hợp A các số tự nhiên có bôna chữ số tạo bởi cả 4 chữ số đó
b) Không liệt kê các phần tử của tập hợp A, hãy lập luận để tìm số phần tử của tập hợp A nói trên
Bài 4: Bạn Mai viết dãy số tự nhiên lẻ 1; 3; 5; 7; … để đánh số trang một cuốn sách tính xem chữ số thứ 200 mà bạn mai viết là chữ số nào:
HD:Từ 1 đến 9 có (9- 1):2 +1 = 5 số lẻ gồm 1 5 = 5 chữ số
Từ 11 đến 99 có (99 -11):2 + 1 = 45 số lẻ gồm 2 45 = 90 chữ số
Từ 101 đến 999 có (999 – 101):2 + 1 = 450 số lẻ Gồm 3 450 = 1350 chữ số Vậy chữ số thứ 200 rơi vào số lẻ có 3 chữ số vì: 5 + 90< 200< 5 + 90 + 1350
Ta thấy 200 – (5 + 90) = 105; 105 : 3 = 35 do đó chữ số hàng đơn vị của số lẻ thứ 35 kể
từ số 101 số lẻ đó là: 101 + (35 – 1).2 = 169 Vậy chữ số 9 của số 169
Bài 5: Muốn viết tất cả các số tự nhiên từ 100 đến 999 phải dùng bao nhiêu chữ số 5
HD: Đếm chữ số 5 ở từng hàng đơn vị, chục, trăm có 280 chữ số 5
Bài 6: Trong các số tự nhiên có ba chữ số có bao nhiêu số không chứa chữ số 9.
HD: Gọi số đó là abc : Chữ số a có 8 cách chọn từ 1 đến 8
Chữ số b có 9 cách chọn từ 0 đến 8
Chữ số c có 9 cách chọn từ 0 đến 8
Có 8.9.9 = 648 số
Bài 7: Tính số phần tử của tập hợp sau:
a) A = {x N/ x ⋮2 ; 10 < x ≤ 50} b) B = {x N/ x ⋮5 ; x< 100}
Bài 8: Cho bốn chữ số 3, 7, 0, 2 dùng các chữ số trên có thể lập đợc bao nhiêu số tự
nhiên:
a) có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số ấy
b) có ba chữ số các chữ số khác nhau
c) có hai chữ số các chữ số khác nhau
d) có hai chữ số các chữ số có thể lặp lại
Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số mà ba chữ số đầu khác nhau hai chữ số
cuối giống nhau
Bài 10: Để đánh số trang một cuốn sách có 110 trang cần phải dùng bao nhiêu chữ số Bài 11: Một cô nhân viên đánh một dãy các số chẵn liên tục bắt đầu từ số 2 cô phải
đấnh tất cả 2000 chữ số Tìm chữ sô cuối cùng mà cô đã đánh
Bài 12: Bạn Mai viết dãy số tự nhiên lẻ 1; 3; 5; …, 245
a) Phải viết tất cả bao nhiêu chữ số
b) Nếu mỗi chữ số mất một giây thì bạn đó phải viết bao nhiêu giây để viết đến sô
245 Sau 5 phút bạn Mai viết đến chữ số nào?
Bài 13; để đánh số trang một cuốn sách ngời ta viết dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1 và phải
dùng tất cả 1998 chữ số
a) Hỏi có bao nhiêu trang trong cuốn sách đó
b) Chữ số thứ 1001 là chữ số nào?
Trang 5Bài 14: Tính tổng của:
a) Tất cả các số tự nhiên có ba chữ số
b) Tất cả các số tự nhiên chẵn có ba chữ số
Bài 15: Viết các số tự nhiên có 4 chữ số gồm cả bốn chữ số 1, 2, 3, 4
a) Có tất cả bao nhiêu số
b) Tìm tổng các số ấy
Bài 15: Viết dãy số tự nhiên từ 1 đến 999.
a) Chữ số 1 đợc viết bao nhiêu lần?
b) Chữ số 0 đợc viết bao nhiêu lần?
Bài 16: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà:
a) Các chữ số đều chẵn
b) Chữ số hàng chục là chữ số lẻ
Bài 17: Trong các số tự nhiên có ba chữ số có bao nhiêu số
a) Chứa đúng một chữ số 4
b) Chứa đúng hai chữ số 4
Bài 18: Trong các số tự nhiên có bốn chữ số có bao nhiêu số có đúng ba chữ số nh
nhau?
Bài 19: Trong các số tự nhiên có ba chữ số có bao nhiêu số chứa ít nhất một chữ số 4 Bài 20: Trong các số tự nhiên có ba chữ số có bao nhiêu số
a) Các chữ số đều khác nhau
b) Có ít nhất hai chữ số nh nhau
****************************************
Bài 3: Cộng trừ trong số tự nhiên
Trang 6I – Lý thuyết
- Với hai số tự nhiên a và b bất kỳ ta luôn có phép cộng a + b = c ( c là duy nhất)
A và b gọi là các số hạng, c gọi là tổng Khi đó b = c – a, a = c – b
- Tính chất của phép cộng: Giao hoán: a + b = b+ a
Kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c) Cộng với 0: a + 0 = 0 + a = a
- Tính cất cơ bản của phép trừ:
Một tổng trừ đi một số: (a + b) - c = a + (b – c) = (a – c) + b
Một số trừ đi một tổng: a – ( b +c)= (a – b) – c = (a – c) – b
Phép trừ là phép tính ngợc của phép cộng
II – Bài tập
Bài 1:a) Thay các chữ bởi các số thích hợp:
a b c
+ a c b
b c a
b) Tính nhanh: (1578 + 258) – 378; 853 – (89 + 753); 1637 – (137 – 98)
c) Tìm x biết: a) 135 – ( x + 37) = 80; c) (x – 17) + 52 = 158
Bài 2: Cho ba chữ số 1, 2, 3 gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên tính
tổng các phần tử của tập hợp A
HD: C1: 123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 = 1332
C2: mỗi số 1, 2, 3 đều xuất hiện 2 lần ở hàng trăm, chục, đơn vị
Do đó tổng các chữ số của mỗi hàng là ( 1 + 2 +3).2 = 12
Tổng các số đó là: 12(100 + 10 + 1) = 12.111 = 1332
Bài 3: Tính nhanh: a) 29 + 132 + 237 + 868 + 763; b) 652 + 327 + 148 + 15 + 73
Bài 4: Tìm các số tự nhiên sao cho:
a) a + b = a; b) a + b > a c) a + b < a
Bài 5: Thay các chữ bởi các số thích hợp:
a) ab+bc+ca=abc b) abc+ab+a=874
c) 1 ab+36=ab 1 d) abc − cb=ac
Bài 6: Cho bốn chữ số a, b, c, d khác nhau và khác 0 Lập số lớn nhất và nhỏ nhất có
bốn chữ số gồm cả 4 chữ số ấy Tổng hai số này bằng 11330 Tìm tổng các chữ số a + b + c + d
Bài 7: Điền các chữ số vào dấu * để tổng ba chữ số liền nhau bằng 20: 7 * * * * * * 9 Bài 8: a) Tính tổng các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 999
b) Viết liên tiếp các số từ 1 đến 999 thành một dãy ta đợc số 123…999 tính tổng các chữ số của số đó HD: số 999 có tổng các chữ số là 27
Bài 9: Tổng của hai chữ số bằng 78293 Số lớn hơn trong hai số đó có chữ số hàng đơn
vị là 5, chữ số hàng chục là 1, chữ số hàng trăm là 2, nếu gạch bỏ các chữ số đó thì đợc
số bằng số nhỏ hơn Tìm hai ố hạng của tổng: HD 78 và 78215
Ta thấy b + c có nhớ: => b + c + 1= 10 + c => b = 9
=> a = 4 => c = 5
Trang 7Bài 10: Một số có 7 chỡ số, cộng với số đợc viết bởi các chỡ số ấy nhng theo thứ tự
ng-ợc lại thì cho ta tổng cũng là 1 số có 7 chữ số Chứng minh rằng tổng tìm đng-ợc sẻ có ít nhất một chữ số chẵn.HD: Dùng phản chứng
Bài 11: Tính giá trị các biểu thức:
A = 100 + 98 + 96 + …+ 2 – 97 – 95 - … - 1
B = 1 +2 – 3 - 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + …-299 – 300 + 301 + 302
Bài 12: Tính A = 1 + 7 + 8 + 15 + 23 + … + 160
B = 1 + 4 + 5+ 9 + 14 +… + 60 + 97
C = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …+ 1204 HD: A , B liệt kê hết các phần tử
C: Ta thấy 1 + 2 = 4 – 1
1 + 2 + 4 = 8 – 1
1 + 2 + 4 + 8 = 16 – 1
Suy ra C = 1204 – 1 + 1204 = 2407
C2: ta có C = 1 + 2.(1 + 2 + 4 + 8 + … + 602 + 1204 – 1204)
= 1 + 2.C – 2408
Suy ra C = 2C – 2407 suy ra C = 2407
****************************************
Bài 4: nhân chia trong số tự nhiên
I – Lý thuyết
Với a, b, c N
* Phép nhân a.b = c, c là tích, a là số bị nhân, b là số nhân, a và b là hai thừa số
Phép nhân có tính chất cơ bản sau:
- Tính chất giôa hoán: a.b = b.a
- Tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c)
- Nhân với 1: a.1 = 1.a = a
- Tính chất phân phối gia phép nhân đối với phép cộng
- (a + b).c = a.c + b.c
* phép chia a:b = x(b ≠ 0), x là thơng, a là số bị chia, b là ssó chia
Phép chia có tính chất cơ bản sau:
- Một tích chia cho một số: (a.b):c = a.(b : c) = (a:c).b
Trang 8- Một số chia cho một tích: a : (b.c) =(a:b):c =(a :c ) : b
- tính chất phân phối giữ phép chia đối với phép cộng: (a + b):c = a : c + b : c Phép chia có d: a = bq + r; r < b
- Nếu r ≠ 0 thì a không chia hết cho b( KH a b), khi đó a chia cho b bằng q d r
- Nếu r = 0 thì a chia hết cho b
* Luỹ thừa với số mũ tự nhiên:
- a.a.a…a( n số a) = an
- a0 = 1; a1 = a; am.an = am + n; am;an = a m – n ( m > n, a ≠ 0); (am)n = am.n; (ab)n = an bn
* Tích n số tự nhiên liên tiếp kể từ 1 ta đợc n! ( đọc n giai thừa)
n! = 1.2…n
II – Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
a) (1 + 3+ 5 + …+ 2010).(135135.137 – 135.137137)
b) 19.64 + 76.34
c) 136.68 + 16.272
d) 35.12 + 65.13
e) ( 2 + 4 + 6 + … + 100).(36.333 – 108.111)
f) 20092009.2010 – 20102010.2009
Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu viết chính số đó vào giữa hai chữ số
đó thì đợc số mới tăng gấp 99 lần
Bài 3: Tìm kết quả của phép nhân: 333 3 999 9
50 chữ số 3 50 chữ số 9
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của
a) tích các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 99
b) tích các số tự nhiên từ 1 đến 19
Bài 5: Tích của hai số là 6210 nếu giảm số nhân đi 7 đơn vị thì tích mới là 6265 tìm
hai số
Bài 6: Tổng hai số tự nhiên gấp ba hiệu giữa chúng Tìm thuong hai ssó ấy.
Bài 7: Viết số 111222 thành tích hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài 8: Tìm thơng của:
a) 101+100+99+98+ +3+2+1
101− 100+99 −98+ +3− 2+1 b)
3737 43−4343 371
2+4+6 +8+ +100 c)
37 13 −13
24+37 12 d) 18 123+9 4567 2+3 5310 6
1+4+7+10+ +49 52+55+58 −490 e)
5 4 15 9 9− 4 320 8 9
5 29 619−7 229 276 f) 2181 729+243 81 27
32 92 243+18 54 162 9+723 729 g)
723 542
1084
Bài 9: Tìm hai chữ số tự nhiên có thơng bằng 35 biết rằng nếu số bị chia tăng thêm
1056 đơn vị thì thơng bằng 57
Bài 10: Tìm số bị chia số chia và thơng của một phép chia biết rằng nếu lấy số bị chia
chia cho ba lần số chí thì đợc 8, nếu lấy số bị chia chia cho hai lần thơng cũng đợc 8
Trang 9Bài 11: Thay các chữ bới các số thích hợp: 206 abc :501=abc
HD: (206000 + abc):501= abc; (206000 + abc):abc = 501, 206000:abc + 1 = 501
206000: abc = 500; abc = 206000: 500 = 412; a = 4, b = 1, c= 2
Bài 12: a)Một học sinh phải chia một số a cho 2 rồi cộng với 15 nhng bạn ấy lại chia
nhân cho 2 và trừ đi 15 tuy vậy đáp án vẫn đúng Tìm số a
b) Một học sinh lẽ ra phải chia số b cho 2 và cộng thơng tìm đợc với 3 nhng em đã nhân cho 2 và trừ đi 3 nhng kết quả vẫn đúng Tìm số a
Bài 13: Một số chẵn có 4 chữ số, trong đó số tạo bởi chữ số hàng trăm và hàng hàng
chục gấp ba lần chữ số hàng nghìn và gấp hai lần chữ số hàng đơn vị Tìm số đó
Bài 14: Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó không nhỏ hơn 7; Tổng
các bình phơng của các chữ số đó không nhỏ hơn 30; hai lần số đợc viết bởi các chữ số
đó nhng theo thứ tự ngợc lại không lớn hơn số đã cho
Bài 15: Viết dạng tổng quát của số:
a) chia cho 3 thì d 2
b) chia cho 4 thì d 1
c) chia hết cho 6
Bài 16: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng khi chia số này cho 29 thì d 5 và khi chia
cho 31 thì d 28 số a
Bài 17: Tìm số bị chia và số chia nhỏ nhất để thơng của phép chia là 12 và số d là 32 Bài 18: Chia số tự nhiên a cho 72 thì đợc số d là 69 chia số a cho 18 thì thờn bằng số d.
Tìm số a
Bài 19: So sánh 3111 và 1714
Bài 20: Chứng minh A là luỹ thừa của 2 Với A = 4 + 22 + 23 + + 220
Bài 21: Tính: 223;531
7
;341
2
Bài 22: Viết các số sau thành một luỹ thừa: 64; 125; 625; (32)3
*****************************************************
Trang 10Bµi 5: Mét sè d¹ng bµi tËp trong N
D¹ng 1: T×m ch÷ sè tËn cïng