ĐỀ VÀ ĐÁP HSG TOÁN 7 HUYỆN QUAN SƠN NĂM HỌC 2013-2014

[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUAN SƠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014

Môn thi: Toán; Lớp: 7

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 10/5/2014

(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

Bài 1 (4 điểm)

a/ Tính giá trị biểu thức :

b/ So sánh S 3 2  2 2324  2 100 và P 2 101

Bài 2 (4 điểm):

a/ Tìm x biết 3x 2x 1 2 

b/ Tìm x, y, z biết 2x 3y;5x 7z  và 3x-7y+5z=30

Bài 3 (4 điểm)

a/ Tìm đa thức bậc hai f(x) biết rằng : f(0)=10; f(1)=20 và f(3)=58

b/ Chứng minh rằng nếu m2 mn n 9 2 với m,n là các số tự nhiên thì m, n chia hết cho 3

Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm D trên cạnh BC, trên tia đối của

tia CB lấy điểm E sao cho CE=BD Các đường thẳng vuông góc với BC tại D và E lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M, N Gọi I là giao điểm của MN với BC

a/ Chứng minh rằng I là trung điểm của MN

b/ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5 (2 điểm): Tìm các số tự nhiên x, y, z 0 thoả mãn điều kiện: x+y+z=xyz

HẾT

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Số báo danh

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN : TOÁN 7

Bài 1

4,0 đ

a

2,0đ

Ta có :  

    với k N *

Cho k chạy từ 2 đến 2012 và k là số chẵn ta được

Vậy

503 A

2014



0,5

0,75 0,5 0,25 b

2,0đ

Ta có:

S 3 2  2 2  2   1 2 2 2 2  2

 2S 2 2  2 2324  2 100 2101  2S S 2  101 1

 S 2 101 1 2 101  S P

Vậy S < P

0,25 0,75 0,25

0,5 0,25 Bài 2 a

2,0đ

+ Với

1

2



Ta có 3x 2x 1 2   3x 2x 1  2

x 3

  (thoả mãn đk)

+ Với

1

2



Ta có 3x 2x 1 2   3x2x 1  2

0,25

0,5 0,25 0,25

0,25 025

5

(không thoả mãn ĐK) Vậy x=3

0,25

b

2,0đ

Ta có

2x 3y

(1)

5x 7z

(2) Từ (1) và (2)

21 14 15

x

y

14  4  2 ;

z

Vậy

0,25 0,25

0,25 0,5 0,75

Bài 3 a

2,0đ

Gọi đa thức bậc hai là f x  ax2 bx c với a 0

Ta có : f 0  10 c 10

f 1  20 a b c 20    a b 10  (1)

 

 

Từ (1) và (2)  2a 6  a 3

 b 10 3 7  

Vậy đa thức cần tìm là f x  3x2 7x 10

0,5 0,25 0,25

0,25 0,5

0,25 b

2,0đ

Ta có : m2 mn n 2 m n 2 3mn (1) Vì m2 mn n 9 2

m n2 9

Kết hợp với (1)  3mn 9  mn 3 (3) Vì 3 là số nguyên tố nên từ (2) và (3) suy ra m và n đều chia

0,5

0,5 0,5 0,5

hết cho 3

Suy ra đpcm

Bài 4

6,0

điểm

a

3,0

Chứng minh DBMECN

 DM = EN Chứng minh DMIENI

 IM = IN Hay I là trung điểm của MN

1,0 0,25 1,25 0,5

b

3,0

Gọi O là giao điểm của đường trung trực của BC với đường thẳng vuông góc với MN tại I

Vì AB = AC  AO là đường trung trực của BC  OB=OC Vì I là trung điểm của MN  OI là đường trung trực của MN

 OM = ON Vì DBMECN  BM = CN Xét OBM và OCN có

OB = OC, OM = ON, BM = CN

0,25

0,25 0,25 0,5

E D

O

I

N

M

C B

A

 OBM= OCN(C.C.C)

 OBM OCN  (1) Vì AO là đường trung trực của BC  OBA OCA  (2) Từ (1) và (2) OCN OCA 

Vì vậy O là giao điểm của đường trung trực của cạnh BC với đường thẳng vuông góc với AC tại C nên điểm O cố định Suy ra điều phải chứng minh

0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 5

2,0đ

Không mất tính tổng quát của bài toán giả sử x y z  Vì x, y, z là các số tự nhiên khác 0  1 x y z  

Ta có x y z xyz    *

1

1

2

Thay vào (*) ta được 1+y+z = yz

y 1 z 1   2

x, y,z 1;2;3

Vì vai trò của x, y, z như nhau nên các bộ số (x,y,z) thoả mãn bài toán là : 1;2;3 ; 1;3;2 ; 2;1;3 ; 2;3;1 ; 3;1;2 ; 3;2;1          

0,5 0,25 0,25

0,5 0,5 0,5 0,25

0,25

Chú ý: Học sinh làm cách khác vẫn cho điểm tối đa.