Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'.. ĐỀ CHÍNH THỨC.[r]
Trang 1UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức P = 3 x +√9 x − 3
x+√x − 2 −
√x −2
√x −1
a Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b Tìm x để P < 0
Bài 2: (4,0 điểm)
a Giải phương trình: x2 7x6 x 5 30
b Cho hai số dương a và b Chứng minh rằng
1 1
a b
a b
Bài 3: (4,0 điểm)
a Tìm số tự nhiên n sao cho A= n❑2+n+6 là số chính phương
b Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2
+y2
=z2 Chứng minh A = xy chia hết cho 12
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'
a Chứng minh ΔAC'CΔAB'BAC'C ΔAC'CΔAB'BAB'B
b Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho AMCANB 900 Chứng minh rằng
AM = AN
c Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'
Chứng minh rằng
S
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho x, y là các số dương thỏa mãn
34 35
x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hết
Họ tên thí sinh: Chữ kí của giám thị:1:
Số báo danh: Chữ kí của giám thị 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2016-2017 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN LỚP 9
( Đáp án này gồm có 05 trang)
1(4đ)
Cho biểu thức P = 3 x +√9 x − 3
x+√x − 2 −
√x −2
√x −1
a Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b.Tìm x để P<0
Câu a:(2 điểm)
- Tìm được ĐKXĐ: x0,x1
- Ta có
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu b:( 2 điểm)
- Ta có: P < 0
1 0 1
1 1
x x
x x
- Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 0 x 1 thì P < 0
0,5
1,0 0,5
Câu a:(2đ)
Giải phương trình: x2 7x6 x 5 30
Trang 3- ĐKXĐ x 5
- Ta có
2
2
2 2
nên
2 2
4 0
5 3 0 4
x
x
x
x x
( thỏa mãn ĐKXĐ)
- Nghiệm của phương trình đã cho là x=4
0,25
1,0
0,5
0,25
Câu b: (2đ)
Cho hai số dương a và b Chứng minh rằng
a b. 1 1 4
a b
- Ta có
a b. 1 1 2 a b
- Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương
- Do đó
1 1
a b
a b
0,75
0,75
0,5
3(4đ) Câu a:(2đ)
Tìm số tự nhiên n sao cho A= n❑2+n+6 là số chính phương
- Để A là số chính phương thì A= n❑2+n+6 =a2 ( a N )
- Ta có: n
❑2 +n+6 =a2
- Vì a,n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và
2a +2n +1 > 2a – 2n -1 Do đó
6 5
a n a
n
0,25 0,5 0,5 0,25
Trang 4- Vậy n = 5 0,5
Câu b:(2đ)
Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2+y2=z2
Chứng minh A = xy chia hết cho 12
- Xét phép chia của xy cho3
Nếu xy không chia hết cho 3 thì
2
2
1(mod 3)
1(mod 3) 1(mod 3) 1(mod 3)
2(mod 3)
x
y
x
y
( Vô lí)
Vậy xy chia hết cho 3 (1)
- Xét phép chia của xy cho 4
Nếu xy không chia hết cho 4 thì
TH1:
2 2
1(mod 4) 1(mod 4) 1(mod 4) 1(mod 4)
2(mod 4)
x y x y
(vô lí )
TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1
hoặc -1 Không mất tính tổng quát giả sử
2
2
1(mod 4)
2(mod 4)
1(mod8) 4(mod8)
5(mod8)
x
y
x
y
( vô lí)
- Vậy xy chia hết cho 4 (2)
- Từ (1) và (2) : Vậy xy chia hết cho 12
1,0
0,5
0,5
4
Trang 5B C
A
A'
B'
C
N M
Câu a( 2 điểm): Chứng minh ΔAC'CΔAB'BAC'C ΔAC'CΔAB'BAB'B
- Xét ΔAC'CΔAB'BAC'C;ΔAC'CΔAB'BAB'Bcó
Góc A chung
B' C ' 90 0
Suy ra: ΔAC'CΔAB'BAC'C ΔAC'CΔAB'BAB'B
2 điểm
Câu b( 2 điểm):Chứng minh AM = AN.
- Xét AMC vuông tại M đường cao MB'
- Xét ANB vuông tại N đường cao NC'
- Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB
- Do đó: AM = AN
0,5
0,5 0,5 0,5
Câu c: ( 2đ) Chứng minh
S
- Chỉ ra được
2 2
cos
AB C ABC
A
- Tương tự
2
BA C ABC
S
B
2
CA B ABC
S
C
- Do đó:
' ' '
' 1
AB C BA C CA B
ABC ABC A B C
ABC
S
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 6Bài 5( 2điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn
34 35
x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
- Ta có:
- Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được
- Vì
34 35
x y
nên
- Dấu "=" xảy ra khi
2
4
7 34
35
x x
x y
y
y
x y
- A đạt giá trị nhỏ nhất là
17 6
35 khi
2 5 4 7
x y
0,5
0,5 0,25
0,5
0,25
Chú ý: Học sinh làm cách khác vẫn cho điểm tối đa