Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

LÝ THUYẾT Định lí 1: Nếu hàm số luôn đb hoặc luôn ngb và liên tục trên D thì số nghiệm của pt trên D : không nhiều hơn một và khi và chỉ khi với mọi.. Ta thực hiện các phép biến đổi tươ

Trang 1

Giải PT-BPT-HPT bằng phương pháp hàm số

A. LÝ THUYẾT

Định lí 1: Nếu hàm số luôn đb (hoặc luôn ngb) và liên tục trên D thì số nghiệm của

pt trên D : không nhiều hơn một và khi và chỉ khi với mọi

Chứng minh:

Giả sử phương trình có nghiệm , tức là Do f đồng biến nên

Vậy pt có nhiều nhất là một nghiệm

Chú ý:

* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:

Bài toán yêu cầu giải pt: Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa

chứng minh được là hàm luôn đồng biến (nghịch biến)

Nếu là pt: thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất

Nếu là pt: ta có ngay giải phương trình này ta tìm được nghiệm

* Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm

Định lí 2: Nếu hàm số luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số luôn ngb (hoặc luôn đb)và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của pt: không nhiều hơn một

Chứng minh:

Giả sử là một nghiệm của pt: , tức là Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến

Vậy pt có nhiều nhất một nghiệm

Chú ý: Khi gặp pt và ta có thể biến đổi về dạng , trong đó f và g khác tính đơn điệu Khi đó ta tìm một nghiệm của pt và chứng minh đó là nghiệm duy nhất

Định lí 3: Cho hàm số có đạo hàm đến cấp n và pt có m nghiệm, khi

đó pt có nhiều nhất là m+1 nghiệm

Định lí 4: Nếu hàm số luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến)và liên tục trên D thì

B CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

Trang 2

Giải:

1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến và là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được là nghiệm duy nhất Vậy ta có cách giải như sau

ĐK:

nên hàm số f(x) luôn đồng biến

Mặt khác, ta thấy f(1)=4

Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Chú ý:

* vì các hàm số với là một hàm đồng biến và nếu f(x) là hàm đồng biến thì hàm ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận

ra VT của pt là hàm đồng biến

* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương

2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của pt là một hàm đồng biến và pt có nghiệm Do đó pt này có nghiệm duy nhất ( Các giải tương tự như bài 1)

3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được bài toán này Tuy nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là

phương trình đã cho trở thành:

tục và có :

nên f(t) luôn đồng biến Do đó:

Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2

4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:

, do vậy nếu đặt

, khi đó phương trình trở thành:

Trang 3

, trong đó với t>0 Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Giải:

1) Ta thấy pt có hai nghiệm và Ta chứng minh phương trình đã cho có không quá hai nghiệm Để có điều này ta cần chứng minh hàm số

có có nhiều nhất một nghiệm dẫn đến g(x) có nhiều nhất hai nghiệm), điều này luôn đúng vì

(vì khi đó theo đ/l 3 suy ra Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và

hàm liên tục và đồng biến

Do đó:

, suy ra pt có nhiều nhất 1 nghiệm dẫn đến pt có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy và là hai nghiệm của pt

nên phương trình đã cho có hai nghiệm và

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất

Giải:

Để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau

* Chứng minh phương trình luôn có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần chứng chứng minh liên tục trên D và tồn tại hai số sao cho

* Tiếp theo ta chứng minh là hàm luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến

Trở lại bài toán:

, dẫn đến pt luôn có nghiệm Giả sử là nghiệm của phương trình

Do vậy ta chỉ cần khảo sát với Ta có

nên là hàm đồng biến Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất

Chú ý:* Nếu chúng ta khảo sát ngay hàm thì chúng ta không thể có được là hàm đồng biến, do vậy ta cần hạn chế miền xác định của x Điều này ta có được là nhờ vào bản

Trang 4

thân của phương trình *Để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác đó là khảo sát hàm trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm chỉ cắt Ox tại một điểm

Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải một số dạng toán về phương trình tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn Thông qua các ví dụ đó hi vong các em

có thêm những kĩ năng giải phương trình và nhận dạng được những dạng phương trình nào

có thể dùng đồng biến, nghịch biến Bây giờ ta đi xét một số bài toán về Bất Phương trình

Ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau:

Giải:

nghịch biến và

suy ra là hàm đồng biến Mặt khác:

Do vậy Bpt

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của Bpt là

B. Nội dung phương pháp

I Phương pháp lượng giác hoá

Ví dụ 1 :

Trang 5

Kết hợp với điều kiện của t suy ra :

Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :

Ví dụ 2 :

Lời giải : ĐK :

Khi đó VP > 0

Nếu

Vậy nghiệm của phương tr“nh là

Ví dụ 3 :

Đặt

phương tr“nh đã cho trở thành :

Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất

Ví dụ 4 (TC THTT):

HD :

Nếu : phương tr“nh không xác định Chú ý với ta có :

Trang 6

vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với

Đặt

khi đó phương tr“nh đã cho trở thành :

Ví dụ 5 :

Đặt

Phương tr“nh đã cho trở thành :

kết hợp với điều kiện của t suy ra

TQ :

Ví dụ 6 :

Đặt

Trang 7

(thỏa mãn)

TQ :

với a,b là các hằng số cho trước3 Đặt để đưa về phương tr“nh lượng giác đơn giản hơn :

Lời giải :

Do không là nghiệm của phương tr“nh nên :

Khi đó (2) trở thành :

Suy ra (1) có 3 nghiệm :

Ví dụ 8 :

Đặt

Kết hợp với điều kiện suy ra :

Trang 8

4 Mặc định điều kiện : sau khi t“m được số nghiệm chính là số nghiệm tối

đa của phương tr“nh và kết luận :

Ví dụ 9 :

Lời giải :

phương tr“nh đã cho tương đương với :

(1)

(1) trở thành :

:Leftrightarrow

Suy ra (1) có tập nghiệm :

Vậy nghiệm của phương tr“nh đã cho có tập nghiệm chính là S II Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để

* Nội dung phương pháp :

Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương tr“nh

đã cho :

Đưa phương tr“nh về dạng sau :

khi đó :

Đặt Phương trình viết thành :

Đến đây chúng ta giải t theo x Cuối cùng là giải quyết phương tr“nh sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :

lời giải : ĐK :

Đặt

Lúc đó :

(1)

Phương tr“nh trở thành :

Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được :

Trang 9

Với th“ :

( thỏa mãn điều kiên

Ví dụ 11 :

phương trình đã cho trở thành :

Do không là nghiệm của phương tr“nh nên :

Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn)

Lời giải :

Phương tr“nh đã cho viết thành :

Từ đó ta tìm được hoặc

Giải ra được :

* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và

cụ thể là ở ví dụ trên Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để giải quyết trọn vẹn nó Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn

ví dụ 13 :

Trang 10

phương trình đã cho trở thành :

* ta có :

Vậy là các nghiệm của phương tr“nh đã cho

ví dụ 14 :

Đặt

Phương tr“nh đã cho trở thành :

Phương tr“nh trên đã khá đơn giản !!!!!!! III Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích

1 Dùng một ẩn phụ

phương tr“nh (1) trở thành :

(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :

TQ :

Với a là hắng số cho trước

Viết lại (1) dưới dạng :

(2)

Trang 11

Đặt

Khi đó (2) trở thành :

Do vậy hoặc

* Ta có :

Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm :

Ví dụ 17 :

Lời giải : ĐK : (1)

(3)

Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :

Ví dụ 18 :

Lời giải : ĐK : (1)

Đặt

t^2 + t - 1003 < 0

Do đó phương tr“nh tương đương với :

Trang 12

Do vậy (thỏa (1)) 2 Dùng 2 ẩn phụ

Ví dụ 9 :

Lời giải :

Đặt

*

(1) trở thành :

T“m x ta giải :

(Thỏa (*)) Vậy (1) có 2 nghiệm :

Ví dụ 21 :

Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới :

(2)

Th“ :

(2)

* ta có :

Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn :

Trang 13

Ví dụ 22 :

lời giải : ĐK :

Đặt :

Từ phương tr“nh ta được :

từ đó ta giải ra được các nghiệm :

3 Dùng 3 ẩn phụ

Ví dụ 23 :

Lời giải :

(1)

Từ (1) và (2) ta có :

Nên :

:Leftrightarrow

từ đó dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương tr“nh :

Lời giải :

Đặt

Suy ra :

khi đó từ (1) ta có :

:Leftrightarrow

Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương tr“nh :

III Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ

1 Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế

a Dùng một ẩn phụ

Ví dụ 25 :

Lời giải :ĐK :

Trang 14

Đặt Ta có :

TQ :

b Dùng 2 ẩn phụ

* ND :

* Cách giải :

Đặt :

Như vậy ta có hệ :

Đặt

Khi đó :

hoặc Đến đây chỉ việc thay vào để t“m nghiệm của phương tr“nh ban đầu

Ví dụ 27 :

Đặt :

Với :

(*) Như vậy ta được hệ :

Trang 15

Giải (1) :

(1)

Vậy thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương tr“nh đã cho

Ví dụ 28 :

Lời giải :

Đặt :

(2)

(1)

2 Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng Dạng 1 :

Ví dụ 29 :

Lời giải :

:Rightarrow

:Leftrightarrow

Trang 16

(1) :Leftrightarrow :Leftrightarrow

Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là :

Dạng 2 :

CG : ĐẶt

PT :Leftrightarrow

Ví dụ 30 :

PT :Leftrightarrow

Lấy (3) trừ (2) ta được :

:Leftrightarrow

(1) :Leftrightarrow

Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :

Ví dụ 31 :

Chọn a, b để hệ :

là hệ đối xứng

:Leftrightarrow

Giải hệ trên ta được :

Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương tr“nh là :

Dạng 4 :

Trang 17

Nội dung phương pháp :

Cho phương tr“nh :

Với các hệ số thỏa mãn :

Cách giải :

Đặt

Ví dụ 32 :

PT :Leftrightarrow

- Kiểm tra :

Đặt :

:Leftrightarrow

Từ (1) và (2) ta có hệ :

Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải

Ví dụ 33 :

Lời giải :

PT :Leftrightarrow

- Kiểm tra :

Đặt :

:Leftrightarrow

Trang 18

Ví dụ 34 :

Lời giải :

PT :Leftrightarrow

:Leftrightarrow

- Kiểm tra :

Đặt :

:Leftrightarrow

Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!!

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	669 KB