Đề thi + đáp an HSG toán Huyện 2012-2013 (có đáp án)

Treân caùc caïnh AB, AD laáy laàn löôït caùc ñieåm P , Q sao cho chu vi tam giaùc APQ baèng 2... GIẢI:.[r]

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG HUYỆN

Mơn : Tốn 9

Thời gian 150 phút ( khơng kể thời gian phát đề)

Bài 1: (3đ)

a) Chứng minh rằng biểu thức 10n + 18n – 1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên

b) Tìm số tự nhiên n (n  ) để n4 + 4 là số nguyên tố

Bài 2: (3đ) Tìm một số cĩ ba chữ số sao cho khi lấy chữ số hàng đơn vị đặt về bên trái

của số gồm 2 chữ số cịn lại ta được một số cĩ 3 chữ số lớn hơn số ban đầu là 765 đơn vị

Bài 3: ( 2đ)

Tìm các cặp số nguyên dương x và y sao cho x y  2012

Bài 4: (2đ)

Tìm các số nguyên tố x,y,z thỏa đẳng thức : xy + 1 = z

Bài 5: (2đ)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x2 + ( x+y )2 = ( x+9 )2 tr65

Bài 6: (4đ) Cho hình vuơng ABCD, đường trịn đường kính CD và đường trịn tâm A bán

kính AD cắt nhau tại M ( M khác D ).Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua trung điểm của cạnh BC Tr 91

Bài 7: (4đ)

Cho hình vuông ABCD có dộ dài cạnh bằng 1 Trên các cạnh AB, AD lấy lần lượt các điểm P , Q sao cho chu vi tam giác APQ bằng 2 Chứng minh rằng PCQ 450

HẾT

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học: 2012 – 2013

Thời gian: 150 phút

Bài 1: (3đ)

a) Chứng minh rằng biểu thức 10n + 18n – 1 chia hết cho 27 với n là số tự

nhiên

GIẢI :

+Với n = 0 ta cĩ: 100 + 18.0 – 1 = 0 chia hết cho 27

+Với n 1 ta cĩ : 10n + 18n – 1 = (10n – 1) + 18n =

= ( 10-1 ) ( 10n-1 + 10n-2 + … + 10 + 1 ) + 18n

= 9 ( 10n-1 + 10n-2 + … + 10 + 1 ) + 18n

= 9 ( 10n-1 + 10n-2 + … + 10 + 1 – n + 3n )

= 9 [ ( 10n-1-1 ) + (10n-2 -1 ) + … + (10 – 1 ) + ( 1 – 1) + 3n ] (*)

Vì 10k – 1 chia hết cho 3 với mọi k và 3n chia hết cho 3 với mọi n nên

[ ( 10n-1-1 ) + (10n-2 -1 ) + … + (10 – 1 ) + ( 1 – 1) + 3n ] chia hết cho 3 với

mọi n Do đĩ (*) chia hết cho 27 với mọi số tự nhiên n

-b) Tìm số tự nhiên n (n  ) để n4 + 4 là số nguyên tố

+ Ta cĩ: n4+ 4 = n4+ 4n2 +4 – 4n2 = (n + 2)2 – 4n2 =

= [( n – 1)2 + 1][( n + 1)2 + 1]

+ Để n4+ 4 là một số nguyên tố thì một trong hai thừa số trên bằng 1 số

cịn lại phải là số nguyên tố Vì ( n + 1 )2 + 1 > 1 với mọi n

+ Suy ra : ( n – 1)2 + 1 = 1  n = 1

+ Khi đĩ : ( n + 1)2+ 1 = ( 1 + 1 )2 + 1 = 5

Bài 2: ( 3 đ)

Tìm một số cĩ ba chữ số sao cho khi lấy chữ số hàng đơn vị đặt về bên trái

của số gồm 2 chữ số cịn lại ta được một số cĩ 3 chữ số lớn hơn số ban đầu là

765 đơn vị

GIẢI

Gọi số phải tìm là abc với a, b, c   và 0 a 9; 0c b, 9

Ta cĩ cab abc 765

 100c + 10a +b – 100a – 10b – c = 765

 99c – 90a – 9b = 765

 9(11c – 10a – b) = 765

 11c – 10a – b = 85

VT 11c = 10c + c = cc

và 10a + b = ab

Nên ta cĩ: cc – ab = 85  cc = 85 + ab

1.5đ

1,5 đ

3,0 đ đ

VT 1 a 9 và 0 b 9 nên cc = 85 + ab 95 10ab99

Suy ra cc= 99  c = 9 ( TĐK)

85

ab cc   ab=99 – 85 = 14

Vậy số có 3 chữ số cấn tìm là 149

-Bài 3: ( 2đ)

Tìm các cặp số nguyên dương x và y sao cho x y  2012

2012

x y 

GIẢI :

Ta có: x y  2012  x y  2 503 ( ,x y )

Đặt x=a 503; y =b 503, a b  ,

Ta có a + b = 2

Do đó:

0

2

a

b









 hoặc

2 0

a b









 hoặc

1 1

a b









 Với a = 0 và b = 2 hoặc a = 2 và b = 0 thì x, y không thỏa điều kiện nguyên

dương

Với a = 1, b = 1 thì x, y thỏa điều kiện nguyên dương

Vậy x = y = 503 , cặp số cần tìm là (x;y) = (503;503)

Bài 4: (2đ)

Tìm các số nguyên tố x,y,z thỏa đẳng thức : xy + 1 = z

GIẢI :

Vì x,y là số nguyên tố nên x2;y2 khi đó xy  4 z5

Vì z là số nguyên tố lẻ ( do z 5 ) mà z = xy +1 nên xy chẳn suy ra x chẳn

Mà x là số nguyên tố nên x = 2

Ta có : 2y + 1 = z

+Trường hợp y = 2k + 1 ( y lẻ )

Ta có 2y + 1 chia hết cho 3 với mọi y hay z chia hết cho 3 ( không thể xảy ra

do z là số nguyên tố 5)

+Trường hợp y = 2k ( y chẳn )  y = 2 ( do y là số nguyên tố )

Vậy y = 2

Khi đó z = 22 + 1 = 5

Trả lời: (x;y;z ) thỏa điều kiện bài toán là ( 2;2;5 )

Bài 5: (2đ)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x2 + ( x+y )2 = ( x+9 )2

GIẢI:

Phương trình đã cho tương đương với phương trình: (x+y)2 – 18x = 81

 (x+y)2 – 18(x+y) + 81 = 162 – 18y

 (x+y-9)2 = 9(18-2y) (1)

 18 – 2y là số chính phương chẳn nhỏ hơn 18 (vì y > 0 )

18 – 2y = 0  y = 9.Từ (1)  x = 0 ( loại )

2,0 ñ

2,0 ñ

2,0 ñ

18 – 2y = 4  y = 7.Từ (1)  x = 8

18 – 2y = 16  y = 1.Từ (1)  x = 20

Thử lại phương trình cĩ 2 cặp nghiệm nguyên dương là ( 8;7 ) và ( 20;1 )

.

Bài 6: (4đ) Cho hình vuơng ABCD, đường trịn đường kính CD và đường trịn

tâm A bán kính AD cắt nhau tại M ( M khác D ).Chứng minh rằng đường thẳng

DM đi qua trung điểm của cạnh BC

GIẢI:

Gọi O là tâm đườn trịn đường kính CD

Kẻ đoạn AO, tia DM cắt (O) tại I

Ta cĩ AO vuơng gĩc DM

Xét hai tam giác ADO và DCI :

AD = CD ( cạnh hình vuơng )

   (g-c-g)

Suy ra : CI = OD =

1

1

Vậy DM đi qua trung điểm I của cạnh BC

Bài 7: (4đ)

Cho hình vuông ABCD có dộ dài cạnh bằng 1 Trên các cạnh AB, AD lấy lần lượt các điểm P , Q sao cho chu vi tam giác APQ bằng 2 Chứng minh rằng:

PCQ 

GIẢI :

+Ta cĩ :

AP + AQ + PQ = 2 AQ + QD + AP + PB = AD + AB = 1 + 1 = 2

Suy ra : PQ = QD + PB ( 1)

+Trên đoạn PQ đặt điểm M sao cho : QM = QD suy ra MP = PB ( do (1) )

+Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho: DE = PB Khi đĩ 2 tam giác

CDE , CBP bằng nhau ( CD = CB ; D B   900; DE = PB ) suy ra PC=EC

+ CEQCQP ( QE=PQ; CQ cạnh chung; PC=EC )

Suy ra : CQD CQP 

+ CDQCMQ ( QD=QM; CQD CQP  ; CQ cạnh chung )

Suy ra : CMQ CDQ  900 và DCQ QCM   CQ phân giác DCM

+ CMPCBP ( CP cạnh huyền chung; MP=PB )

Suy ra : MCP PCB   CP phân giác MCB

+ Vậy PCQ = C : 2 45 0

HẾT

4 đ