Chứng minh rằng với mọi số thực m, hàm số đã cho luôn có cực đại,cực tiểu; đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn nằm trên hai đường thẳng cố định2. Câu II (2 điể[r]
Trang 1SỞ GD& ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2009 – 2010
- Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề )
===========================================
Ngày thi: 11 – 4 – 2010.
A PHẦN CHUNG ( Dành cho tất cả các thí sinh)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) có phương trình y = - 3x + 2 sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
Câu II (2 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
¿
√x2+2+√y2+3+x+ y=5
√x2 +2+√y2+3 − x − y=2
¿{
¿
2 Giải phương trình 1 + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = 0
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: ∫
0
1 dx 1+√1 − x2
Câu IV (1 điểm) Cho khối chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c, ∠ ASB = 600 , ∠ BSC = 900 ,
∠ CSA = 1200 Tính thể tích khối chóp S.ABC
Câu V (1 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca = 2abc.
Chứng minh rằng:
2 a −1¿2
¿
2 b −1¿2
¿
2 c − 1¿2
c¿
b¿
a¿
1
¿
1 2
B PHẦN TỰ CHỌN ( Mỗi thí sinh chỉ chọn một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2)
Phần 1:
Câu VI a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( Δ ): x + y – 1 = 0, các điểm A( 0; - 1), B(2;1)
Tứ giác ABCD là hình thoi có tâm nằm trên ( Δ ) Tịm tọa độ các điểm C, D
2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;0;2) và đường thẳng ( Δ ) có phương trình tham số: x = 0; y = t; z = 2 Điểm M di động trên trục hoành, điểm N di động trên ( Δ ) sao cho:
OM + AN = MN Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với một mặt cầu cố định
Câu VII a (1 điểm) Tìm các giá trị của a thỏa mãn: 3x + (a – 1).2x + (a – 1) > 0, ∀ x ∈ R
Phần 2:
Câu VI b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC trọng tâm G( 5
3;−
1
3 ), đường tròn đi qua
trung điểm các cạnh có phương trình x2 + y2 – 2x + 4y = 0 Hãy tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; - 2; 3), B(2; - 1;2) và đường thẳng ( Δ ):
x
y − 1
z −6
3 Tìm tọa độ của điểm M trên ( Δ ) sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất.
Trang 2Câu VII b (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: |z −1 z −3| = 1, |z −2 i z+i | = 2.
-Hết -Hướng dẫn giải:
Câu I:
1 Tự làm.
2 Gọi M(a;b) là điểm cần tìm M thuộc (d) nên b = -3a + 2.
Tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại điểm (x0;y0) là: y = (3x0 – 3)(x – x0) + x0 – 3x0 +2
Tiếp tuyến đi qua M(a;b) ⇔ - 3a + 2 = (3x0 – 3)( a – x0) + x0 – 3x0 + 2 ⇔ 2x0 – 3ax0 = 0 ⇔
x0 = 0 hoặc x0 = 3a/2
Có hai tiếp tuyến đi qua M với hệ số góc là k1 = f ’(0) = -3 và k2 =f ‘(3a/2) = 27 a2
4 - 3
Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau ⇔ k1.k2 = - 1 ⇔ a2 = 40/81 ⇔ a = ±2√10
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M( ±2√10
Câu II:
1 Cộng và trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được hệ tương đương:
¿
√x2+2+√y2+3=7
2
x+ y =3
2
¿{
¿
⇔
y =3
2− x 3
2− x¿
2 +3
¿
¿7 2
¿
¿
¿
√x2+2+√¿
(x ; y )=(1
2;1)
¿
(x ; y )=(17
20;
13
20)
¿
¿
¿
¿
2 Phương trình ⇔ ( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos2x – sin2x) = 0
⇔ ( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0
⇔ ( sinx – cosx).( 1 – 2cosx) = 0
⇔
tan x=1
¿
cos x=1
2
¿
¿
¿
¿
⇔
4+k π
¿
3+l π
¿
¿
¿
¿
( k,l Z)
Câu III: Đặt x = sint với t [−π
2;
π
2] Ta có:dx = costdt và √1− x2=√1 −sin2t=√cos2t =|cost| = cost Đổi cận: Với x =0 thì t = 0; Với x = 1 thì t = π2 Từ đó:
∫
0
1
dx
1+√1 − x2=∫
0
π 2
cos tdt
0
π 2
2 cos s2(t /2)−1
2 cos s2(t /2) dt = ∫
0
π 2
dt −∫
0
π 2
d (t /2)
cos2(t/2) =( t – tan (t/2) ) | ❑0
π 2
= π2 -1
Câu IV: Tự vẽ hình.
Trên các tia SB, SC lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho SB’ = SC’ = SA = a
Trang 3Tam giác SAB’ đều cạnh a nên AB’ = a Tam giác SBC’ vuông cân tại S nên B’C’ = a √2 Tam giác SC’A cân tại S có ∠ C’SA = 1200 nên C’A = a √3 Suy ra AB’2 + B’C’2 = C’A2 hay tam giác AB’C’ vuông tại B’ ⇒ diện tích tam giác AB’C’ = a2√2
2
Hạ SH mp(AB’C’) ⇒ HA = HB’ =HC’ ⇒ H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’ ⇒ H là trung điểm của C’A ⇒ SH = SA Sin 300 = a/2
Thể tích khối chóp S.AB’C’ là: V’ = 1
3.
a2√2
a
a3√2
12 Áp dụng công thức:
V S ABC
V S AB '
C '
SB' .
SC
SC'
Tính được: VS.ABC = abc√2
Câu V Đặt x = 1a , y = 1b , z = 1c ta có x,y,z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z = 2
Ta có: a(2a – 1)2 =
2
x − 1¿
2
1
x¿
=
y + z¿2
¿
¿
¿ Từ đó:
2 a −1¿2
¿
2 b −1¿2
¿
2 c − 1¿2
c¿
b¿
a¿
1
¿ =
y +z¿2
¿
z +x¿2
¿
x+ y¿2
¿
¿
¿
x3
¿
Áp dụng bất đẳng thức Cô si có:
y +z¿2
¿
¿
x3
¿ (1)
z+ x¿2
¿
¿
y3
¿ (2)
x+ y¿2
¿
¿
z3
¿ (3)
Cộng từng vế của (1), (2), (3) rồi ước lược được: P 1
4 (x + y + z) =
1
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 2/3 ⇔ a = b = c = 3/2
Câu VIa:
1 Gọi I(a;b) là tâm của hình thoi.Vì I Δ nên a + b – 1 = 0 hay b = 1 – a (1)
Ta có: ⃗AI (a;b+1) và ⃗BI (a – 2;b – 1) mà ABCD là hình thoi nên AI BI suy ra :
a(a – 2) + (b + 1)(b – 1) = 0 (2) Thế (1) vào (2) rồi rút gọn được: a2 – 2a = 0 ⇔ a = 0 hoặc a = 2
Trang 4TH1: Với a = 0 thì I(0;1) Do I là trung điểm của AC và BD nên áp dụng công thức tọa độ trung
điểm, ta có:
¿
x C=2 xI − x A=0
y C=2 yI − y A=2
¿{
¿
và
¿
x D=2 xI − x B=− 2
y D=2 yI − y B=1
¿{
¿
; C(0;2) và D(-2;1)
TH2: Với a = 2 thì I(2;-1) Tương tự ta được: C(4;-1) và D(2;-3)
Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) và D(-2;1) hoặc C(4;-1) và D(2;-3)
2 Dễ dàng chứng minh được OA là đoạn đường vuông góc chung của hai đường thẳng Δ và Ox (là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau) Từ đó MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính
OA khi và chỉ khi OM + AN = MN
Vậy khi OM + AN = MN thì MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA cố định
(Phương trình mặt cầu là: x2 + y2 + ( z – 1)2 = 1)
Câu VIIa: 3x + (a – 1).2x + (a – 1) > 0 ⇔ 3x > (1 –a).( 2x +1) ⇔ 3x
2x
+1 > 1 – a (*).
Xét hàm số: f(x) = 3
x
2x
+1 với x R Ta có: f ‘ (x) =
2x+1¿2
¿
3x (2x+1) ln 3− 2x.3x ln 2
¿
> 0 với mọi
x
Hàm số luôn đồng biến., mà: x →− ∞lim f(x) = 0 Bất đẳng thức (*) đúng với mọi x ⇔ 1 – a 0
⇔ a 1
Vậy đáp số: a 1
SỞ GD& ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2009 – 2010
- Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề )
===========================================
Ngày thi: 18 – 4 – 2010.
A PHẦN CHUNG (Dành cho tất cả thí sinh).
Câu I ( 2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(m2 – 1)x + m3 – 3m
1 Khảo sát hàm số với m = 0
2 Chứng minh rằng với mọi số thực m, hàm số đã cho luôn có cực đại,cực tiểu; đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn nằm trên hai đường thẳng cố định
Câu II (2 điểm).
1 Giải phương trình: cos x − 2 sin x cos x
2 cos2x +sin x −1 =√3 .
2 Giải hệ phương trình:
¿
x ( y3−2)=3
x3(3 y+2)=1
¿{
¿
Câu III (2 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R Xét các hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ
giác tùy ý nội tiếp đường tròn (O) mà AC và BD vuông góc với nhau; các đỉnh A và S cố định,SA = h;
SA (ABCD)
1 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
2 Đáy ABCD là hình gì thì thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất?
Câu IV (1 điểm) Tìm giới hạn: lim
x→ 0
2√x+1 −√38 − x
Câu V ( 1 điểm) Tính các góc của tam giác ABC nếu: 4 ( cos2A + cos2B – cos2 C) = 5
B PHẦN TỰ CHỌN ( Mỗi thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2).
Phần 1:
Trang 5Câu VIa (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:
(C1): x2 + y2 – 4y – 5 = 0; (C2): x2 + y2 – 6x + 8y + 16 = 0
Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1); (C2)
Câu VIIa (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: z2 – 2(2 + i)z + (7 + 4i) = 0
Phần 2:
Câu VIb (1 điểm) Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi α , β , γ lần lượt
là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh :
cos α + cos β + cos γ √3
Câu VIIb (1 điểm) Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z nếu biết:
| z – i| + | z + i| = 4
SỞ GD& ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT II NĂM HỌC 2009 – 2010
- Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề )
===========================================
Ngày thi: 9 – 5 – 2010.
A PHẦN CHUNG ( Dành cho tất cả các thí sinh)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = f(x) = (m+2) x −(m+1)
x −1 ( với m là tham số)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0
2 Tìm m để đồ thị hàm số đã cho không có tiếp tuyến nào đi qua gốc tọa độ O
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình trong tập hợp số thực: √x2+3 x − 3 + √x2+8=4
2 Tìm nghiệm trong đoạn [0; π ] của phương trình: 2cos3x + sinx.cosx + 1 = 2( sinx + cosx)
Câu III (2 điểm).
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác ABC có A(1;5), đường thẳng BC có phương trình
x – 2y – 6 = 0, điểm I(1;0) là tâm đường tròn nội tiếp Hãy tìm tọa độ các đỉnh B,C
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 2y – z = 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua gốc tọa độ và điểm A(2;2;2) đồng thời tạo với mặt phẳng (P) một góc 450
Câu IV (1 điểm)
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a, AA’ = a √2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A’C’; mặt phẳng (P) qua M, N và vuông góc với mặt phẳng (BCC’B’) Tính diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P)
B PHẦN TỰ CHỌN ( Mỗi thí sinh chỉ chọn một trong hai phần: Phần 1 hoặc Phần 2)
Phần 1:
Câu V a (2 điểm)
1 Tính tích phân: I = ∫
− 1
1
1+tan x
x2+1 .dx .
Trang 62 Giải hệ:
¿
√log22x −2=log2 y −1
log22x − log22y ≥ 1
¿{
¿
Câu VI a (1 điểm)
Từ các chữ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau sao cho không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau và không có hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau?
Phần 2:
Câu V b (2 điểm)
1 Biết rằng √x −1+√y −2= x + y
3 Tịm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
1
x +2+
1
y +1 .
2 Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bới các đường: y = x; y = x2
Câu VI b (1 điểm)
Gieo đồng thời 4 đồng xu cân đối, đồng chất Tính xác suất để có ít nhất một mặt sấp xuất hiện