Nhìn chung trong nhiều năm qua ở trường THCS Quang Trung nói riêng chất lượng mũi nhọn bộ môn toán có thể nói còn quá khiêm tôn. Việc nghiên cứu viết các chuyên đề về môn toán để giảng d[r]
Trang 1I/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
1/Thực trạng và tầm quan trọng của vấn đề:
Toán học nói riêng là môn học công cụ đắc lực không thể thiếu để hổ trợ cho các môn khoa học khác cũng như giải quyết các vấn đề thực tế Việc giúp HS nắm vững kiến thức cơ bản và vận dụng toán học vào thực tế không phải của riêng thầy giáo, cô giáo nào
Chương trình toán THCS đã giúp HS giải quyết nhiều vấn đề cơ bản trong thực tế Trong chương trình toán THCS nhiều một dạng toán mang tính áp dụng cao, nó là cơ sở
để ứng dụng giải quyết các bài toán liên quan Trong đó có một dạng toán liên quan đến sô nguyên tô có thể nói là rất khó đôi với học sinh THCS Trên thực tế kiến thức về sô nguyên tô chỉ dừng lại ở khái miện chứ không đi sâu vì thế khi gặp một bài toán khó về sô nguyên tô nhất là đôi tượng HS giỏi lại gặp rất nhiều thì HS không có phương hướng để giải quyết
Qua nhiều năm giảng dạy, bản thân tôi cũng đã không khỏi trăn trở làm thế nào để
HS có thể hiểu được và nắm vững các dạng toán liên quan đến sô nguyên tô và có phương pháp giải quyết Chính vì thế tôi đã đi vào nghiên cứu, tìm hiểu và viết đề tài này nhằm san sẻ kinh nghiệm của mình với các em HS cùng đồng nghiệp
2/Phạm vi đề tài:
Trong chương trình toán THCS thì sô nguyên tô đã được đưa vào từ lớp 6 chỉ ở dưới dạng khái niệm chứ không đi sâu thêm Ở các lớp 7, 8, 9 thì lại không khai thác, bổ sung thêm mà chỉ vận dụng mở rộng Vì thế hầu như cả chương trình THCS đều có những bài tập liên quan đến sô nguyên tô Do đó đề tài nghiên cứu cso phạm vi tương đôi rộng cho cả các lớp THCS
3/Đối tượng nghiên cứu:
Để tiến hành đề tài này tôi đã nghiên cứu và áp dụng cho chủ yếu là HSG ở tất cae các khôi 6, 7, 8, 9 trong các năm học qua
Đề tài này là tài liệu học tập tôt cho HSG cấp THCS và là tài liệu tham khảo cho các thầy, cô giáo và phụ huynh HS nói chung
II/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Dạy học toán thực chất là dạy hoạt động toán học HS-chủ thể của hoạt động học cần phải được cuôn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự lực khám phá những điều mình chưa biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn Theo tinh thần này trong tiết lên lớp, giáo viên là người
tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành các hoạt động học tập, củng cô kiến thức cũ tìm tòi phát hiện kiến thức mới Giáo viên không cung cấp, không áp đặt những kiến thức có sẵn đến với học sinh mà hướng cho học sinh thông qua các hoạt động để phát hiện và chiếm lĩnh tri thức
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự mình tìm tòi và phát hiện kiến thức giúp rèn luyên khả năng tư duy, nhớ kỹ các kiến thức đã học
Về mặt lí luận mà nói thì theo khung phân phôi chương trình và sách giáo khoa (SGK) hiện hành thì toàn bộ kiến thức về “sô nguyên tô” chỉ gói gọn trong bài học “Sô nguyên tô Hợp sô Bảng sô nguyên tô” mà nội dung chỉ dừng lại ở khái niệm sô nguyên
Trang 2tô Chính vì thế mà HS còn rất thiếu kỉ năng cũng như phương pháp khi gặp các bài toán khó!
III/ CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Nhìn chung trong nhiều năm qua ở trường THCS Quang Trung nói riêng chất lượng mũi nhọn bộ môn toán có thể nói còn quá khiêm tôn Việc nghiên cứu viết các chuyên đề
về môn toán để giảng dạy và đặt biệt là để bồi dưỡng HSG có thể nói còn quá ít Với đề tài
“Sô nguyên tô và các dạng toán liên quan” thì chưa có ai viết bao giờ Tôi cũng đi hỏi thăm nhiều đồng nghiệp trong huyện để tìm tư liệu dạy học nhưng cũng chưa có ai viết về
đề tài này
Qua nhiều kì thi nhất là thi HSG thì nhiều bài tập liên quan về sô nguyên tô đôi khi đòi hỏi ở mức độ cao hơn nhiều khi HS được học trên lớp cũng như đòi hỏi những phương pháp ngoài SGK thì mới có thể “xở” nổi Do đó phần lớn HS đều bỏ dở!
Qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy, nghiên cứu, tìm tòi tài liệu, tôi nhận thấy cần có một đề tài đi sâu hơn về vấn đề này và tôi đã viết đề tài này nhằm san sẻ những hiểu biết của mình với đồng nghiệp
IV/ NỘI DUNG
A/
Kiến thức cần nhớ:
1 Định nghĩa:
* Sô nguyên tô là sô tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó
* Hợp sô là sô tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước
2 Tính chất:
* Nếu sô nguyên tô p chia hết cho sô nguyên tô q thì p = q
* Nếu tích abc chia hết cho sô nguyên tô p thì ít nhất một thừa sô của tích abc chia hết cho sô nguyên tô p
* Nếu a và b không chia hết cho sô nguyên tô p thì tích ab không chia hết cho sô nguyên tô p
3 Cách nhận biết một số nguyên tố:
a) Chia sô đó lần lượt cho các sô nguyên tô đã biết từ nhỏ đến lớn
- Nếu có một phép chia hết thì sô đó không phải là sô nguyên tô
- Nếu chia cho đến lúc sô thương nhỏ hơn sô chia mà các phép chia vẫn còn sô dư thì sô đó là sô nguyên tô
b) Một sô có 2 ước sô lớn hơn 1 thì sô đó không phải là sô nguyên tô
4 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
* Phân tích một sô tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa sô nguyên tô là viết sô đó dưới dạng một tích các thừa sô nguyên tô
- Dạng phân tích ra thừa sô nguyên tô của mỗi sô nguyên tô là chính sô đó
- Mọi hợp sô đều phân tích được ra thừa sô nguyên tô
.
íi , , µ nh÷ng sè nguyªn tè.
, , , N vµ , , , 1
A a b c
V a b c l
5 Số các ước số và tổng các ước số của một số:
Trang 3+1 1 1
¶ sö
íi , , µ nh÷ng sè nguyªn tè.
, , , N vµ , , , 1
1 Sè c¸c íc sè cña A lµ: ( +1)( +1) ( +1).
2 Tæng c¸c íc sè cña A lµ:
V a b c l
6 Số nguyên tố cùng nhau:
* Hai sô nguyên tô cùng nhau là hai sô có ƯCLN bằng 1
Hai sô a và b nguyên tô cùng nhau ƯCLN(a, b) = 1
Các sô a, b, c nguyên tô cùng nhau ƯCLN(a, b, c) = 1
Các sô a, b, c đôi một nguyên tô cùng nhau ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) =
ƯCLN(c, a) =1
Số nguyên tố được được nghiên cứu từ nhiều thế kỉ trước công nguyên nhưng cho đến nay nhiều bài tóan về số nguyên tố vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn!
7/ Sàng Ơ- RA- TÔ – XTEN ( Euratosthène)
Làm thế nào để tìm được tất cả các số nguyên tố trong một giới hạn nào đó, chẳng hạn từ 1 đến 100?
Ta làm như sau: Trước hết xóa đi số 1.
Giữ lại số 2 và xóa đi tất cả bội của 2 mà lớn hơn 2.
Giữ lại số 3 và xóa đi tất cả bội của 3 mà lớn hơn 3.
Giữ lại số 5 (số 4 đã bị xóa) và xóa đi tất cả bội của 5 mà lớn hơn 5.
Giữ lại số 7 (số 6 đã bị xóa) và xóa đi tất cả bội của 7 mà lớn hơn 7.
Các số 8; 9; 10 đã bị xóa Không cần xóa tiếp các bội của các số lớn hơn 10 cũng kết luận được rằng không còn hợp số nào nữa.
Thật vậy, giả sử n là một hợp số chia hết cho một số a lớn hơn 10 thì do n < 100, a> 10 nên n phải chia hết cho một số b nhỏ hơn 10, do đó n đã bị xóa.
Nhà tóan học cổ Hi Lạp Ơ- ra- tô- xten.( Thế kỉ III trước Công nguyên) là người đầu tiên đưa ra cách làm này Ông viết các số trên giấy cỏ sậy căng trên một cái khung rồi dùi thủng các hợp số được một vật tương tự như các sàng: các hợp số được sàng qua, các số nguyên tố được giữ lại Bảng số nguyên tố này được gọi là sàng Ơ- ra- tô- xten.
Bài tập 1:
Dùng bảng các sô nguyên tô nhỏ hơn 100 hãy nêu cách kiểm tra một sô nhỏ hơn
10000 có là sô nguyên tô hay không? Xét bài tóan trên đôi với các sô 259; 353l
Giải: Cho sô n < 10000 (n>1) Nếu n chia hết cho một sô k nào đó (1< k< n) thì n
là hợp sô Nếu n không chia hết cho sô nguyên tô p(p2 < n ) thì n là sô nguyên tô
Sô 259 chia hết cho 7 nên là hợp sô
Sô 353 không chia hết cho tất cả các sô nguyên tô
8/ Sự phân bố số nguyên tố:
Trang 4Từ 1 đến 100 có 25 số nguyên tố, trong trăm thứ hai có 21 nguyên tố , trong trăm thứ ba có 16 số nguyên tố , Trong nghìn đầu tiên có 168 số nguyên tố , trong nghìn thứ hai có 145 số nguyên tố, trong nghìn thứ bacó 127 số nguyên tố , Như vậy càng đi xa theo dãy số tự nhiên, các số nguyên tố càng thưa dần
Bài tập 2:
Có tồn tại 1000 sồ tự nhiên liên tiếp đều là hợp sô hay không?
Giải : Có Gọi a = 2.3.4 1001 Các sô A+2, A+3, ,A+1001 là 1000 sô tự nhiên
liên tiếp và rõ ràng đều là hợp sô (đpcm)
Một vấn đề được đặt ra : Có nhưng khoản rất lớn các sô tự nhiên liên tiềp đều là hợp sô Vậy có thể đến một lúc nào đó không còn sô nguyên tô nữa không ? Có sô nguyên
tô cuôi cùng không ? Từ thế kỉ III trước Công nguyên, nhà toán học cổ HiLạp Ơ – clit (Euclide) đã chứng minh rằng : Tập hợp các sô nguyên tô là vô hạn
Bài tập 3:
Chứng minh rằng không thể có hữu hạn sô nguyên tô
Giải: Giả sử chỉ có hữu hạn sô nguyên tô là p1, p2, , pn trong đó pn là sô lớn nhất trong các sô nguyên tô
Xét sô A = p1p2 pn + 1 thì A chia cho mỗi sồ nguyên tô pi (1 < i <n) đều dư 1 (1) Mặt khác A là hợp sô ( vì nó lớn hơn sô nguyên tô lớn nhất là pn ) do đó A phải chia hết cho một sô nguyên tô nào đó, tức là A chia hết cho một trong các sô pi (1 < i <n) (2), mâu thuẫn với (1)
Vậy không thể có hữu hạn sô nguyên tô (đpcm)
Qua sự phân bô các sô nguyên tô, nhà tóan học Pháp Bec – tơ – răng đưa ra dự đóan: Nếu n > 1 thì giữa n và 2n có ít nhất một sô nguyên tô Năm 1852, nhà toán học Nga Trê – bư – sép đã chứng minh được mệnh đề này Ông còn chứng minh được:
Nếu n > 3 thì giữa n và 2n – 2 có ít nhất một sô nguyên tô Ta cũng có mệnh đề sau: Nếu n > 5 thì giữa n và 2n có ít nhất hai sô nguyên tô
Bài tập 4:
Cho sô tự nhiên n > 2 Chứng minh rằng các sô n! – 1 có ít nhất một ước nguyên tô lớn hơn n
Giải : Gọi a = n! – 1 Do n > 2 nêm a>1.Mội sô tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất một ước nguyên tô Gọi p là ước nguyên tô của a.Tia sẽ chứng minh rằng p >n
Thật vậy giả sử p < n thì tích 1.2.3 n chia hết cho p, ta có n ! chia hết cho p , mà a chia hết cho p nên 1 chia hết chi p, vô lí
B/ Các dạng bài tập về số nguyên tố:
1/ Chứng minh một biểu thức luôn là số nguyên tố:
Bài tập 5:
Chứng minh rằng tồn tại vô sô sô tự nhiên n sao cho n2= x2+p trong đó p là sô nguyên tô và x là sô tự nhiên
Giải: Lấy n=3k+2 (k tự nhiên) Từ dẳng thức n2 =x2+p
suy ra p =n2 –x2 =(n-x)(n+x)
Vì p nguyên tô và n>x nên n-x=1 và n+x=p
Từ đó p=2n-1 =3(2k+1), điều không thể xảy ra
Vậy sô có dạng 3k+2 (có vô sô như thế ) không thể biểu diễn dưới dạng x2 +p
Trang 5Bài tập 6:
Tìm tất cả sơ nguyên tơ cĩ dạng -1
Giải: Với n>4 từ đẳng thức -1=ta thấy rằng sơ -1 là hợp sơ.Thật thế,với n=2k ta cĩ -1=(2k-1)(k+1) và với n=2k+1 ta cĩ -1=k(2k+3)
Nếu n=2 ta cĩ sơ nguyên tơ đầu tiên là 2,nếu n=3 thi ta cĩ sơ nguyên tơ 5
Bài tập 7:
Chứng minh rằng nếu sơ 2n+1 là sơ nguyên tơ thì n=2m
Giải: Giả sử n2m.thế thì nĩ cĩ thể viết dưới dạng n=tk,trong đĩ k là sơ lẻ nào đĩ>1.suy ra:
2n+1=2tk+1=(2t+1)(2t(k-1)- 2t(k-2)+…-2t+1)là hợp sơ.vậy đều giả sử là sai vì 2n+1 theo đề bài là
sơ nguyên tơ
Bài tập 8:
Chứng minh rằng khi chia một sơ nguyên tơ cho 30 thi sơ dư cũng là sơ nguyên tơ
Chỉ dẫn :- Chứng minh rằng sơ dư này khơng chia hết cho 2, 3, 5
Bài tập 9:
Chứng minh rằng sơ nhỏ nhất N nguyên tơ cùng nhau với một trong các sơ 1,2,…,n là
sơ nguyên tơ
Chỉ dẫn :- Aùp dụng tính chất sau: mọi ước của sơ đang xét lớn hơn n và nguyên tơ cùng
nhau với các sơ 1, 2, 3,…….,n
Bài tập 10:
Tìm tất cả các sơ nguyên tơ cĩ dạng pP+1(p tự nhiên) chứa khơng quá 19 chữ sơ Đáp án: Rõ ràng p<19 Ngồi ra nếu p lẻ
2/ Với một số nguyên tố, chứng minh đẳng thức, biểu thức thỏa mãn điều kiện nào đĩ: Bài tập 11:
Cho a, b, p là 3 sơ tự nhiên bất ky øchứng minh rằng ta tìm được hai sơ k, l nguyên
tơ cùng nhau sau cho ak+pl chia hết cho p
Giải: UCLN của các sơ b và p-a là d Suy ra b=kd va p-a =ld, trong đĩ k và l nguyên tơ cùng nhau
Nhưng thế thì ak +bl =a.+b.=.p=kp
Bài tập 12:
Cho ba sơ tự nhiên a, b, c sau cho các sơ q= bC +a, q = ab +c, r = ca+b đều là sơ nguyên tơ.Chứng minh rằng hai trong ba sơ p,q,r dều bằng nhau
Giải: Hai trong ba sơ a, b, c, cĩ cùng tính chẵn lẻ, giả sử đĩ là hai sơ a và b Vì bc
cùng tính chẵn lẽ như b nên p= bc +a là chẵn Nhưng p là sơ nguyên tơ nên p= 2 , suy ra a=b=1 Khi đĩ q=1b +c =cn +1=r
Bài tập 13:
Giả sử p là sơ nguyên tơ Chứng minh rằng tổng 2p+3p khơngthể biểu thị dưới dạng
xm( x và m là hai sơ tự nhiên và m>1)
Giải: Nếu p=2 thì 22+32=13xm,trong đĩ x và m là sơ tự nhiên,m>1
Giả sử bây giờ p là sơ nguyên tơ nào đĩ.Thế thì:
2p+3p=(2+3)(2p-1-2p-2.3+2p-3.32-…+3p-1)=5a
trong đĩ a=2p-1-2p-2.3+…+3p-1
Trang 6Lưu ý rằng 3k=(5-2)k=5Bk+(-2)k,trong đĩ Bk là sơ nguyên(suy ra từ cơng thức niutơn chẳng hạn).Vậy:
A=2p-1-2p-2(5B1 -2)+2p-3(5B2+22)-…-(5Bp-1+2p-1)=5B+p.2p-1,trong đĩ
B=-2o-2B1+2p-3B2-…+Bp-1
Suy ra: 2p+3p=5(5B+p.2p-1)=25.B+5p.2p-1
Đặt 2p+3p=xm,trong đĩ x và m là sơ tự nhiên,m>1
Ta cĩ:
25B +5p.2p-1=x,do đĩ x chia hết cho 5
Nhưng m>1 nên xm chia hết cho 25.Lai do p5 nên 5p.2p-1 khơng chia hết cho 25 Nếu p=5 thì 25+35=32+243=275xm với m>1
Bài tập 14:
Chứng minh rằng nếu sơ 2n+1 là sơ nguyên tơ thì n=2m
Giải: Giảsử n2m.thế thì nĩ cĩ thể viết dưới dạng n=tk,trong đĩ k là sơ lẻ nào đĩ>1.suy ra:
2n+1=2tk+1=(2t+1)(2t(k-1)- 2t(k-2)+…-2t+1)là hợp sơ.vậy đều giả sử là sai vì 2n+1 theo
đề bài là sơ nguyên tơ
Bài tập 15:
Chứng minh rằng với sơ nguyên tơ p>5 khơng tồn tại đẳng thức (p -1)!+1=pm với mọi m tự nhiên
Giải: Vì p>5 nên.2.do đĩ(p-1)2=2 (p-1) chia hết cho (p-1)!
Giả sử với m tự nhiên nào đo ùta cĩ đẳng thức (p-1)!+1=pm,thế thì (p-1)2 chia hết cho pm -1,suy ra p-1 chia hết pm-1+pm-2+…+p+1=(pm-1-1)+ (pm-1-2)+…+
(p-1)+m
Vì p-1 chia hết pt-1 với mọi t=1,2,…,m-1 nên suy ra p-1 chia hết m.Vì thế m>p-1 và
pm >pp-1>(p-1)p-1+1> (p-1)!+1,điều này trái với giả thiết
Bài tập 16:
Giả sử p>2 làsơ nguyên tơ Chứng minh 2/p chỉ cĩ thể biểu diễn bằng một cách dưới dang = + với x, y là hai sơ nguyên dương khác nhau
Giải: Nhân cả hai vế của phương trình = + với2xyp rồi chuyển 2xp và 2yp từ vế phải sang vế trái,sau đĩ cộng thêm p2 vào 2 vế ta biến đổi phương trình thành dạng:(2x-p) (2y-p)=p2
Do x và y là 2 sơ phân biệt nên 2 thừa sơ ở vế trái của phương trình cũng phân biệt.Vậy tích của chúng cĩ thể bằng p2 chỉ trong trường hợp một trong hai thừa sơ bằng 1,cịn thừa sơ kia bằng p2
Giả sử 2x-p=1,2y-1= p2 thì x=,y=p
Trường hợp thứ hai chỉ khác do x và y đổi chỗ cho nhau
3/ Tìm giá trị tham số để biểu thức là số nguyên tố:
Bài tập 17:
Tìm tất cả các sơ tự nhiên N(theo hệ thập phân)thỏa mãn các điêu khiện sau:
N= aabb, trong đĩ aab và abb là sơ nguyên tơ
Giải: Do aab là sơ nguyên tơ , tức là110a +b là sơ nguyên tơ ta cĩ b=1,3,7 hoặc 9.Từ điều kiện thứ nhất ta cĩ :N=11(100a +b)
theo bảng sơ nguyên tơ ta tím được các cặp sơ nguyên tơ
Trang 7aab và abb thỏa mãn điều kiện thứ nhất sau đây:
(223,233),(227,277),(331,311),(443,433),(449,499),(557,577),(773,733),(881,811),
(887,877),(991,911),(997,977)
Tương ứng với 100a+b là các sô sau
203=7.29,207=9.23,301=7.43,403=13.31,409= sô nguyên tô ,
507=3.132,703=19.37,801=32.89,807=2.269;901=17.53;907=sô nguyên tô
Vậy N=8877=3.11.269
Bài tập 18:
Tìm sô tự nhiên p sao cho p và p+3 đều là sô nguyên tô
Giải: Một sô tự nhiên bấy kì có 1 trong hai dạng:
2n; 2n+1 nN
Nếu p= 2n+1 thì p+3 =2n + 4 :2
Ta có p+3 >3 và p+3 :2
Nên p+3 là hợp sô trái đề bài
Do đó p=2n
Nhưng p nguyên tô nên p= 2
P+3 =5 nguyên tô
Vậy:p=2
Bài tập 19:
Tìm sô nguyên tô p sao cho p+4 va p+8 đều là sô nguyên tô
Giải: Bất kì sô tự nhiên nao cũng có một trong ba dạng:
3n; 3n +1;3n+2 ;nN
Nếu p=3n thì p+8 =3n+9 :3 , vô lí
Nếu p=3n+2 thì p+4= 3n +6, vô lí
Do đó p=3n
Nhưng p nguyên tô nên p = 3
P+4=7;p+8=11, nguyên tô
Vậy p=3
Bài tập 20:
Chứng tỏ rằng nếu p=a+ b
là một sô nguyên tô thì a và b là hai sô nguyên tô cùng nhau
Giải: Giả sử a và b là hai sô không nguyên tô cùng nhau
Ta suy ra a và b phải có ít nhất một USC d >1
a:d ; b:d
Do đó : a+b :d
Suy ra p:d
Sô tự nhiên p, ngoài 1và p còn có một ƯSC d >1 nên p là một hợp sô, trái với dề bài
đã cho
Vậy a và b là nguyên tô cùng nhau nếu p = a + b là một sô nguyên tô
Bài tập 21:
Cho a và b là hai sô nguyên tô cùng nhau Chứng minh rằng ab và a+b nguyên tô cùng nhau
Giải: Giả sử ab và a+b không nguyên tô cùng nhau
Trang 8Ta suy ra ab và a+b có một ƯSC nguyên tô d
ab:d ; a+b:d
Vì ab:d, d nguyên tô nên hoặc a :d hoặc b: d
Nếu a:d
Mà a+b :d nên ra b:d
Suy ra a và b có một USC nguyên tô d, vô lí vì(a,b )=1
Tương tự b:d
Vậy ab và a+b nguyên tô cùng nhau nếu a và b nguyên tô cùng nhau
4/ Cách xác định số lượng ước của một số:
1- Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được m=a x b y …c z thì số lượng các ước của M là: (x+1)(y+1)…(z+1).
2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố,số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên
tố với số mũ chẵn.Từ đó suy ra:
Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 2 2
Số chính phương chia hết cho 2 3 thì chia hết cho 2 4
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 2
Số chính phương chia hết cho 3 3 thì chia hết cho 3 4
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 5 2
3-Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:
Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a:p hoăc b:p
Bài tập 22:
Tìm hai sô nguyên tô biết tổng của chúng là 601
Giải: Tổng của hai sô nguyên tô là 601,là một sô lẻ nên một trong hai sôphải là sô nguyên tô chẵn,đó là sô 2.Sô thứ 2 là:601-2=599(tra bảng thấy 599 là sô nguyên tô)
Bài tập 23:
Cho A=5+52+53+…+5100 a/SôA là sô nguyên tô hay hợp sô?
b/Sô A có phải là sô chính phương không?
Giải
a/A>5;A:5(vì mỗi hạng tử đều chia hết cho 5) nên A là hợp sô
b/52:25 nên53:25,…,5100:25
nhưng 5/25 nên A/25
Sô A:5 nhưngA/25 nên A không phải là sô chính phương
Bài tập 24:
Sô 54 có bao nhiêu ước?Viết tất cả các ước của nó
Giải: 54=2.33
Sô ước của 54 là(1+1)(3+1)=8 ước
5/ Một số bài toán tổng hợp:
Bài tập 25:
Gọi d(N) là sô ươcù của N tìm tất cả sô N sau cho N/d( N) =p với p là sô nguyên tô(lưu ý: cá sô 1 vàN được coi là ước của N)
Giải: Giả sử q là ước của N Hiển nhiên nếu q không chia hết cho p thì q thi 2 cũng
là ước của d(N), trong trường hợp trái lại q/p là ước của d(N) Suy ra d(N) <=2d(d(n))
Trang 9Đặt d(N) =b vì b không thể chia hết cho sô c >b/2 (trừ c= b) nên từ bất đẳng thức d(b) >b/2 suy ra b chia hết cho tất cả các sô nhỏ hơn b/2
Suy ra b (12, 8 ,6, 4 ,3, 2,) và N=pb Vậy chỉ còn chọn ra sô có dang pb
Bài tập 26:
Chứng minh rằng phân sô , n N là một phân sô tôi giản
Giải: Ta có thể viết:
2n+5= (n+2) +(n+3)
n2 +5n +6 = (n+2) +(n+3)
(n+2) và (n+3) là hai sô tự nhiên liên tiếp nên nguyên tô cùng nhau
Theo bài 55, ta suy ra tổng của chúng:
2n+5= (n+2) +(n+3) và tích của chúng n2 +5n +6 = (n+2) +(n+3)
là hai sô nguyên tô cùng nhau
Do đó phân sô tôi giản
Bài tập 27:
Cho a=;n N, n >3 Định m để a là một sô nguyên tô
Giải: Ta có : 2n -5 và 2 là hai sô nguyên tô cùng nhau
Suy ra: a N2a N
Ta có 2a===1+
Vì 2a là sô tự nhiên nên ta có : 2n-5|21
=>2n -5 =1, 3, 7, 21
+Với 2n-5= 1, ta có :n=3 => a=11, nguyên tô
+Với 2n-5=3, ta có :n=4 => a=4, hợp sô
+Với 2n-5= 7, ta có :n=6 => a=2, nguyên tô
+Với 2n-5= 21, ta có :n=13 => a=1, không nguyên tô
Vậy :Giá trị tự nhiên phải tìm để cho a là một sô nguyên tô là:
n=3 hoặc n=6
Bài tập 28:
Tìm tất cả các giá trị của sô tự nhiên n để phân sô sau tôi giản: , n N, n >3
Giải: Để cho phân sô tôi giản thì (2n-5) và( n+8) phải nguyên tô cùng nhau
Giả sử d là một ước sô chung nguyên tô của 2n-5 và n+8 ø
D|2n -5 (1)
D|2+8 (2)
Ta có
(2) =>d|2(n+8)=2n + 16 =(2n-5)+ 21 (3)
(1) và (3) => d|21
=>d=1; 3; 7; 21
D nguyên tô => d=3 hoặc d=7
Muôn phân sô đã cho là phân sô tôi giản thì ( n+8) không được chia hết cho 3 và 7
Do đó ta có : n 3k+1, n7m -1
với k,m là các sô tự nhiên và k >1, m>1
vậy: các giá trị của n phải tìm là: n3k+1, n7m-1 với n N , n > 3
Bài tập 29:
Cho phân sô tôi giản Hỏi các phân sô và có tôi giản hay không
Trang 10Giải: Xem phân sô
Giả sử phân sô không phải là phân sô tôi giản.Ta suy ra a và a+b là một ước chung nguyên tô d, a:d, a+b:d
b:d
a vàb có một ước chung nguyên tô d
Do đó phân sô không tôi giản
Điều này vô lí trái với giả thiết
Vậy:Nếu là phân sô tôi giản thì cũng là một phân sô tôi giản
*Xem phân sô
giả sử phân sô khong phải là phân sô tôi giản
ta suy ra a và ab+b=(a+1)b co mot ước chung nguyên tô d
(a+1)b:d (2)
Vì a và a+1 là hai sô tự nhiên liên tiếp nen nguyên tô cùng nhau
Ta có:a:da+1/d
(2)b:d
Từ(1) và(3) suy ra phân sô không phải là phân sô tôi giản,vô lí
Vậy:nếu tôi giản thì tôi giản
Bài 30: Ta biết rằng có 25 sô nguyên tô nhỏ hơn 100 Tổng của 25 sô nguyên tô là sô chẵn
hay sô lẻ
HD:
Trong 25 sô nguyên tô nhỏ hơn 100 có chứa một sô nguyên tô chẵn duy nhất là 2, còn 24
sô nguyên tô còn lại là sô lẻ Do đó tổng của 25 sô nguyên tô là sô chẵn
Bài 31: Tổng của 3 sô nguyên tô bằng 1012 Tìm sô nguyên tô nhỏ nhất trong ba sô
nguyên tô đó
HD:
Vì tổng của 3 sô nguyên tô bằng 1012, nên trong 3 sô nguyên tô đó tồn tại ít nhất một sô nguyên tô chẵn Mà sô nguyên tô chẵn duy nhất là 2 và là sô nguyên tô nhỏ nhất Vậy sô nguyên tô nhỏ nhất trong 3 sô nguyên tô đó là 2
Bài 32: Tổng của 2 sô nguyên tô có thể bằng 2003 hay không? Vì sao?
HD:
Vì tổng của 2 sô nguyên tô bằng 2003, nên trong 2 sô nguyên tô đó tồn tại 1 sô nguyên tô chẵn Mà sô nguyên tô chẵn duy nhất là 2 Do đó sô nguyên tô còn lại là 2001 Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3 Suy ra 2001 không phải là sô nguyên tô
Bài 33: Tìm sô nguyên tô p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các sô nguyên tô.
HD:
Giả sử p là sô nguyên tô
- Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là sô nguyên tô
- Nếu p 3 thì sô nguyên tô p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k N*
+) Nếu p = 3k p = 3 p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các sô nguyên tô