[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn thi: TOÁN; Khối: B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2009 MÔN TOÁN – KHỐI B
Câu I
(2,0 điểm)
I.1 Đề bài:
Lời giải:
• TXĐ: D R≡
• Sự biến thiên
1
x
x
=
⎡
Bảng biến thiên:
x −∞ -1 0 1 +∞
y' − 0 + 0 − 0 +
y +∞ 0 +∞
-2 -2
Đồ thị đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1;+∞ ; nghịch biến trên mỗi khoảng ) (−∞ − và ; 1) ( )0;1 Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1; y CT = − ; đạt cực đại tại x = 0; 2 y CD = 0
• Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
• Nhận xét: đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung Oy, cắt trục hoành tại các điểm (± 2;0)
I.2 Đề bài:
Lời giải:
• Số nghiệm của phương trình x x2| 2− = ⇔2 | m 2x4−4x2 =2m là số giao điểm của đồ thị hàm số y= 2x4−4x2 và đường thẳng y=2m
• Vì
4 2
2x 4x ; 2x 4x 0 2x 4x
2x 4x ; 2x 4x 0
⎪
4 2 2x 4x
sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (C) trên trục hoành
- Lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới trục hoành
• Từ đó suy ra pt đã cho có 6 nghiệm phân biệt ⇔ <0 2m< ⇔ < < 2 0 m 1
Câu II
(2,0 điểm)
II.1 Đề bài:
Lời giải:
sinx + cosx.sin2x + 3 cos3x = 2(cos4x + sin3x) (1)
Trang 2(1) sin sin 3 sin 3 cos3 2cos 4 3sin sin 3
sin 3 3 cos3 2cos 4 cos 3 cos 4
6
6
Z
⎡ − = +
⎢
⎢ − = − +
⎢⎣
2
42 7
k Z k
x
⎡ = − +
⎢
⎢ = +
⎢⎣
Vậy phương trình có hai họ nghiệm 2
6
x= − +π kπ; 2
42 7
k
x= π + π (k ∈ Z)
II.2 Đề bài:
Lời giải:
1 7
+ + =
Từ phương trình trên ta suy ra: 7 1
1
y x y
−
= + (y ≠ -1), thay vào phương trình sau ta được
2
3
x y
=
⎢
⇔⎢ = ⇒ ⎢ =
⎣
⎣ Vậy hệ có nghiệm: (x ; y) = {(1 ; 1
3) ; (3 ; 1)}
Câu III
(1,0 điểm)
Đề bài:
Lời giải:
dx
+
−
∫
Câu IV
(1,0 điểm)
Đề bài:
Lời giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của AB
G là hình chiếu của B’ lên (ABC) (giả thiết cho)
(B B ABC' , ) (B B BG' , ) B BG'
0
B BG
Trang 3B GB
Δ có
2 60
3
2
B
⎪
⎫⎪ ⎪
⎪⎩
(*)
Tính S ABC theo a?
Đặt AB = 2x
3
⎧⎪
⇒ ⎨
=
⎪⎩
1
x
Xét GMBΔ có GMB=2CAB=1200, theo định lí hàm số cosin ta có:
2 2 2 2 cos1200
=
2
GB =⎛ x⎞ +x − x x⎛− ⎞= x
Từ (*)
2
2
Vậy AC = x = 3
2 13a ; BC =
3 3 3
2 13
2
ABC
= = ⎜⎝ ⎟⎜⎠⎝⎜ ⎟⎟⎠= (đvdd)
Do ABCA’B’C’ là hình trụ nên (ABC) // (A’B’C’)
2
d A ABC =d B ABC =B G= a
',
Câu V
(1,0 điểm)
Đề bài:
Lời giải:
Ta có: A=3(x4+y4+x y2 2) 2(− x2+y2) 1+
= 3(x2+y2 2) −2(x2+y2) 3− x y2 2+ 1 9( 2 2 2) 2( 2 2) 1
4
x + y ≥ x y ⇒ x +y ≥ x y ) Vì: 4xy≤(x y+ )2 nên từ giả thiết
1 (x y) (x y)
⇒ ≤ + + + ⇒(x y+ −1) (⎡⎣ x y+ )2+2(x y+ ) 2+ ⎤⎦≥0
2
1
x y
Do vậy: 4A=9(x2+y2) 8(− x2+y2) 4+ = ⎡⎣8(x2+y2 2) +2⎤⎦−8(x2+y2) (+ x2+y2 2) +2
a
M A
C
B
A’
B’
C’
Trang 4Dấu “=” xảy ra khi 1
2
x= = y
Vậy: min 9
16
A= , đạt được khi 1
2
x= = y
Câu Via
(2,0 điểm)
VIa.1 Đề bài:
Lời giải:
5
K a b ∈ C ⇒ a− +b = ( 1)C tiếp xúc với Δ , 1 Δ , ta có: 2
2 7
2
a
=
⎡
⎢ = −
⎣
1: 2 ,(1) (2 2)
( ; );
2 2 4
TH a= − ⇒ − − +b = ⇒ vô nghiệm
Vậy ( ; );8 4 4
VIa.2 Đề bài:
Lời giải:
Giả sử véc tơ pháp tuyến của (P) là ( , , )Δ a b c ; (a2+b2+c2> 0) ( ) : (P a x 1) b y( 2) c z( 1) 0(1)
ax by cz a b c
( 2,1,3) ( ) 3 2 0(2)
B − ∈ P ⇒ − − +a b c= Khoảng cách từ C, D tới (P):
2
0
b
=
⇒ ⎢ =
1
7 : 2 ,(2)
2
b
TH a= b ⇒ =c ⇒phương trình ( ) : 4P x+2y+7z−15 0=
2
3 : 0,(2)
2
a
TH b= ⇒ =c ⇒ phương trình ( ) : 2P x+3z− =5 0
Câu VIIa
(1,0 điểm)
Đề bài:
Lời giải:
Giả sử z = a +bi, (a,b ∈R ) ⇒ z a bi= −
Từ giả thiết suy ra:
2 2
25
⎪
⎨
25
a b
+ =
⎧
⎨
⎩
Trang 5⇔ 2 10 2 2
(10 20) 25
a
⎧
10 2
8 15 25
⎧
⎩
5 0
a b
=
⎧
⇔ ⎨ =
⎩ Vậy: 3
4
a b
=
⎧
⎨ =
⎩
Vậy số phức z cần tìm là: z = 5 hoặc z = 3 + 4i
Câu VIb
(2,0 điểm)
2 điểm
VIb.1 Đề bài:
Lời giải:
Gọi AH ⊥ Δ ⇒( ) phương trình đường thẳng (AH) có dạng:
1.(x+ +1) 1.(y−4) 0= hay 3 0x y+ − =
Tọa độ H là nghiệm của hệ:
7
2
x
x y
⎧ =
⎪ + − =
⎪⎩
Đỉnh B∈ Δ ⇒( ) B t t( ; −4)
ABC
2
ABC
11
2
3 2
2
t t
t
⎡ =
⎢
⇒ − = ⇒ ⎢
⎢ =
⎢⎣
Do đó 11 3; 3; 5
B⎛ ⎞⇒C⎛ − ⎞
B⎛ − ⎞⇒C⎛ ⎞
VIb.2 Đề bài:
Lời giải:
Xét đường thẳng đi qua d và song song (P)
( ),( )
⇒ ⊂ qua A và ( ) / /( )Q P
Xét phương trình (Q) ⇒n a/ /n( )P =(1, 2, 2)− , Q qua A (-3,0,1)
( )Q
⇒ (x+ −3) 2(y− +0) 2(7 1) 0− = ⇔ −x 2y+2z+ =1 0
Đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là min chính là đường thẳng đi qua hình chiếu của B lên (Q)
Ta sẽ tìm hình chiếu của B0 của B trên (Q)
Xét đường thẳng (Δ ) và ( )⊥ Q véc tơ chỉ phương (Δ ) là: (1, 2,2)uΔ − ⇒ Δ có phương trình:
1
1 2
3 2
= +
⎧
⎪ = − −
⎨
⎪ = +
⎩
⇒ B0 là giao của (Δ ) và ( )Q (1⇒ + − − −t) 2( 1 2 ) 2(3 2 ) 1 0t + + t + =
1 t 2 4t 6 4 1 0t
⇒ + + + + + + =
Trang 69 10
9
⇒ − − = −
0
x+ = y = z−
−
Câu VIIb
(1,0 điểm)
Đề bài:
Lời giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2 1
x
x m
x
−
− + =
⇔ f(x) = 2x2 – mx – 1 = 0 (với x≠ 0)
Vì Δ =m2+ > m8 0 ∀ và f(0)≠ 0 nên f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt
Đường thẳng y = m – x luôn cắt đồ thị hàm số y x2 1
x
−
= tại hai điểm phân biệt A(x1 ; y1) ; B(x2 ; y2) với y1 = m – x1 ; y2 = m – x2
Theo định lí Vi-ét thì
1 2
2 1 2
m
x x
x x
⎧ + =
⎪⎪
⎨
⎪⎩
Ta có: AB = 4
2
2 6
m
m
⎛ ⎞
⎝ ⎠
⇔ = ±
Vậy m= ±2 6 là giá trị cần tìm
Nguồn: Hocmai.vn