DEDA HSG huyen Yen Thanh mon toan 9

[r]

Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành

Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2009 - 2010

Môn: Toán - Lớp 9 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 (2điểm)

Cho biểu thức

P =

2

.



a, Rút gọn P

b, Chứng minh rằng, nếu 0 < x < 1 thì P > 0

c, Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 2 (2điểm)

Cho phơng trình

3 1

4

x  x  x a

(a là tham số)

a, Tìm điều kiện của x để phơng trình có nghĩa

b, Với giá trị nào của a thì phơng trình trên có nghiệm? Tính x theo a

Bài 3 (2điểm)

a, Với hai bộ số (a1, a2) và (b1, b2) bất kỳ

Chứng minh rằng (a1b1+ a2b2)2  (a1 + a2 )(b1 + b2 )

b, Cho x, y  0 và x2 + y2 = 1 Chứng minh rằng

1

2  x3 + y3  1

Bài 4 (2,5điểm)

Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Từ A và B ta vẽ hai dây AC và BD cắt nhau tại N Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đờng tròn cắt nhau tại M (C, D là các tiếp điểm) Gọi P là giao điểm của hai đờng thẳng AD và BC

a, Chứng minh PN vuông góc với AB

b, Chứng minh P, M, N thẳng hàng

Câu 5 (1,5 điểm)

Tìm tất cả các hàm số bậc nhất f(x) và hàm số g(x) thoả mãn các điều kiện:

f[g ( x )]=x và f ( x )+g ( x )=2 x.

-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2009 - 2010

Hớng dẫn chấm toán 9-

1

(2đ) a, Rút gọn P

P =

2

.



1

=      

2

1

2

x



=

  2 

= x1  x

b, Với 0 < x < 1 thì x 0 và x 1 => 1  x 0

Do đó P = x1  x

> 0

c, Ta có P =

2

       

Nên Pmax =

4 x 2 hay

1 4

x 

0.25 0.25 0.25 0.25

2

(2đ)

a, Phơng trình có nghĩa khi và chỉ khi

2

3 3

4

3 1 3

0

4 2 4

x x

x x



         

b,

3 1

4

x  x  x a

2

2

3 1

4 2

3 1

4 2

      

     

Do

;

x    x  a   a Khi đó:

2

2

2 2(2 1) 2

x

     

0.5

0.25

0.25 0.25

0.25

0.25 0.25

(2đ) a, Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxkib, Vì hai số x, y không âm và thoả mãn x 2 + y 2 = 1 nên x1 và y1

Vì vậy x3  x2 và y3  y2

Suy ra x3 + y3  x2 + y2 = 1

áp dung BĐT Bunhiacôpxki, ta đợc

x + y = 1.x + 1.y  (12 1 )(2 x2y2)  2

(x + y)(x 3 + y 3 ) =  x2 y2 x32 y32 x2 y22  1

Suy ra x 3 + y 3

2

x y



1.0 0.25 0.25 0.25 0.25

3

(2,5đ)

a, Trong tam giác APB có: AC BP; BD AP

 N là trực tâm của tam giác APB

 PN AB (ĐPCM)

b, Gọi I là trung điểm của PN

Trong tam giác vuông PCN thì CI là trung tuyến

 CI = IP = IN  IPC cân  IPC = ICP

Mặt khác ACO cân  CAO = ACO

Hơn nữa CAB = HBP (cùng phụ với APB)

 PCI = ACO

Nhng MCP = ACO (cùng phụ với MCN)

 I  MC

Chứng minh tơng tự I MP

Vậy I MC MP  MI hay P, M, N thẳng hàng

1.0 0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25

4

(1.5đ) Giả sử f(x) = ax +b (a0)

Vì f[g ( x )]=x nên a.g(x) + b = x.

Suy ra g(x) = 1

a x −

b

a.

Từ giả thiết suy ra

2 x=f ( x )+g ( x)=ax+b+1

a x −

b

a=(a+1

a)x +(b − b

a)

Do đó a+1

a=2;b −

b

a=0

Suy ra a2−2 a+1=0 , b (a −1)=0

Vậy a = 1, b tuỳ ý

Hai hàm số cần tìm là f(x) = x + b ; g(x) = x- b, b R

0.25 0.25

0.25 0.25 0.25 0.25

Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa

N O

P

M

y

x

C D

H

I