SKKN phuong phap moi giai bai toan so sanh mot so voi nghiem cua tam thuc bac hai xep bac b thanh pho Ha noi

Đối với chương trình toán Trung học phổ thông thì các bài tập có liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai chiếm một số lượng lớn trải dài từ lớp 10 đến lớp 12.Tr[r]

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

I.MỞ ĐẦU

Đối với chương trình mới đại số lớp 10 nhằm giảm tải nên học sinh chỉ được học về “dấu của nhị thức bậc nhất” và “dấu của tam thức bậc hai”, không được học “định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” nên khi lên lớp 12 học

về giải tích lớp 12, việc giải các bài toán tìm điều kiện để hàm số đồng biến , nghịch biến trên một khoảng K cho trước thường gây lúng túng và khó khăn cho học sinh khi làm bài Nhiệm vụ của người giáo viên là giúp học sinh biết liên hệ , phân tích tổng hợp để biết cách quy bài toán chưa biết cách giải về bài toán quen thuộc đã biết cách giải

Để góp phần giúp học sinh thực hiện tốt hơn việc giải các bài toán liên quan đến bài toán “so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai” và có phương pháp giải toán mới theo tinh thần đổi mới của sách giáo khoa tôi đã

chọn đề tài với nội dung “ Phương pháp mới để giải bài toán so sánh một

số với các nghiệm của tam thức bậc hai “

II.VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU

1.Cơ sở thực tiễn của đề tài

Trong chương trình toán THPT các bài toán liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai chiếm một vị trí rất quan trọng Chẳng hạn như các bài toán “Tìm điều kiện để hàm số đồng biến , nghịch biến trên một khoảng cho trước” , ”Tìm điều kiện để phương trình , bất phương trình

có nghiệm trong một khoảng cho trước” ,…rất hay gặp trong các bài kiểm tra, các bài thi tốt nghiệp và thi Đại học_Cao đẳng.Trong khi theo chương trình sách giáo khoa mới học sinh chỉ được học kiến thức về dấu của tam thức bậc hai chứ không được học định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai Như vậy thực tiễn đặt ra là phải có cách nhìn nhận và tiếp cận mới để đưa việc giải các bài toán so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai về bài toán xét dấu của tam thức bậc hai mà học sinh đã biết cách giải

Năm học 2008-2009 là năm đầu tiên sách giáo khoa lớp 12 theo chương trình mới được sử dụng.Thông qua việc trực tiếp giảng dạy và dự giờ đồng nghiệp, tôi nhận thấy kiến thức về giải tích lớp 12 của học sinh còn hạn chế , các em rất lúng túng và gặp khó khăn khi giải những bài toán tìm điều kiện

để hàm số đồng biến , nghịch biến trên một khoảng cho trước (mà dấu của

đạo hàm y’ phụ thuộc vào dấu của tam thức f( x )ax2bx c , a ≠ 0) Điều đó khiến tôi phải suy nghĩ và tìm tòi phương pháp giải mới phù hợp và dễ hiểu đối với trình độ và kiến thức của học sinh

Từ vấn đề được đặt ra như trên , tôi đã mạnh dạn áp dụng ,khai thác các bài toán và cố gắng đưa bài toán phức tạp về bài toán đơn giản mà học sinh đã biết cách giải trong các tiết học bài tập và tự chọn của môn học và đã thu được một số kết quả như mong muốn

2.Mục đích của đề tài

Đối với chương trình toán Trung học phổ thông thì các bài tập có liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai chiếm một số lượng lớn trải dài từ lớp 10 đến lớp 12.Trong khi đó phương pháp sử dụng “định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” là một công cụ rất mạnh để giải quyết các bài toán này thì do giảm tải nên không được đưa vào sách giáo khoa.Điều

đó khiến cho không chỉ học sinh mà nhiều giáo viên cũng cảm thấy lúng túng và khó khăn khi gặp các bài toán như vậy, họ chưa có công cụ hữu hiệu

để giải quyết một cách chung nhất cho các bài tập có liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai Đề tài này được viết ra với mục đích nhằm giúp cho cả học sinh và giáo viên sẽ có một cách nhìn nhận mới, một phương pháp mới giải quyết mọi vấn đề liên quan đến bài toán so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai mà không cần dùng “định

lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” Đây cũng là một vấn đề được đông đảo học sinh , giáo viên quan tâm và mong muốn được giải quyết

3.Lịch sử của đề tài

Năm học 2008-2009 là năm học đầu tiên học sinh được học sách giáo khoa lớp 12 theo chương trình mới Nhằm thực hiện giảm tải nên chương trình đại

số 10 cắt bỏ phần kiến thức “định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” Ở các năm học trước đó do sử dụng sách giáo khoa chương trình cũ có phần kiến thức“định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” nên giáo viên và học sinh đã

có công cụ hữu ích để giải các bài toán có liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai nên ít người nghĩ tới cần phải tìm một phương pháp mới thay thế phương pháp sử dụng “định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” vốn rất mạnh trong giải bài tập.Do đó bắt đầu sang năm học 2008-2009 khi sử dụng sách giáo khoa theo chương trình mới nhiều giáo viên và học sinh cũng đã cố gắng tìm tòi để tìm ra một phương pháp mới thay thế phương pháp sử dụng “định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” nhưng cũng chưa có ai đưa ra một phương pháp chung , dễ hiểu và gần gũi với người học Chính vì vậy sau nhiều thời gian nghiên cứu và thử nghiệm tôi xin mạnh dạn đưa ra phương pháp giải mới có thể góp phần hữu ích giúp cho việc dạy và học toán được tốt hơn

4.Phạm vi sử dụng đề tài

Đề tài được nghiên cứu nhằm sử dụng rộng rãi cho cả giáo viên và học sinh-Những người quan tâm tới phương pháp giải toán về các bài toán liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai

5.Quá trình thực hiện nghiên cứu

Năm học 2008-2009 là năm đầu tiên sách giáo khoa lớp 12 theo chương trình mới được sử dụng Thông qua việc trực tiếp giảng dạy và dự giờ đồng nghiệp, tôi nhận thấy kiến thức về giải tích lớp 12 của học sinh còn hạn chế, các em rất lúng túng và gặp khó khăn khi giải những bài toán tìm điều kiện

để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước (mà dấu của

đạo hàm y’ phụ thuộc vào dấu của tam thức f( x ) =ax2+bx+c, a ≠ 0) Điều đó khiến tôi phải suy nghĩ và tìm tòi phương pháp giải mới phù hợp và dễ hiểu đối với trình độ và kiến thức của học sinh

Từ vấn đề được đặt ra như trên, tôi đã mạnh dạn áp dụng, khai thác các bài toán và cố gáng đưa bài toán phức tạp về bài toán đơn giản mà học sinh đã biết cách giải trong các tiết học bài tập và tự chọn của môn học và đã thu được một số kết quả như mong muốn

6 Nhiệm vụ nghiên cứu.

- Nghiên cứu cơ sở lý luận lý thuyết về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai đại số 10

- Đề xuất một phương pháp giải mới nhằm giải quyết những bài toán liên quan đến so sánh nghiệm của tam thức bậc hai mà không sử dụng định lí đảo

về dấu của tam thức bậc hai

B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I.NỘI DUNG CẦN GIẢI QUYẾT.

Vấn đề cần giải quyết là hãy chỉ ra phương pháp giải các bài toán liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai mà không sử dụng phương pháp ”Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai”

II.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Định lí Viet

Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a0) (*) có hai nghiệm x1, x2 thì

S = x1+x2=− b

a ,

p = x1 x2¿c

a

Nhận xét :

Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a0) có hai nghiệm x1, x2 (x1≤ x2) Đặt

S = −b a và P = c a Khi đó :

+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1<0<x2⇔ P <0

+ Phương trình có hai nghiệm dương 0<x1≤ x2

Δ≥ 0

⇔ S > 0

P >0

+Phương trình có hai nghiệm âm x1≤ x2< 0

Δ≥ 0

⇔ S < 0

P > 0

2.Định lí về dấu của tam thức bậc hai :

a > 0

∀ x ∈ R , ax2

+bx+c >0 ⇔ Δ<¿ 0

0 , 2









x R ax bx c ⇔ a < 0

Δ<¿ 0

III.CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.

1.DẠNG 1:

+bx+c=0 ( a 0) có hai nghiệm x1, x2

thỏa mãn x1<α<x2

Cách giải :

Ta đặt t=x − α Khi đó bài toán dẫn đến tìm điều kiện để tam thức g(t )=0

( với g(t )=f (t+ α))có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1<0<t2 đã biết cách giải

Thí dụ 1 : Bài 58b (SGK Giải Tích 12 nâng cao,trang 56)

Cho hàm số y= 2 x −1

x +1 (H).

Với các giá trị nào của m, đường thẳng ( d m) đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Lời giải:

TXĐ :D=R\{−1}

Phương trình của đường thẳng (d m ) đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc m là

: y=m(x +2)+2

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d m ) và đồ thị (H) là nghiệm của

phương trình :

mx+ 2m+2= 2 x −1

x +1 (x ≠ −1) ⇔(mx+2m+2)(x+1)=2 x − 1

⇔ mx 2 +3 mx+2m+3=0 (1)

Hai nhánh của (H) nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng x=− 1 nên

đường thẳng (d m) cắt hai nhánh của (H) khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 <−1<x2

Đặt t=x +1 hay x=t − 1 phương trình (1) trở thành:

m¿

⇔ mt2 +mt +3=0 (2)

Bài toán đã cho trở thành tìm m để phương trình ( 2) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1<0<t2 hay 3 m<0 ⇔m<0

Vậy với m<0 đường thẳng ( d m ) đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc m cắt

đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

2.DẠNG 2:

Tìm điều kiện để phương trình ax2+bx+c=0 ( a 0)có hai nghiệm x1, x2

thỏa mãn  x1 x2 hoặc x1 x2  

Cách giải :

Ta đặt t=x − α Khi đó bài toán dẫn đến tìm điều kiện để tam thức g(t )=0

( với g(t )=f (t+ α)) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0 t 1 t2 hoặc (

1 2 0

t t  ) đã biết cách giải

Thí dụ 2 Bài 63c (SGK Giải Tích 12 nâng cao, trang 57).

Cho hàm số y= x+2

2 x+1 (H) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng y=mx+m− 1 cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Lời giải :

TXĐ D=R\{−12 }

Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong (H) là nghiệm

của phương trình :

mx+m−1=¿ x +2

2 x +1

⇔ (mx+ m−1)(2 x+1)=x +2

⇔ 2mx23(m1)x m  3 0 (1)

Hai nhánh của (H) nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng x= −1

2 nên

đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn

1 2

1



hoặc 1 2

1

2

x x  

Đặt t=x +1

2 hay x=t −1

2 phương trình (1) trở thành :

2

2

mt  m t 

(2)

Bài toán đã cho trở thành tìm m để phương trình ( 2) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0 t 1 t2 hoặc t1 t2  0

Tức là   0 (m 3)212m0 m 3

⇔ ⇔ ⇔

P > 0 -m > 0 m 0

Vậy m    ( ; 3) ( 3;0)  là các giá trị cần tìm

3.DẠNG 3

DẠNG 3.1

Tìm điều kiện để bất phương trình ax2bx c  0 ( a 0) trên khoảng( ; ).

Cách giải :

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a 0

  0

Trường hợp 2:

Phương trình ax2+bx+c=0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x1 x2  

( với g(t )=f (t+ α)) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1 t2  0

Với a>0 và   0

S  0

P 0

Thí dụ 3 Cho hàm số

2

3

y x  x   m x m 

Xác định m để hàm số

đồng biến trên khoảng (3;)

Lời giải :

TXĐ D=R

Ta có y' 2 x2 4x m  3

Dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của f x( ) 2 x2 4x 3 m

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;) ⇔ f x ( ) 0,  x (3;)

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a 0

  ' 0

⇔ 2>0 ⇔ m1 (a)

2m -2 0

Trường hợp 2:

Phương trình 2x2 4x  3 m 0 (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x1 x2  3

Đặt t= x-3 hay x=t+3 Phương trình (1) trở thành :

2(t3)2 4(t3) 3  m0

⇔2t2  8t  9 m 0 (2) với a=2 >0

Phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1 t2  0

  ' 0 2m  2 0  m 1

⇔ S < 0 ⇔ - 4 < 0 ⇔ ⇔ 1 m 9 (b)

P  0 9-m 0 m 9

Từ (a) và (b) ta có m 9 thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;)

DẠNG 3.2

Tìm điều kiện để bất phương trình ax2bx c  0 ( a 0) trên khoảng ( ; )

.

Cách giải :

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a 0

  0

Trường hợp 2:

Phương trình ax 2

+bx+c=0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x1 x2  

( với g(t )=f (t+ α)) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1 t2  0

a<0

  0

S  0

P 0

Thí dụ 4: Cho hàm số

2

3

y x  mx  m  m x m 

Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (2;)

Lời giải :

TXĐ D=R

Ta có y'2x24mx m 22m1

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2;)thì y ' 0 ,  x (2;)

Đặt f(x)=  2x2 4mx m 2 2m 1 ta tìm m để f(x)  0, x (2;)

Ta có  '=2m2 4m 2>0 m

Phương trình  2x2 4mx m 2 2m 1  0 (1) có hai nghiệm x1, x2phân biệt

thỏa mãn x1 x2  2 hay x1  2 x2  2 0 

Đặt t=x-2 hay x= t+2 phương trình (1) trở thành

2(t2)24 (m t2) m22m 1 0

⇔  2t2 4(m 2)t m 2 10m 7 0  (2) với a=-2<0

Phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 phân biệt thỏa mãn t1 t2  0

  ' 0 2m2 4m 2>0 m m 2

S  0 ⇔ 2(m  2) 0 ⇔

P 0 2(m210m 7) 0 m  5 3 2 ; m  5 3 2

⇔ m  5 3 2

Vậy với m  5 3 2 hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2;)

4.DẠNG 4

DẠNG 4.1

Tìm điều kiện để bất phương trình ax2bx c  0 ( a 0) trên khoảng( ; ) .

Cách giải :

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a 0

  0

Trường hợp 2:

Phương trình ax 2

+bx+c=0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

 x1 x2

( với g(t )=f (t+ α)) có hai nghiệm t1, t2 phân biệt thỏa mãn 0 t  1 t2

a>0

  0

S > 0

P 0

Thí dụ 5 :

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

1

3

y x  m x  m x

đồng biến trên khoảng ( ;1)

Lời giải :

TX Đ D=R

Ta có y'x2 2(m1)x 3m1

Đặt f x( )x2 2(m1)x 3m1 Khi đó để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ;1) thì f(x)  0 ,    x ( ;1)

Xét 2 trường hợp :

Trường hợp 1:

a 0 a=1>0

  ' 0 m2 5m 0

Trường hợp 2:

Phương trình x2 2(m1)x 3m 1 0 (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

1 2

1 x x

(t1)2 2(m1)(t1) 3 m 1 0

⇔ t2  2mt 5m 0 (2)

Để phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0 t  1 t2 thì

a>0 a=1>0 m 0; m  5

  ' 0 ⇔ m2 5m 0 ⇔ m 0 ⇔ vô nghiệm

S > 0 m 0 m 0

P  0 -5m  0

Vậy kết hợp cả hai trường hợp ta được  5 m 0thì hàm số đã cho dồng

biến trên khoảng ( ;1)

DẠNG 4.2

Tìm điều kiện để bất phương trình ax2bx c  0 ( a 0) trên khoảng( ; ) .

Cách giải :

Xét hai trường hợp :

Trường hợp 1:

a 0

  0

Trường hợp 2:

Phương trình ax2+bx+c=0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

 x1 x2

( với g(t )=f (t+ α)) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn 0 t  1 t2

a 0

  0

S > 0

P 0

Chú ý : Ta có thể chuyển dạng 4.2 về dạng 4.1 bằng cách đặt p(x)=-f(x)

Vì f x( )ax2bx c 0 ( a 0) trên khoảng ( ; ) nên p(x) 0 trên khoảng

(   ; )  .

V.ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

Trước khi cho học sinh áp dụng phương pháp giải mới thì kết quả học sinh hai lớp 12B1 và lớp 12B2 đạt được khi làm bài toán liên quan đến tìm điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên một khoảng K như sau

0  2

Điểm 3,4

Điểm 5;6

Điểm 7;8

Điểm 9;10

Điểm  5

Tỷ lệ %

Sau khi cho học sinh áp dụng phương pháp giải mới thì kết quả học sinh hai lớp 12B1 và lớp 12B2 đạt được khi làm bài toán liên quan đến tìm điều kiện

để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên một khoảng K như sau

0  2

Điểm 3,4

Điểm 5;6

Điểm 7;8

Điểm 9;10

Điểm  5

Tỷ lệ %

So sánh kết quả hai lần khảo sát tôi thấy tỷ lệ học sinh làm được bài sau khi

áp dụng đề tài đã tăng nhiều hơn đáng kể , số điểm (9;10) cũng đã được tăng lên rõ rệt Đặc biệt là nhờ có cách tiếp cận làm bài mới học sinh cảm thấy hứng thú hơn đối với môn học , các em không còn thấy khó khăn hay lúng túng khi gặp những bài toán có liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai nữa

VI.LỢI ÍCH CỦA ĐỀ TÀI ĐỐI VỚI TOÁN THPT

Đề tài nghiên cứu tôi đã trình bày ở trên có thể giúp cho học sinh biết cách giải một số lượng lớn các bài toán trong chương trình toán THPT có liên quan đến tìm điều kiện để phương trình,bất phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước trải dài từ lớp 10 đến lớp 12 mà được đưa về các bài toán liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai

Đề tài cùng đã giải quyết được một vấn đề lớn mà đông đảo giáo viên và học sinh đang quan tâm tìm cách để có một phương pháp chung nhất làm các bài toán mà đưa được về so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai

Đề tài đã nêu bật lên phương pháp giải toán theo tinh thần của chương trình