Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho hai đường thẳng MG và AH song song với nhau... PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9
MÔN : TOÁN NĂM HỌC: 2015 – 2016 Khóa ngày: 15/10/2015
Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0đ) Cho biểu thức:
Q
(với x 0;x 9;x 4) a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm các giá trị của x để Q = 1
Bài 2: (2,5đ) Cho x,y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x
Tính giá trị của biểu thức sau: A =
x + y + xy
xy -1
Bài 3: (2,5đ) Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5
dư 2 Hỏi tổng bình phương của chúng có chia hết cho 5 không?
Bài 4: (3,0đ) Cho x, y > 0 Chứng minh bất đẳng thức sau:
P =
x y x y + + 4 - 3 + 0
y x y x
Bài 5: (2,0đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
xy - y = x2 + 2
Bài 6: (6,0đ) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo M là trung
điểm của cạnh AB Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho hai đường thẳng MG và AH song song với nhau
a) Chứng minh: DH.GB = BM.DA
b) Tính số đo góc HOG
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ
HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9.
MÔN : TOÁN NĂM HỌC: 2015 - 2016
Bài 1: (4,0đ) a)
Q
2
( 3) ( 3)( 3) ( 2)(2 ) 9
( 3)( 3) (2 )( 3) (2 )( 3) (2 )( 3)
:
3 (2 )( 3) 3(2 )( 3) 3
( 0; 9; 4) ( 3)(2 ) 2
x x Q
x x
b) Với x 0;x 9;x 4: 3
2
Q
x
x x x
Bài 2: (2,5đ) Ta có: x2 + y = y2 + x
đ)
đ)
Vì x ≠ y nên x + y – 1= 0 <=> x + y = 1 (0,5
đ)
A =
x + y + xy
xy -1 =
2
(x + y) - xy 1- xy
1
xy -1 xy -1 (1,0 đ)
(Vì x + y = 1=> xy ≠1)
Bài 3: (2,5đ) Vì số thứ nhất chia cho 5 dư 1 nên có dạng : 5k+1 (0,25
đ)
số thứ hai chia cho 5 dư 2 nên có dạng : 5q+2 (k,q Z) (0,25 đ)
Ta có: (5k+1)2 + (5q+2)2 = 25k2 + 10k + 1 + 25q2 + 20q+ 4 (0,5
đ)
= 25k2 + 10k + 25q2 + 20q+ 5 (0,5 đ)
= 5(5k2 + 2k + 5q2 + 4q + 1) (0,5 đ)
Vậy tổng bình phương của hai số đó chia hết cho 5 (0,5
đ)
(1 đ) (1 đ) (0.5 đ) (0.5 đ) (1 đ)
Trang 3Bài 4: (3,0đ)
Đặt a =
x y
y x, ta có a2 =
x y
y x => a2 – 2 =
x y
Thay vào P ta có: P =
= a2 – 3a + 2= (a-1)(a-2) (0,75đ)
Vì x > 0, y > 0 => a =
x y
=> a – 2 ≥ 0; a – 1> 0
(0,25đ)
Bài 5: (2,0đ)
xy – y = x2 + 2
<=> y(x -1) = x2 + 2
(0,25đ)
=> y =
1
x x
=
3 1 1
x x
=> x {0;2;-2;4)
(0,25đ)
Với x =0 => y = -2
x = 2=> y = 6
x = -2 => y = -2
x = 4 => y = 6
Vậy phương trình có 4 nghiệm: (0;-2) ; (2;6) ; (-2 ;-2) ;(4;6) (0,5đ)
Bài 6: (6,0đ)
a) Chứng minh: DH.GB = BM.DA
ADH và GBM có:
ADH = GBM (=900)
AHD = GMB( cặp góc có cạnh tương ứng song song)
DH AD
b) Tính số đo góc HOG
Ta có : DH.GB = BM.DA ( câu a)
MBO vuông cân tại M => BM = BO
2
ADO vuông cân tại O => AD = DO 2 (0,5đ)
H
M
O
B
D
A
C G
Trang 4 DH.GB = BM.DA = BO.
2
2 DO 2=BO.DO (0,5đ)
DH DO
BO GB mà ODH = GBO (=450) (0,5đ)
DOH + HOG + GOB=BGO+GOB+OBG(=1800) (0,25đ)
Chú ý: HS làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa