Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và đi qua 2 điểm A, B. Câu 5b.[r]
Trang 1ƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2009 Môn: Toán - Khối A Thời gian làm bài: 180 phút
A Phần dành chung cho tất cả các thí sinh:
Câu 1 Cho hàm số y = x3 (m + 1)x + 5 m2.
1) Khảo sát hàm số khi m = 2;
2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực
tiểu và điểm I(0 ; 4) thẳng hàng
Câu 2 1) Giải phương trình:
tan 2 cos cos
4
x x x
2) Giải hệ phương trình:
x y 1 y x 1 25
x y 11
Câu 3 1) Tính tích phân: I =
2
0
dx
2) Cho x, y, z là các số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + yz + zx 27xyz.
Câu 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
3 '
3
a
AA
và
BAD BAA DAA Tính thể tích hình hộp theo a.
B Phần dành riêng cho từng ban:
Câu 5a (Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn)
1) Giải phương trình:
log log ( x 1 x ) log log ( x 1 x )
2) Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1 ; 2; 2), B(3 ; 2; 0) và mặt phẳng () có phương trình 2x 2y z + 1 = 0.
a) Viết phương trình mặt phẳng () đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với ();
b) Gọi d là giao tuyến của () và () Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và đi qua 2 điểm A, B.
Câu 5b (Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao)
1) Giải phương trình: log (42 x 1) log (22 2x3 6) x
2) Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.OACB có S(0; 0; 2), đáy OACB là hình vuông và A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của O trên SA, SB, SC.
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A’, B’, C’;
b) Chứng minh các điểm O, A, B, C, A’, B’, C’ cùng thuộc một mặt cầu Viết phương trình mặt cầu đó.
Hết
Trang 2Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 20082009.KHỐI A
A Phần dành chung cho tất cả các thí sinh:
Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 3x + 1
1) TXĐ: R
2) SBT
•Giới hạn: xlim y ; limx y
0,25
•BBT:
Có y’ = 3x2 3 = 0 x = 1
y’ + 0 0 +
y
3
1
+
Hàm số ĐB trên ( ; 1) và (1 ; +), nghịch biến trên (1 ; 1)
0,25
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = y(1) = 3;
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = y(1) = 1
0,25
3) Đồ thị:
Giao với Oy: (0 ; 1)
Đi qua: (2 ; 3), (2 ; 1)
2(1đ) Tìm m
Có y’ = 3x2 (m + 1) Hàm số có CĐ, CT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
y” = 6x = 0 x = 0 Đồ thị có tâm đối xứng là U(0 ; 5 m2) 0,25
Từ giả thiết suy ra I trùng U 5 m2 = 4 m = 1 (do (*)) 0,25 2(2đ) 1(1đ) Giải phương trình
PT tanx = cosx(sinx + cosx) sinx = cos2x(sinx + cosx) 0,25
sinx(sin2x + cos2x) = cos2x(sinx + cosx) 0,25
sin3x = cos3x sinx = cosx x 4 k
(k ) (Thoả mãn)
0,25
2(1đ) Giải hệ PT
Đặt x 1 u 0; y 1 v 0
Ta có hệ mới:
2 2
uv u v
u v uv
0,25
Đặt u + v = S, uv = P, ta có:
2
S P
2 13
2
S
S
S3 15S 50 = 0
0,25
(S 5)(S2 + 5S + 10) = 0 S = 5 P = 6 0,25
Từ đó tìm được: u = 2, v = 3 hoặc u = 3, v = 2 Suy ra nghiệm hệ đã cho là:
3 8
x y
hoặc
8 3
x y
0,25
3 (2đ) 1(1đ) Tính tích phân
Đặt 1 2x u dx = (u 1)du; u(0) = 1, u(2) = 3 0,25
2
-2 -1
1 2 x 1
3
-1 -2
y
O
Trang 3 I =
3
1
1 2
2 ( 1)
u
u du u
=
3
1
2
du u
=
3
1
=
3 2
1
2
u u
0,5
2(1đ) Tìm giá nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
+) Với x, y, z > 0 ta có
x y z
9
x yz
xy + yz + zx ≥ 9xyz BĐT này cũng đúng khi xyz = 0
Do đó: x, y, z ≥ 0, thì A ≥ 18xyz
0,25
Mặt khác, vì x + y + z = 1 nên
1 27
xyz
Từ đó suy ra:
A
Hơn nữa x = y = z = 1/3 thì A = 2/3 Vậy min A = 2/3
0,25
+) Ta có: x2 ≥ x2 - (y - z)2 = (x + y - z)(x - y + z) = (1 - 2y)(1 - 2z) (1) Tương tự : y2 ≥ (1 2z)(1 2x) (2) ; z2 ≥ (1 2x)(1 2y) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra xyz ≤ (1 2x)(1 2y)(1 2z)
xyz ≥ 1 2(x + y + z) + 4(xy + yz + zx) 8 xyz
4(xy + yz + zx) ≤ 1 + 9xyz xy +yz+zx ≤ 1+9 xyz
4
A ≤ 1
99 xyz
1 4
0,25
Mặt khác x = 0, y = z = ½ thì A = ¼ Vậy max A = ¼ 0,25
Hạ đường cao A’H Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AD Theo định
lý 3 đường vuông góc suy ra A’E AB, A’F AD vuông A’AE bằng vuông A’AF (A’A chung và góc A’AE bằng góc A’AF) HE = HF H thuộc đường phân giác góc BAD H AC
0,25
Từ A’AE
3 6
a
AE
, ' 2
a
A E
Từ AHE HE = AE.tan300 = 6
a
2 2 2 '
A H
0,25
Diện tích ABCD là
2 3 2
a
Suy ra thể tích hộp:
3 6 6
a
V
0,25
B Phần dành riêng cho từng ban:
5a(3đ) 1(1đ) Giải PT
Đặt log (3 x2 1 x)t
2 1 3
Ta có PT: 2 12
log tlog t
log2tlog2t log2t 0 t = 1 0,25
Vậy: log (3 x2 1 x) 1 x2 1 x 3 0,25
2 1 3
x
4 3
x
.
0,25
2(2đ) a) Viết phương trình mp()
F
E H
C'
C A
B
B' A'
D'
Trang 4mp() có 1 vectơ pháp tuyến n (2; 2; 1)
; AB (4;0; 2)
0,25
mp() có 1 vectơ pháp tuyến là n n AB(4;0;8)
phương trình mp(): x + 2z 3 = 0
0,75
b) Viết phương trình mặt cầu
Gọi () là mp trung trực của AB thì ()đi qua trung điểm M(1 ; 2 ; 1) của AB
và có 1 vectơ pháp tuyến AB (4;0; 2)
Gọi I là tâm mặt cầu thì I là giao điểm của 3 mặt phẳng (), (), ()
toạ độ I là nghiệm của hệ:
x y z
x z
x z
I(1 ; 1 ; 1)
0,5
Bán kính mặt cầu R IA 6 PT mặt cầu:
(x 1)2 + (y 1)2 + (z 1)2 = 6 0,25
5b(3đ) 1(1đ) Giải phương trình
PT log (42 x1) log 2 (2 2 x 2x3 6) 4x 1 2 (2x 2x3 6) 0,25 Đặt 2x = t > 0, ta có PT: t2 + 1 = t(8t2 6) = 0
8t3 t2 6t 1 = 0 (t 1)(8t2 + 7t + 1) = 0 t = 1
0,5
2(2đ) a) Viết phương trình mặt phẳng
Có AC OA, AC SO AC (SOA) AC OA’, lại do OA’ SA nên OA’ (SAC) OA’ SC
Tương tự OB’ SC
Vậy OA’, OB’, OC’ cùng vuông góc với SC chúng thuộc mặt phẳng qua O
và vuông góc với SC A’, B’, C’ thuộc mặt phẳng đi qua O và vuông góc với SC
0,5
Vì OABC là hình vuông nên C(1 ; 1; 0) SC (1;1; 2)
PT mặt phẳng cần tìm: x + y 2z = 0
0,5
b) Chứng minh Viết PT mặt cầu
Vì OA’ (SAC) nên OA’ A’C Tương tự: OB’ B’C Như vậy: các điểm A, B, A’, B’, C’ nhìn đoạn AC dưới một góc vuông O,
A, B, C, A’, B’, C’ thuộc mặt cầu (S) đường kính OC
0,5
Tâm I của mặt cầu (S) là trung điểm OC
1 1
; ;0
2 2
I
Bán kính của (S):
R OC
Vậy phương trình mặt cầu (S):
2
0,5
C’
I
B’
C B
S
A’