Ta chứng minh khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc một trong 4 tam giác đó không vượt quá 1 (khoảng cách luôn không lớn hơn cạnh lớn nhất là 1).. Do có 5 điểm trong tam giác ban đầ[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS DIỄN THỊNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: Toán 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5,0 điểm )
a) Rút gọn biểu thức: ( )
-=
+
12 5 6 2 6
A
b) Tìm x,y nguyên biết: xy + 3x – y = 14
c) Tìm x, biết :
x x x x x
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Cho (xyz≠0) và
2017 2018 2019
x y z x y z
Tính giá trị biểu thức:
P
b) Ba lớp 7A,7B,7C cùng mua một số gói tăm từ thiện Lúc đầu số gói tăm dự định chia cho 3 lớp tỉ lệ với 5,6,7 Nhưng sau đó lại chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định là 4 gói.Tính tổng số gói tăm 3 lớp đã mua
Bài 3: (4,0 điểm )
a) Tìm GTNN của biểu thức: P x 2016 x 2017 x 2018 y 2019
b) Cho biểu thức
M
x y z x y t y z t x z t
với x, y, z, t là các số tự
nhiên khác 0 Chứng minh M có giá trị không phải là số tự nhiên
Bài 4: ( 6,0 điểm )
Cho tam giác ABC có A<90µ o Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE
a) Chứng minh CD = BE, CD BE
b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho
MA = MN Chứng minh ABC = ENA
c) Chứng minh MA BC
Bài 5: (1,0 điểm )
Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2, người ta lấy 5 điểm phân biệt Chứng minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1
Hết
-Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi.
Trang 2Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN, LỚP 7
NĂM HỌC 2018-2019
( Hướng dẫn này có 3 trang )
1
5đ
a
12 5 12 4
12 6 12 5
2 3 2 3 A
2 3 2 3
-=
+
12 4
12 5
2 3 3 1 A
2 3 3 1
A 3.4
A 6
0,5
0,5
0,5 0,5 b
1,5đ
(x – 1)(y + 3) = 11 (x;y)=(2;8); (0;-14); (12;-2); (-10;-4)
(mỗi cặp cho 0,25 điểm)
0,5 1,0
c
x x x x
1.2 2.3 L 99.100
99 x=
100
0,5
0,5 0,5
2
4đ
a
2,0đ Từ
Đặt 2 3 4 0
x y z
k k
x = 2k, y = 3k, z = 4k
P
1,0
0,5
0,5
b
2,0đ
Gọi tổng số gói tăm 3 lớp đã mua là x ( x là số tự nhiên khác 0 );
Gọi số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7A,7B,7C lúc đầu lần lượt là a,b,c ( a,b,c là các số tự nhiên khác 0 )
Ta có:
( 1 ) Gọi số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là m,n,p ( m,n,p là các số tự nhiên khác 0 )
Ta có:
(2)
0,5
0,5
Trang 3So sánh ( 1 ) và ( 2 ) ta có : a > m; b = n; p > c nên lớp 7C nhận nhiều tăm hơn ban đầu Vậy p – c = 4
Hay
x
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói
0,5
0,5
3
4đ
a
2,0đ
Ta có: x 2016 2018 x x 2016 2018 x 2; Dấu " " xảy ra khi 2016 x 2018 ( 1 );
Lại có x 2017 0; Dấu " " xảy ra khi x 2017 ( 2 )
y 2019 0; Dấu " " xảy ra khi y 2019 ( 3 )
Từ (1), (2) và (3) ta có Min P 2 khi x2017,y2019
0,5 0,5
0,25 0,25 0,25 0,25
b
2,0đ Ta có:
+
< <
+ + + + + + + +
x y z t y z t x y z t
+
< <
x y z t z t x x y z t
+
< <
+
< <
+ + + + + + + +
Þ 1<M<2 Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên
1,0
0,5 0,5
4
6đ
a
3,5đ
Vẽ hình đúng câu a
0,5
K
I
N
M' M
H
E D
C B
A
Trang 4Chứng minh ADC = ABE (c.g.c) DC = BE Chứng minh DC BE
1,5 1,5 b
1,5đ
c
1,0đ
Kẻ AH BC, DI AH, EK AH Gọi M’ là giao điểm của DE và AH Chứng minh M’ là trung điểm của DE
M’ M
MA BC
0,25 0,25 0,25 0,25
5
1đ
1,0đ Chia tam giác thành 4 tam giác không có điểm trong chung bằng
cách nối trung điểm ba cạnh với nhau Khi đó cạnh lớn nhất trong các tam giác đó bằng 1 Ta chứng minh khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc một trong 4 tam giác đó không vượt quá 1 (khoảng cách luôn không lớn hơn cạnh lớn nhất là 1) Do có 5 điểm trong tam giác ban đầu nên theo nguyên lí Dirichle tồn tại 2 nằm trong 1 tam giác nhỏ đó
Vì vậy luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách không vượt quá 1
1,0
Lưu ý:
- Bài 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai thì không chấm
- Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng phần