Dai so 9 Chuong IV 6 He thuc Viet va ung dung

Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai... Tìm các kích thước của vườn hoa?..[r]

KIỂM TRA BÀI CŨ:

Nêu công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 Tính tổng x1 + x2 và tích x1.x2

Xét phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

 = b 2 – 4ac

Nếu  > 0, thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

b x

a

  

2

b x

a

  



1 2

x         

1 2

2 2

b a



a





2 2

( )

4

b a

  



2 2

2

4

a



2 2

2

4 4

b b ac

a

4

ac a

a



Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

Định lý Vi-ét:

•Chú ý:

Muốn vận dụng được định lí Vi-ét thì phải chứng tỏ

phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm, tức là

 ≥ 0 hoặc ’ ≥ 0.

TIẾT 57 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

I/ Hệ thức Vi-ét:

1. 2

b

x x

a c

x x

a



 









Phrăng-xoa Vi-ét (F Viète) là một nhà Toán học – một luật sư và là một nhà chính trị gia nổi tiếng người Pháp (1540 – 1603) Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai

Định lý Vi-ét:

TIẾT 57 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

I/ Hệ thức Vi-ét:

Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình: x 2 – 7x + 12 = 0

Ta có:  = (-7) 2 – 4.12 = 1 > 0

Áp dụng Hệ thức Vi-ét ta có:

Giải

1 2

7 12

x x

x x









Nhẩm nghiệm ta được: x 1 = 3; x 2 = 4

Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

TIẾT 57 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

?2 Cho phương trình 2x 2 – 5x + 3 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.

c) Dùng định lí Vi-ét để tìm x 2.

b) Chứng tỏ rằng x 1 = 1 là một nghiệm của phương trình.

Cho phương trình: 3x 2 + 7x + 4 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.

b) Chứng tỏ rằng x 1 = -1 là một nghiệm của phương trình c) Tìm nghiệm x 2

?3

Định lý Vi-ét:

I/ Hệ thức Vi-ét:

?2 Cho phương trình 2x 2 – 5x + 3 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.

c) Dùng định lí Vi-ét để tìm x 2.

b) Chứng tỏ rằng x 1 = 1 là một nghiệm của phương trình.

a) Ta có: a = 2, b = -5, c = 3

a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0

b) Thay x 1 = 1 vào vế trái của phương trình ta được: 2.1 2 - 5.1+ 3 = 0 nên x 1 = 1 là một nghiệm của phương

trình c) Theo định lí Vi-ét ta có:

1 2

c

x x

a

1

2

x

2

x

x

a



Giải

Cho phương trình: 3x 2 + 7x + 4 = 0.

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.

b) Chứng tỏ rằng x 1 = -1 là một nghiệm của phương trình c) Tìm nghiệm x 2

?3

a) Ta có: a = 3, b = 7, c = 4

a - b + c = 3 – 7 + 4 = 0

b) Thay x 1 = -1vào vế trái của phương trình ta được: 3.(-1) 2 + 7.(-1) + 4 = 0 => x 1 = -1 là một nghiệm của

phương trình.

c) Theo định lí Vi-ét ta có:

1 2

c

x x

a

( 1)

3

x

3

x

x

a



Giải

Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì 



 x1 x2 c

a

b

a

TIẾT 57 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1 = 1, còn nghiệm kia

là

Tổng quát 1:

Tổng quát 2:

Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1 = -1, còn nghiệm kia

là

2

c x

a



x

a



Định lý Vi-ét:

I/ Hệ thức Vi-ét:

Bài tập: Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) -5x 2 + 3x + 2 = 0

b) 2011x 2 + 2012x + 1 = 0

Giải

a) -5x 2 + 3x + 2 = 0

Có a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0 Nên x 1 = 1; x 2 = -2/5

b) 2011x 2 + 2012x + 1 = 0

Có a – b + c = 2011 – 2012 + 1 = 0 Nên x = -1; x =

-1/2011

Hệ thức Vi-ét cho ta biết cách tính tổng và tích của hai

nghiệm phương trình bậc hai.

Bài toán: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P.

Gọi số thứ nhất là x

x(S - x) = P

Vì tích của chúng là P nên ta có phương trình

Nếu  = S 2 – 4P ≥ 0 thì phương trình (1) có nghiệm.

Các nghiệm này chính là hai số cần tìm

thì số thứ hai là S - x hay x 2 – Sx + P = 0 (1)

Nếu biết tổng và tích của hai số thì hai số đó là hai nghiệm

của phương trình nào ?

TIẾT 57 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

I/ Hệ thức Vi-ét:

II/ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó

là nghiệm của phương trình

x 2 – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S 2 – 4P ≥ 0.

Bài tập: Vườn hoa trường là một hình chữ nhật, có

diện tích là 156m 2 và chu vi là 50m Tìm các kích thước của vườn hoa?

Bài tập: Vườn hoa trường là một hình chữ nhật, có

diện tích là 156m 2 và chu vi là 50m Tìm các kích thước của vườn hoa?

Giải Gọi các kích thước của vườn là a, b(m) Theo đề ta có: a + b = 25; a.b = 156

a b

Ta có: S 2 – 4P = 25 2 – 4 156 = 1 > 0

Nên hai số a, b là nghiệm của phương trình

x 2 – 25x + 156 = 0

Giải ra ta được x 1 = 13; x 2 = 12

Vậy các kích thước của vườn hoa là 13m, 12m

• Làm các bài tập 25, 26, 27, 28 Tr 53 SGK.

• Đọc mục “có thể em chưa biết” Tr 53 SGK.

• Xem trước các bài tập 29, 30, 31, 32, 33 Tr

54 SGK chuẩn bị tiết sau luyện tập.

DẶN DÒ