Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.. 2..[r]
Trang 1SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011
MÔN: TOÁN; KHỐI: B+D
(Thời gian làm bài 180’ không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x 3 3 mx 2 Cm
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số C1
2 Tìm m để đồ thị của hàm số Cmcó tiếp tuyến tạo với đường thẳngd x y : 7 0 góc , biết
1 os
26
c
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình 2cos3 cos 3 1 sin 2 2 3 os 22
4
x x x c x
2 Giải phương trình x 3 3 x 1 x 1
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
3ln 2
2 3
dx I
e
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB a 2 Gọi I
là trung điểm của cạnh BC Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn IA 2 IH
Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 600 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH)
Câu V (1 điểm) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 1
Chứng minh rằng
3
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm
I là giao điểm của đường thẳng d x y : 3 0 và d x y ' : 6 0 Trung điểm một cạnh là giao
điểm của d với trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M (0; 1; 2) và N ( 1;1;3) Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K 0;0; 2 đến (P) đạt giá trị lớn nhất
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho khai triển
0
n
n k n k k
n k
a b C a b
với quy ước số hạng thứ i của khai triển
là số hạng ứng với k = i-1
Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số hạng thứ 6 trong khai triển
8
log2 9 7 5 2
x
là 224
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1
Trang 21 Cho tam giác ABC cân tại A, phương trình các cạnh AB, BC lần lượt là x 2 y 1 0 và
3 x y 5 0 Viết phương trình cạnh AC biết AC đi qua điểm M(1;-3)
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A 2;3;1 , B 1; 2;0 , C 1;1; 2
Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu VII.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình x 3log2x 2 9log2x 2
……….Hết………
SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN; KHỐI: B+D KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011
(Thời gian làm bài 180’ không kể thời gian phát đề)
I
(2điểm) 1.(1,0 điểm)
Hàm số (C1) có dạng y x 3 3 x 2
Tập xác định:
Sự biến thiên
0,25
- Chiều biến thiên: y ' 3 x2 3 0 x 1
Bảng biến thiên
Y
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 , 1;
, nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Hàm số đạt cực đại tại x 1, yCD 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x 1, yCT 0
0,25
Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (1; 0) và nhận I(0; 2) làm điểm uốn
f(x)=x^3-3x+2
-1
1 2 3 4
x
y
0,25
2.(1,0 điểm)
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến n 1 k ; 1
, d có vec tơ pháp
Ta có
1 2
2
1 2
3 1
cos
2
3
k
0,25
Trang 3Yêu cầu bài toán ít nhất một trong hai phương trình y ' k v y1 à ' k2 có nghiệm x
2
2
3
2 2
3
0,25
1
2
0,25
II
(2điểm) 1.(1,0 điểm)
2
4
2
0,25
6
0,5
6
2
x
x
0,25
2.(1,0 điểm)
Điều kiện:
1 3
x
0,25
x
x
x
2
(tmdk)
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1
0, 5
III
(1điểm)
3ln 2 3ln 2 3
x
x
I
Đặt
3
t e dt e dx
Với x = 0 thì t = 1; x = 3ln2 thì t = 2
0,25
Khi đó
2
3
Trang 4(1điểm)
*Ta có IA 2 IH
H thuộc tia đối của tia IA và IA 2 IH
BC AB 2 2 a
Suy ra
3 ,
IA a IH AH IA IH
0,25
Ta có
2
a
HC AC AH AC AH HC
2
a
SH ABC SC ABC SCH SH HC
0,25
Ta có
2
a
HC AC AH AC AH HC
2
a
SH ABC SC ABC SCH SH HC
0,25
3
.
S ABC ABC
a
*
BI AH
BI SAH
BI SH
,
d K SAH d B SAH BI SB
d B SAH
0,25
V
(1điểm) Do a, b, c > 0 và a2 b2 c2 1 nên a b c , , 0;1
Ta có
5 3
3
1 2
1
a a
a a a
a a
3
0,5
S
H
C
A
B I
K
.
Trang 5Xét hàm số f x x3 x x 0;1
Ta có:
0;1
2 3 ax
9
2 3 3
M f x
f a f b f c
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c=
1 3
0,5
VIa
(2điểm) 1.(1,0 điểm)Tọa dộ giao điểm I của d và d’ là nghiệm của hệ phương trình
9
;
2
x
x y
I
x y
y
Do vai trò của A, B, C, D là như nhau nên giả sử M là trung điểm của AD
0,25
0,25
Lại có MA MD 2 tọa độ điểm A, D là nghiệm cuẩ hệ phương trình
0,25
Do I là trung điểm của AC nên C(7; 2)
2.(1,0 điểm)
Gọi n A B C , , A2 B2 C2 0
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng;
0,25
P : 2 B C x By Cz B 2 C 0
Khoảng cách từ K đến mp(P) là:
,
B
d K P
-Nếu B = 0 thì d(K,(P))=0 (loại)
-Nếu B 0thì
2
B
d K P
B
0,25
Dấu “=” xảy ra khi B = -C Chọn C = 1
VIIa
(1điểm)
2
1
log 3 1
x
5
Trang 6
8 9x 7 3x 1 56 9x 7 3x 1
Treo giả thiết ta có
1
1
2
x
x
x x
VIb
(2điểm) 1.(1,0 điểm)
Đường thẳng AC có vec tơ pháp tuyến n 1 1; 2
Đường thẳng BC có vec tơ pháp tuyến n 1 3; 1
Đường thẳng AC qua M(1; -3) nên có phương trình:
1 3 0 2 2 0
a x b y a b
0,25
Tam giác ABC cân tại đỉnh A nên ta có:
a b
c AB BC c AC BC
a b
1 2
2 11
a b
0,25
Với
1 2
a b
, chọn a= 1, b = 2 ta được đường thẳng AC: x + 2y + 5 = 0 (loại vì khi đó AC//AB) 0,25
Với
2 11
a b
2.(1,0 điểm)
H x y z ; ;
là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi BH AC CH , AB H , ABC
2 15
29
15
3
x
BH AC
AH AB AC
z
0,5
I x y z ; ;
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi AI BI CI I , ABC
AI BI
AI AB AC
14 15
1 3
x
z
0,5
VIIb
(1điểm)
Điều kiện x > 0
Bất phương trình 3 x 3 log 2 x 2 x 1 1
0,25
Trang 7Nhận thấy x = 3 không phải là nghiệm của phương trình (1)
x x x
3 log 2
f x x
, hàm số đồng biến trên khoảng 0;
1
3
x
g x
x
, hàm số nghịch biến trên khoảng 3;
0,25
+ Với x> 4 thì f x f 4 3 g 4 g x
Suy ra bất phương trình có nghiệm x > 4
+ Với x 4 thì f x f 4 3 g 4 g x
bất phương trình vô nghiệm
0,25
x x x
+ Với x 1 thì f x f 1 0 g 1 g x
bất phương trình vô nghiệm + Với x < 1 thì f x f 1 0 g 1 g x
Bất phương trình có nghiệm 0 < x <1 Vậy bất phương trình có nghiêm
0,25
SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011
MÔN: TOÁN; KHỐI: A
(Thời gian làm bài 180’ không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x 3 3 mx 2 Cm
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số C1
2 Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của Cm
cắt đường tròn tâm 7
Trang 8 1;1 ,
I
bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình 2cos3 cos 3 1 sin 2 2 3 os 22
4
x x x c x
2 Giải phương trình x2 1 2 5 x 2 x2 4
Câu III (1 điểm) Tính tích phân I=
1
e
( ln x x √ 1+ln x +3 x
2
ln x ) dx
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB a 2 Gọi I
là trung điểm của cạnh BC Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn IA 2 IH
Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 600 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ
trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH)
Câu V (1 điểm) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 1
Chứng minh rằng
3
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm
I là giao điểm của đường thẳng d x y : 3 0 và d x y ' : 6 0 Trung điểm một cạnh là giao
điểm của d với trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M (0; 1; 2) và N ( 1;1;3) Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K 0;0; 2
đến (P) đạt giá trị lớn nhất
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho khai triển
0
n
n k n k k
n k
a b C a b
Quy ước số hạng thứ i của khai triển là
số hạng ứng với k = i-1
Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số hạng thứ 6 trong khai triển
8
log2 9 7 5 2
x
là 224
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB
và đường chéo BD lần lượt là x 2 y 1 0 và x 7 y 14 0 , đường thẳng AC đi qua điểm
2;1
M
Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A 2;3;1 , B 1; 2;0 , C 1;1; 2
Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu VII.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình x 3log2x 2 9log2x 2
……….Hết……….
SỞ GD & ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN; KHỐI: A KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011
(Thời gian làm bài 180’ không kể thời gian phát đề)
Trang 9Câu Nội dung Điểm I
(2điểm)
1.(1,0 điểm)
Hàm số (C1) có dạng y x 3 3 x 2
Tập xác định:
Sự biến thiên
0,25
- Chiều biến thiên: y ' 3 x2 3 0 x 1
Bảng biến thiên
Y
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 , 1;
, nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Hàm số đạt cực đại tại x 1, yCD 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x 1, yCT 0
0,25
Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (1; 0) và nhận I(0; 2) làm điểm uốn
f(x)=x^3-3x+2
-1
1 2 3 4
x
y
0,25
2.(1,0 điểm)
Ta có y ' 3 x2 3 m
Vì
1
3
y x y mx
nên đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là y 2 mx 2
0,25
Ta có
m
m
I(1; 1), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt
Với
1 2
m
, đường thẳng không đi qua I, ta có:
2
.sin
ABI
S IA IB AIB R
0,25
Nên SIAB đạt giá trị lớn nhất bằng ½ khi sinAIB = 1 hay tam giác AIB vuông cân tại I
1
R IH
2 2
m
m m
0,25
II
(2điểm) 1.(1,0 điểm)
Đặt t x 2 x2 4 t2 2 x4 2 x2
ta được phương trình
0,25
2
2 2
t t
t t t
t
0,25
9
Trang 10Với t 4 ta có
2
Với t 2 ta có
2
0,25
III
1
e
ln x
x √ 1+ln x dx+3
1
e
x2ln xdx =I 1 +3I 2
+) Tính I1=
1
e
ln x
x √ 1+ln x dx
Đặt
x
Khi x=1⇒ t=1; x=e⇒t= √ 2
0,25
2
1
t
0,25
+) TÝnh I2=
1
e
x2ln x dx §Æt
¿
u=ln x
⇒
¿ du= dx
x v= x
3
3
¿ {
¿
e
1
0,25
I=I1+ 3 I2= ¿ 5 − 2 √ 2+2 e3
Trang 11(1điểm)
*Ta có IA 2 IH
H thuộc tia đối của tia IA và IA 2 IH
BC AB 2 2 a Suy ra
3 ,
Ta có
5
2 2 2 2 . .cos 450
2
a
2
a
0,25
Ta có
5
2 2 2 2 . .cos 450
2
a
2
a
SH ABC SC ABC SCH SH HC
0,25
3
.
S ABC ABC
a
*
BI AH
BI SAH
BI SH
,
d K SAH d B SAH BI SB
d B SAH
0,25
V
(1điểm) Do a, b, c > 0 và a2 b2 c2 1 nên a b c , , 0;1
Ta có
3
a a
3
0,5
11
S
H
C
A
B I
K
.
Trang 12Xét hàm số f x x3 x x 0;1
Ta có:
0;1
2 3 ax
9
M f x
3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c=
1 3
0,5
VIa
(2điểm)
1.(1,0 điểm)
Tọa dộ giao điểm I của d và d’ là nghiệm của hệ phương trình
9
;
2
x
x y
I
x y
y
Do vai trò của A, B, C, D là như nhau nên giả sử M là trung điểm của AD M d Ox M3; 0
0,25
0,25
Lại có MA MD 2 tọa độ điểm A, D là nghiệm cuẩ hệ phương trình
0,25
Do I là trung điểm của AC nên C(7; 2)
2.(1,0 điểm)
Gọi n A B C , , A2B2C2 0
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng;
0,25
P : 2 B C x By Cz B 2 C 0
Khoảng cách từ K đến mp(P) là:
,
B
d K P
-Nếu B = 0 thì d(K,(P))=0 (loại)
-Nếu B 0thì
2
B
d K P
B
0,25
Dấu “=” xảy ra khi B = -C Chọn C = 1
VIIa
(1điểm)
2
1
x
Số hạng thứ 6 của khai triển ứng với k = 5 là
8 9x 7 3x 1 56 9x 7 3x 1
0,25
Trang 13 1 1 1
1 1
4
1 2
x x x x
VIb
(2điểm) 1.(1,0 điểm)Do B là giao của AB và BD nên tọa độ của B là nghiệm hệ phương trình:
21
;
5
x
x y
B
x y
y
0,25
Lại có ABCD là hình chữ nhật nên AC AB , AB BD ,
Kí hiệu n AB 1; 2 , nBD 1; 7 , nAC a b ,
lần lượt là vtpt của các đường thẳng AB, BD, AC
2
n n n n a b a b
7
a b
a
0,25
Với a = -b chọn a= 1, b = -1 Khi đó phương trình AC: x – y – 1 = 0
A AB AC nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
3; 2
A
Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I AC BD nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ
7
;
2
x
x y
I
x y
y
Do I là trung điểm của AC và BD nên
4;3 , 14 12 ;
5 5
C D
0,25
2.(1,0 điểm)
H x y z ; ;
là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi BH AC CH , AB H , ABC
2 15
29
15
3
2 29 1
; ;
15 15 3
x
AH AB AC
z H
I x y z ; ;
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi AI BI CI I , ABC 0,5
13
Trang 14
AI BI
AI AB AC
14 15
1 3
x
z
VIIb
(1điểm) Điều kiện x > 0
Bất phương trình 3 x 3 log 2 x 2 x 1 1
Nhận thấy x = 3 không phải là nghiệm của phương trình (1)
0,25
x x x
3 log 2
f x x
, hàm số đồng biến trên khoảng 0;
1
3
x
g x
x
, hàm số nghịch biến trên khoảng 3;
0,25
+ Với x> 4 thì f x f 4 3 g 4 g x
Suy ra bất phương trình có nghiệm x > 4
+ Với x 4 thì f x f 4 3 g 4 g x
bất phương trình vô nghiệm
0,25
x x x
+ Với x 1 thì f x f 1 0 g 1 g x
bất phương trình vô nghiệm + Với x < 1 thì f x f 1 0 g 1 g x
Bất phương trình có nghiệm 0 < x <1 Vậy bất phương trình có nghiêm
0,25