MOT SO BAI TOAN CUOI DE THI GIUA KI LOP 8

[r]

MỘT SỐ CÂU CUỐI ĐỀ THI GIỮ KÌ LỚP 8 Bài 1 (0,5đ) (THCS NGUYỄN DU NĂM HỌC 2015-2016)

Tìm GTNN của biểu thức A biết

2

2

A

x

Lời giải

Xét

2

2

A

x



1008

A

A

A

2

1 2016

A

x

2

2016

A

x

Mà

2

0 2016

x

 x 0

2

2016

A

x

2015 2016

Min

A

x

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 2015

2016 khi x 2016

Bài 2 (0.5đ) (THCS GIÁP BÁT)

B  x  x

Lời giải

Xét B 3x212x8

MỘT SỐ BÀI TOÁN CUỐI ĐỀ THI GIỮA KÌ LỚP 8

B   x  

Mà x 220  3x220 B 3x22  2 2

Suy ra B MAX  2   x 2 0 x 2

Vậy B đạt giá trị lớn nhât là 2 khi x  2

Bài 3 (0,5đ) (TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG NĂM 2016-2017)

Tìm , ,x y z thỏa mãn 9x2y22z218x4z6y200

Lời giải

9x y 2z 18x4z6y200

9x 18x 9 y 6y 9 2z 4z 2 0

3x32y322z12 0

Mà  2

3x3 0  x ;  2

Vậy suy ra 9x2y22z218x4z6y200 khi và chỉ khi 3x  3 0; y  3 0 và z  1 0

Xét

3x  3 0 x1

z    z

Vậy 9x2y22z218x4z6y200 khi và chỉ khi x y z ; ;  1;3; 1 

Bài 4 (0,5đ) (TRƯỜNG THCS LÊ NGỌC HÂN NĂM 2016-2017)

Tìm GTNN của biểu thức Aa42a32a22a2

Lời giải

4 2 3 2 2 2 1 1

 2 2  2

Mà a2a 0; a 120a2a a120Aa2a a12 1 1

min 1

A

0

   và a  1 0

1

a

a







Vậy Amin 1 khi a 1

Bài 5 (0,5đ) (TRƯỜNG THCS NGHĨA TÂN NĂM 2016-2017)

Tìm GTNN của biểu thức

2

2

Lời giải

Xét

2

2

A



2

x x

A



2

A

2 1 1

A

x x





1 1

A

x x





2

1

1

A

x



Mà

2

1

1

x



2

1

1

x



1

1

Min

A

x

    x 1 1 x0

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi x 0

Bài 6 (0,5 điểm)(NGÔI SAO NĂM 2020-2021)

a) Cho , ,a b c 0 thoả mãn a2020b2020c2020 a1010 1010b b1010 1010c c1010a1010

Tính giá trị của biểu thức sauAa b 20b c 11ca2020

b) Chứng minh rằng với mọi xQthì giá trị của biểu thức A(x1)(x2)(x3)(x4) 1 là bình phương của một số hữu tỷ?

Lời giải

a) Chứng minh bài toán phụ x2y2z2 xyyzzx khi và chỉ khi xy z

Xét x2y2z2xyyzzx

2 2 2

0

x y2 y z2 z x2 0

Mà xy20 x y; ; yz20 y z; ; zx20 z x;

0

Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z

Đặt:

1010 2 2020

1010 2 2020

1010 2 2020

0

0 0

Khi đó , ta có : gtx2y2z2xyyzzx

Theo chứng minh trên suy ra 2020 2020 2020 1010 1010 1010 1010 1010 1010

a b c a b b c c a khi và chỉ khi

1010 1010 1010

Do đó: Aa b 20b c 11ca2020 aa20b b 11c c 20200

b) Ta có A(x1)(x2)(x3)(x4) 1

Ax1x4x2x31

Đặt tx25x4  t 2x25x6

         với tx25x4 suy ra  2 2

Vậy với mọi xQ thì giá trị của biểu thức A là bình phương của một số hữu tỷ (đ.p.c.m)

Câu 7.(0,5 điểm) (THCS ARCHIMEDES ACADEMY)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Lời giải

Do đó Q 2, MinQ = 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 0

x   ; y  1 0 và xy2z0

Xét

x  x

Thay x 1; y 1 vào xy2z0z 1

Vậy Qmin 2 khi x y z ; ;  1;1; 1 

Bài 8 (1 điểm) (TRƯỜNG THCS NAM TỪ LIÊM)

a) Chứng minh rằng trong ba số x y z; ; tồn tại hai số bằng nhau nếu:

0

x yz y zx z xy 

b) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a b c, , thỏa mãn đẳng thức

Chứng tỏ tam giác ABC là tam giác đều

Lời giải

0

x yz y zx z xy 

0

x yz y zx z xy 

0

x y xy xz zy z2 0

x yx zy z 0









 



0

x yz y zx z xy  thì sẽ tốn tại hai số bằng nhau trong ba số

a b b c c a   8abc

Áp dụng cho hai số dương : BĐT Cosi

2 2 2

 

 

a b b c c a   8abc

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc ABC là tam giác đều

Bài 9: (0,5 điểm) (TRƯỜNG THCS CẦU DIỄN)

Tính giá trị của đa thức P4x47x y2 23y45y2 biết x2y25

Lời giải

4x 5 3y 5 5y

 2 2

Bài 10 (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Lời giải

2 4 5 2 10 22 2042

 2

Mà x2y520 với mọi ,x y ; y 120x y, suy ra x2y52y120 x y,

Suy ra P Min2016 khi và chỉ khi x2y  ; 5 0 y   1 0

Xét y 1 0 y  1

Thay y   vào 1 x2y  suy ra 5 0 x 2

Vậy với x y ;  2; 1  thì P đạt giá trị nhỏ nhất P Min2016

Bài 11 (0,5 điểm).TRƯỜNG THCS - THPT LƯƠNG THẾ VINH 2020-2021

Cho các số x, y thỏa mãn điều kiện:

Tính giá trị của biểu thức

2019 2018

1010

2020 2019(9 x y) (x 6 )y A

y

Lời giải

Đưa về dạng bất đẳng thức a b c2a2b2c22ab2ac2bc

Ta có: x 2xy6y 12x2y41 0

(x22xyy212x12y36) (5 y210y5) 0

(x y 6)25(y1)2 0

Mà (x y 6)2 0 với mọi x y, ; (y 1)20 x y, suy ra (x y 6)25(y1)20 x y,

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy 6 0 và y  1 0

Thay vào xy 6 0 suy ra x 7

Khi đó:

2019 2018

1010

0 1