Tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính

Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trìnhtiến hóa trung tính, không thể không nghiên cứu đến sự tồn tại, tính duy nhất nghiệmtuần hoàn của phương trình, tính ổn định có đi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: 1 TS Vũ Thị Ngọc Hà

2 TS Lê Huy Tiễn

Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi giờ , ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

1 Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội

2 Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Phương trình tiến hóa trung tính là một công cụ quan trọng để mô tả nhiều hiệntượng trong tự nhiên cũng như trong kỹ thuật như hệ sinh thái quần thể, hệ khuếchtán, hệ xử lý tín hiệu, Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trìnhtiến hóa trung tính, không thể không nghiên cứu đến sự tồn tại, tính duy nhất nghiệmtuần hoàn của phương trình, tính ổn định (có điều kiện) của nghiệm tuần hoàn đó và

đa tạp ổn định xung quanh nghiệm tuần hoàn thu được

Điểm qua lại lịch sử về nghiệm tuần hoàn Năm 1950 Massera đã nghiên cứu chứngminh được mối liên hệ giữa nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hoàn của phương trình viphân thường và sau đó được mở rộng bởi Zubelevich Đến năm 2014, N.T.Huy đã sửdụng phương pháp Massera kết hợp với các hàm tử nội suy để chỉ ra sự tồn tại và duynhất nghiệm tuần hoàn của dòng chất lỏng xung quanh chướng ngại vật quay, trong đó,không gian nội suy được sử dụng kết hợp với phương pháp ergodic Gần đây, N.T.Huy &N.Q.Dang đã sử dụng phương pháp ergodic để chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệmtuần hoàn của phương trình, kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwallhoặc bất đẳng thức nón chứng minh sự tồn tại duy nhất và tính ổn định (có điều kiện)nghiệm tuần hoàn của một số lớp các phương trình tiến hóa Và vấn đề về nghiệm tuầnhoàn của phương trình tiến hóa trung tính đến nay vẫn là một chủ đề có nhiều hấp dẫn.Mặt khác, trong lý thuyết định tính của nghiệm các phương trình vi phân, sự tồntại của các đa tạp tích phân cũng là một vấn đề trọng điểm cần nghiên cứu Khởi đầu

là các kết quả của Hadamard, Perron, đã nghiên cứu về sự tồn tại của đa tạp bấtbiến đối với phương trình vi phân trong Rn Năm 2009, N.T.Huy đã chỉ ra sự tồn tạicủa đa tạp bất biến đối với phương trình tiến hóa không ô-tô-nôm nửa tuyến tính trongkhông gian Banach Và gần đây, với việc sử dụng lý thuyết không gian hàm chấp nhậnđược nhóm đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, đa tạp không ổn định, đatạp tâm của phương trình tiến hóa trung tính trong trường hợp trường hợp phần tuyếntính có nhị phân mũ với điều kiện tổng quát của toán tử trễ phi tuyến Tuy nhiên, sựtồn tại đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trungtính đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu

Những phân tích trên đây là lý do để chúng tôi chọn đề tài “Tính tuần hoàn và ổnđịnh của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính”

Trong luận án này chúng tôi sẽ nghiên cứu các lớp phương trình tiến hóa trung tính

có dạng

dF ut

dt =A(t)F ut+g(t, ut), t ∈ [0, +∞), (1)trên không gian Banach X, với các điều kiện:

• Toán tử sai phân F : H → X tuyến tính bị chặn, H là không gian hàm C (hoặc

Cγ)

• Toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn) A(t) là T -tuần hoàn Hàm lịch sử utđược xác định bởi ut(θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] nếu phương trình có trễ hữuhạn hoặc θ ∈ (−∞, 0] nếu phương trình trễ vô hạn

• Toán tử trễ phi tuyến g : R+ × H → X là T -tuần hoàn và được xét trong cáctrường hợp sau:

– Trường hợp 1 Hàm g liên tục Lipschitz theo φ ∈ C, không gian H là khônggian hàm C, phương trình có trễ hữu hạn

– Trường hợp 2 Hàm g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc không gian hàmchấp nhận được M, H là không gian hàm C, phương trình có trễ hữu hạn.– Trường hợp 3 Hàm g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc vào không gian hàmchấp nhận được M, H là không gian giảm nhớ Cγ, phương trình có trễ vôhạn

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuầnhoàn, tính ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệmtuần hoàn của các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (1) trong các trườnghợp hàm phi tuyến g liên tục Lipschitz, ϕ-Lipschitz với hàm Lipschitz phụ thuộcvào thời gian t và thuộc không gian hàm chấp nhận được, phương trình có trễ hữuhạn hoặc vô hạn

• Đối tượng nghiên cứu của luận án: Tính chất nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệmcận nghiệm của các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (1), với một số điềukiện thay đổi của hàm trễ phi tuyến g

• Phạm vi nghiên cứu của Luận án: Trong luận án chúng tôi nghiên cứu về các lớpphương trình tiến hóa trung tính có dạng (1), với một số trường hợp của hàm trễphi tuyến g Cụ thể:

– Nội dung 1 Xét trường hợp hàm g Lipschitz, phương trình có trễ hữu hạn.– Nội dung 2 Xét trường hợp hàm g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc khônggian hàm chấp nhận được, phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn.

– Nội dung 3 Xét trường hợp hàm g thỏa mãn ϕ-Lipschitz và ϕ thuộc khônggian hàm chấp nhận được nhưng phương trình có trễ vô hạn

3 Phương pháp nghiên cứu

• Sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính:

Sử dụng phương pháp Massera cùng với chuỗi Neumann, kết hợp lý thuyết nửanhóm và tính chất của toán tử sai phân

• Sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính:

Sử dụng nguyên lý điểm bất động, điều kiện liên tục Lipschitz hoặc ϕ-Lipschitzkết hợp với lý thuyết không gian hàm chấp nhận được

• Tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hoàn của phương trình: Sử dụng phươngtrình Lyapunov-Perron, chuỗi Neumann kết hợp bất đẳng thức Gronwall hoặc bấtđẳng thức nón cùng nguyên lý điểm bất động của ánh xạ co

• Sự tồn tại một đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn củaphương trình: Sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron

4 Kết quả của luận án

Luận án đã đạt được một số kết quả chính sau đây:

• Chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, tính ổn định có điều kiệncủa các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (1) trong các trường hợp:(i) Hàm phi tuyến g Lipschitz và phương trình có trễ hữu hạn

(ii) Hàm phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ là hàm phụ thuộc t và thuộckhông gian hàm chấp nhận được M, giá trị ban đầu thuộc không gian hàm

C, phương trình có trễ hữu hạn

(iii) Hàm phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, ϕ thuộc không gian hàm chấp nhậnđược M nhưng giá trị ban đầu thuộc không gian giảm nhớ Cγ và phươngtrình có trễ vô hạn

• Chỉ ra sự tồn tại đa tạp tích phân ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuầnhoàn của các lớp phương trình dạng (1) khi hàm g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕthuộc không gian hàm chấp nhận được, phương trình có trễ hữu hạn hoặc vô hạn.Các kết quả nghiên cứu của luận án đã được công bố trong 03 bài báo (02 bài thuộcdanh mục SCIE, trong đó 01 bài thuộc Q1 và 01 bài thuộc danh mục ESCI/Scopus)được liệt kê ở “Danh mục các công trình đã công bố của luận án”.

5 Cấu trúc luận án

Ngoài phần Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận, Tàiliệu tham khảo, Danh mục các công trình đã công bố của luận án, Chỉ mục, luận ánđược chia thành bốn chương như sau:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Sự tồn tại và tính ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn đối với phươngtrình tiến hóa trung tính

Chương 3 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn trongkhông gian hàm chấp nhận được

Chương 4 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính có trễ vô hạn trongkhông gian hàm chấp nhận được

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh

Trình bày những khái niệm cơ sở nhất về nửa nhóm toán tử và toán tử sinh củachúng

1.2 Tính ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm

Trình bày một số khái niệm về ổn định mũ, nhị phân mũ của nửa nhóm liên tụcmạnh

1.3 Không gian hàm Banach chấp nhận được

Trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian hàm chấp nhận được

|f(τ )|dτ < ∞





,

với chuẩn kf kM := sup

t∈R +

t+1Rt

|f (τ )|dτ là không gian hàm Banach chấp nhận được

Tập các hàm tuần hoàn chu kì 1 :

P := f ∈ M : f là hàm 1-tuần hoàn Khi đó, với mỗi hàm dương ϕ ∈ P, ta có đánh giá sau:

kΛ0σϕk∞ ≤ N1

1 −e−σkϕkM và

kΛ00σϕk∞ ≤ N2

1 −e−σkϕkM với mọi hàm dương ϕ ∈ P

Hơn nữa, trong không gian Banach X với chuẩn k · k ta định nghĩa

M := {f : R+ → X | kf (·)k ∈ M}

với chuẩn được trang bị kf kM := kkf (·)kkM, M là không gian Banach tương ứng vớikhông gian hàm Banach chấp nhận được M

1.4 Không gian giảm nhớ

Trình bày khái niệm không gian giảm nhớ

Ví dụ 1.2 Không gian xác định bởi

với chuẩn kφkγ = sup

θ≤0

kφ(θ)k

e−γθ , γ > 0 Ta có, Cγ là không gian giảm nhớ

Nhận xét 1.2 Cho x(·)| ∈ Cb(R, X) sao cho x(·)|R+ ∈ Cb(R+, X) và xt ∈ Cγ, ∀t ≥ 0.Khi đó, ta có

kxtkγ ≤ kxkCb(R,X) với mọi t ≥ 0

1.5 Nhị phân mũ của họ tiến hóa

Trình bày khái niệm về nhị phân mũ của họ tiến hóa và một số kiến thức liên quan.Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với toán tử chiếu nhị phân (P (t))t≥0

và các hằng số N, ν > 0, ta có thể định nghĩa hàm Green trên nửa đường thẳng nhưsau:

1.6 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính

Giả thiết 1.1 Cho không gian Banach X, Y là không gian Banach khả ly với X = Y0.Giả sử A(t) là toán tử T -tuần hoàn, tức là A(t + T ) = A(t) với hằng số T > 0 cố định

và với mọi t ∈ R+ Khi đó, (U (t, s))t≥s≥0 là T -tuần hoàn, tức là

U (t + T, s + T ) = U (t, s) với mọi t ≥ s ≥ 0

Đồng thời giả sử thêm không gian Y được xem là không gian con của không gian Y00(quaphép nhúng chính tắc) bất biến dưới tác động của toán tử U0(T, 0), trong đó U0(T, 0) làtoán tử liên hợp của toán tử U (T, 0)

1.7 Bất đẳng thức nón

Trình bày định nghĩa nón và bất đẳng thức nón

Chương 2

Sự tồn tại và tính ổn định có điều kiện của nghiệm tuần

hoàn đối với phương trình tiến hóa trung tính

Xét phương trình tiến hóa trung tính trên không gian Banach X có dạng

dF ut

dt =A(t)F ut+g(t, ut), t ∈ [0, +∞), u0 = φ ∈ C, (2.1)với toán tử t 7→ A(t) là tuyến tính (có thể không bị chặn) trên không gian Banach X,

T -tuần hoàn theo biến t, toán tử F : C → X tuyến tính bị chặn được gọi là toán tửsai phân, không gian hàm C được định nghĩa bởi C := C([−r, 0], X), toán tử phi tuyến

g : R+ × C → X được gọi là toán tử trễ T -tuần hoàn và liên tục Lipschitz theo φ ∈ C.Hàm ut được gọi là hàm lịch sử, và xác định bởi ut(θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0].Giả thiết 2.1 Toán tử sai phân F : C → X được cho ở dạng F φ = φ(0) − Ψφ với mọi

φ ∈ C, ở đây Ψ ∈ L(C, X) thỏa mãn kΨk < 1

Giả thiết 2.2 Toán tử trễ phi tuyến g : [0, ∞) × C → X thỏa mãn các điều kiện sau:(1) kg(t, 0)k ≤ γ, (γ là hằng số không âm),

(2) hàm g(t, v) là T -tuần hoàn theo t với mỗi v ∈ C,

(3) tồn tại các hằng số dương ρ và L sao cho:

kg(t, v1) −g(t, v2)k ≤Lkv1− v2kC, ∀v1, v2 ∈ C, kv1kC ≤ ρ, kv2kC ≤ ρ

(2.2)

Định nghĩa 2.1 Xét phương trình (2.1) với họ toán tử (A(t))t≥0 được xác định sao chobài toán Cauchy đặt chỉnh Khi đó, với họ tiến hóa U (t, s)

t≥s≥0 được sinh bởi họ toán

tử (A(t))t≥0, phương trình tích phân

F ut =U (t, 0)F u0+

tZ0

U (t, τ )g(τ, uτ)dτ với mọi t ≥ 0 (2.3)

được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1)

Với các giả thiết trên, bài toán được đặt ra cụ thể như sau:

BÀI TOÁN Chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất, tính ổn định có điều kiện nghiệmtuần hoàn của phương trình dạng (2.1) với các điều kiện:

• Toán tử sai phân F thỏa mãn Giả thiết 2.1;

• họ toán tử A(t)

t≥0 sinh ra họ tiến hóa U (t, s)

t≥s≥0 thỏa mãn Giả thiết 1.1;

• hàm trễ phi tuyến g thỏa mãn Giả thiết 2.2

Các kết quả chính của chương nằm trong các Định lý2.1, Định lý 2.2và Định lý2.4

2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính

(2.4)

ở đây, họ các toán tử A(t)

t≥0 được xác định sao cho bài toán Cauchy

U (t, τ )f (τ )dτ với mọi t ≥ 0 (2.6)

được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.4)

Bổ đề 2.1 Cho không gian Banach X, họ tiến hóa U (t, s)

t≥s≥0 thỏa mãn Giả thiết

1.1 và chúng tôi giả sử thêm rằng: Với f ∈ Cb(R+, X) tồn tại x0 ∈ X sao cho

supt≥0

U (t, 0)x0+

tZ0

U (t, τ )f (τ )dτ ≤ M kf kCb(R+,X) (2.7)

Khi đó, nếu f là T -tuần hoàn thì tồn tại ˆx ∈ X sao cho hàm

w(t) = U (t, 0)ˆx +

tZ0

U (t, τ )f (τ )dτ với mọi t ≥ 0

là T -tuần hoàn và thỏa mãn

kwk ≤ (M + T )KeαTkf kCb(R+,X).

Hơn nữa, nếu họ tiến hóa U (t, s)

t≥s≥0 thỏa mãnlim

t→∞kU (t, 0)xk = 0 với x ∈ X sao cho U (t, 0)x bị chặn trong R+

t≥s≥0 thỏa mãnlim

t→∞kU (t, 0)xk = 0 với x ∈ X sao cho U (t, 0)x bị chặn trong R+, (2.9)thì nghiệm ˆu(t) là duy nhất

2.2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính nửa

trong đó, toán tử A(t), t ≥ 0 nhận giá trị trong X thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 2.1,toán tử sai phân F thỏa mãn Giả thiết 2.1, toán tử phi tuyến g : [0, ∞) × C → X thỏamãn Giả thiết 2.2

Phương trình (2.17) có nghiệm đủ tốt là hàm u thỏa mãn

F ut =U (t, 0)F u0+

tZ0

U (t, τ )g(τ, uτ)dτ với mọi t ≥ 0 (2.18)

Định lý 2.2 Cho không gian Banach X với các Giả thiết 1.1, Giả thiết 2.1 và Giả thiết

2.2 đúng, đồng thời điều kiện (2.7)trong Bổ đề 2.1 được thỏa mãn Giả sử thêm rằng họtiến hóa U (t, s)

t≥s≥0 thỏa mãnlim

t→∞kU (t, 0)xk = 0 với x ∈ X sao cho U (t, 0)x bị chặn trong R+

Bổ đề 2.2 Cho họ tiến hóa U (t, s)

t≥s≥0 có nhị phân mũ với toán tử chiếu nhị phântương ứng P (t) với t ≥ 0 và các hằng số nhị phân N, ν > 0 Cho f ∈ Cb(R+, X), và gthỏa mãn Giả thiết 2.2 Khi đó, các mệnh đề sau đúng

(a) Cho w ∈ Cb(R+, X) được cho bởi

w(t) = U (t, 0)w(0) +

tZ0

U (t, τ )f (τ )dτ

Khi đó, w thỏa mãn

w(t) = U (t, 0)ζ +

∞Z0G(t, τ )f (τ )dτ với mỗi ζ ∈ X0 := P (0)X, t ≥ 0

(b) Cho u ∈ Cb([−r, ∞), X) là một nghiệm của phương trình (2.18)thỏa mãn sup

t≥−rku(t)k ≤

ρ với mỗi điểm cố định ρ > 0 Khi đó, u thỏa mãn

u0 =φ ∈ C,

(2.10)

với η = P (0)F φ ∈ X0

Nhận xét 2.2 Bằng tính toán trực tiếp ta có thể chứng minh điều ngược lại của Bổ đề

(a) Phương trình (2.6) có duy nhất nghiệm ˆu(t) thuộc Cb(R+, X) là T -tuần hoàn

(b) Nếu L và γ đủ nhỏ thì phương trình (2.18)có duy nhất nghiệm ˆu(t) trong Cb([−r, ∞), X)

B ρ

2N(P (0)F ˆu0) ∩P (0)X Hơn nữa, ta có ước lượng sau cho u(t) và ˆu(t)

kut− ˆutkC ≤ Ce−µtkP (0)F u0− P (0)F ˆu0k , (2.11)với các hằng số dương C và µ không phụ thuộc u, ˆu và ρ

Hệ quả 2.1 Cho các giả thiết của Định lý 2.3 được thỏa mãn, ˆu là nghiệm tuần hoàncủa phương trình (2.18) có được từ mệnh đề (b) của Định lý 2.3 Nếu thêm điều kiện họtiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 ổn định mũ thì nghiệm tuần hoàn ˆu ổn định mũ theo nghĩa: Vớibất kỳ nghiệm u ∈ Cb([−r, ∞) , X) nào khác của (2.18)sao cho kF u0− F ˆu0k đủ nhỏ,thì ta có

kut− ˆutkC ≤ Ce−µtkF u0− F ˆu0k,với các hằng số dương C và µ không phụ thuộc vào u và ˆu

t≥0, toán tử sai phân F , các điều kiện về tuầnhoàn tương tự Chương 2, nhưng toán tử trễ phi tuyến g : R+ × C → X liên tục vàϕ-Lipschitz với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được M.

Định nghĩa 3.1 (ϕ-Lipschitz địa phương trong không gian hàm C) Cho một hàm dương

ϕ ∈ M và Bρ là hình cầu với bán kính ρ trong C, nghĩa là, Bρ := {φ ∈ C : kφkC ≤ ρ}.Một toán tử g : [0, ∞) × Bρ → X được gọi là ϕ-Lipschitz địa phương trong không gianhàm C nếu g thỏa mãn:

(i) kg(t, φ)k ≤ L0ϕ(t) hầu khắp nơi với t ∈ R+ và φ ∈ Bρ,

U (t, τ )g(τ, uτ)dτ với mọi t ≥ 0 (3.3)

được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình (3.1)

Bài toán trong chương này được phát biểu như sau

BÀI TOÁN Cho không gian Banach X với một tiền đối ngẫu tách được Y Họ toán tửA(t)

t≥0 thỏa mãn Giả thiết 1.1, toán tử sai phân F thỏa mãn Giả thiết 2.1, toán tửtrễ phi tuyến g thỏa mãn Giả thiết 3.1 Chứng minh: