[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT
THÀNH PHỐ HẠ LONG
Đ
Ề CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
DỰ THI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề )
Bài 1: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng:
|x+ y2 −√xy| + |x+ y2 +√xy| = |x| + |y| (xy0)
Bài 2: (5,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a, 10 (x − 2 x +1)2+ (x − 1 x +2)2- 11.(x x22− 4 −1)=0
b, (√x+5−√x +2)(1+√x2
+7 x +10)=3
Bài 3:(2,5 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức:
2 y2x +x+ y+1=x2
+2 y2
+ xy
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho hệ tọa độ xOy và 3 điểm A(2,5) ;B(-1,-1),C(4,9)
CMR: 3 điểm A, B, C thẳng hàng
Bài 5: (8,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD , M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho ∠MAN = ∠MAB + ∠NAD
1, BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q Chứng minh rằng năm điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn
2, Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi
3, Kí hiệu diện tích của tam giác APQ là S❑1 và diện tích tứ giác PQMN là S❑2.Chứng minh rằng tỉ số S1
S2không đổi khi M và N thay đổi
Hết _
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
Năm học 2010-2011 (Vòng 2)
Bài 1
Ta có: (|x+ y2 −√xy| + |x+ y2 +√xy|)❑2
= (x+ y2 −√xy)❑2+ (x+ y2 +√xy)❑2+ 2 |x+ y2 −√xy|.|x+ y2 +√xy|
= ( x + y )2
Ta lại có: (|x| + |y|)❑2= x❑2+ 2xy + y❑2 = ( x + y )2 (Vì xy0)
NX để suy ra ĐPCM
2,0đ
1,0đ
0,5đ 0,5đ Bài 2
a
b
ĐK: x khác 1,-1
Đặt u =x −2 x +1 , v=¿x +2
x −1 p hương trình có dạng :
10 u2
+v2−11 uv=0 hay (u − v )(10 u − v )=0
Nếu v=10u thì từ x +2
x −1=
10( x −2)
x+1 ta tìm được x=3; x=2/3 Nếu v = u thì từ x −1 x +2=x − 2
x +1 ta tìm được x = 0
So với ĐK và KL: x ∈{0;2
3;3} Điều kiện căn thức có nghĩa là x ≥ −2
Ta có :
x2
+7 x +10=( x+ 5)( x +2)
Nhân cả 2 vế phương trình với (√x+5+√x +2) > 0 ta được :
1+√x2+7 x +10=√x +5+√x+2
<=>
(√x +5 −1) (√x+2− 1) =0 <=>
¿
¿
¿
x=-4 loại do vậy x=-1 là giá trị cần tìm
6,0đ
0,25đ 1,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
1,5đ 0,25đ
Bài 3
2y❑2x + x + y + 1 = x❑2+ 2y❑2 + xy
<=> 2y❑2(x – 1) – x(x – 1) – y(x – 1) + 1 = 0 (1)
Nhận xét rằng x = 1 không phải là nghiệm của (1) khi đó chia cả 2
vế của (1) cho x – 1 thì (1) tương đương với :
2 y2− x − y + 1
x − 1=0 (2)
2,5đ
0,5đ 0,5đ
Trang 3Với x,y nguyên suy ra x −11 nguyên nên x – 1 =±1
<=>
¿
¿
¿
Thay x = 2 và x = 0 vào (2) và ta có y là số nguyên khi y = 1
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên là (2 ; 1) và (0 ; 1)
0,5đ 0,75đ 0,25đ Bài 4
Tìm được
Phương trình đường thẳng đi qua BC là :
y= 2x+1
Chứng minh được :
Tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình y = 2x + 1
KL
2,0đ
1,0đ
1,0đ Bài 5
1
2
3
Từ giả thiết suy ra ∠MAN = 45❑0
Tứ giác ABMP có ∠PBM = ∠PAM = 45❑0 nên tứ giác nội tiếp Suy
ra ∠MPA = 90❑0
Tương tự tứ giác ADNQ nội tiếp và có ∠NQA = 90❑0
Vậy 5 điểm P , Q , M , C , N nằm trên đường tròn đường kính MN
Ta có ∠AMN = ∠APB = ∠AMB
Kẻ AH MM.Dễ thấy :
ΔAHM = ΔABM => AH = AB
Vậy MM luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB cố định
Do ΔAQN và ΔAPM vuông cân tại Q và P nên :
2
1
AM
AP AN
AQ
=> SAPQ
SAMN=
AQ QP
1
√2.
1
√2=
1
2=>
S1
S2=1
8,0đ
2,0đ 1,0đ
2,5đ
2,5đ
Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm hoặc lời giải sơ lược, học sinh trình
bày lời giải phải chi tiết, chặt chẽ mới đạt điểm tối đa
Học sinh làm bài theo cách khác - nếu đúng được số điểm tương
đương
Tổ chấm thảo luận chia điểm thành phần ở mỗi câu ( Nếu cần thiết) và
ghi biên bản thống nhất trước khi chấm