Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).. a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính góc giữa SO và BC. c) Tí[r]
Trang 1Tổ toán –Phan châu Trinh
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II MÔN TOÁN
LỚP 11 - NĂM HỌC 2011 - 2012
A NỘI DUNG
I Phần đại số và giải tích:
*Chương III: Dãy số, cấp số.
1 Dãy số
- Tính tăng giảm của dãy số
Vd: Xét tính tăng giảm của dãy (an): an = n
n
3
1
- Tính bị chặn của dãy số
Vd: Xét tính bị chặn của dãy số: (an): an = 1
5 2
n n
-Các cách cho dãy số
Vd: Cho dãy số (an): a1 = 2, an = 2
1
1
n a
với n ≥ 2 Chứng minh: an = 1
1
2
1 2
n
n
với mọi n N*
2 Cấp số cộng.
-Chứng minh dãy số là cấp số cộng
Vd:Cho dãy số (an): a1 = -2, an + 1 = n
n a
a
1 và (bn):bn = n
n a
a 1 với mọi n N* Chứng minh (bn) là cấp số cộng
- Tìm các yếu tố của cấp số cộng
Vd: Tìm a1 và d của cấp số cộng (an) biết:
45
4
57 2
6
4 3 2
S
a a a
- Tính tổng hữu hạn
Vd: Tính tổng S = 2105 + 2100 + 2095 + + 110
3 Cấp số nhân.
- Chứng minh dãy là cấp số nhân
Vd: Cho (an) : an = (-1)n.32n với mọi n N*
Chứng minh (an) là cấp số nhân
- Xác định các yếu tố của cấp số nhân
Vd: Tìm a1 và q của cấp số nhân (an) Biết:
351
13
6 5 4
3 2 1
a a a
a a a
- Tính tổng hữu hạn
Vd: Tính S =
10 10
2 2
2
3 3
2
2
3 3
2 2
3 3
2
*Chương IV: Giới hạn.
1 Giới hạn dãy số.
- Chứng minh dãy số có giới hạn 0
Trang 2Vd: Chứng minh 1 0
) 1 2 sin(
n n
- Dãy số có giới hạn hữu hạn
4 2
lim
2 4 2
n n
n n
1
2 3
3 2
n n
n n
- Dãy số có giới hạn vô cực
Vd: + Tính 2 5
3 lim 2
3
n
n n
+Tính lim (3.2n - 5n+1 + 3)
2 Giới hạn hàm số
- Tính giới hạn bằng định nghĩa
Vd: Tính giới hạn sau bằng định nghĩa: 1
2 3 lim
2
x x x
- Tính giới hạn tại một điểm
4 lim
2
x x
- Giới hạn tại vô cực
Vd: Tính lim( 3 )
x
- Giới hạn một bên
2 3
12 x 7 x lim
3 Hàm số liên tục.
- Xét tính liên tục tại một điểm
Vd: Xét tính liên tục của hàm số f(x) =
¿
x −1
√2 − x − 1 khi x ≠ 1
−2 x khi x=1
¿ {
¿
tại x=1
- Xét tính liên tục trong khoảng, đoạn
Vd: Xét tính liên tục của f(x) = 8 2x2 trên [-2;2]
- Chứng minh phương trình có nghiệm:
Vd: Chứng minh phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm:
2x3 - 10x - 7 = 0
*Chương V: Đạo Hàm
- Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Vd: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3 x tại x0 = 1 bằng định nghĩa.
- Tính đạo hàm bằng công thức
Vd: Tính đạo hàm của hàm số y = x x
x x
cos sin
cos sin
- Giới hạn hàm số lượng giác
Trang 3Vd: Tính x x
x
cos 1 lim
0
- Viết phương trình tiếp tuyến
Vd: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1
4 3
2
x
x x
Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1
- Đạo hàm cấp cao
Vd: Cho y = 2 1
x
x Chứng minh: (y’)2 + y.y’’= 1
II Hình học.
1 Véc tơ trong không gian.
a Các kết quả học sinh cần nhớ và được vận dụng.
- G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:
+ GAGBGCO
3
1
OC OB OA
với O là điểm bất kỳ
- G là trọng tâm của tứ diện ABCD, ta có:
+ GAGBGCGD=0
4
1
OD OC
OB OA
, với O là điểm bất kỳ
- Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ta có:
AC'ABADAA'
b Các dạng toán thường gặp:
Phân tích một véc tơ theo ba véc tơ không đồng phẳng, chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh ba véc tơ đồng phẳng
2 Hai đường thẳng vuông góc.
- Tính góc giữa hai đường thẳng
Vd: Cho hình chóp S ABC SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2.
Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.Thiết diện vuông góc
- Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Vd: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SA (ABC) ABC đều cạnh a.
Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB)
- Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Xác định thiết diện khi cắt hình chóp bởi mặt phẳng qua một điểm và vuông góc với đường thẳng
Vd:Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), SA = a Biết ABCđều cạnh a Xác
định và tính diện tích của thiết diện khi cắt hình chóp bởi mặt phẳng qua C và vuông góc với SB
4.Hai mặt phẳng vuông góc
- Tính góc giữa hai mặt phẳng:
Vd: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), SA = a Biết ABC đều cạnh a.
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
- Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Trang 4- Hình chóp đều - Lăng trụ đứng - Lăng trụ đều.
5 Khoảng cách:
- Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Vd: Cho hình chóp S.ABCD c SA (ABCD), SA = a Biết ABCD là hình vuông
cạnh a
a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
B MỘT SỐ THAM KHẢO
ĐỀ SỐ 1 (Đề kiểm tra học kỳ II năm học 2008 – 2009)
Câu I ( 2 điểm )
1 Xét tính tăng, giảm của dãy số u n , với
1 2
n
u
2 Cho cấp số cộng u n biết:
6 2
u u u
Tìm công sai và tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
Câu II ( 4 điểm )
1 Tìm giới hạn của các dãy số sau:
a u n với
4 2
3 2 1
1 3
n
u
n
3.7 2.5 2.5 3
u
2 Tìm các giới hạn sau:
a
3 2
2
8 lim
5 6
x
x
x x
b 4 2
4 9 5 lim
16
x
x x
3 Cho hàm số
ax 1
x x
f x
Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1
Câu III (1 điểm):
Tìm đạo hàm của hàm số
2
1 cot sinx
Từ đó giải phương trình y'= 0
Câu IV ( 3 điểm):
1 Cho lăng trụ tam giác BAC.A’B’C’ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB
và A’C’ Chứng minh ba vector MN, AA'
và BC
đồng phẳng
2 Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc ABC = 60
Tam giác SAC đều , tam giác SBD cân tại S
a Chứng minh: SO(ABCD)
b Chứng minh: (SAC) SBD
c Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD).
-nếu x 1 nếu x<1
Trang 5ĐỀ SỐ 2(Đề kiểm tra học kỳ II năm học 2009 – 2010)
Câu 1:
Số ghế của một hội trường được bố trí thành từng dãy xếp theo hàng ngang Dãy đầu tiên có 20 ghế, mỗi dãy phía sau nhiều hơn dãy ngay phía trước 5 ghế, dãy sau cùng
có 115 ghế Hỏi:
a Hội trường có bao nhiêu ghế?
b Số ghế của hội trường là bao nhiêu?
Câu 2:
1 Tìm 1 2
lim
x
x
2 Cho hàm số
2
1
ax 3
x
f x
Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1
Câu 3:
1 Cho hàm số
n
f x x
n
Tìm
' 3
lim
x f x
2 Chứng minh rằng hàm số
sin c os os4
4
f x x x c x
có đạo hàm bằng 0
Câu 4: Cho hàm số
1 2
x y x
có đồ thị (C)
1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
2 Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc 45o
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mp (ABC) ; Cho biết SA = AB = a, BAC 60o
1 Chứng minh rằng tam giác SBC vuông
2 Mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với SB tại M, SC tại N Chứng minh rằng
MN song song với BC và tính diện tích tam giác AMN
3 Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của SA và BC; P thuộc cạnh SB sao cho
2
, Q thuộc cạnh AC sao cho QA2QC
Chứng minh rằng
IS 2 3
IB
IP
và
2 3
IA IC
IQ
Từ đó suy ra bốn điểm A, J, P, Q nằm ttrong một mặt phẳng
-ĐỀ SỐ 3 (Đề kiểm tra học kỳ II năm học 2010 – 2011)
nếu x 1 nếu x<1
Trang 6Câu I(1,5đ)
Cho cấp số cộng a n thỏa:
15 12
Tìm số hạng đầu, công sai và tính tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
Câu II(2,5đ)
1 Tìm các giới hạn sau:
a
lim
b
lim 2.5 7
n n
n n
2 Tìm các giới hạn sau:
a
2 2
2
4 lim
x
x
b lim 4 2 2
Câu III(1,5đ)
1 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
3
mx
liên tục tại điểm x = 2
2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, phương trình sau:
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1)
Câu IV(1đ)
sin ( )
1 cos
x
f x
x
Tính
/
3
f
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
x y x
, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d có phương trình:
1 2011 3
Câu V(3,5đ)
1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và SD Chứng minh ba véc tơ SA , MN , CD
đồng phẳng
2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB a 2,
5
a
AC
và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a
a Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB)
b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
c Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC)
-ĐỀ SỐ 4
Câu 1: 1) Cho cấp số cộng u n Biết u1 u4 u7 u10 u13 u16 147
với x > 2 với x 2
Trang 7Tính u1 u6 u11 u16?
2) Xét tính tăng, giảm của dãy số (un) sau với
2012
n
n u
n
Câu 2: 1)Tìm giới hạn của các dãy số sau
a)
1 3 9 3
lim
1 4 16 4
n
n
b) 2
lim 2n 1 4n n 1
2) Tìm giới hạn các hàm số sau:
3 lim
3 6
x
x
x x
b) 0 3
lim
x
x x
3) Cho hàm số y =
1
ax 2
Tìm a để hàm số sau liên tục trên R:
Câu III:
1) Tìm đạo hàm f x/( ) của hàm số:
Từ đó giải phương trình f x /( ) 0
2) Cho hàm số y 2x1 (C) Viết pt tiếp tuyến với đường cong (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x 6y 1 0
3) Cho hàm số f x( ) x2 3x 4 Giải bất phương trình f x/( )f x( )
Câu IV:
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và cạnh bằng a SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a 3
1) Tính góc giữa SC và mp(SAB),(SCD) và (SAD)
2) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD)
3) Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AD Xác định và tính diện tích thiết diện bị cắt bởi hình chóp và mặt phẳng (P)
-ĐỀ SỐ 5
Câu 1: 1) Cho dãy số (un) biết:
1
1
2
n n
u
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
b) Tính tổng 10 số hạng đầu của dãy (un)
2) Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40 Hãy tìm cấp số cộng đó
Câu 2:
1) Tìm giới hạn các dãy số sau:
(3 2)( 1)( 4)
lim
n n n
b)
1 3 5 7 (2 1) lim
2 4 6 2
n n
2) Tìm giới hạn các hàm số sau:
Nếu x > 1 Nếu x 1
Trang 8a) 3
2 1 lim 2012
2
x
x x
x x
b)
2 0
1 2 1 lim
1 cos
x
x x
c) Xét tính liên tục của hàm số
1
2
x
m x
Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x = 1
Câu 3:
f x x x Tính f/(1)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
2 1 1
x x
tại điểm có hoành độ x
=
1
2
Tính diện tích tam giác chắn bởi tiếp tuyến trên hai trục tọa độ 3) Tính f /( ) nếu
( )
f x
Câu IV:
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB =
BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a 2
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD Tính góc giữa SO và BC
c) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD)
d) Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua SB và vuông góc với mặt phẳng (SAC) Tính diện tích thiết diện
nếu x 1 nếu x = 1