b) Chứng minh tam giác BCD vuông và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SBCD. Chứng minh rằng : BCD.. a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a... b) Tính diện tích xung quanh hìn[r]
Trang 1BỘ ĐỀ THI HỌC KỲ I THAM KHẢO
Môn thi: TOÁN, Khối 12
(Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 1
Câu 1 ( 3 điểm) Cho hàm số
( ) 2
x
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C),biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳngy4x17
Câu 2 ( 2 điểm)
a) Cho hàm số f x( )e2xsinx.Tính f x"( ) và giải phương trình f x "( ) 0
b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số f x( ) ln(1 2 ) x x2 với x 2 ;0
Câu 3 ( 4 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D có
ABAD a CD , 2a Cạnh bên SD vuông góc với đáy và mặt bên (SAB) tạo với đáy một góc 450
a) Chứng minh SAD 450 và tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Chứng minh tam giác BCD vuông và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SBCD c) Một mặt phẳng ( ) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại K, L, P, N
Chứng minh rằng : BCD. ABD. ABC. ACD.
SK SP SN SL
( trong đó kí hiệu S ABC là diện tích tam giác ABC)
Câu 4 ( 1 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
xy y x y
Trang 2HƯỚNG DẪN CHÁM TOÁN
1
a(2 điểm)
2) Sự biến thiên của hàm số:
a) Giới hạn và các đường tiệm cận:
*
y lim
; y lim
2 x 2
x
Do đó đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
* lim lim 2
đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
0,5
b) Bảng biến thiên:
Ta có:
2
1
2
x
Bảng biến thiên:
x - 2 +
-y 2
-
+
2
* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 2 và 2 ; ; không có cực trị
0,75
3) Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung tại
2
3
; 0
và cắt trục hoành tại điểm
0
; 2 3
+ Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) của hai tiệm cận làm tâm đối
xứng
0,5
b(1 điểm) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập, hệ số góc của tiếp
0,25
O
y
x
2 3/2 3/2 2
Trang 3tuyến là 0 0 2
1 '( )
y x
x
Từ giả thiết ta được:
0
0 0
0 4
4
x
y x
x x
Với x 0 0, pt tiếp tuyến là
y x
0,25 Với x 0 4, pt tiếp tuyến là
y x
0,25
2
a(1 điểm) f x'( ) e 2xcosx 2.e 2xsinx
0,25
"( ) 3. xsin 4. xcos x 3sin 4cos
4
3
f x x x x k
1
2
0,25
( 2) ln 5 4; (0) 0; ( ) ln 2
f f f
0,25
1
4 x
0,25
3
a(2 điểm) Chứng minh được SAD 450
0,5
Tính được:
2
3 2
ABCD
0,5
Tính được: SD = a
0,5 Tính được:
3
V SD S a
0,5 b
(1,5điểm) Tính được:
2 2 2 4 2
BD BC CD a BCD vuông tại B ( Hoặc gọi F là trung điểm CD , chứng minh FB = FC = FD) 0,25 Nêu được tam giác SBC vuông tại B , tam giác SCD vuông tại D
Gọi I là trung điểm SC thì IS = IB = IC = ID nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SBCD
0,25
Tính được bán kính
a
Thể tích khối cầu
3
3
a
V a
Chú ý: Học sinh có thể giải bằng cách dựng tâm mặt cầu là giao điểm
của trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD với mặt phẳng trung trực của SD
0,5
c Nêu được: V S KLP. V S KNP. V S NKL. V S LPN. 0,25
Trang 4(0,5điểm) Áp dụng tỉ số thể tích biến đổi về được:
S BCD S ABD S ABC S ACD
0,25
4 (1 điểm)
Lí luận và biến đổi để phương trình đầu suy ra x1 y 2 0,25 Đặt t y t 0;1 và x1 (2 t)2 0,25 Thay vào phương trình thứ hai được: 4t t 2 1 t2 m 0,25
ĐỀ 2
Bài 1: (3 điểm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x3 + 3x2 - 1
b) Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định giá trị của m để phương trình: x3 – 3x2 + m – 1 = 0
có 3 nghiệm phân biệt
Bài 2: (1,5 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 5 trên đoạn [-2;2]
Bài 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình: 16x - 15.4x - 16 = 0
Bài 4: (4 điểm)
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh AB bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 a) Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a
b) Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
Trang 5
-Hết -HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài 1: (3 điểm)
a) (2 điểm)
* Sự biến thiên:
Chiều biến thiên
y’ = x33x2 1/
= -3x2 + 6x = -3x(x – 2)
y’ = 0 x = 0, x = 2
Xét bảng:
y’ 0 + 0
y 3
-1 (0,5 đ)
Cực trị
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = -1
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ; yCĐ = 3 (0,25 đ)
Giới hạn
lim lim 3 3 2 1
lim lim 3 3 2 1
Đồ thị không có tiệm cận (0,25 đ)
Bảng biến thiên
x - 0 2 +
y’ 0 + 0
y + 3
-1 - (0,25 đ)
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x y
Trang 6b) (1 điểm)
Ta có: x3 - 3x2 + m - 1 = 0
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đường:
y = -x3 + 3x2 - 1 : (C)
y = m – 2 : (0,25 đ)
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt (0,25 đ) -1 < m – 2 < 3
1 < m < 5
Vậy với giá trị 1 < m < 5 thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt (0,25 đ) Bài 2: (1,5 điểm)
f’(x) = x3 3x2 9x 5/
= 3x2 + 6x – 9 = 3(x2 + 2x – 3)
f’(x) = 0 x2 + 2x – 3 = 0
3 2; 2 ,
x x
(0,5 đ)
Tính:
f(1) = -10
f(-2) = 17
Vậy:
-2 ; 2ax ( ) 17
min ( )2 ; 2 f x 10
Bài 3: (1,5 điểm)
Ta có: 16x15.4x16 0
4x 2 15.4x 16 0
(0,25 đ)
Đặt t = 4x
, điều kiện t > 0 phương trình có dạng:
t2 – 15t – 16 = 0
So sánh với điều kiện:
t = -1 không thỏa mãn điều kiện, loại
Với t = 16
4x 42
x = 2
Vậy phương trình có một nghiệm: x = 2. (0,5 đ)
Bài 4: (4 điểm)
Trang 7(0,5 đ)
a) (2 điểm)
S.ABCD là hình chóp đều
đáy ABCD là hình vuông và chân đường cao hình chóp
trùng với tâm hình vuông ABCD (0,25 đ)
Gọi O = AC BD
O là tâm hình vuông ABCD
O là chân đường cao hình chóp S.ABCD
SO (ABCD)
OA là hình chiếu của cạnh bên SA trên mặt đáy (ABCD)
SA ABCD,( )SA OA, SAO 600
ABCD là hình vuông có cạnh AB = a
AC = a 2
OA =
2 2
a
SO (ABCD)
SOA vuông tại O ta có:
tan SAO =
SO OA
SO = OA tan SAO =
2 2
a
tan 600 =
2 2
a
3 =
6 2
a
Thể tích hình chóp S.ABCD là:
V =
1
3.SABCD.SO =
1
3.a2
6 2
a
=
3 6 6
a
(0,5 đ) b) (1,5 điểm)
O
S
Trang 8SOA vuông tại O ta có:
cos SAO =
OA SA
SA = os
OA
c SAO = 0
2 2
os 60
a
2 2 1 2
a
Hình nón có bán kính đáy r = OA =
2 2
a
và đường sinh l = SA = a 2, (0,5 đ) nên diện tích xung quanh hình nón là:
Sxq = rl =
2 2
a
Trang 9
-Hết -ĐỀ 3
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ĐIỂM) Tất cả thí sinh đều phải làm phần này
Câu 1 (3,0 điểm) Cho hàm số: y= - x4+4x2- 3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2) Dựa vào đồ thị (C) tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình
x - x + + m= (1)
có hai nghiệm phân biệt
Câu 2 (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và x2 + y2 + z2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2 2 2
F
Câu 3 (3,0 điểm)
1 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD có AD a AB a , 3, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), góc SBA 300.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
2 Tính thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a
II PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 ĐIỂM)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) Phần 1 Theo chương trình chuẩn
Câu 4A (3 điểm).
1 Tính giá trị của biểu thức
2 Giải phương trình mũ: 16x 16.4x 15 0
3 Giải bất phương trình:
x 2 logsin2 x 4
Phần 2 Theo chương trình nâng cao
Câu 4B (3,0 điểm)
1 Tính giá trị của biểu thức
3
1log 4 2 3
2 Tìm x thỏa đẳng thức: 52x 1 3.52x 1 110
3 Tìm các giá trị m để đồ thị (Cm) của hàm số
2
y
x 1
=
+ có đường tiệm cận xiên tiếp xúc với đường tròn (C) có phương trình:(x 1)- 2+ -(y 2)2=2
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Trang 10Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:
………
Trang 11ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
1,a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y= - x4+4x2- 3
Tập xác định: D = ¡
Giới hạn tại vô cực: xlim y ; xlim y
Đạo hàm: y¢= - 4x3+8x
2
x
x
= é ê
ê Bảng biến thiên
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ¥ -; 2),(0; 2) , nghịch biến trên các khoảng (- 2;0),( 2;+¥ )
Hàm số đạt cực đại: yCĐ = 1 tại x = ± 2, đạt cực tiểu: yCT = –3
tại x =0
Điểm uốn:
y// = -12x2 +8; y// = 0
2 x
3
y// đổi dấu khi x đi qua
2 x
3
nên (C) có 2 điểm uốn:
U1
;
;
Giao điểm với trục hoành:
cho
2
2
1 1
3 3
x x
x x
Giao điểm với trục tung: cho x= Þ0 y= - 3
Đồ thị hàm số:
2,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
1,b) Dựa vào đồ thị (C) tìm các giá trị m để phương trình
3
x - x + + m= (1) có hai nghiệm phân biệt
Biến đổi: x4- 4x2+ +3 2m= Û -0 x4+4x2- 3 2= m (*)
Số nghiệm pt (*) bằng số giao điểm của ( ) :C y= -x4+ 4x2- 3 và
1,0 điểm
0,25 0,25
0,25
Trang 12d: y = 2m
Dựa vào đồ thị tìm được : 2m = 1 hoặc 2m < –3 Giải và kết luận: m = 1 2 hoặc m < 3 2 0,25 0,25 2 Cho x>0, y > 0, z > 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 3 Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2 2 2 2 x y z F y z z x x y + Biến đổi 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y z F x y z y z x z x y (do x >0, y >0, z > 0) Hay 2 2 2 2 2 2 (3 ) (3 ) (3 ) x y z F x x y y z z (do x2 + y2 + z2 = 3) + Xét hàm số f(t) = t(3 – t2), với t (0; 3) Ta có f/(t) = 3 – 3t2; f/(t) = 0 t = 1 (0; 3); t = - 1(0; 3) Bảng biến thiên trên (0; 3) t 0 1 3
f/(t) + 0
-f(t) 2
0 0 Suy ra, t (0; 3), 0 < t(3 t2) 2
+ Vì x2 + y2 + z2 = 3 và x, y, z dương nên x, y, z (0; 3) Do đó
0 < x(3 x2) 2, 0 < y(3 y2) 2, 0 < z(3 z2) 2
Suy ra F x2
1
2+ y2
1
2 + z2
1
2 = (x2 + y2 + z2)
1
2 =
3
2
Từ BBT, F =
3
2khi và chỉ khi x = y = z = 1
Vậy minF =
3
2 khi x = y = z = 1
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
3.1a) Thể tích khối chóp S.ABCD
+ Hình vẽ
+Chứng tỏ SAB vuông và tính được
SA= AB tan 300= a
+ Tính thể tích
3
S ABCD
V SA AB AD a
(ghi đúng công thức V =
1
3SABCD h: 0,25)
1,0 điểm
0,25 0,25 0,5
3.1b) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Lập luận: tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm I
của SC, bán kính 2
SC
R
Tính SC2 SA2 AC2 SA2 AB2 BC2 =
a a a a SC a 5
5
r
1,0 điểm
0,25 0,25
Trang 13Diện tích mặt cầu : S=
2
2
a
3.2 Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều có tất cả
Hình vẽ: 0,25 0,25 0,25 0,25
4A.1
Tính
e
Ta có P = 5lne-1 + 4ln e7/2 + (102 : 10log4)
= -5 + 4
7
2 +
2
10 4 Đ.S: P =34
(Trường hợp tính sai kết quả hoặc tính riêng: tính đúng mỗi kết quả:
0,25 đ)
1,0 điểm
0,5
0,25 0,25
4A.2
Giải phương trình mũ: 16x 16.4x 15 0 (*)
+ Đặt t = 4x; ĐK: t > 0
+ Đưa về PT: t2 16t + 15 = 0 Giải được t = 1; t =15 (thỏa đk t > 0)
+ Giải mỗi pt, tìm được x = 0, x = log415
+ Kết luận pt có 2 nghiệm: x = 1 và x = log415
* Ghi chú: - HS có thể không cần đặt ẩn phụ, nếu giải đúng vẫn đạt
điểm tối đa
1,0 điểm
0,25 0,25 0,25 0,25
4A.3
Giải bất PT:
x 2 logsin2 x 4
(*) (*)
x 2 log
sin 2 x 4
>0
x 2
x 4
( vì 0 < sin2 < 1 )
1,0 điểm
0,25 0,25
0.5
4B.1
Tính giá trị của biểu thức
3
1log 4 2 3
1,0 điểm
- Nói được : Vì hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a nên hình trụ có chiều cao h = a
và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a
- Tính được bán kính đáy
3 3
a
R
- Tính được thể tích khối trụ:
3
2 3
a
V R h
A
A'
Trang 141) Biến đổi và tính được 2
1 1
1
3
1 3
3
1 log 4 1
2 log 4 log 4
2 2
Suy ra
1 6
T
0,5
0,25 0,25
4B.2 Tìm x thỏa: 52x 1 3.52x 1 110
Ta có
2x 1 2x 1 2x 1 2 2x 1 2x 1
1,0 điểm
0,5
0,25+0,25
y
x 1
=
+ (Cm) ĐK để đồ thị có TCX tiếp xúc với
đường tròn (C): (x 1)- 2+ -(y 2)2=2.
Hàm số có TXĐ : R \{ }- 1
Hàm số viết lại :
1 3m
x 1
+ + Điều kiện đồ thị hàm số có TCX : m¹ 0 và m 1/3
1 3m
x 1
+ nên đường thẳng D: y=mx 2m 1+ + hay
mx y 2m 1 0- + + = là TCX của (Cm)
+ Từ PT (x 1)- 2+ -(y 2)2=2 suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; 2)
và bán kínhR= 2
D tiếp xúc với ( C ) Û d(I, )D = 2 Û 2
3m 1
2
-= +
Û 7m2- 6m 1 0- =
m 1 1 m 7
é = ê ê Û
ê
=-ê ( thỏa ĐK)
KL: m = 1, m = 1/7
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
025
* Ghi chú: mọi cách giải khác đúng, đều được điểm tối với nội dung tương ứng.
Trang 15
ĐỀ 4 : Bài 1: (4điểm)
Cho hàm số : y=
2
x x
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số
b) Tìm m để đồ thị (C ) cắt đường thẳng d: y = -x+m tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác AOB vuông ở O ( O là gốc tọa độ )
Bài 2 : (2 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 -2x2 +x -2 , với x [0; 2] b)Tính đạo hàm của hàm số y= sin 3 x ecos3x
Bài 3: (4 điểm)
Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA= a 3.Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy bằng 30o
a)Tính thể tích khối chóp
b)Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay SBC quanh trục là đường thẳng BC
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
Trang 16
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN KHỐI 12 Bài 1 : 4 điểm
a)khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y=
2
x x
(2,5điểm)
TXĐ : D =
3
2
2 1 2 1 lim lim 2 3 2 2 3 2 x x x x x x y = 1 2là tiệm cận ngang
3 3
2 2 2 2 lim lim 2 3 2 3 x x x x x x x= 3 2 là tiệm cận đứng
0,5đ y’= 2 1 (2x 3) Hàm số nghịch biến 3 2 x Bảng biến thiên
x
-
3 2 +
y’ _ _ y 1 2 +
_
1 2
0,25đ 0;5đ Hàm số nghịch biến trong khoảng (-; 3 2 ) và khoảng( 3 2 ;+) hàm số không có cực trị
Đồ thị : Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng đi qua điểm (0; 2 3) ;(-2;0) 0,25đ 0,25đ Đồ thị đúng 0;5đ b) ( 1,5 điểm ) Phương trình hoành độ giao điểm 2 2 3 x x = -x + m 0,25đ
y
x
-2
Trang 17
3
2
x
3 2
x
Phương trình * không có nghiệm x =
3 2
m Để đồ thị (C ) cắt đường thẳng d tại 2 điểm phân biệt A, B thì pt * có 2 nghiệm phân biệt ' >0
0
2
m
m
**
0,5đ
Gọi x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình * A( x1; - x1 + m); B( x2; - x2 +m)
Tam giác AOB vuông ở O OA OB 0
x1.x2 + x1.x2 –m(x1 +.x2 ) +m2 =0 -3m+2 +m( 2-m) + m2 = 0 m=2 thỏa mãn điều kiện **
Vậy với m=2 thì đố (C ) cắt đường thẳng d: y = -x+m tại 2 điểm phân biệt
A, B sao cho tam giác AOB vuông ở O
0,5đ
0,25đ
Bài 2 :2 điểm
a)( 1điểm) y = x3 -2x2 +x -2 với x [0; 2]
Ta có y’ = 3x2 – 4x+1 = 0 x= 1 ; x= 1/3 thuộc [0; 2]
y( 0) = -2 ; y(1) = -2 ; y(2) = 0 ; y( 1/3) =
50 27
[
x
y
0;2]
[ ax
x
y
0,25đ
0,5đ 0,25đ
b)( 1 điểm) Tính đạo hàm của hàm số y= sin 3 x e cos3x
y’= (sin 3 ) 'x e cos3x sin 3 (x e cos3x) '
= 3cos3x ecos3x+sin3x (-3sin3x) .e cos3x
= 3e cos3x(cos3x-sin23x)
0,25đ
0,5đ 0,25đ
Bài 3 : 4điểm
a) Gọi M trung điểm BC Ta có BC AM BC SM góc giữa
mp(SBC) và mp(ABC) là SMA=30o
Trong tam giác SAM ta có AM=SAcot30o =3a BC = 2a 3
Thể tích V =
3
1 1
3 2BC AM SA a
0.5đ 0.5đ 0.5đ
b) Khi quay tam giác SBC quanh trục là đường thẳng BC ta được 2 hình nón
đỉnh B và đỉnh C đáy là đường tròn bán kính SM
12
SM SA AM a
Thế tích khối tròn xoay sinh ra là
V SM BM a a a
0.25đ 0.25đ 0,5đ
Gọi N trung điểm AB CN AB Từ A kẻ đường thẳng song song với
CN và từ C kẻ đường thẳng song song với AN, 2 đường thẳng đó cắt nhau ở
E tứ giác AECN là hình chữ nhật (SAE) (SCE) nên từ A kẻ AH
SE AH (SEC)
Mặt khác AB // (SCE) d( AB,SC) =d( AB,(SCE) =d(A,(SCE) = AH
0.5đ
0.5đ (Hình vẽ hoàn