Xét một hình nón nội tiếp mặt cầu có bán kính đáy bằng r.B. Xét một hình nón nội tiếp.[r]
Trang 1Đề số 17
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2008 – 2009
Môn TOÁN Lớp 12
Thời gian làm bài 90 phút
I PHẦN CHUNG: (7,0 điểm)
Câu I: (3,0 điểm) Cho hàm số y x 3 3x 1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:
x3 3x 1 m 0
3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ x0 = 2
Câu II: (3,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A =
2+ 7 2+ 7 1+ 7
14
2 7
2) Giải các phương trình sau:
a) 9 10.3x x 9 0 b)
x
x
4
1 log ( 3) 1 log
Câu III: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, cạnh SA vuông
góc với đáy, góc ABC bằng600, BC = a và SA = a 3 Tính thể tích của khối chóp đó.
II PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm)
A Theo chương trình chuẩn:
Câu IVa: (3,0 điểm)
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
log ( 1)
trên đoạn [1; 3]
2) Cho hình nón có đỉnh S, mặt đáy là hình tròn tâm O, đường kính AB = 2R và tam giác SAB vuông
a) Tính thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón đó
b) Giả sử M là một điểm thuộc đường tròn đáy sao cho BAM300 Tính diện tích thiết diện của hình nón tạo bởi mặt phẳng (SAM)
B Theo chương trình nâng cao:
Câu IVb: (3,0 điểm)
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1 log log 3log 1 3
trên
đoạn
1 ;4
4
2) Cho mặt cầu tâm O, bán kính bằng R Xét một hình nón nội tiếp mặt cầu có bán kính đáy
bằng r Tính diện tích xung quanh hình nón.
––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2Đề số 17
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2008 – 2009
Môn TOÁN Lớp 12
Thời gian làm bài 90 phút
I
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 1.5 điểm
y’ = 3x2 – 3, y ' 0 x 1
y' > 0 x < – 1 hoặc x > 1; y' 0 1 x1 0.25
HS đồng biến trên các khoảng ; 1 ; 1;
và nghịch biến trên khoảng (–1; 1)
yCĐ = y(–1) = 1và yCT = y(1) = –3
0.25
Bảng biến thiên:
x – –1 1 +
y’ + 0 – 0 +
y 1 +
– –3
0.25
Đồ thị:
+y'' 6 x, y'' = 0 x = 0
Đồ thị có tâm đối xứng là điểm (0; –1) + Các điểm khác thuộc (C) là (– 2; – 3), (2; 1)
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
1
2 -2
-3
-1
0.50
2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của
phương trình: x33x 1 m0 1.0 điểm
Ta có: x33x 1 m0 x3 3x 1 m (2) 0.25
(2) là PT HĐGĐ của (C) và (d): y = m, (d) song song hoặc trùng với
Ox Số nghiệm của PT (2) đúng bằng số giao điểm của (C) và (d). 0.25
Dựa vào đồ thị (C) ta có:
– Khi m < –3 hoặc m > 1: (d) cắt (C) tại 1 điểm nên phương trình có
1 nghiệm duy nhất
– Khi m = –3 hoặc m = 1: (d) và (C) có hai điểm chung phân biệt nên
phương trình có hai nghiệm phân biệt
0.50
Trang 3– Khi –3 < m < 1: (d) cắt (C) tại 3 điểm phận biệt nên phương trình
có 3 nghiệm phân biệt
(đúng 2 ý cho 0.25)
3 Viết PTTT của đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ x 0 = 2 0.5 điểm
x0 = 2 y0 = 1
PT tiếp tuyến của (C) tại điểm (2; 1) là:
1
Rút gọn biểu thức: A =
2+ 7 2+ 7 1+ 7
14
A =
2 7 1 7 2 7 1 7
2 7
2 7 1 7
1 7
7
2.a
Đặt t 3 x> 0 ta được phương trình theo t: t2 – 10t + 9 = 0
Với t = 1 ta được 3x = 1 x = 0 Với t = 9 ta được 3x = 9 x = 2
0.25
Tập nghiệm của phương trình là: S0;2 0.25
2.b
Giải phương trình
x
x
4
1
Điều kiện: x x
x
1
Khi đó:
PT log (4 x 3) 1 log 4x log4x log (4 x 3)
x x
4
3
x
x = 4(x – 3) 3x = 12 x = 4 (thoả mãn điều kiện)
III Tính thể tích của khối chóp SABC (1.0 điểm)
a
a 3
60 0 A
C
B S
0.25
Trang 4Ta có: AC = BC.tanB = a.tan600 = a 3 0.25 Diện tích ABC:
1 dt(ΔABC) = CA.CB
2
2
= a 3.a = a
Theo giả thiết SA = a 3 là chiều cao của hình chóp
Vậy thể tích của khối chóp là:
1
V = dt(ΔABC).SA
3 1a2 3a 3 1a3
0.25
1
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
log ( 1)
trên đoạn [1 ; 3] 1.0 điểm
Đặt t = x +1 ,x [1; 3] t [2; 4]
Khi đó hàm số đã cho trở thành
1 2
y = log t
0.25
Vì
1
0 < a = < 1
2 nên hàm số 12
y = log t
nghịch biến trên (0;) 0.25
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [2; 4] là
1 2 log 21
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2; 4] là
1 2 log 42 (đúng 1 ý cho 0.25)
0.50
2
2.a Tính thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón đó 1.0 điểm
Ta có SA và SB là các đường sinh của hình nón nên SA = SB Theo giả thiết thì tam giác ASB vuông tại S có SO là trung tuyến nên chiều cao hình nón là: h = SO =
1
2AB = R
0.25
Thể tích khối nón là V=
1
3dtđáy.SO =
3 2
1πR
πR R =
30 R H
O S
A
B
M
Nếu hình vẽ chỉ để phục vụ câu a) cho 0.25
0.50
2.b Tính diện tích thiết diện của hình nón tạo bởi mp(SAM) 1.0 điểm
Vì M thuộc đường tròn đường kính AB nên tam giác ABM vuông tại
M có góc A bằng 300
MA =AB.cosA = 2R.cos300 = R 3
0.25
Trang 5Vì tam giác SOM vuông tại O nên OS = OM = R SM = R 2
Gọi H là trung điểm MA, ta có MH =
MA = R
0.25
SHMA SH SM2 MH2
R
R2 3R2 5
2
Mp(SAM) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAM cân đỉnh S
có SH là đường cao.:
2 ΔSAM
S = SH.AM = 5.R 3 =
0.25
1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1 log log 3log 1 3
trên đoạn
1 ;4 4
1.0 điểm
Đặt t =
x
1 2
log , ta thấy
x 1 ;4 t [ 2;2]
4
Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y 1t3 t2 3 1t
3
trên đoạn [–2; 2]
0.25
2 y' = t + 2t - 3 ; y' 0 t 1 [ 2; 2] t 3 [ 2; 2] 0.25
y( 2) 8 4 6 1 25
; y(1) 1 1 3 1 2
;
y(2) 8 4 6 1 5
0.25
Vậy GTLN của hàm số là
25
4 , GTNN của hàm số là
2 3
2 Cho mặt cầu tâm O, bán kính bằng R Xét một hình nón nội tiếp
mặt cầu có bán kính đáy bằng r Tính DTXQ hình nón 2.0 điểm
r R
H O S
M
S'
Hình vẽ phục vụ tốt cho lời giải (có thể với cách giải khác)
0.25
Vì S là đỉnh, H là tâm của hình tròn đáy của hình nón nội tiếp mặt cầu tâm O nên H thuộc đường kính SS’ của mặt cầu
Trang 6Vì M thuộc đường tròn (H) nên tam giác MSS’ vuông tại M
r2MH2 SH S H h R h ' (2 )
h2 – 2Rh + r2 = 0
h = R R2 r2 hoặc h R R2 r2
0.50
* Nếu SH = h = R R2 r2 thì độ dài đường sinh hình nón:
l = SM = SH2HM2 h2r2 = 2R22R R2 r2
Diện tích chung quanh của hình nón:
S xq rlr 2R22R R2 r2
0.50
* Nếu SH = h = R R2 r2 thì độ dài đường sinh hình nón:
l = SM = SH2HM2 h2r2 = 2R2 2R R2 r2
Diện tích chung quanh của hình nón:
S xq rlr 2R2 2R R2 r2
0.50
Nếu học sinh chỉ tìm được một trong hai kết quả trên (có thể với
cách trình bày khác) thì cho nửa số điểm của câu này
============================