Chứng minh giao điểm của các đường thẳng BZ và CY luôn di động trên một đường cố định.. Chứng minh điểm L luôn di động trên một đường cố định..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DU ̣C VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THPT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN THI: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 27/9/2017
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (5 điểm)
Xét dãy số ( )x xác định bởi n
1
5 4
2
n
x
n với mọi n 1,2, 3,
Chứng minh dãy số ( )x n có giới hạn hữu hạn khi n và tìm giới hạn
đó trong trường hợp
a) a 0
2
a
Bài 2 (5 điểm)
Xét các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c 3
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
12
abc
b) Chứng minh số nguyên k nhỏ nhất sao cho
1 3
abc
với mọi a b c, , thỏa mãn điều kiện trên là k 10.
Bài 3 (5 điểm)
Cho tam giác ADH vuông tại H, HA > 2HD cố định Đường tròn (I) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với đường thẳng HD tại điểm D, có bán kính không quá
2
AH
và cắt đoạn thẳng AD tại X (khác D) Các tiếp tuyến qua A của (I) lần lượt cắt đường thẳng HD tại B và C (C thuộc tia DH)
a) Các đường thẳng XB, XC lần lượt cắt (I) tại Y và Z (khác X) Chứng minh giao điểm của các đường thẳng BZ và CY luôn di động trên một đường cố
định
b) Đường tròn (J) qua B,C tiếp xúc (I) tại L Chứng minh điểm L luôn di
động trên một đường cố định
Bài 4 (5 điểm)
Gọi là tập hợp các số thực dương Xét hàm số :f thỏa mãn
f xf y yf x y với mọi , x y a) Tìm tất cả các hàm số ( )f x là đơn ánh thỏa mãn điều kiện trên
b) Nếu hàm số ( )f x thỏa mãn điều kiện trên thì ( ) f x có là song ánh không?
- HẾT - ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
Trang 2SỞ GIÁO DU ̣C VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THPT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN THI: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 27/9/2017
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án, nếu đúng, đều được điểm tối đa
1a
2
n
Gọi A n( ) :x n (1;2) Ta sẽ chứng minh ( )A n đúng với mọi n 1,2, 3,
+) (1)A đúng
+) Giả sử ( )A k đúng (k 1), tức x k (1;2)
Ta sẽ chứng minh A k( 1), tức x k 1 (1;2) Thật vậy
1
2
k
x
2 1
Theo nguyên lý quy nạp x n (1;2) với mọi n 1,2, 3,
1,0
Ta có
2 1
n
x
Suy ra
n
Vì 0 q 1 nên với n đủ lớn thì q nnhỏ tùy ý, suy ra dãy số ( )x có giới hạn n
hữu hạn và limx n 2
1,0
1b
Gọi P n( ) :x n (1;2) Ta sẽ chứng minh P n( ) đúng với mọi n 1,2, 3,
+) P(1) đúng
+) Giả sử ( )P k đúng (k 1), tức x k (1;2)
Ta sẽ chứng minh P k( 1), tức x k 1 (1;2)
Thật vậy
1
1
k
x
k
2 1
k
Theo nguyên lý quy nạp x n (1;2) với mọi n 1,2, 3,
0,5 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
(Đáp án gồm 06 trang)
Trang 3Suy ra
1
n
x
1,2, 3,
n
0,5
Với mỗi 0 nhỏ tùy ý cho trước, tồn tại M đủ lớn để 1 ,
2
n M
M
1
1
11 2
n M
M
Ta có
1
1
1
1
1
1 2
n M
Suy ra dãy số (x n 1 2) có giới hạn hữu hạn và lim ( n 1 2) 0
Do vậy dãy số ( )x có giới hạn hữu hạn và lim n n 2
1,0
2a
Ta có bất đẳng thức sau với mọi a b c, , 0
Thật vậy, giả sử a b c, ta có
2
1,0
Do đó
(3 2 )(3 2 )(3 2 )
3abc 4(ab bc ca) 9
4
3
1,0
3
Dấu “=” xảy ra khi a b c 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của là 5
1,0
Trang 42b
Do bất đẳng thức đã cho đúng với mọi a b c, , 0 thỏa mãn a b c 3 nên
nó cũng đúng với bộ số a b x c, 3 2x với mọi 0;3
2
Khi đó
2 2
2 (3 2 )
3
2
0,5
3
9
Với k 10, ta cần chứng minh ( , , c) : 10 13
3
Không mất tính tổng quát, giả sử a b c, khi đó 0 c 1
đương với
2 2
2
2 2
4
4
4
bc ca
a b
c a b
2
4
0,5
với
2
2 2
2
0
c c
Điều này đúng do
1
3
,
( ]
0
0,1 4
c
c
c
Vậy số nguyên k nhỏ nhất cần tìm là k 10
0,5
Trang 53a
Kẻ tiếp tuyến tại X của ( )I cắt BC tại K
Gọi E F, lần lượt là tiếp điển của ( )I với AC AB,
Trong tứ giác XEDF ta có tiếp tuyến tại F E, và XD đồng quy tại A nên
tứ giác XEDF là tứ giác điều hòa Mà KX KD, là tiếp tuyến của ( )I tại X D,
nên K E F, , thẳng hàng
1,0
Mặt khác AD BE CF đồng quy nên , , (KDBC) 1
Từ đó X KDBC( ) 1 suy ra XZDY là tứ giác điều hòa 1,0
Suy ra tiếp tuyến tại D X, và YZ đồng quy hay Y Z K, , thẳng hàng 0,5 Kết hợp với (KDBC) 1 ta có BZ CY XD, , đồng quy
Do vậy giao điểm của BZ CY, di động trên AD cố định 0,5
3b
Tiếp tuyến chung của ( )J và ( )I cắt BC tại P
Ta có PD2 PL2 PB PC
Kết hợp với (KDBC) 1 suy ra P là trung điểm của KD
1,0
Tam giác ADH và tam giác KID có các cạnh tương ứng vuông góc và
IP DL (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) nên DL là trung tuyến của tam
giác ADH (do IP là trung tuyến của tam giác KID ) Do vậy L di động trên
đường trung tuyến qua D của tam giác ADH cố định
1,0
4
Giả sử tồn tại hàm số :f là thỏa mãn điều kiện
f xf y yf x y với mọi ,x y
Ký hiệu P x y là phép thế ( ; )0 0 x x y0, y vào điều kiện 0
4a
a) Khi ( ) là đơn ánh
(1, ) : (1 ( )) (1 ),
1
x
Suy ra f(2) f(1 f(1)) 2 1 f(1) f(1) 1
0,5
J L
P K
Z
Y
F
E X
A
I
Trang 6, : (1 ) , ,
Cho y 1
1
x
f
Suy ra
(do f là đơn ánh)
0,5
Suy ra
Suy ra
1
1
1
x
x x
xf x
0,5
Suy ra
2
(x 1) xf x( ) 1 0, x Suy ra f x( ) 1, x \ {1}
x
Kết hợp với (1)f 1 ta có f x( ) 1, x
x
Với f x( ) 1, x
x y x y với mọi ,x y Vậy f x( ) 1, x
x
0,5
4b
Chứng minh ( ) là toàn ánh
Với mỗi t bất kỳ thuộc ta có
Trang 7Với y f(2),
t ta được
(2)
(2)
f t
(2)
f l
t f
f t
để ( ) t có nghĩa ( ) là toàn ánh
Chứng minh ( ) là đơn ánh
Giả sử a b 0 sao cho f a( ) f b( ) Đặt T a b 0
Ta có (1f xf a( )) af x( a), x và (1f xf b( )) bf x( b), x
Suy ra
Điều đó có nghĩa là
b
Suy ra
n a
b
Xét hệ
1 ( )
Ta có x y nT 1 xf y( ) Suy ra 1
( ) 1
x
Do f toàn ánh nên tồn tại y sao cho f y( ) 1 và do
Tóm lại tồn tại y , tồn tại vô số n sao cho x Khi đó
đúng với vô số giá trị n Suy ra 1
n a y
b với vô số ,n vô lý
Vậy a b Suy ra ( ) là đơn ánh
1,0