- Phương trình bậc hai có chứa tham số và các bài toán lien quan đến định lí Vi-ét. - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; chứng minh phương[r]
Trang 1ĐỀ CƯƠNG TUYỂN SINH LỚP 10 I.LÍ THUYẾT:
1 Bài toán về biểu thức đại số:
- Các phép toán về căn thức.
- Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
- Rút gọn biểu thức
- Chứng minh đẳng thức
- Tìm giá trị của biểu thức hoặc của biến,…
2 Hàm số, đồ thị, hệ phương trình:
- Đường thẳng y = ax + b hoặc parabol y = ax2
- Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn không có tham số bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
3 Phương trình bậc hai, phương trình quy về bậc hai, định lí Vi-ét:
-.Giải phương trình bậc hai
- Phương trình bậc hai có chứa tham số và các bài toán lien quan đến định lí Vi-ét
- Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; chứng minh phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
- Tìm hai số khi biết tổng và tích
- Phương trình quy về phương trình bậc hai
4 Hình học:
- Các bài toán về chứng minh: Chứng minh tứ giác nội tiếp; chứng minh đường thẳng
là tiếp tuyến của đường tròn; …
- Các bài toán về tính toán: Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, tính chu vi, diện tích tam giác, tứ giác,…
II BÀI TẬP:
1 Bài toán về biểu thức đại số:
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
a) A 45 2 20
b) 3 5 27 3 122
3 5
Hướng dẫn giải:
a) A 45 2 20 5.9 2 5.4
A 3 5 4 5 5
b) 3 5 27 3 122
3 5
3 5 3 3
3 12
3 5
3 5 3
3 12
3 5
3 12 3 123 2
* Bài tập vận dụng:
Câu 1: Thực hiện phép tính:
a)
b)
2
1
( a > 1)
Trang 2Câu 2: Thực hiện phép tính:
a)
1
b)
1 1
Câu 3: a) Tính giá trị của biểu thức: 36.81
b) Rút gọn biểu thức: 20 45 3 18 72
Câu 4: a) Rút gọn: A 2 3 3 12 75
b) Rút gọn biểu thức:
B
Câu 5: Rút gọn các biểu thức:
a) A 8 2 18
b)
2 10 2 10
Câu 6: Rút gọn biểu thức:
a) A 2 12 27 4 3
b)
1 1
B
( với a > 0 )
Câu 7: a) Tính giá trị của biểu thức: A 3 80 2 45
b) Rút gọn biểu thức:
4 2
B
(x > 0)
Câu 8: Rút gọn biểu thức:
a) M 2 2 3 8 18
b)
:
N
a
a0;a1
Câu 9: Rút gọn biểu thức:
a) A 45 20 2 5
b)
B
a0;a4
Câu 10:Rút gọn biểu thức
a) A 12 27 48
b)
1 :
x y y x B
(x0;y0;xy)
2 Hàm số, đồ thị, hệ phương trình:
Ví dụ 1: a) Giải hệ phương trình:
x y
b) Cho hàm số
2
1 2
có đồ thị (P) và đường thẳng (d) : y = x + 4 Tìm tọa
độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính
Trang 3Hướng dẫn giải:
y = 1 2
a)
3 4 1 2 = -1
y = 1 2 x = 1
5 = -5 y = 1
* Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất: x ; y 1 ; 1
x x
b) Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d):
1
4 32 36 4
1
2
3
1
x
x
từ (P)
1
2
9 2 1 2
y y
Vậy : Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là
3; ; B(-1; )
A
5 1
kx y
I
x y
a) Giải hệ phương trình (I) với k = 2
b) Với giá trị nào của k thì hệ phương trình (I) cĩ nghiệm duy nhất, vơ nghiệm?
Hướng dẫn giải:
a) Thay k = 2 vào hệ (I) ta được:
1
x y
x y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( x; y)=( 2; -1)
b) * Hệ phương trình (I) cĩ nghiệm duy nhất khi: ' '
a b
1
1
k
k
* Hệ phương trình (I) vơ nghiệm khi: ' ' '
a b c
1 5
k1
*Bài tập vận dụng:
Câu 1: Cho hệ phương trình:
5 1
mx y
I
x y
a) Giải hệ phương trình (I) với m = 5
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình (I) cĩ nghiệm duy nhất, vơ nghiệm?
Trang 4Câu 2: a) Giải hệ phương trình:
3 1
x y
b) Tìm m thì hệ phương trình
3 1
mx y
Câu 3: 1) Giải hệ phương trình:
2 7
x y
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = x + a + 2 và parabol (P):
2
1 2
a) Vẽ parabol (P)
b) Tìm giá trị của a để đường thẳng (d) đi qua A(-1;3)
Câu 4: a) Giải hệ phương trình:
4
x y
x y
b) Cho đường thẳng (d): y = x + b Tìm b biết đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2)
Câu 5: a) Giải hệ phương trình:
x y
b) Cho parabol (P): y2x2 và đường thẳng (d): y = 3x – 3 Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
Câu 6: a) Giải hệ phương trình:
8
x y
x y
b) Cho hàm số y = ax2 Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-2;8) Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm được
Câu 7: a) Giải hệ phương trình:
4
x y
x y
b) Cho hàm số
2
1 2
có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y = x + 2m Vẽ đồ thị (P) Tìm tất cả giá trị của m sao cho (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1
Câu 8: a) Giải hệ phương trình:
5
x y
x y
b) Cho hàm số y = 3x2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y = 2x + 1 Tìm tọa
độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính
Câu 9: a) Giải hệ phương trình:
3 2 1
x y
b) Cho (P): y = x2 và (d): y = -x + 6 Vẽ (P) và tìm tọa độ giao điểm của (P)
và (d) bằng phép tính
Câu 10: Cho parabol (P) : 2
2
x
y
và đường thẳng (d) : y x 4
Trang 5a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tinh
3 Phương trình bậc hai, phương trình quy về bậc hai, định lí Vi-ét:
Ví dụ 1:Cho phương trình: x2(m 3)x 3m 0 (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m b) Tìm tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m c) Gọi x , x1 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để: x 12 x 22 x x 1 2 9
Hướng dẫn giải:
a) (a 1 ; b m 3 ;c3m)
Ta có : b2 4ac (m 3) 2 4 1 3m m2 6m 9 12m
m2 6m 9 (m 3) 20; m
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b
a
1 2
c
a
c) Ta có : x 12 x 22 x x 1 2 9
2 2
2
2
(x x ) 2x x x x 9
(x x ) 3x x 9
Thay x1x2 m 3 và x x1 2 3mvào (x 1 x ) 2 2 3x x 1 2 9được:
2
(m 3) 29m 9
m2 6m 9 9m 9 m23m 0
Giải ra ta được: m 0 ; m 3
Vậy với m = 0 ; m = -3 thì x 12 x 22 x x 1 2 9
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 + mx – 35 = 0 có nghiệm x 1 = 7
a) Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x 2 rồi tìm giá trị m của phương trình
b) Lập phương trình có hai nghiệm là hai số - x 1 và – x 2
Hướng dẫn giải:
a) x 2 + mx – 35 = 0 có nghiệm x 1 = 7
Theo hệ thức Vi-ét có : x 1 + x 2 = -m ; x 1 x 2 = - 35
Nên x 2 = - 35: x 1 = - 35 : 7 = -5 ; - m = 7 + (-5) = 2
Vậy x 2 = -5 ; m = - 2
b) – x 1 + (- x 2 ) = - 7 + 5 = -2 ; - x 1 (-x 2 ) = -7.5 = - 35
Vậy hai số - x 1 và – x 2 là nghiệm của phương trình x 2 + 2x - 35 = 0
Ví dụ 3: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0
a) Giải phương trình với m = -7;
b) Tính giá trị của m biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - x2 = 4
Hướng dẫn giải:
a) Với m = -7 ta có x2 - 6x -7 = 0
Có a-b+c=1+ 6 - 7=0
x1= - 1; x2= 7 kết luận S={-1; 7}
b) ĐK để pt có 2 nghiệm phân biệt ’= 9 – m > 0 m < 9
Trang 6Áp dụng hệ thức Viet có: x1 + x2 = 6; x1.x2 = m
Xét
1 2
1 2
giải được x1=5, x2=1 m = 5(TMĐK m < 9)
Vậy m =5 thì pt có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - x2 =4
*Bài tập vận dụng:
Câu 1: Cho phương trình : x2 + 4x -2m – 3 = 0 ( m là tham số)
a) Tìm giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Giải phương trình với m = 1
c) Tìm giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức :
2x13 5x x12 2 5x x1 22 2x23 284
Câu 2: Cho phương trình : x2 + (4m+1)x +2(m – 4) = 0 ( m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
c) Tìm m để phương trình có các nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
2
1 2 65
Câu 3: Cho phương trình : 2x2 - 6x +m = 0 (1) ( m là tham số)
a) Giải phương trình (1) với m = 4
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện :
8x x12 22 12x x1 2 16 x12x22
Câu 4: 1 Giải phương trình : 2x2 -3x -2 = 0
2 Cho phương trình x2 – 2x + m – 1 = 0 (1), m là tham số
a) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = -2 Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại của phương trình
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x x1 23 x x1 23 16 0
Câu 5: Cho phương trình x2 -3x + m + 1 = 0 (1) ( với m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x13x23 9
Câu 6: Cho phương trình : x2 -2(m - 1)x + 2m – 5 = 0 Tìm các giá trị của tham số m
để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12x22 6
Câu 7: Cho phương trình x2 - 2x + 2m - 1 = 0 (1) ( với m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = - 1
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó
c) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
1 2 2 3 1 2 1 2
Câu 8: Cho phương trình x2 + 2( m – 1)x + 1 - 2m = 0 (1) ( với m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
1 2 1 2 2 1 2 3
Câu 9: Cho phương trình x2 + 4x + m + 1 = 0 (1) ( với m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm
Trang 7c) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
điều kiện:
3
Câu 10: Cho phương trình x2 – 2mx - 4m - 5 = 0 (1) ( với m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = - 2
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm m để:
2
4 Hình học:
Ví dụ 1: Trên nửa đường tròn đường kính AB, lấy hai điểm I, Q sao cho I thuộc cung
AQ Gọi C là giao điểm hai tia AI và BQ; H là giao điểm hai dây AQ và BI
a) Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp
b) Chứng minh: CI AI = HI BI
c) Biết AB = 2R Tính giá trị biểu thức: M = AI AC+ BQ BC theo R.
Hướng dẫn giải:
Vẽ hình:
a) Ta có: AIB AQB 900(góc nội tiếp chắn nửa ñường tròn)
⇒ CIH CQH 900
Xét tứ giác CIHQ có CIH CQH 900900 1800
⇒ tứ giác CIHQ nội tiếp
b) Xét ∆AHI và ∆BCI có:
AIH BIC900
IAH IBC( cùng chắn cung IQ)
AHIBCI(g – g)
c) Ta có: M = AI AC+BQ BC = AC( AC – IC)+ BQ(BQ +QC)
=AC 2 - AC IC +BQ 2 + BQ QC
= AQ 2 + QC 2 - AC IC+ BQ 2 + BQ QC
=AB 2 + QC BC- AC IC
Tứ giác AIBQ nội tiếp (O) ⇒ CIQ CBA (cùng phụ với AIQ)
Xét ∆CIQ và ∆CBA có:
ACB: góc chung.
CIQ CBA
Suy ra ∆CIQ ∽∆CBA (g – g)
QC BC AC IC. . 0
Suy ra: M = AB 2 =(2 R) 2 =4 R 2
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Từ A vẽ tiếp tuyến Ax với (O) ( A
là tiếp điểm) Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC = 2R Qua C vẽ đường thẳng cắt
Trang 8đường tròn (O) tại hai điểm D và E ( D nằm giữa C và E; đường thẳng này cũng cắt đoạn thẳng OB) Gọi H là trung điểm đoạn thẳng DE
a) Chứng minh: CA2 CD CE
b) Chứng minh: tứ giác AOHC nội tiếp
c) Đoạn thẳng CB cắt đường tròn (O) tại K Tính số đo góc AOK và diện tích hình quạt AOK theo R
d) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N Chứng minh: O là trung điểm đoạn thẳng MN
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh CDA CAE (g-g)
CA2 CD CE
b) Chứng minhCHO 900
Xét tứ giác AOHC có :
CAO 900( T/c tiếp tuyến)
CHO CAO 1800
Tứ giác AOHC nội tiếp ( tổng hai góc đối diện bằng 1800)
c) SđAOK 900
SquạtAOK =
2 90 2
( đvdt) d) Từ E vẽ đường thẳng song song với MN cắt cạnh AB tại I và cắt cạnh BD tại F
Vì tứ giác AOHC nội tiếp (cmt)
HAO HCO
Mà HEI HCO (So le trong, EF//MN)
HAO HEI
Hay IAH IEH
tứ giác AHIE nội tiếp ( 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh HI dưới góc bằng nhau) IHEIAE
Mà IAE BDE (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BE)
IHEBDE
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
HI // BD
Chứng minh I là trung điểm EF
Xét BMO có IF // OM (EF//MM)
OM BO (1) (Hệ quả Talet)
Xét BNO có IE // ON (EF//MM)
ON BO (2) (Hệ quả Talet)
x
F
I K
N
M
H
E
D
O
C
Trang 9Từ (1) và (2) suy ra:
Mà IE = IF (I là trung điểm EF)
OM = ON
Mà O MN
O là trung điểm đoạn thẳng MN
*Bài tập vận dụng:
Câu 1: Cho một điểm M bất kì nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB ( M
khác A và B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax cắt tia BM tại I Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E và cắt tia AM tại F, tia BE cắt Ax tại H và cắt AM tại K
a) Chứng minh EFMK là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AI2 = IM.IB
c) Chứng minh tam giác BAF cân
Câu 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với
nửa đường tròn Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kì thuộc đoạn OA Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax ở D và By ở C a) Chứng minh: AMNBMC
b) Chứng minh: ANM BCM
c) DN cắt AM ở E và CN cắt MB ở F Chứng minh: EF Ax
Câu 3: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;6cm ).
Kẻ đường cao AD của tam giác ABC Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống đường kính A A’
a) Tính diện tích hình tròn (O;6cm )
b) Chứng minh tứ giác ABDE là tứ giác nội tiếp
c) Kéo dài DE cắt AC tại F Tính DF biết DC = 6cm; DA = 8cm
Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ bán kính CO vuông góc với
AB, M là một điểm bất kì trên cung AC ( M khác A, C và điểm chính giữa AC ); BM cắt AC tại H Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB
a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK
c) Kẻ CP vuông góc với BM ( P BM) và trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh ME = 2CP
Câu 5: Cho đường tròn tâm O có đường kính AB và C là một điểm thuộc đường
tròn tâm O ( C khác A, B ) Lấy điểm D thuộc dây cung BC ( D khác B, C ) Tia AD cắt cung nhỏ BC tại E, tia AC cắt tia BE tia điểm F Chứng minh:
a) Tứ giác FCDE nội tiếp
b) Chứng minh DA.DA = DB DC
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O