Các đặc trưng của hội tụ biến phân của song hàm trên miền chữ nhật

Cách tiếp cận của chúng tôi là trình bày một cách có hệ thống và toàn diện các loại hội tụ biến phân từ hội tụ biến phân của hàm một thành phần đó là hội tụ epi, hội tụ hypo và các loại

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠITRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS NGUYỄN BÁ THI

Cán bộ chấm nhận xét 2: PSG TS NGUYỄN HUY TUẤN

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG

Tp HCM ngày 02 tháng 08 năm 2020

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 Chủ tịch: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

2 Thư ký: TS NGUYỄN TIẾN DŨNG

3 Phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI

4 Phản biện 2: PGS TS NGUYỄN HUY TUẤN

5 Ủy viên: TS PHAN TẤT HIỂN

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngànhsau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

- Các đặc trưng của hội tụ biến phân

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 20/08/2019

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 01/06/2020

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM

PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn đến Cô hướng dẫn TS Huỳnh Thị Hồng Diễm, người đã nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ, gia đình và bạn bè của mình, những người đã luôn ở bên cạnh động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi suốt thời gian học tập, nghiên cứu.

Tôi xin gửi lời cảm ơn các thầy, cô trong Bộ môn Toán Ứng Dụng, khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn của mình.

Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của tất cả thầy cô, và các bạn đồng nghiệp.

Tp Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng 08 năm 2020

Tác giả

Nguyễn Trần Phú

i

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề sau:

1 Hội tụ biến phân của hàm một thành phần và mối quan hệ giữa các loại hội tụ cả về giải tích và hình học.

2 Hội tụ biến phân của song hàm trên miền chữ nhật.

3 Các đặc trưng của hội tụ biến phân.

Cách tiếp cận của chúng tôi là trình bày một cách có hệ thống và toàn diện các loại hội tụ biến phân từ hội tụ biến phân của hàm một thành phần đó là hội tụ epi, hội tụ hypo và các loại hội tụ đã học trong các môn học đã học ở bậc đại học và cao học, đến hội tụ biến phân của song hàm trên miền chữ nhật đó là hội tụ epi/hypo và hội tụ lopside Các tính chất quan trọng đó có ứng dụng nhiều trong tối ưu mà cụ thể

là xấp xỉ nghiệm cho các bài toán liên quan tối ưu: bài toán cân bằng, bài toán tối ưu đa mục tiêu, bài toán cân bằng Nash, bất đẳng thức

Ky Fan,

ii

THESIS SUMARY

In this thesis, we study the following inssues:

1 Epi/Hypo Convergence of one-component function and ship between converging types of both analytic and geometric.

relation-2 Epi/Hypo Convergence of Finite-Valued Bifunctions on the angular domain.

rect-3 Criteria for Epi/Hypo Convergence.

Our approach is to systematically and comprehensively present the types of epi convergence, hypo convergence and the types of convergence learned in subjects learned in undergraduate and graduate school, to convergence The Epi/hypo convergence of Finite-Valued Bifunctions

on the rectangular domain are epi/hypo convergence and lopside vergence These important properties have many applications in opti- mization, namely, the solution approximation to the optimal related problems: the equilibrium problem, the target optimization problem, the Nash equilibrium problem, and the inequality problem Fy Fan,

con-iii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là Nguyễn Trần Phú, mã học viên: 1670267, học viên cao học chuyên ngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố

Hồ Chí Minh khóa 2016 - 2018 Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Huỳnh Thị Hồng Diễm và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm tính trung thực về đề tài nghiên cứu này.

Tp Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng 08 năm 2020

Học viên thực hiện

Nguyễn Trần Phú

iv

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU

epif Trên đồ thị của hàm f

hypof Dưới đồ thị của hàm f

gphf Đồ thị của hàm f

domf Miền xác định của hàm f

lev≤α(f ) Tập mức dưới của hàm f

B(x, r) Hình cầu mở tâm x bán kính r

Cn

P −K

−→ C Dãy Cn hội tụ Painlevé-Kuratowski đến C

fk −→ fe Dãy {fk}k hội tụ epi đến hàm f

fk −→ fh Dãy {fk}k hội tụ hypo đến hàm f

fv-biv( Rn× Rm) Lớp các song hàm có giá trị hữu hạn trên không gian tích Rn× Rm

biv( Rn × Rm) Lớp các song hàm xác định trên không gian tích Rn× Rm

Φk e/h−→ Φ Dãy {Φk}k hội tụ epi/hypo đến Φ

Ls Giới hạn trên theo nghĩa Painlevé-Kuratowski

Li Giới hạn dưới theo nghĩa Painlevé-Kuratowski

ls lim sup

li lim inf

v

elif Giới hạn epi dưới của hàm f

elsf Giới hạn epi trên của hàm f

e/h-liΦ Giới hạn epi/hypo dưới của song hàm Φ e/h-lsΦ Giới hạn epi/hypo trên của song hàm Φ sup A Cận trên đúng của tập số thực A

inf A Cận dưới đúng của tập số thực A

argminf Tập các điểm cực tiểu của hàm f

argmaxf Tập các điểm cực đại của hàm f

vi

LỜI MỞ ĐẦU

1 Mục đích nghiên cứu:

Trong tối ưu hóa và giải tích biến phân, dãy những bài toán xấp xỉ hội tụ theo một cách nào đó đến bài toán gốc và các tính chất biến phân của nó như giá trị infimum, supremum hoặc các điểm đạt minimum, maximum, điểm minsup, điểm yên ngựa, đã được nghiên cứu và đạt được một số thành tựu đáng kể, thu hút nhiều nhà nghiên cứu trong nửa thế kỉ qua, nhất là các nước Âu, Mỹ Sự hội tụ này được gọi là hội

tụ biến phân và đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính xấp xỉ, tính ổn định, của các bài toán tối ưu.

2 Đối tượng nghiên cứu:

Hội tụ epi và hội tụ epi/hypo là những loại hội tụ biến phân chính, tương ứng của hàm một thành phần và song hàm Hội tụ epi được đưa ra một cách độc lập trong [1],[7] và [8] Để biết chi tiết hơn về hội

tụ này và nhiều ứng dụng của nó, độc giả có thể xem sách [19],[20] Chúng ta có thể tham khảo các ứng dụng của hội tụ epi/hypo trong [4],[21],[14][9][10] và, ứng dụng của hội tụ epi trong [20], và ứng dụng của hội tụ lopside trong [11],[13],[12] Sau khi được đề xuất trong [6] và nghiên cứu sâu trong [4], hội tụ lopside, dạng cải biên và mạnh hơn hội

tụ epi/hypo được phát triển [25] Các bài báo trên điều nghiên cứu lớp hàm giá trị thực mở rộng xác định trên cả không gian X, ký hiệu là fcn(X) hoặc song hàm giá trị thực mở rộng xác định trên không gian

Rn× Rm, ký hiệu là biv( Rn× Rm) Trong [11], lần đầu tiên hội tụ lopside được xét cho lớp song hàm giá trị hữu hạn xác định trên C × D, với

C ⊂ Rn và D ⊂ Rm Lớp này được ký hiệu là fv-biv( Rn× Rm) Nó quan trọng trong thực tế vì các song hàm điển hình ở các mô hình phổ biến

vii

nhất là hàm Lagrange trong tối ưu hóa có ràng buộc, hàm Hamilton trong phép toán biến phân và điều khiển tối ưu, và hàm thưởng phạt (payoff function) trong trò chơi tổng bằng không thuộc lớp song hàm này Hội tụ lopside mạnh hơn hội tụ epi/hypo, cho nên có nhiều tính chất đẹp hơn Tuy nhiên hội tụ này không có tính đối xứng giữa hai biến x ∈ C và y ∈ D Nó có tính "một phía"; nên chỉ phù hợp để xét hoặc là các tính chất minsup hoặc là các tính chất maxinf Nhưng với một song hàm thì tính chất biến phân được quan tâm hàng đầu phải

là tính chất yên ngựa, kết hợp cả hai tính chất minsup và maxinf Đặc biệt, tính chất này là cốt yếu khi xét đến các vấn đề hoặc bài toán đối ngẫu Do đó, trong bài này chúng tôi xét hội tụ epi/hypo của song hàm trên tích hai tập Chúng tôi đưa ra 3 đặc trưng của hội tụ biến phân trong fv-biv( Rn× Rm) và so sánh với hội tụ lopside Đặc trưng của hội

tụ epi/hypo phức tạp vì giới hạn của nó là không duy nhất, mà là một lớp song hàm gọi là lớp tương đương (epi/hypo) Cần nhấn mạnh rằng đặc trưng của hội tụ epi/hypo là quan trọng không chỉ về lý thuyết mà đặc biệt cần cho ứng dụng.

3 Phương pháp nghiên cứu:

Chúng tôi kế thừa và phát triển các kỹ thuật đã có của các tác giả

đi trước.

4 Nội dung và phạm vi của vấn đề sẽ nghiên cứu:

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một cách có hệ thống và toàn diện hội tụ epi/hypo hội tụ lop và các đặc trưng của nó trên miền chữ nhật Có thể coi đây là cơ sở để xây dựng hội tụ biến phân trên miền tổng quát nhằm xấp xỉ hai bài toán tựa biến phân điển hình là bài toán tựa cân bằng và bài toán tối ưu đa mục tiêu Đây là hai bài toán đại diện cho bài toán tựa biến phân.

Ngoài phần lời mở đầu và kết luận, chúng tôi chia luận văn thành

viii

3 chương Trong Chương 1, chúng tôi trình bày các khái niệm và kiến thức cơ sở về giải tích biến phân, giải tích đa trị và giải tích lồi, các kết quả cơ bản về hội tụ epi, hội tụ hypo trong mối quan hệ với các khái niệm hội tụ khác có liên quan, để phục vụ cho các chương sau Chương

2 chúng tôi giới thiệu tổng quan ngắn gọn về hội tụ biến phân của song hàm trên miền chữ nhật bao gồm hội tụ epi/hypo, hội tụ lopside Chương 3 bao gồm các đặc trưng của hội tụ biến phân trong đó có đặc trưng của hội tụ e/h của song hàm chính thường, đặc trưng của tính liên tục của biến đổi Legendre-Fenchel riêng phần.

ix

Mục lục

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU vi

Chương 1 HỘI TỤ BIẾN PHÂN CỦA HÀM MỘT THÀNH

1.1 Giới Hạn Của Dãy Tập Và Tính Chất 1

1.2 Hội Tụ Biến Phân Của Hàm Một Thành Phần 3

1.2.1 Hội tụ epi và các tính chất biến phân 4

1.2.2 Hội tụ hypo và các tính chất biến phân 6

1.3 Quan hệ giữa hội tụ epi, hypo và các hội tụ cổ điển 6

Chương 2 HỘI TỤ BIẾN PHÂN CỦA SONG HÀM TRÊN MIỀN CHỮ NHẬT 11 2.1 Hội tụ Lopsided 11

2.2 Hội tụ Epi/hypo 13

Chương 3 Các đặc trưng của hội tụ biến phân 16 3.1 Đặc trưng dạng hình học 16

3.2 Đặc trưng dạng song hàm chính thường 21

3.3 Đặc trưng dạng lát cắt (slice) 22

3.4 Đặc trưng Legendre-Fenchel riêng phần: 23

x

KẾT LUẬN 29

xi

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

Chương 1

HỘI TỤ BIẾN PHÂN CỦA HÀM MỘT THÀNH PHẦN

1.1 Giới Hạn Của Dãy Tập Và Tính Chất

Định nghĩa 1.1.1 (Giới hạn) Giả sử X là không gian metric và Cn ⊂ X, n ∈ N làdãy tập con của X

(a) Giới hạn trên (upper limit) của dãy tập Cn là tập

Cn, ta nói tập này là giới hạn (limit) của dãy Cn

theo nghĩa Painlevé-Kuratowski, ký hiệu là CnP −K→ C hoặc C = LimnCn Trongbài này ta thường viết tắt li, ls, Li, Ls thay cho liminf, limsup, Liminf, Limsup,tương ứng

Định lý 1.1.1 (Các dạng tương đương) Ta có các phát biểu tương đương của địnhnghĩa về giới hạn như sau

(i) Ls

nCn là tập mọi điểm tụ của các dãy xn∈ Cn bất kỳ có thể lập được và Li

nCn làtập giới hạn của mọi dãy đó

(ii) Ls

nCnlà tập mọi điểm tụ của các dãy "xấp xỉ", tức là các dãy {xn} thỏa điều kiện

∀ε > 0, ∀N (ε), ∃n(ε) > N, xn∈ B(Cn, ε) (Ở đây B(Cn, ε) = {x : d(x, Cn) < ε}.)(iii) Ls

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

k xnk với xn là một dãy xấp xỉ.Khi đó với εn → 0+ thì tồn tại nk để xnk ∈ B(Cnk, εnk) Do đó sẽ có ynk ∈ Cnk đểd(xnk, ynk) < εnk Hơn nữa, khi k → ∞,

d(x, ynk) ≤ d(x, xnk) + d(xnk, ynk) → 0

Vậy x là điểm tụ của dãy ynk ∈ Cnk

(iii) Giả sử x ∈ ∩N >0∪n≥NCn Khi đó, ∀N > 0, x ∈ ∪n≥NCn Tức là x = lim

m ymvới ym ∈ ∪n≥N, ∀N Do đó ym = lim

n} × [−1, 0] nếu n lẽ

Khi đó

Ls

nCn= {0} × [−1, 1],Li

nCn= {(0, 0)}

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

tự cho giới hạn dưới Thật vậy, chỉ việc nhận xét là d(x, Cn) = d(x, Cn)

(iii) Giới hạn trên và giới hạn dưới đều là các tập đóng Thật vậy, giả sử xm ∈ Li

nCnvớimọi m và lim xm = x Khi đó, với mỗi m sẽ có dãy xm

n ∈ Cnđể lim

n d(xm, xm

n) = 0.Khi đó ta có

n Cn=

∩N >0Cn

1.2 Hội Tụ Biến Phân Của Hàm Một Thành Phần

Trong phần này, chúng tôi trình bày sự hội tụ biến phân của hàm một thành phầntrong fv-fcn(X) (lớp hàm một thành phần có giá trị hữu hạn), bao gồm hội tụ epi,

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

hội tụ hypo và một số loại hội tụ cổ điển quan trọng Bên cạnh việc nhắc lại một sốkhái niệm đã biết, chúng tôi sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa các loại hội tụ này Từ giờ trở

đi, nếu không có gì khác thì ta luôn giả sử rằng X là không gian metric, Ck, C ⊂ X

là tập hợp khác rỗng, dãy hàm một thành phần (gọi tắt là dãy hàm) {fk : Ck→ R}k

và hàm f : C → R được xác định trên toàn miền

1.2.1 Hội tụ epi và các tính chất biến phân

Định nghĩa 1.2.1 (Hội tụ epi, [15]) Dãy hàm {fk}k được gọi là hội tụ epi đến hàm

f nếu epifk P −K−−−→ epif , kí hiệu là fk −→ f hoặc f = e-lime kfk

Đây là định nghĩa dạng hình học Định nghĩa này được phát biểu như nhau trongtrường hợp hàm có giá trị thực mở rộng f : X → R

Ví dụ 1.2.1 Xét dãy hàm {fk : [0, 2] → R} xác định như sau:

Ta có f = 0, ∀x ∈ [0, 2], khi đó epifk →epif hay fk −→ f.e

Ta định nghĩa hội tụ epi ở dạng biến phân tương đương với Định nghĩa 1.2.1 sauđây

Định nghĩa 1.2.2 (Hội tụ epi, [11]) Dãy hàm {fk}k được gọi là hội tụ epi đến fnếu những điều kiện sau thỏa:

(a) Với mọi xk ∈ Ck → x, likfk(xk) ≥ f (x) nếu x ∈ C và fk(xk) → +∞ nếu x /∈ C;(b) Với mọi x ∈ C, tồn tại xk ∈ Ck→ x sao cho lskfk(xk) ≤ f (x)

Ví dụ 1.2.2 Cho dãy tập Ck = [−2 −k1, 4 +1k] ∪ R và tập C = [−2, 4] Xét dãy hàm{fk : Ck→ Rk} xác định như sau:

Ta thấy rằng fk không hội tụ epi đến f vì điều kiện (a) của Định nghĩa 1.2.2không thỏa Thật vậy, chọn dãy xk ∈ Ck → 1 ∈ C với xk < 1 Khi đó, ta có

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

Hơn nữa, nếu xj ∈ arg minCk

j fkj với một dãy con {kj}j và xj → x thì x ∈arg minCf và minCk

j fkj → minCf

Nếu arg minCf là tập một điểm thì mọi dãy con của minCk

j fk j đều hội tụ đếnarg minCf

Chứng minh Lấy dãy {xj}j thuộc C sao cho f (xj) → infCf Từ (b) của Định nghĩa1.2.2, với mọi j tồn tại dãy xkj ∈ Ck → xj sao cho lskfk(xkj) ≤ f (xj) Vì infCkfk ≤

(a) Giới hạn epi dưới của {fk}k tại x là elifk(x) := inf{xk ∈C k →x}likfk(xk), trong

đó {xk ∈ Ck → x}k là tập hợp tất cả những dãy tập từ những điểm thuộc Ck hội tụ

về x

(b) Giới hạn epi trên của {fk}k tại x là elsfk(x) := inf{xk ∈C k →x}lskfk(xk)

Mệnh đề 1.2.2 (i) elifk(x) = min{x k ∈C k →x}likfk(xk) và elsfk(x) = min{x k ∈C k →x}lskfk(xk)với x ∈ X

(ii) fk−→ f nếu và chỉ nếu elife k(x) =elsfk(x) = f (x) với x ∈ C và elifk(x) = +∞với x /∈ C

(iii) epi(elifk)=Lsk(epifk) và epi(elsfk)=Lik(epifk)

(iv) fk −→ f nếu và chỉ nếu epife k P −K−−−→epif

Chứng minh (i) Vì việc chứng minh hai đẳng thức tương tự nhau nên chúng tôichỉ chứng minh đẳng thức thứ hai Nếu elsfk(x) < +∞, với mọi γj dương, tồntại xkj ∈ Ck → x sao cho lskfk(xkγ ≤elsfk(x) + γj (bao gồm trường hợp elsfk =

−∞) Nếu γj & 0 thì ta có lsjlsk(xkj) ≤elsfk(x) Với mọi k ta có dãy j(k) sao cho

lskfk(xkj(k)) ≤elsfk(x) Khi đó, {xkj(k)}k là dãy đạt được cực tiểu cho biểu thức địnhnghĩa của elsfk Nếu elsfk = +∞, mọi dãy {xk ∈ Ck}k hội tụ đến x là dãy cực tiểu.(ii) (⇒) Nếu x ∈ C, từ (i) và Định nghĩa 1.2.2, ta cóf (x) ≤ elifk(x) Mà elifk(x) ≤elsfk(x) với mọi x ∈ C nên f (x) ≤ elifk(x) ≤ elsfk(x) Mặt khác, vì fk hội tụ epiđến f nên tồn tại xk ∈ Ck → x sao cho lskfk(xk) ≤ f (x) Do đó, elsfk(x) =inf{xk ∈C k →x}lskfk(xk) ≤ f (x) Khi đó, elifk(x) = elsfk(x) = f (x) với x ∈ C Nếu

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

α ≥ elifk(x) = likfk(xk) = limjfk j(xk j)

Do đó, với mọi εkj > 0 sao cho αkj = fkj(xkj) + εkj → α Khi đó, ta có (xk j, αkj) ∈epifkj → (x, α) Vậy, (x, α) ∈Lsk(epifk)

1.2.2 Hội tụ hypo và các tính chất biến phân

Hội tụ biến phân liên quan đến vấn đề cực tiểu của hàm là hội tụ trên đồ thị (hội

tụ epi) Nếu quan tâm đến vấn đề cực đại của hàm người ta cần đưa ra khái niệmhội tụ dưới đồ thị Mặt khác, ta có max(f ) = − min(−f ) nên ta chỉ cần xét trên đồthị của hàm −f Từ đó, định nghĩa hội tụ hypo như sau

Định nghĩa 1.2.4 Dãy hàm {fk}k được gọi là hội tụ hypo đến hàm f nếu dãy hàm{−fk}k hội tụ epi đến hàm−f , ký hiệu là fk h−→ f hoặc f = h-limkfk

Ví dụ 1.2.3 Giả sử rằng Ak = [−1 − 1k, 1 + k1], k ∈ N và C = [−1, 1] Dãy hàm{fk : Ck→ R}k được xác định bởi

fk(x) = −(x4 +2k)

Và hàm f : C → R xác định bởi:

f (x) = −x4.Kiểm tra theo định nghĩa ta được epi(−fk)−−−→epi(−f ) Do đó, −fP −K k −→ −f Vậye

fk h−→ f

Vì tính đối xứng giữa hội tụ epi và hội tụ hypo nên các kết quả của hội tụ epi

sẽ đúng cho hội tụ hypo khi ta thay f thành −f ,min thành max, inf thành sup,−∞thành +∞, li thành ls Ta có một số định nghĩa và tính chất quan trọng dưới đâyĐịnh nghĩa 1.2.5 (Giới hạn hypo trên và dưới)

(a) hlifk(x) := sup{xk ∈C k →x}likfk(xk);

(iii) hypo(hlsfk)=Lsk(hypofk) và hypo(hlifk)=Lik(hypofk);

(iv) fk h−→ f nếu và chỉ nếu hypofk P −K−−−→hypof

1.3 Quan hệ giữa hội tụ epi, hypo và các hội tụ cổ điển

Định nghĩa 1.3.1 (Hội tụ cổ điển) Cho dãy hàm {fk : Ck → R}kvà hàm f : C → R.(a) Khi Ck ≡ C, dãy hàm {fk}k được gọi là hội tụ điểm đến hàm f nếu fk(x) →

f (x) với mọi x ∈ C, ký hiệu là fk −→ f p

(b) Dãy hàm {fk}k được gọi là hội tụ đồ thị đến hàm f nếu gphfk P −K−−−→gphf , kýhiệu là fk −→ f g

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

(c) Dãy hàm {fk}k được gọi là hội tụ liên tục đến hàm f khi Ck P −K−−−→ C nếu vớimọi xk ∈ Ck → x thì fk(xk) → f (x)

(d) Khi Ck ≡ C, dãy hàm {fk}k được gọi là hội tụ đều đến hàm f nếu với mọi

ε > 0 và tập S ∪ C là tập compact, tồn tại chỉ số k0 sao cho |f (x) − f (xk)| ≤ ε vớimọix ∈ S và k ≥ k0

(e) Khi Ck ≡ C, fk được gọi là hội tụ liên tục đều đến hàmf nếu fk hội tụ điểmđến hàm f và fk liên tục đều, nghĩa là với mọi x ∈ C và ε > 0, tồn tại lân cận ϑ(x, ε)của x và chỉ số k0(x, ε) sao cho với mọi y ∈ ϑ(x, ε) ∩ C và k ≥ k0(x, ε), ta có

|fk(x) − fk(y)| ≤ ε

Nhận xét Định nghĩa 1.3.1 (e) là trường hợp giảm nhẹ của các khái niệm hội tụ

cổ điển Nếu dãy hàm {fk}k liên tục đều và hội tụ điểm đến hàm f thì mọi hàm fk

đều liên tục Tuy nhiên, nếu hàm {fk}k hội tụ liên tục đều theo Định nghĩa 1.3.1 thì

ta không thể suy ra tính liên tục của hàm fk

Do đó, với mọi y ∈ ϑ(x, ε) và k > k0(x, ε), ta có

|fk(x) − fk(y)| < ε

Do đó, hàm fk liên tục đều nhưng dễ thấy rằng hàm fk không liên tục

Mệnh đề 1.3.1 Cho Ck, C ∪ X là các tập không rỗng, dãy hàm {fk: Ck → R}k vàhàm f : C → R

(i) Bốn khẳng định sau là tương đương nhau:

(i1) Dãy hàm {fk}k hội tụ đồ thị đến hàm f ;

(i2) Dãy hàm {fk}k hội tụ liên tục đến hàm f khi Ck P −K−−−→ C;

(i3) hlsfk ≤ f ≤elifk;

(i4) Dãy hàm {fk}k hội tụ epi và hội tụ hypo đến hàm f

(ii) Nếu Ck ≡ C, mỗi khẳng định sau tương đương với các khẳng định trong (i):(ii1) Dãy hàm {fk}k hội tụ đều đến hàm f và hàm f liên tục;

(ii2) fk liên tục đều và hội tụ điểm đến hàm f

Chứng minh (i1)⇔(i4) Nếu (i4) thỏa, giả sử rằng epifk P −K−−−→epif và hypofk P −K−−−→hypof Khi đó, ta có

Lsk(gphfk)=Lsk(epifk∩hypofk)∪Lsk(epifk)∩Lsk(hypofk)=gphf

Bây giờ, ta sẽ chứng minh gphf ∪Lsk(gphfk) Với mọi điểm (x, α) ∈gphf thuộcepif và hypof , tồn tại (xk, αk) ∈epifk hội tụ đến (x, α) và dãy (xk, βk) ∈ hypofk

hội tụ đến (x, α) với βk ≤ fk(xk) ≤ αk và fk(xk) ≤ αk và fk(xk) → f (x) Vì(xk, fk(xk)) ∈epifk nên ta có gphf ∪Lsk(gphfk)

Ngược lại, giả sử fk −→ f Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử tồn tại dãyg

xk∈ Ck → x sao cho likfk(xk) = β < f (x) Đặt limjfk j(xk j) = β, ta có

(xk j, fk j(xk j)) ∈gphfk j → (x, β) /∈gphf

Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ

Điều này trái với giả thiết hội tụ epi Do đó, nếu fk hội tụ đồ thị đến hàm f thì

fk cũng hội tụ epi đến hàm f

Mặt khác, ta thấy rằng với mọi điểm x ∈ C, tồn tại (xk, fk(xk))−→ (x, f (x)) Dog

đó, điều kiện (b) của Định nghĩa 1.2.2 thỏa Ngoài ra, vì −fk −→ f nên ta cóg

hypofk = −epi(−fk)−−−→ −epi(−f )=hypof P −K(i2) ⇔ (i4) Điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa (Lưu ý rằng vì hàm fk hội tụepi và hội tụ hypo đến hàm f nên Ck P −K−−−→ C.)

(i2) ⇔ (i3) Vì (i1) ⇔ (i4) nên ta suy ra elifk≤hlifk và elsfk ≤hlsfk

Từ Mệnh đề1.3.1, ta thấy rằng ngoại trừ hội tụ điểm, hội tụ đồ thị, hội tụ đều vàhội tụ liên tục đều mạnh hơn hội tụ epi và hội tụ hypo Do đó, tính chất biến phâncủa các loại hội tụ này cũng mạnh hơn so với hội tụ epi và hội tụ hypo Tuy nhiên,những loại hội tụ này quá hẹp và khó thỏa mãn trong thực tế, nên ta thường phải ápdụng hội tụ epi và hội tụ hypo Ngoài ra, những loại hội tụ trên cũng mạnh hơn hội

k nếu x vô tỉ Khi đó, ta có

{f2k} hội tụ đến hàm g(x) =

(

0 nếu x hữu tỉ ,

1 nếu x vô tỉ Và

{f2k+1} hội tụ đến hàm h(x) =

(

1 nếu x hữu tỉ ,

0 nếu x vô tỉ

Vì g(x) 6= h(x) với mọi x ∈ R nên dãy hàm {fk}k không hội tụ điểm Mặt khác,

ta thấy rằng dãy hàm này hội tụ epi và giới hạn epi của f (x) bằng 0 Thật vậy, vớimọi x bất kỳ, chọn dãy {yk}k như sau:

Với y2k hửu tỉ thì |y2k− x| < 1

k.Với y2k+1 vô tỉ thì |y2k+1− x| < 1

k.Khi đó, ta có yk → x, fk(yk) = 2k → 0 vì thế lskfk(yk) ≤ f (x) = 0 Trong khi đó,với mọi dãy {xk}k hội tụ đến x, ta có 0 = f (x) ≤likfk(xk) Vì vậy,