Skkn kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Việc giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình là mảng kiến thức lớn có nội dung phong phú đa dạng, học sinh thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài

Trong đề thi môn toán vào lớp 10 THPT thành phố Hà Nội nhiều năm gần đây Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình” thường xuyên có mặt chiếm khoảng 20% tổng số điểm của đề thi

Trong chương trình đại số lớp 8 và lớp 9 Việc giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình là mảng kiến thức lớn có nội dung phong phú đa dạng, học sinh thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT, kiểm tra hết học kì 2,

Để giúp học sinh nắm được các bước giải cơ bản, cách chọn ẩn phù hợp, xác định rõ các đối tượng tham gia, các đại lượng có mặt trong từng bài toán, hạn chế bớt khó khăn và mất điểm khi làm dạng bài tập này tôi suy nghĩ và thực hiện xây dựng chuyên đề cấp cụm với nội dung “Giải bài tập bằng cách lập hệ phương trình - phương trình ", đồng thời qua kinh nghiệm nhiều năm ôn thi học sinh lớp 9 thi vào lớp 10 THPT Qua quá trình thực hiện chuyên đề và ôn thi học sinh lớp 9 tôi nhận thấy khó khăn nhất đối với học sinh khi thực hiện dạng toán này là ở bước 1 – Lập phương trình hoặc hệ phương trình, từ đó tôi đã đi vào nghiên cứu và rút ra cho các em những kinh nghiệm khi giải dạng toán này Trong khuôn khổ SKKN này tôi đưa ra một số dạng bài tập cơ bản thường gặp Trong mỗi dạng tôi cố gắng cho các em xác định rõ các đối tượng tham gia; các đại lượng có mặt và mối quan hệ giữa các đại lượng, đại lượng nào đã biết, nên chọn đại lượng nào làm ẩn, từ đó nhằm giúp các em dễ dàng biểu thị các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết Trong mỗi dạng tôi đưa

ra một số bài tập đặc trưng giúp học sinh nắm bắt được dạng bài tập này có kĩ năng giải bài tập dễ dàng hơn

2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh có kỹ năng phân loại các dạng toán trong dạng toán chung

“Giải bài toán bằng các lập phương trình hoặc hệ phương trình”; kỹ năng phân tích đầu bài để xác định đối tượng tham gia, các đại lượng có mặt và mối quan

hệ giữa chúng để từ đó đưa ra cách chọn ẩn thích hợp, biểu thị các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết từ đó hoàn thành bước 1 lập phương trình hoặc giải phương trình

Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình, để mỗi học sinh sau khi học xong chương trình toán THCS đều phải nắm chắc loại toán này và biết cách giải chúng

Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình

Học sinh thấy được môn toán rất gần gũi với các môn học khác và thực tiễn cuộc sống

Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học sinh, làm cho học sinh có thêm hứng thú khi học môn toán

3 Nội dung nghiên cứu

- Các bước chính để giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

- Phân tích đầu bài, phân tích bài toán đó thuộc dạng toán nào từ đó xác định các đối tượng tham gia, các đại lượng có mặt, mối quan mối quan hệ giữa chúng để từ đó đưa ra cách chọn ẩn thích hợp, biểu thị các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết từ đó hoàn thành bước 1 lập phương trình hoặc giải phương trình

- Đưa ra một số bài toán cụ thể minh họa cho từng dạng toán

4 Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu

- ĐTNC: Một số kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình

- KTNC: Học sinh lớp 9 trường THCS

5 Thành phần tham gia nghiên cứu

- Phạm vi nghiên cứu: Phân môn đại số 9 và tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán về dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình”

- Đối tượng điều tra khảo sát thực nghiệm: Học sinh khối lớp 9 ở trường THCS

6 Phương pháp nghiên cứu

Qua thực tế giảng dạy thông qua chương trình sách giáo khoa sách tham khảo, thông qua các chuyên đề bồi dưỡng giáo viên qua dự giờ trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp, thông qua các chuyên đề ôn thi học sinh vào lớp 10 THPT Bản thân tôi đã lựa chọn những phương pháp chính sau:

- PP Phỏng vấn - PP Phân tích, tổng hợp

- PP so sánh; PP thực hành - PP Điều tra; Khảo sát

7 Kế hoạch nghiên cứu

1 Tháng 8; 9; 10; 11 - Xác định nội dung nghiên

cứu; xây dựng đề cương tóm tắt của đề tài nghiên cứu

- Điều tra, khảo sát, phỏng vấn học sinh về những thuận lợi và khó khăn khi giải dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình”

- Trao đổi với giáo viên những kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình

hoặc hệ phương trình”

Thu thập tài liệu; thông tin; trao đổi với học sinh và giáo viên; thực hiện chuyên đề cấp trường rút

kinh nghiệm

2 Cuối học kỳ 1 - Tiếp tục thực hiện điều tra,

khảo sát, giảng dạy để so sánh, rút kinh nghiệm

Tự nghiên cứu

3 Cuối năm học Thực hiện hoàn thành báo cáo Tự viết SKKN

PHẦN II NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI HOẶC CẢI TIẾN

1 Cơ sở lý luận

Trong chương trình Giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay nhìn chung tất

cả các môn học đều cho chúng ta tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học ứng dụng Đặc biệt bộ môn toán, các em được tiếp thu kiến thức xây dựng trên tinh thần toán học hiện đại Trong đó có nội dung xuyên suốt quá trình học tập của các em đó là phương trình Ngay từ khi cắp sách đến trường các em đã được làm quen với phương trình dưới dạng đơn giản đó là điền số thích hợp vào ô trống

và dần dần cao hơn là tìm số chưa biết trong một đẳng thức và cao hơn nữa ở lớp 8, lớp 9 các em phải làm một số bài toán phức tạp Các dạng toán đó tạo ra mối quan hệ giữa các đại lượng là mối quan hệ toán học, các đại lượng ở đây là những con số bất kỳ trong tập hợp các em đã được học Hàm ý phương trình ở đây được viết sẵn, học sinh chỉ cần giải tìm được ẩn số là hoàn thành nhiệm vụ

Các bài toán trong chương trình đại số về giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình không đơn giản như vậy nữa, mà có hẳn một loại bài toán có lời văn Các em căn cứ vào lời bài toán đã cho phải tự mình thành lập lấy phương trình và giải phương trình Kết quả tìm được không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải phương trình mà còn phụ thuộc rất nhiều vào việc thành lập phương trình – hệ phương trình và trả lời

2 Cơ sở thực tiễn

Việc giải bài toán bằng cách lập phương trình ở bậc THCS là một việc làm mới mẻ, đề bài toán là một đoạn văn trong đó mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng mà có một đại lượng chưa biết, cần tìm, yêu cầu học sinh phải có kiến thức phân tích, khái quát, tổng hợp, liên kết các đại lượng với nhau, chuyển đổi các mối quan hệ toán học Từ đề bài toán cho học sinh phải tự mình thành lập lấy phương trình để giải Những bài toán dạng này nội dung của nó hầu hết gắn liền với các hoạt động thực tiễn của con người, của tự nhiên, xã hội Nên trong quá trình giải học sinh phải quan tâm đến ý nghĩa thực tế của nó

Khó khăn của học sinh khi giải bài toán này là kỹ năng của các em còn hạn chế, khả năng phân tích khái quát hoá, tổng hợp của các em rất chậm, các

em không quan tâm đến ý nghĩa thực tế của bài toán

Trong quá trình giảng dạy toán tại trường THCS tôi thấy dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình luôn luôn là một trong những dạng toán cơ bản Dạng toán này thường có trong các bài kiểm tra học kỳ môn toán lớp 8, lớp

9, cũng như trong các bài thi môn toán vào lớp 10 THPT những năm gần đây, nó

thường chiếm 2 điểm trong tổng 10 điểm của bài thi Đa số học sinh bị mất điểm

ở bài này do không nắm chắc cách giải chúng, cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa

Qua khảo sát 60 học sinh khối 9 năm học này trước khi thực hiện đề tài tôi thấy:

Các lỗi HS

mắc phải

Thiếu điều kiện

Điều kiện không chính xác

Thiếu đơn vị

đo

Không biểu diễn đúng mqh giữa các đại lượng

Giải Pt, Hpt sai

Không đối chiếu với

đk đã KL

Số học sinh

mắc lỗi

Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ năng giải các loại bài tập này tránh những sai lầm của học sinh hay mắc phải Do đó, khi hướng dẫn học sinh giải loại toán này phải dựa trên quy tắc chung là: Yêu cầu

về giải bài toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, phân loại các bài toán dựa vào quá trình tham gia của các đại lượng làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng, từ đó học sinh tìm ra lời giải cho bài toán đó

Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường THCS ; sau khi thực hiện chuyên đề cấp cụm trong năm học 2019 – 2020; qua quá trình

ôn tập cho học sinh thi vào lớp 10 THPT tôi đã mạnh dạn viết đề tài ''Một số kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách cách lập phương trình hoặc hệ phương trình'' cho học sinh lớp 9 trường THCS

3 Mô tả phân tích các giải pháp hoặc cải tiến mới

Giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình là dạng toán tương đối khó với học sinh Đòi hỏi học sinh phải có sự phân tích suy luận để tìm mối quan hệ giữa các đại lượng biết chuyển từ ngôn ngữ mẹ đẻ sang ngôn ngữ toán học, chuyển từ hành văn sang phép toán Nhiều học sinh ngại làm dạng bài tập này hoặc trình bày không rõ ràng vì kĩ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu, không tìm được mối quan hệ giữa các dữ liệu nên không lập được phương trình hoặc lập sai Do đó trong quá trình giảng dạy giáo viên phải tuân theo các yêu cầu sau :

Có kĩ năng giải phương trình - hệ phương trình

- Hiểu đề bài phân tích kĩ tránh sai sót

- Có lập luận chặt chẽ , toàn diện

- Trình bày khoa học rõ ràng , phù hợp với thực tế

Để đạt được yêu cầu sau học sinh tuân theo các bước cơ bản sau :

 Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình

- Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn ( nếu lập phương trình một ẩn )

- Chọn 2 đại lượng chưa biết làm 2 ẩn ( nếu lập hệ phương trình )

- Dùng ẩn số và các đại lượng đã cho, các công thức liên quan để biểu diễn các đại lượng khác

- Tìm mối quan hệ giữa các đại lượng để thiết lập phương trình - hệ phương trình

 Bước 2 : Giải phương trình hoặc hệ phương trình

 Bước 3 : Nhận định kết quả - trả lời

So sánh kết quả tìm được với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không ? Trả lời

Trong 3 bước trên bước một là then chốt Để làm tốt bước một đòi hỏi học sinh phải đọc kĩ đề xác định dạng bài, các đại lượng tham gia, tóm tắt bằng

kí hiệu đại lượng đã biết đại lượng phải tìm

Khi tiến hành giải loại toán này cần phân loại dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình và các giai đoạn giải một bài toán:

* Phân loại bài toán giải bằng cách lập phương trình:

Trong số các bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình ta có thể phân loại thành các dạng như sau:

1/ Dạng bài toán về chuyển động

2/ Dạng toán liên quan đến số học

3/ Dạng toán về năng suất lao động

4/ Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng

5/ Dạng toán về tỉ lệ chia phần

6/ Dạng toán có liên quan đến hình học

7/ Dạng toán có liên quan đến vật lí, hoá học

* Các giai đoạn giải một bài toán

 Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài rồi ghi giả thiết, kết luận của bài toán

 Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phương trình Tức là

chọn ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện của ẩn thế nào cho thoả mãn

 Giai đoạn 3: Lập phương trình

Dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết, dựa vào các công thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã giải được

 Giai đoạn 4: Giải phương trình hoặc hệ phương trình Vận dụng các kỹ

năng giải phương trình hoặc hệ phương trình đã biết để tìm nghiệm

 Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình hoặc hệ phương

trình để xác định lời giải của bài toán Tức là xét nghiệm của phương trình hoặc

hệ phương trình với điều kiện đặt ra của bài toán, với thực tiễn xem có phù hợp không? Sau đó trả lời bài toán

 Giai đoạn 6: Phân tích biện luận cách giải Phần này thường để mở

rộng cho học sinh tương đối khá, giỏi sau khi đã giải xong có thể gợi ý học sinh biến đổi bài toán đã cho thành bài toán khác bằng cách:

- Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác

- Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi các yếu tố khác

- Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất

 Các dạng toán minh họa

 Dạng toán chuyển động: (cùng chiều, ngược chiều, đến sớm muộn,

trước sau, chuyển động dưới nước)

Bài toán 1: Chuyển động trên cạn (Trích đề thi vào lớp 10 THPT, thành

phố Hà Nội năm học 2017 – 2018)

Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120 km Do vận tốc xe

ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút Tính vận tốc của mỗi xe

Hướng dẫn tìm lời giải: giáo viên cần lưu ý để học sinh tìm hiểu các vấn đề sau:

- Đối tượng tham gia: Ô tô và xe máy (Chuyển động cùng chiều)

- Các đại lượng: quãng đường (s), Vận tốc (v), thời gian (t)

- Mối quan hệ giữa các đại lượng: s = v.t

GV có thể yêu cầu học sinh lập bảng để nhìn rõ hơn mối quan hệ các đại lượng trong bài

+ Nếu lập phương trình ta có bảng: Đổi 36 phút = 3

5 h Đối tượng Quãng đường (km) Vận tốc (km/h) Thời gian (h)

1 0

x 

x

Phương trình: 1 2 0

x - 1 2 0

1 0

5

+ Nếu lập hệ phương trình ta có bảng: Đổi 36 phút = 3

5 h Đối tượng Quãng đường (km) Vận tốc (km/h) Thời gian (h)

y

x

Phương trình: y – x = 10 (1)

1 2 0

x

- 1 2 0

y = 3

5

(2) Qua phân tích trên học sinh nhận xét thấy nếu giải bằng cách lập phương trình sẽ đơn giản hơn

Lời giải minh họa cách lập phương trình

Đổi 36 phút =3

5 h Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h); (x > 0)

Vận tốc của ô tô là: x + 10 (km/h)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: 1 2 0

x (h) Thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB là: 1 2 0

1 0

x  (h)

Vì ô tô đến B sớm hơn xe máy là 36 phút, nên có phương trình:

2

0

 1 2 0 1 2 0 3 1 0 2 0 0

1 0 5



Giải phương trình được hai nghiệm: x1=-50; x2 = 40

Với x = x1 = -50 (Không tmđk)

x = x2 = 40 (tmđk)

Vậy vận tốc của xe máy là 40km/h; vận tốc của ô tô là 50km/h

Chú ý: + Học sinh có thể chọn vận tốc của ô tô làm ẩn nhưng có nguy cơ đưa

điều kiện sai

+ Cần hiểu: Ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút nghĩa là xe máy đến B chậm hơn 36 phút, nghĩa là thời gian xe máy đi hết quãng đường AB nhiều hơn thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 36 phút

Bài toán 2: Chuyển động dưới nước (Trích đề thi vào lớp 10 THPT, thành

phố Hà Nội năm học 2015 - 2016)

Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc dòng nước của dòng nước là 2km/h Tính vận tốc của tầu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược là 1 giờ

Hướng dẫn tìm lời giải:

Giáo viên cần khắc sâu nhưng điểm sau:

- Vận tốc tàu lúc nước yên lặng  vận tốc thực của tàu

- Đây là toán chuyển động dưới nước có vận tốc dòng nước nên phải biểu diễn:

vận tốc xuôi = vận tốc thực + vận tốc dòng nước nước vận tốc ngược = vận tốc thực - vận tốc nước

- Điều kiện của ẩn: vận tốc thực > vận tốc nước ( điều này h/s rất hay quên)

 Phân tích đề bài:

- Đối tượng tham gia: tàu xuôi dòng; tàu ngược dòng

- Các đại lượng: quãng đường (s), Vận tốc (v), thời gian (t)

- Mối quan hệ giữa các đại lượng: sx = vx.tx; sn = vn.tn

Lời giải:

Gọi vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là x (km/h), x > 2

Suy ra: Vận tốc tàu tuần tra khi xuôi dòng là: x + 2 (km/h); vận tốc tàu tuần tra khi ngược là x- 2 (km/h)

Thời gian tàu tuần tra khi xuôi dòng 48km là: 4 8

2

x  (h) Thời gian tàu tuần tra khi ngược dòng 60km là: 6 0

2

x  (h)

Vì thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ, nên có PT:

6 0 4 8

1

 

 

+ Giải PT: ta được x1 = 22 (tmđk) ; x2 = - 10 ( loại)

+ Vậy vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là 22km/h

 Dạng toán tìm số: (Biết tổng, hiệu,tỉ số, phân số…)

Bài toán 3: hai số hơn kém nhau 12 đơn vị Nếu chia số lơn cho 5 số nhỏ cho

7 thì thương thư nhất lớn hơn thương thứ 2 là 4 đơn vị Tìm hai số đó

Hướng dẫn học sinh tìm lơì giải:

Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị thì suy ra biết hiệu hai số là 12 vậy hai số phải tìm là số lớn và số bé

Phân biệt thương thứ nhất: Số lớn : 5

Thương thứ hai: Số bé : 7

Trong bài này học sinh lúng túng nhầm lẫn không phân biệt thương nhất thương thương thứ thương thứ hai  lập phương trình sai

Bài giải

Hướng dẫn giải bài toán trên giải bằng cách lập hệ phương trình như sau:

Gọi số lớn là x (x >12)

và số bé là y (y < x) ta có phương trình x - y=12 (1)

Chia số lớn cho 5 ta được:

5

x

chia số nhỏ cho 7 ta được:

7

y

thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị nên có phương trình:

4

7

5



 y

x

(2)

từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

















4 7 5

12

y x

y x

giải hệ phương trình ta được











28

40

y x

Bài toán 4: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, tổng hai chữ số bằng 8 Nếu đổi vị

trí hai chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó giảm đi 16 đơn vị

Hướng dẫn học sinh giải:

- Xác đinh dạng toán và kiến thức liên quan:

+) gọi số tự nhiên có hai chữ số là ab (a,b  N, 0 < a  9 ; 0  b  9)

+) ab = 10a + b

Bước 1: chọn ẩn ( như trên )

Bước 2: lập hệ phương trình:

Chữ số hàng chục Chữ số hàng đơn vị Tổng

Nhìn vào bảng ta dễ dàng có được hệ PT là:



















































4

8 36

10 10

8 36

8

b a

b a a

b b a

b a ba

ab

b

a