Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC và D là điểm đối xứng với T qua đường thẳng BC; I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC; E và F lần lượt là trung [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2019-2020
Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2019
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TOÁN)
HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
(Nội dung có 05 trang)
1
(1,5
điểm)
a) Rút gọn biểu thức P 3x 9x 3 x 1 x 2
Điều kiện: x 0, x 1. Ta có
P
0,25
x 1
x 1
b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 2
x x 1 y y 1 2 Tính
Ta có 2xy (x21)(y2 1) x y2 1 y x2 1 xy (x21)(y2 1) Q
2 Q xy (x 1)(y 1)
4 4Q Q 2 2x y2 2x2y2 1 2xy (x21)(y21)
0,25
Q x (y 1) y (x 1) 2xy (x 1)(y 1) Q2 2x y2 2x2y22xy (x21)(y21) 0,25
Do đó 4 4Q 1 Q 3
4
2
(2,0
điểm)
a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol 1 2
(P) : y x
2 và đường thẳng
(d): y x 3.
2 Gọi A(x ;y ), B(x ;y ) A A B B (với x Ax B ) là các giao điểm của (P) và (d), C(x ;y ) là điểm thuộc (P) sao cho C C x Ax C x B Tìm giá trị lớn nhất của
diện tích tam giác ABC
1,00
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
2
Các giao điểm là A( 2;2) và 9
B 3; 2
(P)
(d)
3
x
y
2
9 2
C'
B
A
O C
Trang 2Gọi
2 C C
x
C x ;
2
với 2 xC3. Gọi A , B , C theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C trên trục hoành Ta có
2
C C
0,25
Ta có
2
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất bằng 125
16 khi C
1
2
b) Giải hệ phương trình
2
x (x y) x y 1
.
x (xy 3) 3xy 3
Viết lại hệ
Đặt
2
3
v x y
, ta có hệ
2
v 3u 3
(1) (2)
0,25
Từ (2) ta có v 3 3u Thay vào (1) ta được u23u 2 0 u 1, u2 0,25
Với u 1 thì v0 Ta có
2
3
y 0
x y 0
Hệ có hai nghiệm (x;y) (1;0), ( 1;0).
0,25
Với u2 thì v 3 Ta có
2
2
2
3
x
Hệ này vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (x;y) (1;0), ( 1;0).
0,25
3
(1,5
điểm)
a) Giải phương trình x 3 3 2x 3 x 1 2x 3 2 2 (1) 0,75
Điều kiện: x 3
2
(1) 2x 6 6 2x 3 2x 2 2 2x 3 4
0,25
2x 3 6 2x 3 9 2x 3 2 2x 3 1 4
2x 3 3 2x 3 1 4
2 2x 3 0
x 3
2
(thỏa mãn điều kiện)
0,25
Trang 3b) Cho phương trình (ẩn x) 2
x (m 1)x m 6 0 Tìm tất cả các giá trị của m
để phương trình có hai nghiệm x , x sao cho biểu thức 1 2 2 2
A (x 4)(x 4) có giá trị lớn nhất
0,75
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Ax x 4(x x ) 16 x x 4(x x ) 8 x x 16
Theo định lý Vi-ét, ta có x1x2 (m 1), x x1 2 m 6
0,25
Ta có
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
3
Vậy khi m 2
3
thì A có giá trị lớn nhất bằng 4
3
0,25
4
(3,0
điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có ABAC và trực tâm là T Gọi H là chân đường cao
kẻ từ A của tam giác ABC và D là điểm đối xứng với T qua đường thẳng BC; I
và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC; E và F lần lượt là
trung điểm của AC và IH
3,00
a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp và hai tam giác ACD và IHD đồng
Tia CT cắt cạnh AB tại P
Ta có DABTCB (cùng phụ với ABC ), TCBDCB (T và D đối xứng qua BC) 0,25
Do đó DAB DCB. Vì A và C nằm cùng phía đối với BC nên ABDC là tứ giác nội
Suy ra DIHDBHDAC và IHDIBDACD
Q
K
F
E
I
T P
D H A
Trang 4b) Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng và DEF là tam giác vuông 1,00
Tứ giác IBHD nội tiếp nên BHI BDI.
Tứ giác DHKC có hai đỉnh H và K cùng nhìn đoạn DC dưới một góc vuông nên nội
tiếp Suy ra KHC KDC.
0,25
Các tứ giác ABDC và AIDK nội tiếp nên IDK BDC (cùng bù với BAC )
Suy ra BDIKDC Do đó BHIKHC Vì I và K nằm khác phía đối với đường
thẳng BC nên ba điểm I, H, K thẳng hàng
0,25
Hai tam giác ACD và IHD đồng dạng với nhau có DE và DF lần lượt là các đường
trung tuyến nên DC DE
Hai tam giác DCE và DHF đồng dạng nên EDC FDH. Suy ra HDCFDE
Do đó hai tam giác HDC và FDE đồng dạng suy ra o
DFEDHC90 Vậy tam giác DEF vuông tại F
0,25
c) Chứng minh BC AB AC
Lấy điểm Q trên cạnh BC sao cho QDC BDA. Lại có BADBCD nên hai tam
giác DBA và DQC đồng dạng Suy ra AB AD
Hai tam giác AID và CHD đồng dạng nên AD DI
CD DH Suy ra AB DI
CQ DH hay AB CQ
DI DH (1)
0,25
Vì QDCBDA nên HDCBDQ Suy ra hai tam giác BDQ và ADC đồng dạng do
đó BQ DB
AC DA (2)
Ta có BADBCDHKD Mặt khác o
KHD180 IHD Vì IBDIHD nên ABDKHD Suy ra hai tam giác ABD và KHD đồng dạng Do đó
DA DK (3) Từ (2) và (3) suy ra BQ DH
AC DK hay AC BQ
DK DH (4)
0,25
Từ (1) và (4) suy ra AB AC CQ BQ BC
5
(2,0
điểm)
a) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz 2. Chứng minh
.
1,00
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có
2x y 5 (x y )(x 1) 4 2xy2x 4 2(xy x 2),
6y z 6 (4y z )2(y 1) 4 4yz4y 4 4(yz y 1),
3z 4x 16(z 4x )2(z 4) 8 4zx8z 8 4(zx2z2)
0,25
Trang 5Suy ra 2 x 2 x
, 2x y 5 2(xy x 2)
, 6x z 6 2(yz y 1)
3z 4x 16 zx 2z 2
0,25
Cộng các bất đẳng thức theo vế, ta được
P 2(xy x 2) 2(yz y 1) zx 2z 2
0,25
1 2
0,25
b) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho
2020 2
Cho x là số nguyên Ta có
2020 2 3x 1 là số nguyên khi
2020
2 (3x 1) Suy ra 3x 1 2b với b 0,1, , 2020.
0,25
Xét b là số chẵn, tức là b2k ( k )
+ Xét phương trình
Vì 02k2020 0 k 1010 nên trường hợp này có 1011 nghiệm
3(
3x 1 2 x 1) 2 4
Vì (2 4 ) k 3 nên trường hợp này không có nghiệm nguyên nào
0,25
Xét b là số lẻ, tức là b2k 1 ( kN )
3x 1 2.4 3(x 1) 2(1 4 ).
Vì 2(1 4 ) k 3 nên nên trường hợp này không có nghiệm nguyên nào
3x 1 2.4 3x 1 2.4
Vì ( 1 2.4 ) 3 k nên phương trình có nghiệm
k
1 2.4
3
Ta có 02k 1 2020 0 k 1009 nên trường hợp này có 1010 nghiệm
0,25
Vậy có tất cả 1011 1010 2021 số nguyên x để
2020 2 3x 1 là số nguyên 0,25
Chú ý:
- Học sinh làm cách khác đáp án nhưng kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài chấm điểm lẻ đến 0,25
- Hết -