Một số bài toán tổ hợp ôn thi HSG môn Toán - Giáo sư Lê Anh Vinh

Hỏi sau một số hữu hạn lần, có thể làm cho tất cả các ô vuông của bảng đã cho đều chia hết cho 2016 được không?... Tìm số các dãy số tự nhiên tăng ngặt thỏa mãn đồng thời các điều kiện:[r]

TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC

CỦA PGS.TS LÊ ANH VINH

Bài 1 Người ta tô màu mỗi ô vuông của bảng ô vuông kích thước 8 8 bởi màu xanh lá hoặc xanh da trời sao cho có đúng a ô vuông xanh lá trong mỗi bảng 3 3 và có đúng b

ô vuông xanh lá trong mỗi bảng 2 4. Tìm tất cả các giá trị có thể có của ( , ).a b

Bài 2 Hỏi có bao nhiêu dãy số tự nhiên thỏa mãn

1 2 11

1 a a   a 2015

và thỏa mãn a i i2(mod12) với 1 i 11?

Bài 3 Một ổ khóa có 16 chìa được xếp thành một bảng 4 4 mà mỗi chìa có 2 hướng là ngang và dọc Để mở được ổ khóa này, tất cả các chìa đều phải nằm dọc Biết rằng khi 1 trong 16 chìa khóa được xoay, tất cả các chìa cùng hàng và cột của nó cũng được xoay theo (ngang thành dọc, dọc thành ngang) Chứng minh rằng cho dù vị trí ban đầu là thế nào, ta đều luôn có thể mở được ổ khóa này

Các số tự nhiên 0,1, 2,3, được điền vào bảng ô vuông kích thước 2015 2015 (mỗi ô một số), bắt đầu từ số 0 ở chính giữa bảng, đến các số tiếp theo được điền theo hình xoắn

ốc ngược chiều kim đồng hồ như hình vẽ bên dưới:

1) Biết rằng các cột của bảng được đánh số từ 1 đến 2015 từ trái sang phải và các dòng của bảng được đánh số từ 1 đến 2015 theo thứ tự từ trên xuống dưới Hỏi theo cách điền trên thì số 2015 nằm ở dòng nào, cột nào?

2) Người ta cho phép thực hiện thao tác sau: Đầu tiên, thay số 0 ở giữa bảng bằng số 14 Mỗi lần sau đó, người ta sẽ chọn ra 12 ô vuông liên tiếp thuộc cùng hàng, hoặc 12 ô vuông liên tiếp thuộc cùng cột, hoặc 12 ô vuông thuộc một bảng hình chữ nhật 3 4 rồi cộng thêm 1 vào tất cả các ô được chọn (mỗi lần chỉ được chọn 1 trong 3 loại hình trên) Hỏi sau một số hữu hạn lần, có thể làm cho tất cả các ô vuông của bảng đã cho đều chia hết cho 2016 được không?

Bài 4 Cho tập hợp X có n phần tử và m tập con khác rỗng T T1, 2, ,T m thỏa mãn:

i/ T i 4,i1,m

ii/ Với mọi ,i jX thì tồn tại duy nhất k sao cho ( , )i j T k

iii/ Với mọi 1  i j m thì T iT j 1

Tính các giá trị có thể có của m n,

Bài 5 Tìm số các dãy số tự nhiên tăng ngặt thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

i Số hạng đầu tiên là 0 và số hạng cuối cùng là 15

ii Trong 2 số hạng liên tiếp, có đúng 1 số chẵn

Bài 6 Cho 2015 tập con tùy ý A A1, 2, ,A2015 của tập hợp 1, 2,3, ,1000 thỏa mãn 

2

i

A  với i1, 2015 và A i A j 1 với mỗi 1  i j 2015 Chứng minh rằng k3

là số lượng nhỏ nhất các màu có thể dùng để tô các phần tử của tập hợp 1, 2,3, ,1000 

sao cho mỗi tập con A thì đều có ít nhất 2 phần khác màu i

Bài 7 Tìm số các bộ 6 phần tử ( ,a a a a a a gồm các số nguyên dương phân biệt 1 2, 3, 4, 5, 6) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i a1    a2 a3 a4 a5 a6 30;

ii Có thể viết các số a a a a a a lên trên cạnh của một lục giác sao cho sau một số 1, 2, 3, 4, 5, 6 hữu hạn các bước chọn 1 đỉnh nào đó của lục giác rồi thêm 1 vào 2 số viết ở cạnh xuất phát từ đỉnh đó thì ta có thể thu được trạng thái tất cả các số trên cạnh lục giác bằng nhau

Bài 8 Chứng minh rằng tồn tại vô hạn hợp số n sao cho 7n13n1 chia hết cho n

Bài 9 Hamza và Majid chơi một trò chơi trên một bảng hình chữ nhật ngang có kích

thước 3 2015 Họ chơi luân phiên và Hamza đi trước Biết rằng:

- Hamza được tô màu 3 ô vuông trên một bảng hình chữ nhật nằm ngang kích thước 1 3.

- Majid được tô màu 3 ô vuông trên một bảng hình chữ nhật nằm dọc kích thước 3 1. Biết rằng không ai được tô lên ô vuông đã tô trước đó và người nào đến lượt mình mà không tô được thì thua

Hỏi ai trong Hamza và Majid, luôn có chiến lược để thắng cho dù đối phương chơi thế nào đi nữa? Chiến lược đó là gì?

Bài 10 Gọi S là số nguyên dương chia hết cho tất cả các số từ 1 đến 2015 và

1, 2, , k

a a a là các số trong tập hợp 1, 2,3, , 2015 (không nhất thiết phân biệt) sao cho 

1 2

2S   a a a k Chứng minh rằng có thể chọn ra từ các số a a1, 2, ,a một vài số sao cho tổng của chúng k

đúng bằng S

Bài 11 Tìm số các xâu nhị phân S độ dài 2015 sao cho với mỗi xâu con I I có cùng 1, 2

độ dài của S (không nhất thiết rời nhau), ta đều có:

- Tổng các số trên I chênh lệch so với tổng các số trên 1 I không quá 1 đơn vị 2

- Nếu I ở bìa trái của S thì tổng các số trên 1 I không lớn hơn tổng các số trên 1 I 2

- Nếu I ở bìa phải của S thì tổng các số trên 2 I không nhỏ hơn tổng các số trên 2 I 1

Bài 12 Người ta tô màu một đa giác đều A A1 2 A mà trong đó có 10 đỉnh được tô màu 20

đen, 10 đỉnh được tô màu xanh Xét tập hợp gồm đường chéo A A và các đường chéo có 1 4

cùng độ dài với A A 1 4

1 Chứng minh rằng trong S , số đường chéo có 2 đỉnh được tô đen bằng với số đường

chéo có 2 đỉnh được tô xanh

2 Tìm tất cả số lượng có thể có của các đường chéo có 2 đỉnh được tô đen trong S

Bài 13 Cho 4 số thực , , ,x y z t và đặt ( , , , ) a b c d là một hoán vị nào đó của ( , , , ) x y z t Ta

xây dựng dãy ( ),(x n y n),( ),( )z n t n như sau:

1 , 1 , 1 , 1

x  a b y  b c z  c d t  d a Các số x y z t cũng được xây dựng tương tự như thế (xét hoán vị của số hạng hiện 2, 2, 2, 2 tại rồi lấy các chênh lệch cho bộ số hạng tiếp theo)

Biết rằng tồn tại n sao cho x n x y, n  y z, n z t, n t

Tìm tất cả các giá trị có thể có của ( , , , ).x y z t

Hướng dẫn giải

Bài 1

Bài 2

Bài 3 1) Ta có các nhận xét sau:

i Trong một bảng ô vuông con có kích thước lẻ (2n 1) (2n 1)và có tâm là ô chứa số

0, tất cả (2n 1)2 số từ 0 đến (2n 1)2 1 đều được điền và cột đầu tiên tính từ trái sang của bảng này chứa 2n 1 số lớn nhất (số lớn nhất là (2n 1)2 1 nằm cuối cột đó)

ii Số 0 nằm ở hàng 1008, cột 1008 của bảng

Từ đó, ta thấy rằng:

Vì 2015 452 2025 nên số này nằm trong bảng ô vuông 45 45 và số lớn nhất trong bảng này là 2024

Số 2024 nằm ở cột 1 của bảng này, tương ứng là cột 1008 22 986 của bảng đã cho

Số 2024 nằm ở dòng 45 của bảng này, tương ứng là dòng 1008 22 1030 của bảng

Do 2024 2015 9 nên số 2015 sẽ nằm cao hơn số 2024 là 9 dòng, suy ra số 2015 nằm

ở dòng thứ 1030 9 1021

Vậy số 2015 nằm ở dòng thứ 1021 và cột thứ 986 của bảng

2) Sau bước thay 0 bởi 14, ta thấy tổng các số của bảng là:

2 2

Dễ thấy số này chia 4 dư 2

Trong thao tác cộng các số trong 12 ô (bất kể nằm trên hàng nào, cột nào) của bảng thì tổng các số tăng lên đúng 12 đơn vị Suy ra số dư của tổng các số trên bảng khi chia cho

4 là bất biến trong suốt quá trình

Để bảng có tất cả các số chia hết cho 2016 thì dễ thấy tổng của chúng phải chia hết cho 4, đây là điều không thể xảy ra

Vậy câu trả lời là phủ định

Bài 4 Ta sẽ tính số bộ ( , , )i j T mà ( , ) i j T

Xét các cặp ( , )i j X mà i j thì có tất cả C n2 cặp

Ta có T i  4 nên với mỗi tập T i thì có sự lặp lại 2

4  6

C lần, suy ra ( 1)

12



 n n

Đặt T1 a a a a1 , 2 , 3 , 4 là một tập hợp nào đó trong các tập hợp đã cho

Xét a kX mà a k a a a a1, 2, 3, 4

Với mỗi bộ (a a k, )i thì ta có 1 tập T j mà mỗi tập tính 3 lần, suy ra số tập là 4

3



n

Suy ra 1 4( 4)

3



  n

m Từ đây ta được

       

Với n 4 thì m 1

Với n 13 thì m 13

Trong cả 2 trường hợp, ta đều dễ dàng xây dựng được mô hình thỏa mãn

Bài 5

Bài 6

Bài 7

Bài 8

Bài 9

Bài 10

Bài 11

Bài 12

Bài 13