Chuyên đề số phức phiên bản đặc biệt của Đặng Việt Đông

- B ấm phím r rồi nhập 1 giá trị X bất kỳ, máy tính sẽ cho ra nghiệm của phương tr ình... Kh ẳng định nào sau đây đúng.[r]

MỤC LỤC

Lý thuyết chung……… 1

Chuyên đề 1 THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN……….5

Chuyên đề 2 TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO………31

Chuyên đề 3 SỐ PHỨC LIÊN HỢP………67

Chuyên đề 4 TÍNH MOĐUN SỐ PHỨC………78

Chuyên đề 5 PT BẬC NHẤT THEO Z VÀ LIÊN HỢP CỦA Z………123

Chuyên đề 6 TÌM NGHIỆM PHỨC CỦA PT BẬC 2……….138

Chuyên đề 7 MỐI LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PT………148

Chuyên đề 8 TÌM NGHIỆM PHỨC CỦA PT BẬC CAO……… 174

Chuyên đề 9 BIỂU DIỄN MỘT SỐ PHỨC……….189

Chuyên đề 10 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC………255

Chuyên đề 11 MAX-MIN CỦA MOĐUN SỐ PHỨC……….318

Chuyên đề 12 CÁC DẠNG KHÁC……… 390

A CÁC PHÉP TỐN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC

- Khi phần thực a0zbi là số thuần ảo.z

- Số 0 0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo

+ Hai số phức bằng nhau: a bi c di a c với , , ,a b c d

Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z a bi với ,a b   được

biểu diễn bằng điểm M a b ; 

Cho hai số phức ; z'a'b i' với , b, a', b'a   và số k  

z  z , nghĩa là nếu muốn chia số phức z'cho số phức z 0thì ta nhân cả tử và

mẫu của thương z'

B CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC:

1 LÝ THUYẾT

Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z 2 w được gọi là một căn thức bậc 2 của w Mỗi số phức w  0 có hai căn bậc hai là hai số phức đối nhau (z và –z) 0

*Trường hợp w là số thực ( w   )a

+ Khi a>0 thì w có hai căn bậc hai là a và  a

+ Khi a<0 nêna ( a i) 2, do đó w có hai căn bậc hai là a i và  a i

Ví dụ 1: Hai căn bậc 2 của -1 là i và –i

Hai căn bậc 2 của a2 (a0)là ai ,ai

Có thể biến đổi w thành bình phương của một tổng, nghĩa là w z2 Từ đó kết luận căn bậc hai của

w là z và -z

II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC

a) Phương pháp giải:

Cho phương trình bậc 2: 2

0 (1)

Az BzCTrong đó A,B,C là những số phức A≠0

Trong đó  là một căn bậc 2 của 

+ Nếu   thì phương trình (1) có nghiệm kép:0

+ Mọi phương trình bậc n: A z0 nA z1 n1 A z n1 A n 0 luôn có n nghiệm phức (không nhất

thiết phân biệt)

+ Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực: Cho phương trình bậc 2 :

Để đưa phương trình thành nhân tử thì ta phải nhẩm nghiệm của phương trình Có các cách nhẩm

nghiệm như sau:

+ Tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì nghiệm của phương trình là x  1

+ Tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì nghiệm của phương trình x  1

+ Định lý Bézout: Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho x a bằng giá trị của đa thức ( )f x tại

- Nhập phương trình vào máy tính.

- Bấm phím r rồi nhập 1 giá trị X bất kỳ, máy tính sẽ cho ra nghiệm của phương trình Sau đó dùng

sơ đồ hoocne để phân tích thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ 1 THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN

A – BÀI TẬP

Câu 1: Số phức z thỏa mãn z  z 0. Khi đó:

Câu 2: Cho hai số phức za2b  a b i  và w 1 2i Biết zw i Tính S   a b

A. 205 410i B. 205 410i C. 205 410i D. 205 410i

Câu 6: Gọi a b, lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức

1 2

i z



Câu 14: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 0 z 2 6z 13   0 Tìm số phức

0 0

289 289

i z

Câu 41: Gọi z1, z2, z3, z4 là các nghiệm của phương trình

4

11

A lấy mọi giá trị phức B là số thuần ảo

Câu 45: Cho số phức 2 6

,3

m i z

Câu 71: Người ta chứng minh được nếu zcosisin     z n cosn isinn  với n   *

Câu 76: Cho số phức za bi a b   tùy ý Mệnh đề nào sau đây đúng?, 

A Mô đun của z là một số thực dương

B z2  z2

C. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của iz

D. Điểm Ma b;  là điểm biểu diễn của z

A. 10092017i B. 2017 1009i C. 2017 1009 i D. 1008 1009i

Câu 80: Cho số phức za bi a b,   thỏa mãn 7a 4 2bi 106 5 a i Tính

i z

Câu 87: Cho hai số phức z1 1 2i, z2  2 3i Tổng của hai số phức z và 1 z là 2

Câu 2: Cho hai số phức za2b  a b i  và w 1 2i Biết zw i Tính S   a b

Hướng dẫn giải Chọn B

a b

Câu 3: Số phức nghịch đảo của số phức z 1 3i là

2i1i  z 4 2i    3 i z 4 2iz 1 3iz 1 3i

Câu 5: Rút gọn biểu thức A 1 1i21i4  1i10

A. 205 410i B. 205 410i C. 205 410i D. 205 410i

Hướng dẫn giải Chọn D

Nhập biểu thức vào Casio ta tính được kết quả

Ta có: z 1 3 1 2i  i 3 4 i2 3 i2 1 2  i5 2 3  i12 19i

Vậy a b 12 19   7.

Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn: 1 2 z3 4 i 5 6i Tìm số phức 0 w 1 z

z  i z   i z và z2 z, z   , z 1 z z z2 1 Khi đó

Câu 12: Biểu diễn về dạng za bi của số phức

 

2016 2

1 2

i z

Ta có:

 

2016 2

1 2

i z



Hướng dẫn giải Chọn B

Vì z2i  3 3 2i nên z  3 2i, suy ra

1 3  1 3 4 4

wiz z i  i   i  i

Ta có: w iz z i2 4 i 2 4i   2 2i

Câu 19: Cho hai số phức z1 1 2i, z2   Tìm số phức 3 i 2

1

z z z

1

z z z

1 2

i i

2 1

3 3

20172017

Hướng dẫn giải Chọn B

i i

Ta có: z1z2  3 6i z1z2  9 36 3 5

Ta có: z3i1 4 i   1 13i

Câu 36: Cho hai số phức z1 2 3i, z2   4 5i Số phức zz1z2 là

Hướng dẫn giải Chọn A

Hướng dẫn giải Chọn A



289 289

i z

Ta có phương trình f z   2z i  4 z14 0

A lấy mọi giá trị phức B là số thuần ảo.

Hướng dẫn giải Chọn B

m i z

(2 ) 2 3

z là số thuần ảo khi và chỉ khi m 2k1, k  (do z0; m *)

Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài

Câu 46: Cho số phức z   1 i i2 i3  i9 Khi đó

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có 1i 3  z4i  z 3 i  z  2

z z

x y

Số phức đó được xem là tổng của 21 số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu u 1 1

và công bội q 1 i nên ta được số phức là

1 21 1

1

i i

Câu 59: Căn bậc hai của số phức z  5 12ilà:

A. 2 3i B.  2 3i C. 2  3 , 2i   3i D. 2  3 , 2i   3i

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có z  5 12i2 3 i2 Vậy hai căn bậc hai của số phức z  5 12ilà: 2  3 , 2i   3i

25



Hướng dẫn giải Chọn C

56 81

i i

z , z là ba đỉnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị nhận gốc O làm trọng tâm, nên 3

ta chỉ việc giải nghiệm của phương trình z 3 1 để chọn ra các nghiệm là z , 1 z , 2 z ) 3

Vì z1  z2  z3  và 1 z1z2z3  nên các điểm biểu diễn của 0 z , 1 z , 2 z là ba đỉnh của 3

tam giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị nhận gốc O làm trọng tâm

Do đó ta có thể giả sử acgumen của z , 1 z , 2 z lần lượt là 3 1, 1 2 , 1 4

z , 2 3

Ta có: z z1 22 3 i1 4 i14 5 iz z1 2 14 5  i

Câu 76: Cho số phức za bi a b   tùy ý Mệnh đề nào sau đây đúng? , 

A. Mô đun của z là một số thực dương

B. z2  z2

C. Số phức liên hợp của z có mô đun bằng mô đun của iz.

D. Điểm Ma b;  là điểm biểu diễn của z

Hướng dẫn giải Chọn C

a b

i z

5

11

i z

Câu 87: Cho hai số phức z1 1 2i, z2  2 3i Tổng của hai số phức z và 1 z là 2

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: 2017  2 1008

i  i i   11008ii Do đó: 2 2017

1

i z

i i







1 32

(x0;y không là nghiệm) 0

2 3

A. m    2; 3 B 2

5

m  C. m 3; 2  D. m   3; 2

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 92: Tính tổng S của các phần thực của tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z  3 z2

6

b b

z   i    i

D. Điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ là M1, 3.

Câu 2: Cho hai số phức: z123i, z2   Phần ảo của số phức 1 i w2z z1 2 bằng

Câu 16: Số phức 2

4 3

i z

C. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2 D.Phần thực băng 3, phần ảo bằng 2i

Câu 28: Cho số phức z 2 3i Tìm phần thực a của z

Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn 47i z 52i6iz Tìm phần ảo của số phức z?

A 18

1817



A lấy mọi giá trị phức B là số thuần ảo

Câu 36: Cho số phức z1i 2 1 2 i Số phức z có phần ảo là



3, phần ảo là

14



Câu 44: Nếu số phức z thỏa mãn z  thì phần thực của 1 1

2 2 2

Câu 76: Cho số phức z  2 5i Phần thực và phần ảo của z lần lượt là

Câu 77: Cho số phức z  4 3i Tìm phần thực và phần ảo của số phức z?

A. Phần thực bằng –4 và phần ảo bằng–3i B Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3i

C. Phần thực bằng –4 và phần ảo bằng–3 D.Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3

Câu 78: -2017] Cho số phức z x yi; z 1 (x y  ; ) Phần ảo của số 1

1

z z

i z

1

Câu 123: Trong mặt phẳng xOy , gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z 3 3i  3 Tìm

phần ảo của z trong trường hợp góc xOM nhỏ nhất.

y y x b

y y x b

y y x b

y y x b

Câu 152: Cho số phức z3 2 i3 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

A. Phần thực và phần ảo lần lượt là: 9, 46 B Phần thực và phần ảo lần lượt là:  9, 46

C. Phần thực và phần ảo lần lượt là: 9, 46 D Phần thực và phần ảo lần lượt là: 9, 46

Câu 153: Cho x , y là các số thực thỏa mãn 2x1  y1i 1 2i Giá trị của biểu thức x22xyy2

C. Phần thực bằng 25 và Phần ảo bằng 10i D Phần thực bằng 25 và Phần ảo bằng 10

Câu 156: Cho số phức z 4 3i Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

Phần ảo của số phức z là 3

Câu 2: Cho hai số phức: z123i, z2   Phần ảo của số phức 1 i w2z z1 2 bằng

Hướng dẫn giải Chọn D

Mỗi số phức za bi có phần thực là a , phần ảo là b

Câu 6: Xác định phần ảo của số phức z18 12 i

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: z 3 2i Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 5

Câu 9: Cho số phức z1   và 1 i z2  2 3i Tìm số phức liên hợp của số phức wz1z2?

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: z   i 0 1i nên phần thực là 0 , phần ảo là 1

Câu 11: Cho số phức z 3 2 i Tìm phần thực của số phức z2.

Hướng dẫn giải Chọn C

z   i   i Vậy phần thực của số phức z2 là 12

Câu 12: Số phức z 3 4i có phần ảo bằng

Hướng dẫn giải Chọn C

x y

Câu 18: Cho hai số phức z1 1 3i và z2   2 5i Tìm phần ảo b của số phức zz1z2

Hướng dẫn giải Chọn C

zz z   i    i   i Vậy phần ảo của z là: 2

Câu 19: Cho số phức z 3 2i Tìm phần ảo của của số phức liên hợp z

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có (3 2 ) i z(2i)2  4 i(3 2 ) i z  4 i 2i2 (3 2 ) i z 1 5i 1 5

3 2

i z

Theo định nghĩa, số phức có phần thực bằng 0 thì được gọi là số thuần ảo

Câu 24: Cho số phức z1in, biết n   và thỏa mãn log4n3log4n9 Tìm phần thực 3

của số phức z

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có z  3i 2 1i 3  4 4 3i z  4 4 3i

Vậy phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 4 3

Câu 26: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z , biết rằng z1 2 i 2 i Phần thực và phần ảo

của số phức z lần lượt là:

A. 4; 3 B.  4; 3 C. 4; 3 D. 4; 3.

Hướng dẫn giải Chọn D

z  i  i    z i suy ra z   4 3i

Vậy phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là: 4; 3

Câu 27: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z 3 2i

A. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 3i B.Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2

C. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2 D.Phần thực băng 3, phần ảo bằng 2i

Hướng dẫn giải Chọn B

Số phức z 3 2i có phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2

Câu 28: Cho số phức z 2 3i Tìm phần thực a của z

Hướng dẫn giải Chọn A

x y

A lấy mọi giá trị phức B là số thuần ảo

Hướng dẫn giải Chọn B

Phần thực và phần ảo lần lượt là 2 và 4 Vậy hiệu phần thực và phần ảo của z bằng 2

Câu 38: Cho hai số phức z1 1 2i và  2 

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: z 3 2i Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng 5

Câu 41: Gọi a , b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z  3 2i Giá trị của a2b bằng

Hướng dẫn giải Chọn A

32



3, phần ảo là

14



Hướng dẫn giải Chọn C

C. Phần thực bằng 2016 và phần ảo bằng 2017

D. Phần thực bằng 2017 và phần ảo bằng 2016i

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: z  3 2i Vậy phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là 3, 2

Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn: 3 2 i z 2i2  4 i Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z

là:

Hướng dẫn giải Chọn A

Suy ra hiệu phần thực và phần ảo của z bằng 1 1 0 

Câu 48: Cho hai số phức: z123 ;i z2   Phần ảo của số phức 1 i w2z z1 2 bằng:

Hướng dẫn giải Chọn A

1

i z

Chọn D

1

i z i

3 2 i  3 2 i 6

Câu 54: Tổng phần thực và phần ảo của số phức z1i23 3 i là

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có z1i23 3 i 2

1 2i i 3 3i

       3 i  phần thực a   , phần ảo 3 b   1Vậy a b   4

Câu 55: Cho hai số phức z1 1 i z, 2 3 2i Phần thực và phần ảo của số phức z z tương ứng bằng 1 2

Hướng dẫn giải Chọn B

x y

2

z  abi a b  abi Phần ảo của z2 là 2ab

Câu 62: Cho hai số phức z1  và 2 i z2  3 2 i Tìm số phức liên hợp của số phức w2z13z2

A w13 8 i B w13 8 i C w13 4 i D. w13 4 i

Hướng dẫn giải Chọn D

b

2 2 2

 

3 3



Hướng dẫn giải Chọn B

i i i

Ta có z2z2i 3 1i z2z  9 13i



Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có z1i 2 1 2 i2 1 2i  i  4 2i Vậy số phức z có phần ảo là 2

Câu 73: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

Hướng dẫn giải Chọn B

Câu 74: Phần ảo của số phức z thỏa mãn z2z2i 3 1i là:

Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng 4

Câu 76: Cho số phức z  2 5i Phần thực và phần ảo của z lần lượt là

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có zabithì phần thực là a, phần ảo là b

Nên z  2 5i thì phần thực là 2 , phần ảo là 5

Câu 77: Cho số phức z  4 3i Tìm phần thực và phần ảo của số phức z?

A. Phần thực bằng –4 và phần ảo bằng–3i B Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3i

C. Phần thực bằng –4 và phần ảo bằng–3 D.Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có z 4 3i  Phần thực bằng 4 và Phần ảo bằng 3 ( không phải 3i )

Câu 78: -2017] Cho số phức z x yi; z 1 (x y  ; ) Phần ảo của số 1

1

z z

Ta có z1i2 1i2  2i2i0

Câu 80: Phần thực của số phức (1i)30 bằng

Hướng dẫn giải Chọn A

Câu 83: Tìm phần ảo của số phức z, biết 1i z   3 i

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: 1i z  3 i 3

1

i z i

i i

  z 1 2i Vậy phần ảo của số phức z bằng 2

Câu 84: Tìm phần ảo của số phức z, biết 1 3

1

i i z

Vậy phần ảo của số phức z là 0

Câu 85: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi  H là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các số phức

16

x y

Gọi S  là diện tích của đường tròn  C 2

x

B C

3 2

i i z

Câu 91: Phần thực và phần ảo của số phức

2017

11

i z

 

  

2017 2

2017

2017

11

i i

Câu 93: Tìm phần thực và phần ảo của số phứcz , biết: 4 3 5 4



Hướng dẫn giải Chọn C

Phần ảo của số phức z 2 3i là  3

Câu 95: Số phức liên hợp của số phức z 3 2i là số phức:

Hướng dẫn giải Chọn D

wz z   i  i   i Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức w là 3

Câu 100: Phần thực, phần ảo của số phức   2 

Hướng dẫn giải Chọn A

1

Hướng dẫn giải Chọn A

1 3

z  i; u  1 7i

Vậy phần ảo của số phức u bằng  7

Câu 103: Cho z  4 5i Tìm phần thực, phần ảo của số phức z

A. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 5i B Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 5i

C. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 5 D.Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng  5

Hướng dẫn giải Chọn C

Cho z  4 5i Tìm phần thực, phần ảo của số phức z

C. Phần thực là4và phần ảo là 3 D.Phần thực là 3 và phần ảo là 4 i

Hướng dẫn giải Chọn A

Nhắc lại:Trên mặt phẳng phức, số phức zxyi được biểu diễn bởi điểm M x y( ; )

Điểm M trong hệ trục Oxy có hoành độ x3 và tung độ y   4

Ta có: zz1z2 5 3i   1 2i   i 4

z có phần thực là 4, phần ảo là 1, suy ra tổng phần thực, phần ảo của z là 3

Câu 106: Phần ảo của số phức z 1 2i là

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: z 1 2i  1  2 i Do đó, số phức đã cho có phần ảo bằng 2

Câu 107: Cho số phức z  Phần thực và phần ảo của số phức 2 i z lần lượt là?

Hướng dẫn giải Chọn C

Phần thực và phần ảo của số phức z  lần lượt là 2 12 i và

Câu 108: Phần thực của số phức z 23i2

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: 3x  1y i  1 3i 3 1

x y

x y