14 câu Mũ - Logarit Vận dụng cao năm 2021 có lời giải chi tiết

Hỏi bác An cần gửi một lượng tiền tối thiểu T (đồng) bằng bao nhiêu vào ngân hàng HD Bank để sau 3 năm gửi tiết kiệm số tiền lãi đủ để mua được chiếc xe máy có trị giá 30 triệu đồng.. [r]

II MŨ – LOGARIT

Câu 1: Cho các số thực a b thỏa mãn , 3

1

16  b a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

16 3

256



a

b

Câu 2: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình 2

log x3log x2m 7 0 có hai nghiệm thực phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x13x2372

A 61

2

2

m 

Câu 3: Để cấp tiền cho con trai tên là Lâm học đại học, ông Anh gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng với lãi

suất cố định 0,7%/tháng, số tiền lãi hàng tháng được nhập vào vốn để tính lãi cho tháng tiếp theo (thể thức lãi kép) Cuối mỗi tháng, sau khi chốt lãi, ngân hàng sẽ chuyển vào tài khoản của Lâm một khoản tiền

giống nhau Tính số tiền m mỗi tháng Lâm nhận được từ ngân hàng, biết rằng sau bốn năm (48 tháng),

Lâm nhận hết số tiền cả vốn lẫn lãi mà ông Anh đã gửi vào ngân hàng (kết quả làm tròn đến đồng)

A m 5.008.376 (đồng)  B m 5.008.377 (đồng) 

C m 4.920.224 (đồng)  D m 4.920.223 (đồng) 

Câu 4: Cho phương trình 9x2x m 3x2x2m  Gọi 1 0 T là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham

số m sao cho phương trình có nghiệm dương Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A T là một khoảng B T là một nửa khoảng

Câu 5: Cho biểu thức A log 2017 log 2016 log 2015 log log 3 log 2               

Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A log 2017;log 2018  B log2018;log2019 

C log2019;log2020  D log2020;log2021 

Câu 6: Xét số thực ,a b thỏa mãn b  và 1 a  Biểu thức b a loga 2log b

b

a

b

 

  đạt giá trị nhỏ nhất khi

A 2

a  b

Câu 7: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn 2017; 2017 để phương trình

x  x  m x  x     có đúng hai nghiệm m x x thỏa mãn 1, 2

1 x  x 3

Câu 8: Trong thời gian liên tục 25 năm, một người lao động luôn gửi đúng 4.000.000 đồng vào một ngày

cố định của tháng ở ngân hàng M với lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền là 0,6% tháng

Gọi A là số tiền người đó có được sau 25 năm Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A 3.500.000.000 A 3.550.000.000 B 3.400.000.000 A 3.450.000.000

C 3.350.000.000 A 3.400.000.000 D 3.450.000.000 A 3.500.000.000

Câu 9: Cô Huyền gửi tổng cộng 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép Số tiền

thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 15 tháng Số tiền còn lại gửi ở ngân

hàng Y với lãi suất 0,73% một tháng trong thời gian 9 tháng Tổng tiền lãi đạt được ở hai ngân hàng là 27.507.768,13 đồng (chưa làm tròn) Hỏi số tiền cô Huyền gửi lần lượt ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu?

A 140 triệu và 180 triệu B 120 triệu và 200 triệu

C 200 triệu và 120 triệu D 180 triệu và 140 triệu

Câu 10: Đầu mỗi tháng bác An gửi tiết kiệm vào ngân hàng HD Bank một số tiền như nhau với lãi suất

0,45% /tháng Giả sử rằng lãi suất hàng tháng không thay đổi trong 3 năm liền kể từ khi bác An gửi tiết kiệm Hỏi bác An cần gửi một lượng tiền tối thiểu T (đồng) bằng bao nhiêu vào ngân hàng HD Bank để sau 3 năm gửi tiết kiệm số tiền lãi đủ để mua được chiếc xe máy có trị giá 30 triệu đồng?

A T10050000 B T25523000 C T9 493000 D T9 492000

Câu 11: Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế cán bộ công chức trong 6 năm từ 2017 đến 2023 là

10,6% với số lượng hiện có năm 2017 theo phương thức “ra 2 vào 1” (tức là khi giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách Nhà nước 2 người thì được tuyển mới 1 người) Giả sử tỉ lệ giảm và tuyển mới hàng năm so với năm trước đó là như nhau Tính tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm (làm tròn đến 0,01%) là

Câu 12: Cho x y, là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn x29y26 xy Tính 1212 12

M

x y



12

1 log 3

log 6

y

 C M 2 D M log 6.12

Câu 13: Cho ,a b là các số thực và hàm số: f x alog2021 x2 1 xbsin os 2020x c  x6

Biết  ln 2021

2021

Câu 14: Cho hai số thực a, b thỏa mãn 1 1

4   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b a 1

4

b

P b  b

A 7

2



2



2



2



P

II MŨ – LOGARIT

Câu 1: Cho các số thực ,a b thỏa mãn 3

1

16  b a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

256



a

b

Lời giải

256

b



4b 1 16b 8b 3 0

16

 

Do đó

16

a

a

b

 Đặt tloga b (điều kiện t 1;)

16

1

t

Dấu bằng xảy ra khi

3

4 4

a b

Đáp án B Câu 2: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình

2

log x3log x2m 7 0 có hai nghiệm thực phân biệt x x thỏa mãn 1, 2

x13x2372

A 61

2

m  B m 3 C Không tồn tại D 9

2

m 

Lời giải

Điều kiện: x 0 Đặt tlog3x x 3t Phương trình đã cho trở thành: 2

t  t m   *

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x  Phương trình 1, 2  * có hai nghiệm phân biệt 1 2  

37

8

t t     m    m  m Giả sử  * có hai nghiệm t1log3x1 và t2log3x2

1 2 3 3t t 3t t 3 27

Suy ra x13x2372x x1 23x1x263 x1 x212

1, 2

x x

3

x

x

 



* Với x  9 t log 93  thay vào 2  * ta được: 2 9 0 9

2

m    (thỏa mãn) m

Để giải quyết bài toán này

ta phải tìm được số thỏa

mãn

FOR REVIEW

Nếu bài toán xuất hiện dữ

kiện

thì ta nên đặt ẩn phụ

và đưa về giải

phương trình bậc hai ẩn t:

STUDY TIP

200 bài toán VD – VDC facebook.com/huyenvu2405

* Với x  3 t log 3 13  thay vào  * ta được: 2 9 0 9

2

m    (thỏa mãn) m

Vậy 9

2

m  là giá trị cần tìm

Đáp án D Câu 3: Để cấp tiền cho con trai tên là Lâm học đại học, ông Anh gửi vào ngân

hàng 200 triệu đồng với lãi suất cố định 0,7%/tháng, số tiền lãi hàng tháng được nhập vào vốn để tính lãi cho tháng tiếp theo (thể thức lãi kép) Cuối mỗi tháng, sau khi chốt lãi, ngân hàng sẽ chuyển vào tài khoản của Lâm một khoản tiền

giống nhau Tính số tiền m mỗi tháng Lâm nhận được từ ngân hàng, biết rằng

sau bốn năm (48 tháng), Lâm nhận hết số tiền cả vốn lẫn lãi mà ông Anh đã gửi vào ngân hàng (kết quả làm tròn đến đồng)

A m 5.008.376 (đồng)  B m 5.008.377 (đồng) 

C m 4.920.224 (đồng)  D m 4.920.223 (đồng) 

Lời giải

Gọi M là số tiền ban đầu; r là lãi suất hàng tháng

Số tiền lãi tháng 1 là M r

Số tiền cả vốn lẫn lãi tháng 1 là M1r

Số tiền còn lại sau khi chuyển cho Lâm m đồng là M 1  r m

Tương tự: Số tiền còn lại sau tháng thứ 2 là:

Số tiền còn lại sau tháng thứ 3 là:

M r m  r    r m M r m r   r 

r r

…

Số tiền còn lại sau 48 tháng là:  48 1 48 1

r

Vì sau 48 tháng là hết tiền trong tài khoản nên ta có:

48

48

  Thay số vào ta tìm được m 4.920.224(đồng)

Đáp án C Câu 4: Cho phương trình 9x2x m 3x2x2m 1 0 Gọi T là tập hợp tất

cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có nghiệm dương Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

A T là một khoảng B T là một nửa khoảng

C T là một đoạn D T 

Lời giải

Ta có 9x2x m 3x2x2m 1 0 32x3x2x m 3x3x  1 0

STUDY TIPS

1

1

n

x



3x 1 3 x 2x 2m 1 0

      3x2x2m 1 0 3x2x2m (*) 1 Xét hàm số f x 3x2x có f x 3 ln 3 2 0x   với mọi x 

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên

Để (*) có nghiệm dương thì ta phải có 2m 1 f 0   1 m 0

Vậy T là một khoảng Ta chọn A

Lưu ý: Đặt t 3x (t  ), phương trình đã cho trở thành 0

2

t  x m t  x m  (1)

Dễ thấy phương trình (1) có a b c   nên có một nghiệm 0 t   và một nghiệm 1

t  x m Từ đó ta có phân tích

9x2 x m 3x2x2m 1 03x1 3 x2x2m  1 0

Đáp án A Câu 5: Cho biểu thức

log 2017 log 2016 log 2015 log log 3 log 2

Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A log 2017;log 2018  B log2018;log2019 

C log2019;log2020 D log2020;log2021

Lời giải Dựa vào đáp án ta suy ra 3 A 4

3 log 2019 A log 2016 A log 2020 4

3 log 2020 A log 2017 A log 2021 4

Vậy A2017log 2020; log 2021 

Đáp án D Câu 6: Xét số thực a b, thỏa mãn b  và 1 a  Biểu thức b a loga 2log

b b

a

b

 

  đạt giá trị nhỏ nhất khi

A a b 2 B a2 b3 C a3 b2 D a2 b

Lời giải

Ta có loga loga loga 1

b

a

Do đó

          

Đặt loga

b

t a Do 1 a b  2 a , b

b

a

Khi đó  2 27  

t

Khảo sát f t trên    2; , ta được f t đạt giá trị nhỏ nhất bằng   63

2 khi t 2.

Với 2

b

t  a  a b

Đáp án C Câu 7: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn 2017; 2017 để phương trình  2  2 2   2   2 

hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 1 x1  x2 3

Lời giải

1

x x

x

  

    

Phương trình đã cho tương đương với:

2

Đặt tx2 theo bài ra ta có 1, 2 2

1 x  x   3 1 x x     9 t 1; 9  Xét hàm số f t  2 t1 log t trên đoạn 1;9 1  

Ta có    

 

 

log 1

0, 1; 9

1 ln10

t t

t t







trên đoạn 1; 9   Khi đó f     1  f t f 9 hay 0 f t  4

u x  x      Khi đó phương trình u     trở thành

 

u  m u m 

Nhận thấy u  không phải là nghiệm của phương trình 1  1 Với u  thì 1 phương trình  1 tương đương với   2  

1

u

u



Xét hàm số   2 8

1

u

g u

u





 trên 0; 4 \ 1   

Ta có  

2 2

; 1

g u

u

0

2

u

g u

u

 

     

 Mà u  0; 4 \ 1   nên u 4

Bảng biến thiên:

x

y

–8

8

Ngọc Huyền LB The Best or Nothing

Yêu cầu bài toán  Phương trình  2 có nghiệm duy nhất trên 0; 4 \ 1    Suy



Mặt khác m ,m   2017; 2017 nên suy ra 4 2017

m m

  

Vậy có tất cả 2017 4 1      4 2017 1  4028 giá trị m nguyên thỏa mãn bài

toán

Đáp án B Câu 8: Trong thời gian liên tục 25 năm, một người lao động luôn gửi đúng

4.000.000 đồng vào một ngày cố định của tháng ở ngân hàng M với lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền là 0,6% tháng Gọi A là số tiền người đó có

được sau 25 năm Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A 3.500.000.000 A 3.550.000.000 B 3.400.000.000 A 3.450.000.000

C 3.350.000.000 A 3.400.000.000 D 3.450.000.000 A 3.500.000.000

Lời giải

Sau tháng thứ 1 người lao động đó có 4 1 0,6%   (triệu đồng)

Sau tháng thứ 2 người lao động có:

4 1 0,6% 4 1 0,6% 4 1 0,6%   1 0,6% 

Sau tháng thứ 3 người lao động đó có:

4 1 0,6%   1 0,6% 4 1 0,6%

4 1 0,6% 1 0,6% 1 0,6% 

Sau tháng thứ 300 người lao động đó có:

1 0,6% 1

3364,866

 (triệu đồng) 3.364.866.000 (đồng)

Đáp án C Câu 9: Cô Huyền gửi tổng cộng 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 15 tháng Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0,73%

một tháng trong thời gian 9 tháng Tổng tiền lãi đạt được ở hai ngân hàng là 27.507.768,13 đồng (chưa làm tròn) Hỏi số tiền cô Huyền gửi lần lượt ở ngân

hàng X và Y là bao nhiêu?

A 140 triệu và 180 triệu B 120 triệu và 200 triệu

C 200 triệu và 120 triệu D 180 triệu và 140 triệu

Lời giải

Gọi số tiền cô Huyền gửi ở hai ngân hàng X và Y lần lượt là x đồng và y đồng

Theo giả thiết ta có x y 320.106  1

Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Huyền nhận được ở ngân hàng X sau 15 tháng

1 2,1% 1,021

A x x (đồng) Suy ra số tiền lãi nhận được sau

1,021 1,021 1

A

Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Huyền nhận được ở ngân hàng Y sau 9 tháng

1 0,73% 1,0073

B y y (đồng) Suy ra số tiền lãi nhận được ở ngân

1,0073  1,0073 1

B

Từ giả thiết, ta có:

27507768,13 1,021 1  1,0073 1 27507768,13

Từ  1 và  2 có hệ:    

6

320.10 1,021 1 1,0073 1 27507768,13

  





x y

6 6

140.10

180.10

 



 





x

Vậy cô Huyền gửi ở ngân hàng X 140 triệu đồng và gửi ở ngân hàng Y 180 triệu

đồng

Đáp án A Câu 10: Đầu mỗi tháng bác An gửi tiết kiệm vào ngân hàng HD Bank một số tiền

như nhau với lãi suất 0,45% /tháng Giả sử rằng lãi suất hàng tháng không thay đổi trong 3 năm liền kể từ khi bác An gửi tiết kiệm Hỏi bác An cần gửi một lượng tiền tối thiểu T (đồng) bằng bao nhiêu vào ngân hàng HD Bank để sau 3 năm gửi tiết kiệm số tiền lãi đủ để mua được chiếc xe máy có trị giá 30 triệu đồng?

Lời giải

Giả sử bác An gửi số tiền tối thiểu hàng tháng là T (đồng) Đặt r0,45%

Hết tháng thứ nhất bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là

 

1   1

T T T r T r

Hết tháng thứ hai bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là

2 2  2   1  1 

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng sau n tháng gửi

tiết kiệm thì bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là

n

Dễ dàng tính được  1    1   1 

n n

T

r Suy ra số tiền lãi sau n tháng gửi tiết kiệm là

1 1 1

n

T

r

Theo giả thiết, ta có n36,L3630 000 000

Suy ra T9 493000

Phân tích phương án nhiễu

Phương án A: Sai do HS tính chỉ gửi 35 tháng

Phương án B: Sai do HS sử dụng công thức của bài toán tính lãi kép và hiểu đề

bài yêu cầu số tiền thu được sau 3 năm đủ để mua xe máy có trị giá 30 triệu đồng nên tìm được T25523000

Phương án D: Sai do HS giải đúng như trên nhưng lại làm tròn T9 492000

Đáp án C Câu 11: Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế cán bộ công chức trong

6 năm từ 2017 đến 2023 là 10,6% với số lượng hiện có năm 2017 theo phương thức “ra 2 vào 1” (tức là khi giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách Nhà nước

2 người thì được tuyển mới 1 người) Giả sử tỉ lệ giảm và tuyển mới hàng năm

so với năm trước đó là như nhau Tính tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm (làm tròn đến 0,01%) là

A 1,13% B 1,72% C 2,02% D 1,85%

Lời giải

Gọi x là số cán bộ công chức tỉnh A năm 2017

Gọi r là tỉ lệ giảm hàng năm

Số người mất việc năm thứ nhất là x r

Số người còn lại sau năm thứ nhất là x x r x   1 r

Tương tự số người mất việc sau năm thứ hai là x 1 r r

Số người còn lại sau năm thứ hai là  2

1

x r

…

 Số người mất việc sau năm thứ 6 là  5

x r r Tổng số người mất việc là:

6

1 1

0,106 0,0185

1 1

r r

 

Vậy tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm là 1,85%

Đáp án D Câu 12: Cho x y là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn , 2 2

x  y  xy Tính

12

M

x y



A M  1 B 12

12

1 log 3

log 6

y

 C M 2 D M log 6.12

Lời giải

x  y  xy x y   x y

1 log 3 log log 12 log 3 log 36

1

M

Đáp án A

STUDY TIPS

Tổng của n số hạng của cấp

1

n n

S

q





STUDY TIPS

loga f x  loga g x

   

0

f x g x

g



 



Câu 13: Cho ,a b là các số thực và hàm số:

  log2021 2 1  sin os 2020 6

Biết f2020ln 202110 Tính P f2021ln 2020

A. P4 B. P2 C. P 2 D. P10

Lời giải

Xét hàm số g x    f x  6 alog2021 x2 1 xbsin cos 2020x  x 

Do x2    1 x x x 0 nên hàm số g x  có tập xác định D =

Ta có:  x D  x D

và                

2 2021

2021 2

2021

2

2021 2

1

1

 

   

    Vậy hàm số g x là hàm số lẻ   Lại có: ln 2021 ln 2020  ln 2021   ln 2020

Đáp án B Câu 14: Cho hai số thực a, b thỏa mãn 1 1

4   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu b a

4

b

P b  b

A 7

2



2



2



2



P

Lời giải

2

(đánh giá để đưa   

1 log

4

loga b )

4

  

Do đó



b

a

b

Đặt log a t Do  b a 1 nên log blog alog 1  0 t 1

MEMORIZE

trên D được gọi là hàm số

chẵn nếu

trên D được gọi là hàm số lẻ

nếu

STUDY TIP

Phương pháp: Đánh giá

STUDY TIP

MEMORIZE