Ứng dụng của phép biến đổi wavelet trong chẩn đoán dao động của máy quay

M Ở ĐẦU Nội dung của luận văn gồm bốn chương: Chương 1: Giới thiệu những lý thuyết cơ bản nhất về xử lý tín hiệu số, khái niệm, phân loại và các đặc trưng thống kê của tín hiệu số, phé

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

MÃ S Ố: 62 52 02 01

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET TRONG

CHẨN ĐOÁN DAO ĐỘNG CỦA MÁY QUAY

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Phong Điền

HÀ NỘI 2007

Trang

1.1 Phân tích tín hiệu số trên miền thời gian và trên miền tần số 4 1.1.1 Khái niệm, phân loại tín hiệu số 4 1.1.2 Phân tích tín hiệu số trên miền thời gian và trên miền tần số 8 1.2 Các chỉ số thống kê và đặc trưng của tín hiệu số 21

CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET 23

2.1.3 Ưu điểm và các ứng dụng thực tiễn của phân tích Wavelet 27

2.2.3 Phương pháp tính toán thực hiện phép biến đổi

Chương III: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ GIÁM SÁT VÀ CHẨN ĐOÁN

TÌNH TRẠNG CỦA MÁY QUAY 47

3.1.1 Khái niệm về kỹ thuật giám sát và

chẩn đoán tình trạng thiết bị 48 3.1.2 Nội dung cơ bản của kỹ thuật chẩn đoán tình trạng thiết bị 49

3.2.1 Lựa chọn các máy được giám sát 55

3.4.2 Đặc điểm cấu tạo và nguyên tắc làm việc của

các loại đầu đo dao động 71

3.5 Các phép phân tích, đánh giá và chẩn đoán tình trạng máy quay 76

3.5.4 Phân tích thời gian – tần số 94

CHẨN ĐOÁN HƯ HỎNG MÁY QUAY 95

L ỜI NÓI ĐẦU

Hiện nay, các trang thiết bị máy móc hiện đại đang ngày càng được đưa vào sử dụng rộng rãi để sản xuất ra hàng hóa và các của cải vật chất khác phục vụ cho mọi lĩnh vực của đời sống xã hội

Tuy nhiên, để máy móc hoạt động tin cậy và ổn định, việc duy tu bảo dưỡng chúng là một việc tối cần thiết Do vậy, hàng năm, các công ty

đã phải chi ra một khoản kinh phí rất lớn để bảo trì và khắc phục những sự cố hay những hư hỏng của hệ thống dây chuyền, trang thiết

bị máy móc Việc dừng máy để bảo trì sẽ gây lãng phí lớn về tài nguyên sản xuất, gây ra nhiều bất lợi cho công tác quản lý sản xuất, kịp thời đáp ứng nhu cầu của thị trường

Ngoài việc tích cực đổi mới công nghệ sản xuất, tăng năng suất thiết

bị nhằm hạ giá thành sản phẩm và nâng cao khả năng cạnh tranh trên thị trường, các nhà quản lý đã liên tục áp dụng các kỹ thuật tiên tiến vào việc cải thiện công tác tổ chức quản lý, duy tu bảo dưỡng máy móc thiết bị, tận dụng tối đa khả năng sản xuất và hạn chế tối đa các hư hỏng Một trong các phương pháp hiệu quả nhất là phát triển hệ thống

ch ẩn đoán sớm và dự báo tình trạng hư hỏng của máy móc, dây chuyền thi ết bị sản xuất

Các phương pháp chẩn đoán kỹ thuật thiết bị máy móc đã được phát triển từ rất lâu Tuy nhiên, việc ứng dụng các công nghệ hiện đại vào chẩn đoán vẫn đang còn là một nội dung mới mẻ và mới được quan tâm trong khoảng hơn 10 năm trở lại đây Bước đầu, việc áp dụng các công nghệ mới vào kỹ thuật chẩn đoán tình trạng thiết bị máy móc cũng

đã có những thành công nhất định và sẽ hứa hẹn nhiều kết quả khả quan trong tương lai

Lu ận văn này đề cập tới việc áp dụng phương pháp phân tích Wavelet các tín hi ệu dao động đo được từ máy quay để chẩn đoán các lỗi hỏng có thể xảy ra đối với các chi tiết bên trong như bánh răng, ổ

l ăn… Đây là một phương pháp khá mới mẻ và có triển vọng được áp dụng rộng rãi Luận văn được hoàn thành tại bộ môn Cơ học kỹ thuật, Trung tâm đào tạo sau đại học, trường đại học Bách Khoa Hà Nội Tác

gi ả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo PGS TS Nguyễn

Phong Điền đã nhiệt tình hướng dẫn trong suốt quá trình thực hiện

lu ận văn này Vì thời gian có hạn và lượng kiến thức chứa đựng là rất

l ớn nên luận văn không thể tránh khỏi sai sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn quan tâm

Hà Nội ngày 22 tháng 11 năm 2007

Học viên thực hiện Nguyễn Phương Hùng

M Ở ĐẦU

Nội dung của luận văn gồm bốn chương:

Chương 1: Giới thiệu những lý thuyết cơ bản nhất về xử lý tín hiệu số,

khái niệm, phân loại và các đặc trưng thống kê của tín hiệu số, phép biểu

diễn tín hiệu số trong miền thời gian và trong miền tần số qua phép biến đổi Fourier, các thang số đo thường dùng trong biểu diễn tín hiệu số Ngoài

ra, nội dung chương 1 còn đề cập tới phân tích mô hình các dạng tín hiệu

cơ bản sử dụng cho chẩn đoán kĩ thuật như tín hiệu điều biến biên độ và biến điệu tần số

Ch ương 2: Giới thiệu về cơ sở lý thuyết và thuật toán biến đổi Wavelet

liên tục và rời rạc, các ứng dụng thực tiễn của phép biến đổi Wavelet như

xử lý ảnh, nén dữ liệu và lọc tách thành phần tín hiệu

Ch ương 3: Giới thiệu về các phương pháp giám sát và chẩn đoán tình

trạng thiết bị, các tiêu chuẩn ISO, API, DIN VDI về rung động của máy,

các phương pháp xử lý và phân tích hiệu số như lọc số, phân tích phổ tần

số, phổ đường bao, phân tích Cepstrum, phân tích trong miền thời gian - tần số

Ch ương 4: Trình bày các ví dụ về áp dụng biến đổi Wavelet liên tục

trong chẩn đoán hư hỏng của máy phay lăn răng, bộ truyền bánh răng và ổ

lăn từ tín hiệu rung động đo được

Đối tượng đo Đầu đo Cáp truyền

tín hiệu

Khuếch đại, lọc

Số hóa

Bộ chuyển đổi ‘Số - Tương tự’

ADC (Analog – Digital

Converter)

Phân tích,

lưu trữ

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

1.1 Phân tích tín hiệu số trên miền thời gian và trên miền tần số

1.1.1 Khái niệm, phân loại tín hiệu số

Trong quá trình hoạt động, các máy cơ học luôn xuất hiện những rung động do va chạm giữa các bộ phận với nhau Những rung động đó chứa đựng rất nhiều thông tin phản ánh tình trạng làm việc của thiết bị Vì vậy, việc đo đạc, phân tích các rung động gây ra ở máy móc đóng vai trò quan trọng trong công tác chẩn đoán và bảo trì thiết bị

Hình 1.1 mô tả sơ đồ tổng quan của một hệ thống đo dao động, đối tượng

đo là nguồn rung động như vỏ máy, đế máy, trục

Hình 1.1: Sơ đồ tổng quan của một hệ thống đo dao động

Các tín hiệu rung được đầu đo ghi nhận, thông qua cáp truyền tín hiệu và chuyển tới mạch khuếch đại và mạch lọc Cáp truyền tín hiệu có thể là vô tuyến, hữu tuyến, cáp quang Mạch khuếch đại có tác dụng làm tăng biên

độ của tín hiệu còn mạch lọc có tác dụng loại bỏ những thành phần không cần thiết như là nhiễu, Sau đó, nhờ bộ chuyển đổi ‘Số - Tương tự’, tín hiệu được rời rạc hóa thành tín hiệu số rồi đưa vào lưu trữ phục vụ cho quá trình phân tích và xử lý sau này

Tín hiệu dao động từ đầu đo được chuyển sang bộ khuếch đại và mạch lọc là tín hiệu điện tương tự (Analog) Bộ chuyển đổi ‘Số - Tương tự’

(ADC - Analog Digital Converter) làm nhiệu vụ rời rạc hóa tín hiệu tương

tự thành tín hiệu rời rạc gọi là tín hiệu số Các tham số cần thiết cho quá trình làm việc của ADC gồm:

- Tần số lấy mẫu: f s

- Số điểm lấy mẫu: N

Từ hai tham số trên ta có thể tính được khoảng thời gian đo (T):

1

s

N T

Độ phân giải thời gian ∆t được tính như sau:

1

s

t f

Như vậy, về bản chất, tín hiệu số là tín hiệu liên tục đã được rời rạc hóa

Ta có thể dễ dàng lưu trữ tín hiệu số dưới dạng file dữ liệu trên máy tính để sau đó có thể truy xuất bằng các phần mềm khác nhau Đặc biệt, hiện nay

có rất nhiều phương pháp xử lý tín hiệu số sẵn có ví dụ như lọc số, phân tích phổ Những kết quả thu được sau khi xử lý tín hiệu số bằng các phương pháp đó sẽ chứa đựng nhiều thông tin thể hiện rõ ràng đặc trưng động học của đối tượng đo

Tín hiệu số cũng được phân loại giống như tín hiệu liên tục theo sơ đồ

sau:

Hình 1.3: Phân loại tín hiệu

Các thành phần tín hiệu liên kết nhau có thể tạo ra một trong số các cấu trúc dưới đây:

Tín hiệu

Không

dừng

Dừng Tuần hoàn

• Cấu trúc chồng chất: đây là dạng cấu trúc phổ biến nhất, tín hiệu

tổng là tổng đại số của từng tín hiệu thành phần Công thức mô tả dạng tín hiệu này có dạng như sau:

Xét một ví dụ đơn giản được mô tả trên sơ đồ dưới đây:

Hình 1.4: Sơ đồ mô tả cấu trúc chập của tín hiệu

Trong đó:

x(t ) là lực tác dụng vào đối tượng

h(t ) là hàm đáp ứng của đối tượng hay còn gọi là hàm truyền

y(t ) là đại lượng phản hồi từ đối tượng

h(t )

(hàm đáp ứng)

x(t )

Theo lý thuyết dao động, đại lượng phản hồi là phép chập của đại lượng tác động và hàm truyền, do đó, ta có:

y(t ) = x(t ) * h(t )

Phép chập mô tả mối quan hệ giữa lực kích động, đường truyền và phản hồi Để phân tích tín hiệu có cấu trúc chập, người ta thường hay sử dụng phân tích Cepstrum, sẽ được xét tới trong mục 3.5.2

1.1.2 Phân tích tín hiệu số trên miền thời gian và trên miền tần số

Tín hiệu số trên miền thời gian cũng được biểu diễn tương tự như tín hiệu liên tục nhưng là tập hợp các điểm rời rạc

Để biểu diễn một tín hiệu trên miền tần số, việc cần thiết là phải phân tích tín hiệu đó thành các thành phần dao động điều hòa đơn giản, mỗi thành phần đó có một tần số riêng Có nhiều phương thức để giải quyết vấn đề

này, nhưng trong đó, phép biến đổi Fourier là có nhiều ưu điểm vượt trội

và được ứng dụng rộng rãi hơn cả

Phép biến đổi Fourier được phát triển trên nền tảng lý thuyết chuỗi Fourier do nhà vật lý học người Pháp là Jean Baptiste Joseph Fourier (1768

- 1830) tìm ra Theo lý thuyết này, bất kì một tín hiệu tuần hoàn nào đều có thể được khai triển thành tổng của các tín hiệu dao động điều hòa đơn giản theo chuỗi Fourier

Một tín hiệu tuần hoàn chu kì T có dạng x(t ) = x(t + T ) có thể được

phân tích theo chuỗi Fourier bằng các cách như bảng sau:

B ảng 1.6: Các công thức thực hiện phép biến đổi Fourier tín hiệu liên tục

Trong đó: f 0 là tần số cơ sở của chuỗi Fourier (f 0 = 1/T) và f k =k f 0, với

(k > 0)

Đồ thị biểu diễn ( )A f k k được gọi là phổ biên độ

Đồ thị biểu diễn ϕk(f k)được gọi là phổ pha (pha ban đầu)

Đồ thị biểu diễn 2( )

2

k k

A

f được gọi là phổ công suất

Phương trình (1.7) có thể mở rộng tổng quát hơn cho các tín hiệu không

tuần hoàn bằng cách cho T tiến tới vô cùng, kết quả thu được là tích phân

Fourier:

Công thức (1.10) thường được gọi là phép biến đổi Fourier (FT) của x(t )

và (1.9) được gọi là phép biến đổi Fourier ngược (inverse Fourier

Transform - iFT) (1.9) thể hiện rằng tại một tần số f xác định, X (f ) tương

ứng với biên độ của một dao động điều hòa đơn giản với góc pha ban đầu bằng ϕ(f )

Một số tính chất quan trọng của phép biến đổi Fourier:

+ Phép biến đổi Fourier là phép biến đổi tuyến tính:

2 ( 1) 1

n

N k

bởi: ∆f = 1/T và các điểm tần số được tính bằng công thức: f k = k ∆f

Như vậy, với một tín hiệu thực, phép biến đổi Fourier rời rạc sẽ cho ta

một phổ phức với các điểm tần số f k Khi đó, biên độ của hệ số A k trong (1.6) được xác định bởi công thức:

sử dụng rất rộng rãi trong ngành phân tích phổ tín hiệu dao động và được

tích hợp sẵn vào các máy phân tích phổ dưới dạng phần mềm

Một điều rất rõ ràng rằng nếu x(t ) là sự chồng chất của một số các dao động điều hòa thì khi đó phần biểu diễn trong miền tần số X (f ) cho bởi phép biến đổi Fourier của x(t ) sẽ đưa ra sự phân tích chính xác của tín hiệu

đến từng thành phần tần số riêng biệt của nó

* Dưới đây là một số ví dụ áp dụng phép biến đổi Fourier rời rạc để phân

tích tín hiệu số trên miền tần số:

- Trường hợp đơn giản nhất, tín hiệu chỉ gồm một thành phần tần số, đó là

những tín hiệu có dạng hàm sin Hình 1.7 minh họa phân tích tín hiệu dao

động điều hòa có tần số f = 50 Hz Phương trình mô tả dao động của tín

hiệu có dạng x=sin(2πft)

- Tiếp theo, ta xét tới một dạng tín hiệu được sử dụng rất rộng rãi trong

ngành phát thanh, vô tuyến truyền hình, đó là tín hiệu điều biến biên độ

(Amplitude Modulated Signal - AM) Tín hiệu điều biến biên độ là tín hiệu

có biên độ bị biến đổi theo thời gian nhưng tần số không thay đổi

Hình 1.8 mô tả tín hiệu có biên độ được điều biến theo hàm sin trong miền thời gian và trong miền tần số Hình 1.9 mô tả tín hiệu có biên độ được điều biến ngắn hạn trong miền thời gian và trong miền tần số Trên

các miền tần số, ta có thể nhận thấy tần số dao động chính của tín hiệu ứng với giá trị biên độ cực đại Các thành phần tần số khác là những dải băng nằm đối xứng nhau xung quanh tần số chính Trên hình 1.8, ta có thể nhận

thấy, các dải băng ở xung quanh tần số chính f 1 cách đều nhau và cách tần

số chính một khoảng đúng bằng số nguyên lần tần số điều biến f 2

Hình 1.9 : Tín hiệu điều biến biên độ ngắn hạn với tần số chính 200 Hz

- Một dạng tín hiệu nữa cũng được sử dụng rộng rãi trong ngành viễn thông là tín hiệu biến điệu tần số (Frequency Modulated Signal – FM) Tín hiệu FM có tần số biến đổi theo thời gian Phương trình của tín hiệu biến điệu tần số nhưng biên độ không đổi có dạng sau:

nó Khi hệ số biến điệu tăng, năng lượng lại trải ra các dải tần phụ lớn hơn

so với năng lượng tập trung tại tần số mang

Hình 1.10 mô tả tín hiệu biến điệu tần số với hệ số biến điệu β = 1 trong

miền thời gian và trong miền tần số Ta nhận thấy rằng, trên phổ tần số, biên độ của thành phần tín hiệu có tần số bằng tần số mang là lớn nhất

Hình 1.11 mô tả tín hiệu biến điệu tần số với hệ số biến điệu β = 2.5

trong miền thời gian và trong miền tần số Ta nhận thấy rằng, trên phổ tần

số, biên độ của thành phần tín hiệu có tần số bằng tần số mang là bé nhất

Sự phức tạp trong phổ tần số của tín hiệu biến điệu tần số làm cho dạng tín hiệu này rất khó hiểu trong miền tần số ngay cả khi nó chỉ là tín hiệu đơn

Hình 1.11: Tín hi ệu biến điệu tần số với hệ số biến điệu β = 2.5

- Tiếp theo là ví dụ minh họa phân tích mẫu tín hiệu được tổng hợp từ mô hình toán học của dao động trong bộ truyền bánh răng

Hình 1.12: Mô hình tín hiệu có phương trình (1.22)

trong miền thời gian và miền tần số

1.1.3 Các đại lượng đo dao động cơ học và thang số đo

* Các đại lượng cơ học chủ yếu được sử dụng trong kĩ thuật phân tích dao động thực nghiệm bao gồm:

- Dịch chuyển x(t ) – tính bằng mm hoặc μm

- Vận tốc dao động ( )x t – tính bằng m/s hoặc mm/s

- Gia tốc dao động ( )x t – tính bằng m/s2 hoặc g (≈ 9,8 m/s2)

Trên hình 1.13 là một thí dụ về biên độ dịch chuyển, vận tốc, gia tốc của một dao động điều hòa có dạng:

Ta nhận thấy vận tốc dao động và gia tốc dao động lệch pha so với dịch chuyển với các góc lệch pha lần lượt là

2

π và π

* Đồ thị biểu diễn của tín hiệu đo có thể được chia theo các thang số khác nhau để thuận tiện cho việc đánh giá và so sánh Dưới đây là một số thang

đo thường được sử dụng cho việc biểu diễn tín hiệu số:

a) Thang số thập phân và thang số logarit

Đối với thang đo logarit, thường sử dụng là logarit cơ số 10, do tính chất của hàm số mũ loga, so với thang số thập phân, vùng có giá trị thấp sẽ

được kéo giãn ra và vùng có giá trị cao sẽ bị co lại (hình 1.14)

Hình 1.14 : Phổ biên độ của cùng một tín hiệu dao động tắt dần với bốn tần số riêng

theo thang đo thập phân (hình trên) và thang đo logarit (hình dưới)

b) Thang số decibel (dB)

Trị số decibel được sử dụng rất rộng rãi trong các tiêu chuẩn về dao động

và tiếng ồn Công thức quy đổi từ một đại lượng đo sang giá trị decibel (dB) như sau:

Trong đó A là đại lượng đo (biên độ dịch chuyển, vận tốc, gia tốc) và Aref

là một giá trị tham chiếu được quy định theo tiêu chuẩn tùy thuộc vào đại lượng đo VD: Giá trị tham chiếu khi tính toán trị số decibel theo ISO 1683: ứng với ω=1000 s-1 hay f =159,2 Hz (bảng 1.15)

B ảng 1.15: Các giá trị tham chiếu cho tần số 159,2Hz khi tính trị số decibel theo

ISO 1683

Đại lượng đo Chuyển vị Vận tốc Gia tốc Lực

Aref 10-12 [m] 10-9 [m/s] 10-6 [m/s2] 10-6 [N]

bốn tần số riêng trong với thang đo logarit

Frequency (Hz)

1.2 Các chỉ số thống kê và đặc trưng của tín hiệu số

Bảng dưới đây là một số đại lượng đặc trưng quan trọng của tín hiệu dao động Mỗi đại lượng là một giá trị bằng số và được xác định trong khoảng

thời gian đo T hữu hạn Ta gọi đó là các giá trị tín hiệu đặc trưng

B ảng 1.17: Các chỉ số thống kê của tín hiệu

Trung bình đại số

1( )

x

=

%

peak Crest

1 N

i i

N Kurtosis

Trong thực tế, một tín hiệu dao động chứa quá nhiều thông tin và không thể sử dụng trực tiếp ngay cho một ứng dụng cụ thể Thí dụ đối với mục

đích giám sát và chẩn đoán dao động, các giá trị của tín hiệu đo thường thay đổi rất nhanh (tần số ở mức vài Hz đến vài chục kHz), không tương ứng với sự thay đổi chậm của tình trạng kĩ thuật của thiết bị (tính theo

ngày, tháng, năm) Các giá trị tín hiệu đặc trưng thường được sử dụng để đánh giá tín hiệu dao động do một số đặc điểm sau đây:

- Các giá trị tín hiệu đặc trưng trong một khoảng thời gian đo đủ lớn sẽ cho phép ta có thể đánh giá sơ bộ về mức tín hiệu (trung bình đại số, trung bình hiệu dụng, hệ số Crest), sự thay đổi bất thường trong biên độ (giá trị đỉnh)

- Giá trị tín hiệu đặc trưng thay đổi chậm một cách tương ứng với sự thay đổi của tình trạng kĩ thuật của thiết bị, rất thích hợp cho các ứng dụng chẩn đoán và giám sát tình trạng hoạt động

- Các giá trị tín hiệu đặc trưng là giá trị bằng số, bởi vậy dễ dàng lưu trữ hơn nhiều so với việc lưu trữ toàn bộ tín hiệu đo

- Các công thức tính toán các giá trị tín hiệu đặc trưng là tương đối đơn giản, cho phép ta tính toán nhanh nhờ chương trình máy tính (gần như đồng thời ngay sau khi phép đo kết thúc)

CHƯƠNG II

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ THUẬT TOÁN CỦA

PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

2.1 Giới thiệu chung về biến đổi Wavelet

2.1.1 Sự hình thành và phát triển của biến đổi Wavelet

Các phép biến đổi tín hiệu chỉ nhằm mục đích tái hiện tín hiệu theo một dạng khác mà không làm thay đổi các thông tin chứa đựng trong tín hiệu

đó Do vậy, với cùng một tín hiệu, mỗi cách biến đổi khác nhau sẽ đưa ra những cách nhìn khác nhau về tín hiệu đó Qua đó, những thông tin ẩn chứa trong tín hiệu sẽ được khai thác và phản ánh hiện trạng của đối tượng sinh ra tín hiệu

Trong chương I, ta đã xét về phương pháp biểu diễn tín hiệu trong miền thời gian và trong miền tần số Ưu điểm của việc mô tả tín hiệu trong miền thời gian là tính toán tương đối đơn giản, có thể xác định được các thời điểm xảy ra dao động Tuy nhiên việc mô tả này lại có nhược điểm là khó đoán biết tần số và khó chẩn đoán Việc mô tả tín hiệu trong miền tần số (phân tích phổ) cho phép nhận dạng tần số của tín hiệu nhưng lại làm mất thông tin về thời gian (ví dụ như thời điểm xảy ra một hiện tượng, khoảng thời gian diễn ra một hiệu ứng rung động ) Như vậy, việc mô tả tín hiệu riêng rẽ trong miền thời gian và trong miền tần số đều có những hạn chế nhất định Để khắc phục những hạn chế trên, người ta đề ra cách mô tả tín

hiệu trong miền thời gian - tần số (Time - Frequency Analysis) Cách mô tả

tín hiệu này thỏa mãn các yêu cầu của ngành chẩn đoán kĩ thuật là phải thể hiện được những thông tin về tần số, thời điểm và biên độ của các thành phần tín hiệu

Cơ sở toán học của phương pháp phân tích thời gian - tần số đã được nghiên cứu từ lâu, năm 1960, Ville đã tìm ra phân bố thời gian tần số, phân

bố này được thực hiện bằng giải thuật của Wigner (Wigner Distribution) Phương pháp này có độ phân giải rất cao nhưng vẫn có nhiễu và tính toán rất chậm Sau đó người ta đề ra phương pháp Fourier dạng cửa sổ

(Windowed FT) và phương pháp biến đổi Fourier ngắn hạn (Short Time

Fourier Transform – STFT) Phương pháp này tính toán nhanh, không có nhiễu nhưng độ phân giải kém Năm 1980, các phân bố lớp Cohen (Cohen 's classes distribution) được đề ra Phân bố này có độ phân giải khá tốt, ít nhiễu nhưng tính toán rất chậm

Năm 1992, phép biến đổi Wavelet (Wavelet Transform - WT) ra đời Phép biến đổi này được phát triển để khắc phục những thiếu sót của phép biến đổi Fourier ngắn hạn, từ đó có thể phân tích những tín hiệu không dừng Phép biến đổi Wavelet có sử dụng kĩ thuật phân tích theo nhiều độ phân giải tức là mỗi tần số khác nhau sẽ được phân tích theo mỗi độ phân giải khác nhau, trong khi đó, STFT cho ra độ phân giải như nhau ở mỗi tần

số khác nhau

Sóng là dạng dao động tuần hoàn theo một hàm của thời gian hoặc không gian Tương phản với nó, sóng gợn wavelet là các sóng đã bị hạn chế, năng lượng của chúng chỉ tập trung cao tại thời gian hoặc không gian thích hợp

Sự so sánh đó cho thấy khả năng phân tích tín hiệu ngắn ngủi sẽ tốt hơn nếu sử dụng hàm dạng sóng gợn wavelet Hình 2.1a và b cho thấy sự khác nhau về phân bổ năng lượng trong hàm sóng và hàm sóng gợn wavelet

Phép phân tích Wavelet cũng được thực hiện tương tự như phân tích

Fourier ngắn hạn Tín hiệu cần phân tích sẽ được nhân với hàm sóng gợn

wavelet cũng như nó được nhân với hàm “cửa sổ” trong phép biến đổi

Fourier ngắn hạn, và phép biến đổi được tính toán cho mỗi đoạn kết quả từ

phép nhân trước Tuy nhiên, không giống như phép biến đổi Fourier ngắn

hạn, trong phép biến đổi Wavelet, vùng tần số cao sẽ có độ phân giải thời

gian tốt và độ phân giải tần số kém, vùng tần số thấp sẽ có độ phân giải tần

số tốt và độ phân giải thời gian kém

2.1.2 Hàm Wavelet cơ sở

Phép biến đổi Wavelet sử dụng hàm có phân bố dạng sóng gợn wavelet làm cơ sở (gọi tắt là Wavelet), hàm ψ (t ) được gọi là một Wavelet cơ sở nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

Trong đó: Ψ(0) là biến đổi Fourier của ψ (t ) tại f = 0

Tất cả các dạng hàm wavelet được sử dụng trong phép biến đổi đều là kế

thừa của hàm wavelet cơ sở thông qua các phép dịch chuyển và tỷ lệ (co

giãn) Do đó các đặc tính của kết quả phép biến đổi là do wavelet cơ sở quy định Tùy theo ứng dụng cụ thể mà hàm wavelet cơ sở được lựa chọn sao cho phép biến đổi Wavelet đạt hiệu quả tối đa Hình 2.2 thể hiện một số dạng thông dụng của wavelet cơ sở

Haar wavelet là một trong những dạng đơn giản và ra đời sớm nhất, do nhà toán học Hungari là Alfréd Haar (1885-1933) phát triển Do đó, tất cả các vấn đề về biến đổi wavelet đều bắt đầu với dạng hàm của Haar Daubechies wavelet là dạng được sử dụng rộng rãi nhất do Ingrid Daubechies, nhà toán học và vật lý học người Bỉ, phát triển Haar wavelet

và Daubechies wavelet là hai dạng đặt nền móng cho phép phân tích tín hiệu bằng phương pháp Wavelet, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực Ngoài ra, dạng hàm của Haar và Daubechies còn được gọi là “Maxflat wavelet” (dạng có độ phẳng tối đa) do khả năng biến đổi tín hiệu sao cho

độ phẳng của tần số phản hồi là cực đại tại tần số 0 và π Đây là một đặc

tính rất được mong đợi trong một số ứng dụng Các hàm wavelet kế thừa từ hàm của Haar, Daubechies, Symlets và Coiflets đều là các wavelet có tính trực giao hoàn chỉnh Các hàm trên cùng với hàm Meyer đều có khả năng tái hồi phục toàn vẹn Hàm Meyer, Morlet và Mexican-hat đều có dạng đối xứng Việc chọn wavelet cơ sở phải dựa vào hình dạng và khả năng phân tích tín hiệu của ứng dụng

Hình 2.2 Một số dạng wavelet cơ sở thông dụng

2.1.3 Ưu điểm và các ứng dụng thực tiễn của phân tích Wavelet

Ưu điểm của phép phân tích Wavelet là toán nhanh, không nhiễu, độ phân giải tương đối tốt Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin và máy tính điện tử, sức mạnh của phép biến đổi Wavelet ngày càng được khai thác hiệu quả và ứng dụng vào nhiều ngành khoa học Hiện nay,

phương pháp này đang được ứng dụng rất rộng rãi trong việc xử lý tín hiệu

số cho các ngành thiên văn, khí tượng, vật lý, sinh trắc học và đặc biệt là

cho phân tích các tín hiệu dao động cơ học thực nghiệm

Cho đến thời điểm hiện nay, có thể nói rằng cơ sở toán học của phép biến đổi Wavelet đã được hoàn chỉnh bao gồm:

- biến đổi Wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform - CWT)

- biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete Wavelet Transform - DWT)

- biến đổi Wavelet nhanh (Fast Wavelet Transform - FWT)

Một trong những ứng dụng nổi bật của phép biến đổi Wavelet là tiêu chuẩn nén dữ liệu dấu vân tay của FBI (cục điều tra liên bang – Hoa Kỳ) Hình ảnh của dấu vân tay sau khi qua biến đổi Wavelet sẽ được lưu giữ trong ngân hàng dữ liệu Trước đó, đã có một phép biến đổi Côsin rời rạc

(Discrete Cosine Transform – DCT) thực hiện công việc này song chất lượng của DCT không tốt khi tỷ lệ nén cao Dữ liệu vân tay sau khi được DCT giải nén lại bị hiệu ứng chặn nên việc dò theo các đường vân là không thể thực hiện được Hạn chế này của DCT đã được phép biến đổi Wavelet cải thiện với khả năng hồi phục hoàn hảo những đặc trưng của dữ liệu gốc vốn có

Trong phép biến đổi Wavelet rời rạc DWT, điểm nổi bật nhất của tín hiệu thường thể hiện ở vùng có biên độ cao và không nổi bật ở vùng có biên độ rất thấp Có thể nén dữ liệu bằng cách loại bỏ các thành phần biên độ thấp

đó Phép biến đổi Wavelet cho tỷ lệ nén cao và khả năng phục hồi dữ liệu gốc rất tốt Hiện nay, việc ứng dụng biến đổi Wavelet vào kĩ nghệ nén ảnh đang là một trong những mối quan tâm nóng hổi nhất của các chuyên gia Gần đây, phép biến đổi Wavelet đã được chọn làm chuẩn nén của dạng ảnh

JPEG2000

Hình 2.3 Sơ đồ quá trình xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet

Hình 2.3 mô tả khái quát các bước của quy trình xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet Công đoạn xử lý ở bước 2 có thể bao gồm nén, mã hóa,

Tín hiệu đầu ra

Tín hiệu

đầu vào Biến đổi Wavelet

Wavelet

khử nhiễu v.v Tín hiệu được xử lý sau bước này có thể được lưu trữ hay truyền phát Hầu hết các ứng dụng nén, bước xử lý bao gồm lượng tử hóa

và mã hóa entropi để tạo ra ảnh nén Trong suốt công đoạn này, các hệ số wavelet có giá trị thấp hơn một ngưỡng cố định sẽ bị loại bỏ Công đoạn tái hồi phục tín hiệu gốc đã bị nén bao gồm giải mã entropi và lượng tử hóa, các hệ số wavelet bị loại bỏ khi xử lý sẽ được thay vào đó là giá trị 0

Một ứng dụng cũng quan trọng khác của biến đổi Wavelet là nén tín hiệu giọng nói, làm giảm thời gian chuyển dữ liệu trong các ứng dụng di động Chúng được sử dụng để khử nhiễu, dò biên dạng, tách tính năng, nhận dạng giọng nói, khử âm vang v.v… Đây là một tính năng rất cần thiết cho các ứng dụng nén âm thanh và phim ảnh theo thời gian thực Wavelet còn có nhiều ứng dụng nữa trong ngành truyền thông tín hiệu số Kĩ thuật ghép kênh phân chia theo tần số trực giao – OFDM (Orthogonal Frequency

Division Multiplexing) là một trong các ứng dụng tiêu biểu Ngoài ra, Wavelet còn được dùng trong nhận dạng ảnh sinh trắc học, phân tích điện tâm đồ

Nội dung chính của luận văn này là nghiên cứu ứng dụng của phép biến đổi Wavelet trong chẩn đoán hư hỏng của máy quay như bộ truyền bánh răng hay ổ lăn … dựa trên tín hiệu rung động đo được Đây là một lĩnh vực

mà việc áp dụng phương pháp Wavelet sẽ hứa hẹn mang lại rất nhiều triển vọng cho việc giám sát tình trạng thiết bị Tuy nhiên, việc áp dụng các phương pháp này vào chẩn đoán rung vẫn là một vấn đề mới mẻ và đang còn được nghiên cứu tiếp tục

2.2 Phép biến đổi Wavelet liên tục

2.2 1 Cơ sở lý thuyết của phép biến đổi Wavelet liên tục

Trong phép biến đổi Fourier, hàm tín hiệu x(t ) được phân tích thành tổng

của các hàm điều hòa phức, xem công thức (1.6) và (1.7):

Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier ngược

Nếu ta chọn một Wavelet cơ sở ψ(t ), khi đó hệ thức:

,

1( )

s

t t

s s

Trong nhiều nghiên cứu, người ta sử dụng hàm ψ (t ) có giá trị phức Một trong những người đi tiên phong ở lĩnh vực nghiên cứu phân tích Wavelet

là Jean Morlet (1930-2007), nhà địa vật lý người Pháp Sau nhiều năm nghiên cứu, đến năm 1995, ông đã tìm ra và phát triển hàm Morlet-

Wavelet Trong những ứng dụng phân tích tín hiệu dao động cơ học bằng phương pháp biến đổi Wavelet liên tục, hàm Morlet-Wavelet được sử dụng nhiều hơn cả do những tính chất rất quan trọng của nó:

2

0 /2 4

1( )t e jωt e t

ψ

π

Trong đó, ω0 là hệ số Morlet, thường được lấy trong khoảng từ 3 đến

100 Tuy nhiên, trong các ứng dụng phân tích tín hiệu rung động, các hệ số

Morlet thường được dùng từ 3 đến 20 và phổ biến nhất là 10 Đồ thị hàm

Morlet phần thực có dạng đối xứng qua trục tung, số cực đại và cực tiểu trên đồ thị phần thực và ảo chính là hệ số Morlet (hình 2.4)

Hình 2.4: Đồ thị hàm Morlet12 với phần ảo là đường nét đứt

(c) Hàm Morlet10 (d) Hàm Morlet20

Hệ số tỉ lệ s trong công thức 2.2 được tính theo công thức Morlet:

ψ là hàm phức liên hợp của ψ trong (2.2), khi đó biến đổi τ,s

Wavelet của tín hiệu x(t ) có dạng:

Phép biến đổi Wavelet biến hàm tín hiệu x(t ) thành một hàm hai biến

( , )

x

WT τ Theo (2.5), do biến thời gian t là liên tục nên ta gọi đó là phép s

biến đổi Wavelet liên tục (CWT) Công thức (2.6) cho phép ta thực hiện CWT trong miền tần số

2.2.2 Ý nghĩa của phép biến đổi Wavelet liên tục

Các biến τ và s trong (2.2) và (2.4) đóng một vai trò quan trọng đối với phép biến đổi Wavelet Khi tín hiệu được thể hiện qua phân bố thời gian-

tần số nhờ biến đổi Wavelet liên tục, biến s được coi như là một hệ số tỷ lệ

có tác dụng làm co giãn hàm ψ(t ) trên trục tần số Hệ số tỷ lệ lớn ứng với vùng tần số thấp của tín hiệu tại đó thể hiện được những thông tin chi tiết

ẩn chứa trong tín hiệu Ngược lại, hệ số tỷ lệ thấp ứng với vùng tần số cao tại đó tín hiệu bị co nén lại, vùng này thể hiện các thông tin toàn cục của tín hiệu Còn biến τ có tác dụng làm dịch chuyển hàm ψ(t ) trên trục thời gian

τ có thứ nguyên là thời gian Theo (2.6), s có liên quan đến tần số của tín

hiệu Như vậy, hàm WT x( , )τ mô tả các thành phần của tín hiệu x(t ) đồng s

thời trong miền thời gian và miền tần số Đồ thị của WT x( , )τ s được gọi là

phân bố thời gian - tần số của tín hiệu x(t ), (time - frequency distribution)

Phép biến đổi Wavelet chỉ đơn giản thực hiện phép nhân chập tín hiệu với hàm cơ sở Tuy nhiên, phép phân tích này tỏ ra rất có tác dụng trong thực nghiệm, thành phần tín hiệu có tần số cao thường chỉ tồn tại trong một khoảng thời gian ngắn (dạng xung ngắn) Trong khi đó, thành phần tín hiệu

có tần số thấp thường tồn tại trong suốt thời gian lấy mẫu

Các chuỗi Wavelet được tính thông qua phép rời rạc hóa phép biến đổi Wavelet liên tục Điều này trợ giúp cho việc thực hiện phép biến đổi đó

trên máy tính và có thể thi hành được bằng cách lấy mẫu lại tín hiệu trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ (tần số) Tần số lấy mẫu có thể thay đổi theo hệ

số tỷ lệ mà không vi phạm tiêu chuẩn Nyquist Nội dung của tiêu chuẩn Nyquist như sau: “tần số lấy mẫu tối thiểu cho phép tái hiện lại tín hiệu gốc ban đầu phải là 2ω radians, trong đó ω là tần số cao nhất của tín hiệu” Do

đó, khi hệ số tỷ lệ càng cao (ứng với vùng tần số thấp), tần số lấy mẫu càng giảm và sức nặng tính toán sẽ nhẹ bớt

2.2.3 Phương pháp tính toán thực hiện phép biến đổi Wavelet liên tục

Trong các mục trước, ta đã biết hàm tín hiệu x(t ) sau khi được rời rạc hóa thành tín hiệu số sẽ có dạng x(n) , n = 1 N, với tần số lấy mẫu là f s,

khi đó, công thức (2.5) sẽ có dạng:

( )

1

* 0

f

k Ndt

Áp dụng (2.7) và sử dụng tính chất của phép biến đổi Fourier nhanh (FFT), ta có sơ đồ thuật toán để thực hiện CWT như trên hình (2.6)

Do biến s có giá trị rời rạc nên hàm WT n s x( , ) cũng có các giá trị rời rạc

Như vậy, nếu x(n) là một vectơ thì WT n s x( , ) sẽ là một ma trận Ta gọi ma

trận W chứa các giá trị WT n s x( , ) là ma trận các hệ số Wavelet Nói chung,

các phần tử của W là số phức, bởi vậy trong ứng dụng phân tích tín hiệu,

giá trị mô-đun của chúng được sử dụng để biểu diễn trên phân bố thời gian

- tần số

2.2.4 Một số ví dụ sử dụng các tín hiệu mô phỏng

Trong các ví dụ thực hiện phép phân tích Wavelet liên tục tín hiệu dưới đây, ta sử dụng Wavelet cơ sở là hàm Morlet, công thức (2.3) Ưu điểm của hàm Morlet là cho phép thay đổi độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số ứng với các giá trị khác nhau của ω0

Với ω0 nhỏ hơn 10: cho phép ta nhận dạng được các thành phần tín hiệu

ngắn ngủi trong tín hiệu gốc

Với ω0 lớn hơn 10: cho phép ta nhận dạng được các thành phần tần số nằm gần nhau trong tín hiệu gốc

X k Ψ sf iFFT WT n s x( , )

Để đánh giá độ lớn của các hệ số Wavelet trên mặt phẳng thời gian - tần

số, ta chọn cách biểu diễn biên độ theo thang màu sắc (hình 2.7)

- Ví dụ 1: Tín hiệu mô phỏng là tổng của một dao động tuần hoàn điều biến biên độ với ba xung dao động tắt dần, hình 2.8 Các thông số của tín hiệu gồm: