Luận văn tốt nghiệp - Một số vấn đề cơ bản của đồ thị

Định nghĩa đồ thị Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh này, các loại đồ thị khác nhau được phân biệt bởi kiểu và số lượng cạnh nối hai đỉnh nào đó c

Chương 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ

I CÁC ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ

1 Định nghĩa đồ thị

Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh này, các loại đồ thị khác nhau được phân biệt bởi kiểu và số lượng cạnh nối hai đỉnh nào đó của đồ thị

Giả sử X là tập hữu hạn, không rỗng các phần tử nào đó và U X X

Bộ G = <X, U> được gọi là đồ thị hữu hạn Mỗi phần tử x X gọi là một đỉnh

và mỗi phần tử u = (x,y) U gọi là một cạnh của đồ thị G = <X, U>

Xét một cạnh u U khi đó tồn tại 2 đỉnh x, y X sao cho u = (x, y), ta nói rằng x nối với y hoặc x và y thuộc u

- Nếu cạnh u = (x, y) mà x và y là hai đỉnh phân biệt thì ta nói x, y là hai đỉnh

kề nhau

- Nếu u = (x, x) thì u là cạnh có hai đỉnh trùng nhau ta gọi đó là một khuyên

- Nếu u = (x, y) mà x,y là cặp đỉnh có phân biệt thứ tự hay có hướng từ x đến y thì u là một cung, khi đó x là gốc còn y là ngọn hoặc x là đỉnh ra, y là đỉnh vào

- Khi giữa cặp đỉnh (x, y) có nhiều hơn một cạnh thì ta nói những cạnh cùng cặp đỉnh là những cạnh song song hay là cạnh bội

a Tại đỉnh y có một khuyên b Một cung có hướng từ x sang y

c Cặp đỉnh (x, y) có 2 cạnh song song

Hình 1.1

Trong thực tế ta có thể gặp nhiều vấn đề mà có thể dùng mô hình đồ thị để biểu diễn, như sơ đồ một mạng máy tính, sơ đồ mạng lưới giao thông, sơ đồ thi công một công trình

y

Ví dụ: Xét một mạng máy tính, có thể biểu diễn mạng này bằng một mô

hình đồ thị, trong đó mỗi máy là một đỉnh, giữa các máy được nối với nhau bằng các dây truyền, chúng tương ứng là các cạnh của đồ thị Một mô hình

mạng máy tính như hình 1.2 trong đó có các máy tính A, B, C, D tương ứng là

các đỉnh, giữa 2 máy được nối trực tiếp với nhau thì tương ứng với 1 cặp đỉnh

kề nhau

Hình 1.2 Ví dụ về một đồ thị

2 Đồ thị đơn

Đồ thị G = <X, U> được gọi là đồ thị đơn nếu giữa hai đỉnh bất kỳ được nối với nhau bởi không quá một cạnh (cung), tức là đồ thị không có cạnh bội, không có khuyên

Hình 1.2 là một ví dụ về đồ thị đơn

3 Đa đồ thị

Đồ thị G = <X, U> được gọi là đa đồ thị nếu nó có ít nhất một cặp đỉnh được nối với nhau bởi hai cạnh (hai cung) trở lên

4 Giả đồ thị

Là đồ thị có ít nhất một khuyên, có thể chứa cạnh bội, cạnh đơn Tóm lại đây

là loại đồ thị tổng quát nhất

Hình 1.3 a Đa đồ thị b Giả đồ thị

II CÁC LOẠI ĐỒ THỊ

1 Đồ thị vô hướng

C D

C D

C D

Đồ thị G=<X,U> được gọi là đồ thị vô hướng nếu tất cả các cạnh e U

mà cặp đỉnh thuộc nó e = (x,y) X không phân biệt thứ tự Đồ thị vô hướng

là đồ thị không có bất kỳ một cung nào

Ví dụ: như hình 1.3.a là biểu diễn của một đồ thị vô hướng

2 Đồ thị có hướng

Đồ thị G = <X, U> được gọi là đồ thị có hướng nếu tất cả các cạnh e U

mà cặp đỉnh thuộc nó e = (x, y) X có phân biệt thứ tự Đồ thị có hướng là

đồ thị mà mọi e = (x, y) X đều là cung

Hình 2.1 Đồ thị có hướng

3 Đồ thị hỗn hợp

Đồ thị G=<X,U> vừa có cạnh vô hướng, vừa có cạnh có hướng thì nó được gọi là đồ thị hỗn hợp, loại đồ thị này rất ít khi được dùng tới

Chú ý rằng vấn đề phân chia đồ thị và các thuật ngữ về đồ thị chỉ mang tính tương đối, hiện nay vẫn còn chưa mang tính thống nhất chuẩn trên nhiều tài liệu

III MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ

1 Bậc đồ thị

1.1 Bậc đồ thị vô hướng

Cho đồ thị vô hướng G = <X,U> Xét 1 đỉnh x X đặt m(x) là số cạnh thuộc đỉnh x khi đó m(x) được gọi là bậc của đỉnh x Nếu x có một khuyên thì m(x) được cộng thêm 2

- Nếu m(x) = 0 thì đỉnh x được gọi là đỉnh cô lập

- Nếu m(x) = 1 thì đỉnh x được gọi là đỉnh treo

Ta đặt

thì m(G) được gọi là bậc của đồ thị vô hướng G = <X, U>

x

x

∑

∈

=

X x

m(x) m(G)

C

1.2 Bậc đồ thị có hướng

Cho đồ thị có hướng G= <X,U> xét 1 đỉnh x X, ta ký hiệu m+(x) là số các cung vào của đỉnh x, còn m-(x) là số các cung ra khỏi x Khi đó ta gọi m+(x) là bậc vào của đỉnh x còn m-(x) là bậc ra của đỉnh x

- Nếu m+(x) + m-(x) = 0 thì đỉnh x được gọi đỉnh là cô lập

- Nếu m+(x) + m-(x) = 1 thì đỉnh x được gọi là đỉnh treo

Ta đặt

Khi đó m(G) được gọi là bậc của đồ thị có hướng G = <X,U>

Trong đồ thị có hướng thì m+(x) = m-(x) = U

Ví dụ:

- Xét đồ thị vô hướng như trong hình 1.3.a ta có:

m(G) = m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 2 + 5 + 2 + 1 = 10

- Xét đồ thị có hướng trong hình 2.1 ta có:

m(G) = [m+(A) + m+(B) + m+(C) ] + [m-(A) + m-(B) + m-(C)]

= [1 + 2 + 1] + [2 + 1 +1] = 8

Định lý:

Cho đồ thị hữu hạn G = <X,U> khi đó bậc của đồ thị G bằng 2 lần số cạnh

của đồ thị, tức là m(G) = 2 U

Chứng minh:

Ta thấy một cạnh thuộc 2 đỉnh, nếu xoá một cạnh thì bậc của G giảm đi 2, nếu xoá một khuyên u = (x, x) thì bậc của G cũng giảm đi 2, còn nếu xoá hết cạnh, hết khuyên thì bậc của đồ thị bằng 0 Từ đó suy ra định lý

Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị G = <X,U> là một số chẵn

Chứng minh:

Gọi A và B tương ứng là tập đỉnh bậc lẻ và tập đỉnh bậc chẵn của đồ thị Ta có:

Do vế trái chẵn nên tổng vế phải cũng là số chẵn Mà tổng bậc của các đỉnh bậc chẵn (x A) là số chẵn nên tổng bậc của các đỉnh bậc lẻ (x phải là

số chẵn, do tất cả các số hạng của nó là số lẻ, nên tổng này phải gồm một số chẵn các số hạng Vì vậy số đỉnh bậc lẻ phải là số chẵn

2 đường đi và chu trình

∑

∑

∈

−

∈

=

X x X

x

(x) m (x) m m(G)

∑

∑

∑

∈

∈

∈

+

=

=

B x A

x X

x

m(x) m(x)

m(x) 2m

2.1 Đường đi

Xét đồ thị G = <X,U> với

- Tập đỉnh X = {x1,x2, ,xn}

- Tập cạnh U = {u1,u2, ,um}

Tập hợp các đỉnh kề nhau từ xi đến xj được gọi là 1 đường đi, kí hiệu

xixi1xi2 xj xiuixi1ui1xi2ui2 ujxj

Trong đó các cạnh, các đỉnh trong đường đi có thể lặp lại

Độ dài của đường đi bằng số các cạnh (hoặc cung) trong đường đi đó

*Chú ý rằng trong đồ thị có hướng, trên một cung uv chẳng hạn thì đường đi chỉ có thể đi từ gốc (u) đến ngọn (v) không thể đi ngược lại

2.2 Chu trình

Xét một đường đi từ xi - xj Nếu xi xj thì đường đi này được gọi là một chu trình Như vậy chu trình là một đường đi có đỉnh xuất phát và đỉnh kết thúc trùng nhau

Chú ý rằng đường đi trong đồ thị có hướng không được đi ngược chiều mũi tên

- Đường đi (chu trình) được gọi là đơn nếu nó đi qua mỗi cạnh không quá một lần

- Đường đi (chu trình) được gọi là sơ cấp nếu nó đi qua mỗi đỉnh đúng một lần

Hình 3.1

Ví dụ như ở hình 3.1 ADBE là một đường đi sơ cấp từ A đến E độ dài 3;

ABCDBE là đường đi không sơ cấp ( qua B 2 lần) từ A đến E độ dài 5; ABDAB là một đường đi không đơn (chứa cạnh AB 2 lần) từ A đến B độ dài 4; ABDA Là 1 chu trình đơn và sơ cấp độ dài 3; CC là đường đi độ dài 0

Xét đồ thị có hướng như hình 2.1 thì ABCB là một đường đi độ dài 3; CBA

không là một đường đi vì không có cung đi từ B đến A

Định lý:

Nếu trong đồ thị G = <X,U> các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 2 x

X | m(x) thì trong G tồn tại ít nhất một chu trình

Chứng minh:

C D

E

Xét tất cả các đường đi đơn Vì đồ thị là hữu hạn cho nên số các đường đi đơn là hữu hạn Chọn một đường đi là dài nhất nào đó ví dụ từ xi1 đến xij +1

(xem hình vẽ dưới đây) Theo giả thiết m(x) nên tồn tại ít nhất một đỉnh xi0 và một cạnh nối đỉnh xi1 và xi0 Đỉnh xi0 thuộc một trong các đỉnh trên đường đi đã chọn chẳng hạn xij vì đường đi là dài nhất, nên chứng tỏ tồn tại một chu trình trong đường đi

3 Đồ thị liên thông

Cho đồ thị G = <X,U> Hai đỉnh phân biệt x,y X được gọi là liên thông nếu tồn tại một đường đi nối các đỉnh x, y với nhau Đồ thị G được gọi là liên thông nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ trong đồ thị đều là liên thông

Ví dụ như hình 3.1 là một đồ thị liên thông vì luôn có đường đi nối hai đỉnh bất kỳ của đồ thị, còn đồ thị như hình 3.2 là không liên thông vì không có

đường đi từ A tới D hoặc từ D tới F v.v

Xét 2 đồ thị liên thông

G1 = <X1, U1> và G2 = <X2, U2>

Trong đó: X1 X2 =

và U1 U2 =

Khi đó: X = X1 X2

U = U1 U2

Thì G = <X,U> là đồ thị có 2 thành phần liên thông G1, G2

Hình 3.3

Ví dụ như đồ thị trong hình 3.3 có ba thành phần liên thông sau:

G1 = <X1, U1> với X1= {A,B,C} và U1 = {AB, AC, CB}

G2 = <X2, U2> với X2= {D, E} và U2 = {DE}

G3 = <X3, U3> với X3= {F} và U3 =

Cho đồ thị có hướng G = <X, U>

xi0

xi1 xi2 xi3 xij xij+1

F C

E D

- G được gọi là đồ thị liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng tương ứng với nó

là liên thông

- G là liên thông một chiều nếu với hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ của G luôn

có đường đi x - y hoặc đường đi y - x

- G là liên thông mạnh (liên thông 2 chiều) nếu hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ

của G đều có đường đi x - y và đường đi y - x

Hình 3.4

Ở hình 3.4 đồ thị H1 là liên thông mạnh, giả sử cặp đỉnh (A,C) ta có chiều

đi từ C tới A, và đồng thời cũng có chiều đi từ A tới C, và bất kỳ các cặp đỉnh khác cũng tương tự như vậy H2 là liên thông một chiều vì xét cặp đỉnh (A,D)

có chiều đi từ D tới A nhưng không có chiều đi từ A tới D H3 là liên thông yếu vì tồn tại cặp đỉnh (B,C) không có chiều đi B - C cũng không có chiều đi

C - B, nhưng đồ thị vô hướng tương ứng là liên thông

4 Đồ thị con và đồ thị bộ phận

Cho đồ thị G = <X,U>

- Nếu trong đồ thị đó ta bỏ đi một số đỉnh nào đó và các cạnh xuất phát từ đỉnh

đó thì phần còn lại của đồ thị được gọi là đồ thị con của đồ thị G đã cho, hoặc

là nếu D = <X',U'> là đồ thị con của G = <X,U> thì X' X và U' U

- Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một số cạnh nhưng giữ nguyên các đỉnh thì phần còn lại của đồ thị được gọi là đồ thị bộ phận của đồ thị G

IV CÁC DẠNG BIỂU DIỄN CỦA ĐỒ THỊ

1 Biểu diễn hình học của đồ thị

Để có cái nhìn trực quan ta thường biểu diễn đồ thị bằng hình học, một đồ thị

có thể biểu diễn trên một mặt phẳng hoặc trong không gian Phương pháp biểu diễn như sau: Biểu diễn các đỉnh của đồ thị bằng các điểm (hay vòng tròn nhỏ, ô vuông nhỏ) và nối hai điểm bằng một đường (cong, thẳng, mũi tên) khi cặp điểm đó ứng với một cạnh (cung) của đồ thị

Ví dụ 1: Cho đồ thị G = <X,U> trong đó

C

D

C

D

C

D

X = {A, B, C, D, E} và U = {AB, AC, AD, AE, BD, CD, CE}

a) b)

Hình 4.1

Hình 4.1.a và hình 4.1.b đều là biểu diễn hình học của đồ thị G đã cho ở

trên

2 Sự đẳng cấu

Với mỗi đồ thị thì có thể có nhiều dạng biểu diễn hình học, có nhiều đồ thị tưởng chừng khác nhau nhưng đó là cách biểu diễn hình học khác nhau của cùng một đồ thị, sự đẳng cấu cho phép chúng ta kết luận được điều đó

Định nghĩa: Xét 2 đồ thị G1 = (X1, U1) và G2 = <X2, U2>

Hai đồ thị này được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại 1 song ánh từ X1 vào

X2 và từ U1 vào U2 sao cho nếu có cạnh e = (u, v) U1 tương ứng với cạnh e' = (u', v') U2 thì cặp đỉnh u, v X1 cũng là tương ứng cặp đỉnh u', v' X2

Ví dụ xét 2 đồ thị G1 và G2 như hình 4.2

Hình 4.2

Ta có f : G1 G2

f(a) = m f(c) = n

f(d) = q f(b) = p

Nếu a, b X1 kề nhau thì f(a), f(b) X2 kề nhau

Vậy đây là 2 đồ thị đẳng cấu với nhau, ta có thể xem G1 và G2 thực chất chỉ là 1 chỉ có điều biểu diễn ở dạng hình học khác nhau, các tên đỉnh khác nhau

Để xét 2 đồ thị có đẳng cấu không là việc khó, tuy nhiên để xét 2 đồ thị không đẳng cấu với nhau thì đơn giản hơn

Đối với 2 đồ thị đẳng cấu thì các đồ thị đó có những tính chất bất biến như sau:

D E

C

E B

A

p

q

c

d

- Số đỉnh bằng nhau

- Số cạnh bằng nhau

- Bậc các đỉnh tương ứng cùng như nhau

- 2 Ma trận kề cũng như nhau

- Các chu trình cũng như nhau

3 Một số đồ thị đặc biệt

Do tính chất, dạng biểu diễn có những nét đặc thù riêng biệt nên ta phân loại một số đồ thị thành các dạng đặc biệt sau:

3.1 Đồ thị đều

Là một đồ thị mà mọi đỉnh có cùng bậc, nếu bậc này bằng k thì đó là đồ thị k

- đều

a) b) c) d)

Hình 4.3 a: G- 1 đều; b: G - 2 đều; c: G - 2 đều; d: G - 3 đều

Trường hợp riêng như đồ thị hình 4.3.b và hình 4.3.c là những đồ thị vòng

ký hiệu Cn (n là số đỉnh)

3.2 Đồ thị đầy đủ

Đồ thị đầy đủ n đinh, ký hiệu Kn là đơn đồ thị vô hướng mà mọi cặp đỉnh

phân biệt luôn kề nhau Xem ví dụ như hình 4.4 dưới đây hoặc 1 trường hợp

riêng của đồ thị đều G - 3 là những đồ thị đầy đủ

a) b)

Hình 4.4 a - đồ thị đầy đủ K 2 ; b - đồ thị đầy đủ K 4

3.3 Đồ thị bánh xe:

Ký hiệu Wn, thu được từ đồ thị vòng có n đỉnh bằng cách bổ sung một đỉnh mới nối tất cả các đỉnh đã có

W 4 W 5 W 6

Hình 4.5 Các dạng đồ thị bánh xe

3.4 Một vài ứng dụng của đồ thị đặc biệt

Ở các mạng cục bộ (LAN), các máy tính thường được kết nối theo một cách thức nào đó gọi là hình trạng (topolopy) Dựa theo đặc điểm của các totolopy này mà ta có thể mô hình bằng 1 số dạng đồ thị đặc biệt Ví dụ với mạng LAN các máy tính được kết nối theo topolopy hình sao (Star) sau đây:

Hình 4.6

Ở dạng này, tất cả các máy được nối vào một thiết bị trung tâm có nhiệm vụ nhận tín hiệu từ các máy và chuyển đến máy đích của tín hiệu Từ đặc điểm này có thể mô hình bằng một đồ thị bộ phận của đồ thị bánh xe W6 như hình

4.7.a

a) Dạng sao b) dạng vòng c) dạng hỗn hợp d) dạng đầy đủ (Complete)

Hình 4.7 Một số topolopy của LAN

Ở mạng LAN ta cũng thường có các dạng topolopy khác như dạng chu trình (loop) hoặc gọi là vòng Ở dạng này mỗi máy nối đúng với 2 máy khác Mạng cục bộ với cấu trúc vòng tròn được mô hình bằng các đồ thị đặc biệt dạng vòng Cn như hình 4.7.b, thông báo gửi từ máy này sang máy khác theo chu

trình vòng tròn cho tới khi tới được máy đích Hoặc 1 dạng nữa là dạng hỗn hợp, đó là sự kết hợp của dạng hình sao và hình vòng Topolopy kiểu này là

một đồ thị bánh xe Wn (hình 4.7.c) Mạng cục bộ dạng bánh xe các máy có thể

truyền vòng quanh theo vòng tròn hoặc có thể qua bộ phận trung tâm Ngoài

ra người ta cũng thường hay bố trí mạng sao cho các máy đều kết nối trực tiếp với nhau, với kiểu này có thể mô hình bằng đồ thị đầy đủ Kn (hình 4.7.d)

4 Biểu diễn đồ thị trên máy tính

Lĩnh vực đồ thị có nhiều ứng dụng trong thực tế, có thể mô hình nhiều ứng dụng bằng đồ thị và sử dụng máy tính để giải quyết các bài toán về ứng dụng

đó Nên việc biểu diễn và lưu trữ đồ thị trên máy tính là một vấn đề khá trọng tâm, phương thức biểu diễn từng loại đồ thị trên máy tính ảnh hưởng đến các giải thuật, phương pháp giải quyết các ứng dụng trên máy tính

4.1 Biểu diễn bằng ma trận kề

Phương pháp này dựa trên mối quan hệ giữa các cặp đỉnh, mỗi đồ thị được đặt tương ứng với một ma trận vuông cấp n (n là số đỉnh của đồ thị) Gọi ma trận kề là A = (aij ) i,j = 1 n

+ Trường hợp G = <X,U> là đồ thị vô hướng với X = {x1, x2, ,xn} khi đó mỗi phần tử aij của ma trận A được xác định như sau: aij = aji = d, nếu cặp đỉnh (xi, xj) có d cạnh nối với nhau Khi cặp đỉnh (xi, xj) không có cạnh nào nối với nhau thị aij = 0 Ta thấy ma trận kề của đồ thị vô hướng là ma trận đối xứng + Trường hợp G = <X,U> là đồ thị có hướng với X = {x1, x2, ,xn} thì mỗi phần tử aij của A được xác định như sau: đối với mỗi cặp đỉnh (xi, xj) từ xi đến

xj nếu có d cung thì aij = d Chú ý aji = 0 nếu không có cung nào hướng từ xj

đến xi Ma trận kề trong trường hợp này là không đối xứng

Trong 2 trường hợp trên ta chú ý nếu đỉnh xi có một khuyên thì phần tử tương ứng của ma trận kề là aii = 1

Hình 4.8

Ta có thể dùng ma trận kề biểu diễn đồ thị G1 và G2 trong hình 4.8 như sau:

Đối với đồ thị có trọng số mỗi cạnh e = (xi, xj) được gán một trọng số l(e) (còn viết là l(xi, xj) ) thì ma trận kề của nó được thay bằng ma trận có trọng số,

⎟

⎟

⎟

⎞

⎜

⎜

⎜

⎛

=

0 0 2 1

1 2 0 1

0 1 1 1

1

G

⎞

⎜

⎜

⎛

= 0 1 0

1 1 0

2

G

M

A

C

B

D

C

D