Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Luùc ñaàu xe maùy ñi vôùi vaän toác ñoù, khi coøn 60km n a thì ñöôïc moät nöûa quaõng ñöôøng AB, xe maùy taêng theâm vaän ữ toác 10km/h treân quaõng ñöôøng coøn laïi, do ñoù ñeán B sôù[r]

CHUYÊN ĐỀ

CÁC DẠNG TỐN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP H Ệ

D ng 7 ạ : Toán ph n tr m ầ ă

đề :

gi i bài toán

Để ả này ở lớp dưới ta n

ph i dùng ph ả ươ ng pháp gi thi t ả ế

t m ạ

Ta có th gi i bài toán ể ả này bằng ph ươ ng pháp khác đó là

phương pháp: “ lập hệ phương trình”

Bài giải

Giả sử tất cả đều là số gà, vậy số chân gà là: 36 2 = 72 (chân).

So với đề bài số chân còn thiếu : 100 – 72 = 28 (chân).

Số chân thiếu là do chó có 4 chân, mà ta chỉ cho có 2 chân.

Suy ra số chó là: 28 : 2 = 14 (con) Vậy số gà là: 36 – 14 = 22 (con).

Thử lại : 4 14 + 2 22 = 100 (chân)

Bài toán 1 :

Số con chó là y (con) K: x, Đ y nguyên dương; x, y < 36

Theo đề bài ta có phương trình: x + y = 36 (1) Số chân gà: 2x

(chân) Số chân chó: 4y

(chân)

Theo đề bài ta có phương trình: 2x + 4y = 100 (2)

T (1) & (2), ta có h phương trình: ừ ệ

22 14

x y

(TM K)Đ

(TM K)Đ

Tuổi Phương Tuổi mẹ Năm nay

Bài toán 2 : Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương Phương

tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi ?

x y

Theo đề bài ta có phương trình: y = 3x (1)

Tuổi của Phương sau 13 năm nữa là x + 13 (tuổi).

Tuổi của mẹ Phương sau 13 năm nữa là: y + 13 (tuổi).

Theo đề bài ta có phương trình: y + 13 = 2(x + 13)  y – 2x = 13 (2)

T (1) & (2), ta có h phương trình: ừ ệ

Vậy tuổi của Phương năm nay là 13 tuổi.

Bài toán 3 (Bài tốn cổ) (

Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui.

Chia ba mỗi quả quýt rồi Cịn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.

Trăm người, trăm miếng ngọt lành Quýt, cam mỗi loại tính rành cho ra.

Câu hỏi gợi ý :

* Chọn ẩn cho quýt , cam (biểu thị cho số trái cây còn lại thông qua ẩn đã chọn).

* Có bao nhiêu phần quýt, bao nhiêu phần cam?

Quýt Cam Số trái

Gọi số quýt là x (quả) ĐK: x nguyên dương, x < 17.

Số cam là y (quả) ĐK: y nguyên dương, y < 17.

Số phần quýt: 3x (phần).

Số phần cam: 10y (phần).

Tổng số phần chia là 100, ta có phương trình: 3x + 10y = 1 00 (2)

Hệ thức liên hệ : 3x + 10y = 100 (2)

Tổng số cam và quýt 17 quả, ta có phương trình : x + y = 17 (1)

T (1) & (2), ta có h phương trình: ừ ệ 10

7

x y

Tổ I Tổ II Tháng đầu

Số vượt mức ở

tháng thứ hai 15 x

100

x (chi tiết máy)

20 y 100

Hệ thức liên hệ :

y (chi tiết máy)

(chi tiết máy) (chi tiết máy)

Bài toán 4: 4 Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được

800 chi tiết máy Tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt 20%, do đó cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ?

Bài giải

Gọi số chi tiết máy tổ I làm được ở tháng đầu là x (chi tiết)

Số chi tiết máy tổ II làm được ở tháng đầu là y (chi tiết).

Điều kiện:

Ta có phương trình:

Số chi tiết máy tổ I làm vượt ở tháng thứ hai là: (chi tiết)

Số chi tiết máy tổ II làm vượt ở tháng thứ hai là: (chi tiết) .

Tổng số chi tiết máy vượt là: 945 – 800 = 145 (chi tiết).

300 500

Vậy số chi tiết máy tổ I làm được ở tháng đầu là 300 (chi tiết) ,

t II làm được ở tháng đầu là ổ 500 (chi ti t) ế

  *, 800; ,

x y x y N

15 x 100

20 y 100

Hệ thức liên hệ :

y – x = 3 (1)

L p h phương trình? ậ ệ

Bài toán 1 : M u số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 ẫ đơn vị Nếu tăng cả tử và m u của nó thêm 2 đơn vị ẫ thì được phân số bằng Tìm phân số ban đầu 1

2

Tìm số

DẠNG 2:

Bài giải

Gọi t số c a phân s c n tìm ử ủ ố ầ là

x

M u số của phân số ẫ c n tìm ầ là y Điều kiện:

Phân số c n tìm ầ là:

T số c a phân s m i ử ủ ố ớ là: x + 2

 ( )

x + 2 1 2

y + 2 2

M u số c a phân s m i ẫ ủ ố ớ là: y + 2

Phân số m i ớ là:

 ,

1

4 Vậy phân số c n tìm ầ là: 1

4

(tm)

Bài toán 2:

Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục Nếu thêm chữ số 1 xen giữa hai chữ số ấy thì ta được một số mới lớn hơn số đã cho là 370 Tìm số ban đầu ?

Câu hỏi gợi ý:

1 Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào ? – Tìm chữ số hàng chục và hàng đơn vị Đặt ẩn x là ? (x là chữ số hàng chục).

2 Các đại lượng liên quan với ẩn ? – Chữ số hàng đơn vị ban đầu , lúc sau …

3 Tính giá trị số ban đầu và số mới theo ẩn x.

4 Liên hệ giữa số mới và số ban đầu ? – Số mới hơn số ban đầu

370 đơn vị

KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Hàng trăm Hàng chục Hàng

đơn vị Giá trị của số Số ban

đầu

Số mới

Bài giải

Gọi chữ số hàng chục là x Điều kiện:

Chữ số hàng đơn vị là y Điều kiện:

Theo đề bài ta có phương trình: y = 2x (1)

Số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: 10x + y

Nếu thêm chữ số 1 xen giữa hai chữ số ấy thì ta được một số mới có ba chữ số là: 100x + 10 + y

Vì số mới lớn hơn số đã cho là 370 Ta có phương trình:

100x + 10 + y – (10x + y) = 370  90x = 360  x = 4 (2)

T (1) & (2), ta có h phương trình: ừ ệ 2

4

y x x

x y



DẠNG 3 : Chuyển động

Bài toán 1 :

Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h Lúc về xe đi

với vận tốc 60 km/h Tính quãng đường AB Biết thời gian

về

về ít hơn thời gian đi 20 phút

Câu hỏi gợi ý

Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào ? – Quãng đường AB (x là quãng đường AB).

Các đại lượng liên quan với ẩn ? – Thời gian đi, thời gian về

Liên hệ giữa thời gian đi và về ? – Thời gian về ít hơn thời gian đi

là 20 phút.

KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Thời gian về ít

hơn thời gian đi

20 phút = 1/3 giờ Hệ thức liên hệ :50x 60 (1)y

50x 60y

50 60

Bài giải

Gọi thời gian đi từ A đến B là x (h) ; 20 phút = 1 h

3

Thời gian về từ B đến A là y (h) ; Đ K: x>y > 0, x>

Quãng đường AB là 50x (km) , 60y (km)

Ta có phương trình: 50x = 60y (1)

Thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút = 1 h

2 5 3

T (1) & (2), ta có h phương trình: ừ ệ

Thử lại : thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút: 2 5 1( )

3 3= h

Vậy quãng đường AB là 50x = 50.2 = 100 (km) q

1 3

Bài toán 2:

Một người đi xe đạp đi từ Sài Gòn đến Vũng Tàu , cùng lúc đó một người đi ngựa từ Vũng Tàu về Sài Gòn và hai người gặp nhau sau 2giờ 30 phút Tìm vận tốc của xe và ngựa, biết mỗi giờ ngựa đi nhanh hơn xe đạp 10 km và quãng đường Sàigòn – Vũng Tàu dài 125 km.

Câu hỏi gợi ý

1 Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào ? – Vận tốc xe đạp và

ngựa ( x là vận tốc xe đạp )

2 Các đại lượng liên quan với ẩn ? – Vận tốc ngựa , quãng

đường xe đạp và ngựa đi được sau 2 giờ 30 phút ( 2,5 giờ )

3 Liên hệ giữa quãng đường xe và ngựa đi được ? – Tổng

quãng đường xe và ngựa đi là 125 km

125km

x y 2,5x

2,5y

Bài giải

2giờ 30 phút = 2,5 giờ.

Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h);

Vận tốc ngựa là y (km/h); Điều kiện y>x > 0; y>10.

Vận tốc ngựa lớn hơn vận tốc xe đạp 10(km/h).

Ta có phương trình: y – x = 10 (1)

Quãng đường xe đạp đi được đến lúc gặp ngựa: 2,5x (km).

Quãng đường ngựa đi được đén lúc gặp người đi xe đạp : 2,5y (km).

Ta có phương trình: 2,5x + 2,5y = 125

 x + y = 50 (2)

T (1) & (2), ta có h phương trình: ừ ệ

1050

x y

Vậy vận tốc xe đạp là : 20 (km/h).

Vận tốc ngựa là : 30 (km/h).

(tm)

CHUYÊN ĐỀ



Bài toán 4 : Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35km/h Sau đó 24 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ôtô xuất phát từ Nam Định đi Hà Nội với vận tốc 45km/h Biết quãng đường Nam Định – Hà Nội dài 90km Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau?

24phút = 2 giờ

5

Vận tốc(km/h) Thời gian đi ((h) Quãng đường đi (km)

Xe máy

Ô tô

35 45

Th i gian xe máy đi tr ờ ướ c xe ôtô 24 phút

Hệ thức liên hệ : x – y = (1)2

5

Hai xe đi­ng ượ c chi u và g p nhau ề ặ

Hệ thức liên hệ : 35x + 45y = 90 (2)

2 5

Bài giải

24phút = giờ

Gọi th i gian xe máy ờ đi đến lúc hai xe gặp nhau là x (h);

Th i gian ôtô ờ đến lúc hai xe gặp nhau là y (h); K: x> Đ y > 0; x>2/5

Quãng đường đi c a xe máy là ủ 35x (km).

Quãng đường đi c a ôtô là ủ 45y (km).

Theo bài ra ta có phương trình: 35x + 45y = 90  7x + 9x = 18 (2)

Vậy thời gian để hai xe gặp nhau là giờ, tức là 1 giờ

21 phút, kể từ lúc xe máy khởi hành. 

x y

A B

60 Km /h

Bài toán 6: Một xe máy khởi hành từ A đến B với vận tốc 40km/h Cùng lúc đó, một ôtô khởi hành từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến sớm hơn người đi xe máy 2 giờ 30 phút Tìm đ ộ dài quãng đường AB?

x-y=5/240x = 60y

so với dự định Tính quãng đường AB?

Câu hỏi gợi ý : Bài toán nêu lên 2 ý là dự định và thực tế đi

từ A đến B của xe máy Cần lưu ý thực tế khi xe máy đi có

hai tình huống ?

Quan sát mô hình minh hoạ

( iĨm ch Đ ính gi a ữ )

* Khai thác về thực tế đi xe máy

+ Lúc ban đầu: Quãng đường xe máy đi như thế nào?

+ Lúc ban đầu: Quãng đường xe máy đi bằng nửa quãng đường

AB trừ đi 60 (km)

+ Lúc sau: Quãng đường xe máy đi như thế nào?

+ Lúc sau: Quãng đường xe máy đi bằng nửa quãng đường AB

cộng thêm 60 (km)

so với dự định Tính quãng đường AB?

Quan sát mô hình minh hoạ

Baứi toaựn 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 340m Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất?

ChiỊu dµi(m) ChiỊu réng(m) Nưa chu vi(m)

340 : 2 = 170

y x

Bài giải

Nửa chu vi đám đất h×nh­ch÷ nhật là: 340 : 2 = 170 (m)

Gọi chiều dài đám đất h×nh­ch÷ nhật là x (m)

Chiều rộng đám đất h×nh­ch÷ nhật là y (m) ĐK 0<y < x<170.

Vì ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng đám đất 20 (m)

Nên ta có phương trình: 3x – 4y = 2 0 (2)

Khi đĩ ta có phương trình: x + y = 17 0 (1)

x y

Vậy: chiều dài đám đất h×nh­ch÷ nhật là 100 (m)

chiều rộng đám đất h×nh­ch÷ nhật 70(m).

(tmđk)

Baứi toaựn 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài 4m và diện tích bằng 320 m Tính chiều dài và chiều rộng của ²mảnh đất?

Chiều dài (m) Chiều rộng (m) Diện tích (m2)

H th c ệ ứ liên hệ: x - y = 4 (1) H th c ệ ứ liên hệ: x y = 320 (2)

Bài giải

Gọi chiều dài m¶nh đất h×nh­ch÷ nhật là x (m)

Chiều rộng m¶nh đất h×nh­ch÷ nhật là y (m) ĐK: x > y>0; x>4

Vì chiều dài m¶nh đất hơn chiều rộng 4(m).

Nên ta có phương trình: x – y = 4 (1) =

Vì diện tích m¶nh đất là 320 (m 2 ).

Nên ta có phương trình: x y = 320 (2)

T (1) & (2), áp dụng h thức Viét: ừ ệ x + (– y ) = 4 ; x (– y ) = – 320

Ta có phương trình:  X 2 – 4X – 320 = 0 (*)

Giải (*) Suy ra x = 20, y = 16

Vậy chiều dài, chiều rộng m¶nh đất h×nh­ch÷ nhật là 20 (m) , 16 (m).

Bài toán 1 : Hai vịi nước cùng chảy vào một bể khơng chứa nước thì sau đầy bể Mỗi giờ lượng nước vịi I chảy được bằng lượng nước vịi II chảy được Hỏi mỗi vịi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

4

3 2

Các đại lượng nào tham gia vào bài tốn ?

Thời gian chảy đầy bể

Cơng việc làm chung ( hai vịi chảy); cơng việc làm

riêng ( vịi I, vịi II).

Lượng cơng việc làm trong 1 giờ.

CƠNG VIỆC LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG

- Chú ý đến việc xét 1 đơn vị (giờ, ngày, tháng…)

DẠNG 5

Bài toán 3 : Hai tổ cùng làm chung một công việc và dự định

hoàn thành trong 12 ngày Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác Tuy chỉ có một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm năng suất tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

Câu hỏi gợi ý:

* Đội I làm được 8 ngày ta biết được họ đã làm được bao nhiêu phần việc? Và phần việc còn lại mà đội II phải làm để hoàn thành là bao nhiêu?

* Đội II làm phần việc còn lại với năng suất như thế nào?

Đội I Đội II

Phần việc hai đội đã

làm Phần việc còn l i ạ

Thời gian làm một

 2 1 

3 3 cv

1 x

Gọi th i gian tổ I, tổ II làm một mình để hoàn thành công việc ờ là x (ngày), y (ngày); ĐK: x > 12 , y > 12

Và họ đã hoàn thành công việc còn lại trong 3,5 ngày

1 1 1

1221

x y y

x y

x y

Thử lại : Cả hai đội làm chung 12 (ngày).

Phần việc còn lại đội II làm: 2 3,5 9  1   1  1 ( )

21 3 cv

y

abc = 100a + 10b+ c

Biểu diễn giá trị các số tự nhiên có 2 , 3 … chữ số :

ab = 10a + b

abcd = 1000a + 100b+ 10c+ d