Mô hình hóa bài toán điện từ bằng phương pháp miền nhỏ hữu hạn ứng dụng cho mô hình từ có cấu trúc vỏ mỏng

Mục đích của việc nghiên cứu không phải thiết lập, xây dựng các mô hình vật lý mà đưa các lý thuyết vật lý vào mô hình toán học để mô tả quá trình biến đổi trường điện từ xảy ra trong má

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập tại lớp Cao học Kỹ thuật điện khóa 2013-2015, Trường

Đại học Bách Khoa Hà Nội, tôi đã được đào tạo và tích lũy nhiều kiến thức cho bản

thân cũng như phục vụ công việc Đặc biệt là khoảng thời gian thực hiện đề tài: “Mô

hình hóa bái toán điện từ bằng phương pháp miển nhỏ hữu hạn - Ứng dụng cho

mô hình từ có cáu trúc vỏ mỏng’’

Tôi xin bày tỏ lòng tri ân tới các Thầy, Cô Bộ môn Thiết Bị Điện – Điện Tử –

Viện Điện - Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi

trong học tập, nghiên cứu và làm luận văn

Đặc biệt xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Đặng Quốc

Vương đã dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn tôi thực hiện và hoàn thành

luận văn này

Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng, song với kiến thức còn hạn chế và thời gian

có hạn, luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận

được sự góp ý của các thầy, các cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn

thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 4 năm 2016

Học viên

Nguyễn Văn Thiện

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của chính bản thân tôi Các nội

dung của luận văn là do tôi thực hiện và chưa được công bố trong bất kỳ luận văn của

tác giả nào khác Tôi xin chịu trách nhiệm về những nội dung cam đoan trên

Hà Nội, ngày 15 tháng 4 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Văn Thiện

MỤC LỤC

MỤC LỤC 3

DANH MỤC HÌNH ẢNH 6

DANH MỤC BẢNG 9

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT 10

MỞ ĐẦU 12

1 Đặt vấn đề 12

2 Phương pháp bài toán/miền nhỏ hữu hạn 15

3 Mục tiêu c ủa luận văn 16

4 Nội dung chính của luận văn 17

Chương 1 MÔ HÌNH CHO BÀI TOÁN TRƯ ỜNG ĐIỆN TỪ 18

1.1 Mở đầu 18

1.2 Hệ phương trình Maxwell 18

1.2.1 Các đặc tính vật liệu 19

1.2.2 Điều kiện bờ và điều kiện biên 20

1.2.3 Điều kiện biên 22

1.3 Cấu trúc toán học liên tục và không gian hàm 23

1.3.1 Không gian hàm Helmhotz 23

1.3.2 Sơ đồ Tonti 25

1.4 Hệ phương trình Maxwell trong miền tần số 27

1.5 Mô hình bài toán điện tĩnh và từ tĩnh 28

1.5.1 Mô hình bài toán điện tĩnh 28

1.5.2 Mô hình bài toán từ tĩnh 29

1.6 Mô hình bài toán từ động 31

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP MIỀN NHỎ HỮU HẠN VÀ PHƯƠNG TRÌNH YẾU NHẬN 34

2.1 Mở đầu 34

2.2 Phương pháp miền nhỏ hữu hạn 34

2.2.1 Bài toán t ừ động (ho ặc từ tĩnh) 34

2.2.2 Phương pháp kết nối các bài toán nhỏ với nhau 35

2.2.3 Phương pháp ánh xạ cho sự kết nối các bài toán nhỏ 36

2.3 Kết nối bài toán nhỏ trong mô hình cấu trúc vỏ mỏng 37

2.3.1 Nguyên tắc chung 37

2.3.2 Bài toán nhỏ: “Mô hình cuộn dây –SPu” 38

2.3.3 Bài toán nhỏ: “Mô hình miền mỏng dẫn từ -SPp” 38

2.4 Phương trình yếu nhận viết cho véctơ từ thế a 39

2.4.1 Phương trình yếu nhận cho bài toán từ động 39

2.4.2 Phương trình yếu nhận cho bài toán từ tĩnh 40

2.4.3 Phương trình yếu nhận cho các bài toán nhỏ 41

2.4.3.1 Mô hình cuộ n dây –SP 1 41

2.4.2.2 Mô hình miền mỏng dẫn từ –SP 2 41

2.5 Phương trình yếu nhận viết cho cường độ từ trường h 42

2.5.1 Phương trình yếu nhận cho bài toán từ động 42

2.5.2 Phương trình yếu nhận cho bài toán từ tĩnh 44

2.5.3 Phương trình yếu nhận cho các bài toán nhỏ 45

2.5.3.1 Mô hình cuộ n dây –SP1 45

2.5.3.2 Mô hình miền mỏng dẫn từ - SP 2 45

Chương 3 BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 47

3.1 Giới thiệu 47

3.2 Bài toán ứng dụng 1: Mô hình 2D và 3D (thanh dẫn – màn chắn điện từ) [35] 48 3.3 Bài toán 2: Mô hình 3D (cuộn dây –mặt bích máy biến áp) [34] 55

KẾT LUẬN 65

HƯỚNG PHÁT TRIỂN TIẾP THEO 66

PHỤ LỤC 67

A Rời rạc hóa các phần tử 67

A.1 Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) 67

A.2 Định luật Green 67

A.3 Các biểu thức yếu nhận 68

A.4 P hần tử hữu hạn 70

A.4.1 Định nghĩa về phần tử hữu hạn 70

A.4.2 Ánh xạ phần tử hữu hạn 71

A.4.3 Bậc tự do 72

A.4.4 Không gian hữu hạn 72

B Mô hình phần tử hữu hạn 74

B.1 Các hàm nội suy 75

B.1.1 Hàm nút 75

B.1.2 Hàm c ạnh 75

B.1.3 Hàm mặt 76

B.1.4 Hàm khối 76

B.1.5 Đặc điểm của hàm cơ bản 76

B.2 Các phần tử tham chiếu 79

B.2.1 Tứ diện 79

B.2.2 Khối sáu mặt 79

B.2.3 Khối lăng trụ 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 81

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 0.1: Mô hình máy biến áp 13

Hình 0.2: Mô hình mạch từ và cuộn dây máy biến áp 14

Hình 0.3: Mô hình màn chắn điện từ 14

Hình 0.4: Mô hình chia bài toán đ ầy đủ thành các bái toán nhỏ 16

Hình 1.1: Điều kiện chuyển tiếp bề mặt giữa hai miền khác nhau Ω1 và Ω2 21

Hình 1.2: De Rham complex trong không gian 3 chiều được xác định trong Ω [9] 24

Hình 1.3: Mặt cắt của miền đa liên 30

Hình 2.1: Từ bài toán nhỏ SP u sang bài toán nhỏ SP p 38

Hình 3.1: Sơ đồ thuật toán áp dụng phần mềm Gmsh và GetDP 48

Hình 3.2: Mô hình 2D-3D của máng cáp và tấm chắn (các kích thước được cho trong bảng 3.1) Error! Bookmark not defined. Hình 3.3: Mô hình chia lưới 3D của thanh dẫn và GTS - CPS 50

Hình 3.4: Sự phân bố của mật độ từ trường đối với SP1 (bài toán 1, trường hợp không có GTS+CPS) 50

Hình 3.5: Sự phân bố véctơ từ thế với các lưới khác nhau của các bài toán nhỏ a1 - thanh dẫn alone, a2 – GTS- CPS, aprojection – nguồn VS được ánh xạ từ a1 đến a2, a= a1 + a2 là nghiệm xếp chồng của bài toán 1 và bài toán 2 ( = 6.48.106 MS/m, r = 256, và f = 50Hz) 51

Hình 3.6: So sánh kết quả sự phân bố mật độ từ thông theo trục x tại y = 0.5m (xem hình 3.2) giữa kết quả đo được và kết quả tính toán bằng phương pháp SPM (trường hợp không GTS+CPS), với = 6.48.106 MS/m, r = 256, và f = 50Hz 52

Hình 3.7: So sánh sự phân bố mật độ từ thông theo trục x tại y = 0.5m (xem hình 4.2) giữa kết quả đo được và kết quả tính toán bằng phương pháp SPM (trường hợp GTS+CPS) ( = 6.48.106 MS/m, r = 256, và f = 50Hz) 52

Hình 3.8: So sánh kết quả sự phân bố mật độ từ thông theo trục x tại y = 1.0m (xem hình 3.2) giữa kết quả đo được và kết quả tính toán bằng phương pháp SPM (trường hợp không GTS+CPS) ( = 6.48.106 MS/m, r = 256, và f = 50Hz) 53

Hình 3.9: So sánh sự phân bố mật độ từ thông theo trục x tại y = 1.0m (xem hình 3.2)

giữa kết quả đo được và kết quả tính toán bằng phương pháp SPM (trường hợp

GTS+CPS), với = 6.48.106 MS/m, r = 256, và f = 50Hz 54

Hình 3.10: Sự phân bố của mật độ dòng điện xoáy trong GTS và CPS, với = 6.48.106

MS/m, r = 256, và f = 50Hz 54

Hình 3.11: Sự phân bố của mật độ dòng điện xoáy dọc theo GTS và CPS, với

= 6.48.106 MS/m, r = 256, và các giá trị khác nhau của tần số 55

Hình 3.12: Kích thước hình học của mặt bích MBA (trên cùng) và mô hình thí nghiệm

(dưới) [21] (toàn bộ kích thước được tính bằng mm) 56

Hình 3.13: Mô hình chia lưới 3D của mặt bích và thanh dẫn 57

Hình 3.14: Sự phân bố của mật độ dòng điện 3 pha trong các thanh dẫn với ia = Imax

sin( t), ib = Imax sin( t-2 /3) và ic = Imax sin( t+2 /3) 57

Hình 3.15: Sự phân bố của mật độ từ thông trong không khí (trên-SP1) (trong một mặt

cắt) được sinh ra bởi hệ thống dòng điện 3 pha (trên, SP1); sự phân bố của mật độ từ

thông (giữa, SP2) và dòng điện xoáy trong mặt bích (giữa, SP2); (chiều dày của mặt

bích d = 6mm, ( r1 = r2 = 300, 1= 2 =4.07 MS/m, f = 50Hz) 58

Hình 3.16: Sự phân bố của mật độ tổn thất công suất dọc theo phía dưới của mặt bích

với r1 = r2 = 300, 1= 2 =4.07 MS/m, d =6mm, và f = 50 Hz 59

Hình 3.17: Sự phân bố của từ trường với trường hợp hai vùng vật liệu có độ thử thẩm

khác nhau ( r1 = 300, r2 = 1, 1= 2 =4.07 MS/m, d =6mm, f = 50 Hz, Imax =200A) 60

Hình 3.18: Sự phân bố của từ trường với trường hợp hai vùng vật liệu có độ thử thầm

khác nhau ( r1 = 300, r2 = 1, 1= 2 =4.07 MS/m, d =6mm, f = 50 Hz, Imax =200A) 61

Hình 3.19: Sự phân bố của dòng điện xoáy dọc theo phía dưới của mặt bích với r1

Hình A.2: Một phần lưới 2D của miền 73

Hình B.1: Tập hợp các phần tử hình học khác nhau 74

Hình B.2: Các dạng hình học: nút, c ạnh và mặt (i, j, k, l N) 74

Hình B.3: Định nghĩa miền phẳng xác định biểu thị ký hiệu _ , , F j i N 75

Hình B.4: Mô tả hìnhhọc của hàm cạnh seij 78

Hình B.5: Véctơ a×b trong hàm sf 78

Hình B.6: Mô tả hình học của hàm mặt phẳng sf 78

Hình B.7: Khối tứ diện tham chiếu T 79

Hình B.8: Khối sáu mặt tham chiếu H 80

Hình B.9: Khối lăng trụ tham chiếu P 80

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1: Kích thước hình học của GTS và CPS 49

Bảng 3.2: Sự so sánh giữa kết quả tính toán của tổn hao công suất (Joule losses) từ

phương pháp SPM và từ phương pháp PTHH [25], với hai vùng vật liệu giống nhau

( r1 = r2 = 300, 1= 2 =4.07 MS/m) 60

Bảng 3.3: Sự so sánh giữa kết quả tính toán của tổn hao công suất (Joule losses) từ

phương pháp PTHH và từ phương pháp bài toán nhỏ (subproblem) [25], với hai vùng

vật liệu giống nhau ( r1 = r2 = 300, 1= 2 =4.07 MS/m) 63

Bảng 3.4: Sự so sánh thời gian tính toán giữa phương pháp FEM và phương pháp

SPM Lưới M, M 1 , M 2 được chỉ ra ở hình 3.13 và hình 3.18, dẫn tới nghiệm của hệ

thông tuyến tính với n, n 1 , n 2 phương trình………… ……… 63

Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội

MỞ ĐẦU

1 Đặt vấn đề

Bài toán trường điện từ xuất hiện ở khắp mọi nơi trong cuộc sống hàng ngày

của chúng ta, bất cứ nơi đâu có sử dụng máy điện nói riêng và thiết bị điện nói chung

là ở đó tồn tại mô hình trường điện từ Vì vậy, mà bài toán trường điện từ đóng vai trò

đặc biệt quan trọng trong kỹ thuật điện và khoa học ứng dụng Việc xây dựng mô hình

để nghiên cứu và tính toán quá trình biến đổi trường điện từ trong máy điện/thiết bị

điện bắt buộc và không thể thiếu đối với các nhà thiết kế, nhà nghiên cứu Mục đích

của việc nghiên cứu không phải thiết lập, xây dựng các mô hình vật lý mà đưa các lý

thuyết vật lý vào mô hình toán học để mô tả quá trình biến đổi trường điện từ xảy ra

trong máy điện/thiết bị điện thông qua công cụ máy tính, từ đó giúp cho nhà nghiên

cứu, nhà thiết kế giải thích được các hiện tượng vật lý và quá trình biến đổi xảy ra

trong máy điện và tìm được phương án thiết kế tối ưu theo yêu cầu Ngoài ra, việc mô

phỏng bằng máy tính còn cho phép ta giải quyết các bài toán mà việc giải bằng giải

tích thông thường không thể làm được

Các hiện tượng điện từ xảy ra trong các thiết bị điện đều được mô tả bởi hệ

phương trình Maxwell cùng với các luật trạng thái của chúng [25, 26, 27] Đây là các

phương trình đạo hàm riêng đối với véctơ cường độ điện trường e và cường độ từ

trường h, phân bố trong không gian và biến đổi theo thời gian Để giải được các bài

toán điện từ và mô phỏng các hiện tượng vật lý, các nhà thiết kế và các nhà nghiên cứu

thường sử dụng các phương pháp nghiên cứu khác nhau [8], đó là:

 Phương pháp giải tích

 Phương pháp mạch từ không gian thay thế

 Phương pháp phần tử hữu hạn

Trong đó, phương pháp giải tích thực chất là phương pháp phân ly biến số [8],

có nghĩa là bài toán được giả thiết rằng nghiệm của nó làm hàm số phụ thuộc vào một

biến số trong khi đó các tham số khác không thay đổi [8] Phương pháp này có ưu

điểm là tìm được nghiệm cụ thể, dễ ràng phân tích các yếu tố ảnh hưởng và giải thích

được các hiện tượng xảy ra trong thiết bị điện hay tính toán các đại lượng liên quan

Ngoài ra, nghiệm của bài toán cũng phản ánh các điều kiện biên của bài toán, đặc tính

của nguồn trường cung cấp Tuy nhiên, đối với bài toán có mô hình và điều kiện biên

giữa các môi trường tiếp giáp phức tạp thì việc áp dụng phương pháp giải tíchsẽ gặp

khó khăn (gây ra sai số lớn) và đôi khi không thể thực hiện được

Phương pháp mạch từ không gian thay thế [8] là phương pháp chuyển từ mô

hình Maxwell sang mô hình Kirchhoff một cách tường minh và giữ nguyên tính chất

vật lý của bài toán Với phương pháp này, một bài toán có cấu trúc phức tạp được chia

thành các miền con có hình dạng hợp lý và tạo thành một lưới các phần tử trong không

gian 2D hoặc 3D Ưu điểm của phương pháp là đảm bảo được độ chính xác cao, tuy

nhiên với mô hình có số bậc tự do lớn hơn 100, thì việc áp dụng phương pháp này trở

nên khó khăn và không đáp ứng được [8]

Để khắc phục được nhược điểm trên, trong những năm gần đây các nhà nghiên

cứu thường áp dụng phương pháp số để phân tích và tính toán bài toán trường Phương

pháp này áp dụng đối với các bài toán đa biến mà phương pháp giải tích và mạch từ

không gian thay thế không thể thực hiện được Một trong những phương pháp số hay

được áp dụng, đó là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH); phương pháp sai phân hữu

hạn; phương pháp phần tử biên Trong đó, phương pháp PTHH là phương pháp phổ

biến nhất được áp dụng để giải bài toán trường trong máy điện, đặc biệt bài toán với

mô hình từ động

Hình 0.1: Mô hình máy biến áp Hình 0.1: Mô hình máy biến áp

Tuy nhiên, việc ứng dụng trực tiếp của phương pháp PTHH vào các bài toán

thực tế có cấu trúc vỏ mỏng vẫn là một thách thức lớn [28] Đặc biệt mô hình hóa các

bài toán này càng trở nên khó khăn hơn khi mà kích thước của một số bộ phận có cấu

trúc rất nhỏ so với kích thước tổng thể của thiết bị Có thể lấy ví dụ như mặt bích/vỏ

thùng dầu máy biến áp (Hình 0.1); mạch từ và cuộn dây máy biến áp (Hình 0.2); màn

chắn điện từ (Hình 0.3) Trong các bài toán từ động, cấu trúc vỏ mỏng là dẫn điện, nếu

áp dụng phương pháp PTHH để tính và mô phỏng trường điện từ cần phải tạo ra một

hệ lưới mịn/mau để thỏa mãn sao cho kích thước của một mắt lưới/phần tử phải nhỏ

hơn sự phân bố của trường trên bề mặt “δ-skindepth”, điều này sẽ càng trở nên khó

khăn hơn và chi phí đặt cho việc nghiên cứu tính toán khi mà tần số tăng lên là rất

nhiều Vì vậy việc áp dụng trực tiếp phương pháp PTHH vào để tính toán và mô phỏng

Hình 0.2: Mô hình mạch từ và cuộn dây máy biến áp Hình 0.2: Mô hình mạch từ và cuộn dây máy biến áp

Hình 0.3: Mô hình màn chắn điện từ Hình 0.3: Mô hình màn chắn điện từ

Viện Điện ` ĐHBK Hà Nội

trường điện từ với các bài toán có cấu trúc vỏ mỏng đôi khi làkhông thực hiện được, đặc biệt với những mô hình có cấu trúc phức tạp

Để giải quyết được vấn đề này, các tác giả Dr Đặng Quốc Vương và Prof

Patrick Dularđã nghiên cứu, phát triển và đưa ra một phương pháp mô hình các bài

toán nhỏ/phương pháp miền nhỏ hữu hạn (SPM) để phân tích sự phân bố của từ trường, dòng điện xoáy đối với mô hình có cấu trúc vỏ mỏng [10, 15, 16] Tuy nhiên, hiện nay ở Việt Nam việc áp dụng các phương pháp nàyvào bài toán thực tế để tính toán và mô phỏng sự phân bố của trường và dòng điện xoáy trong máy điện vẫn là một vấn đề mới mang tính chất thời sự và đang được quan tâm

Trong nội dung và phạm vi của đề tài, tác giả đã kế thừa phương phương SPM

đã được phát triển [5, 11] để tính toán sự phân bố từ trường, dòng điện xoáy và tổn hao vùng dẫn có cấu trúc vỏ mỏng (lõi thép), vỏ máy biến áp và màn chắn điện từ

ối với từ thế véctơa, cường độ điện trườngh và

trong vùng dẫn

Từ những phân tích ở trên, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS

Đặng Quốc Vương và sự giúp đỡ của các thầy, cô trong Bộ môn Thiết Bị Điện – Điện

Tử, tác giả đã chọn đề tài: “Mô hình hóa bái toán đi ện từ bằng phương pháp miền

nhỏ hữu hạn- Ứng dụng cho mô hình từ có cáu trúc vỏ mỏng’’làm đề tài luận văn

Thạc sỹ ngành kỹ thuật điện

Đã có một vài bài báo nghiên cứu về phương pháp SPM như đã trình bày ở trên [28, 2, 3, 13] Phương pháp SPM được đưa ra để tránh việc chia lưới cho toàn bộ bài toán, thay vào đó việc chia lưới sẽ được thực hiện trên từng bài toán nhỏ, sau đó nghiệm cuối cùng của bài toán sẽ là sự xếp chồng các nghiệm của các bài toán nhỏthông qua phương pháp xếp chồng nghiệm Phương pháp SPM có ưu điểm điểm nổi trội so với phương pháp PTHH là: giảm kích thước/bậc tự do của ma trận và tăng tốc độ tính toán cũng như kết quả đạt được với độ chính xác cao Đặc biệt là các kết quả thu được từ các bải toán nhỏ (SPs) thông qua phương pháp SPM, kết hợp với sự

mô phỏng trên máy tính đã giải quyết được các vấn đề mà phương pháp PTHH không

làm được Phương pháp này đã trở thành công cụ hữu hiệu cho các nhà nghiên cứu và

các kỹ sư khi giải các bài toán trường điện từ

Phương pháp SPM được thực hiện theo nguyên tắc/trình tự: chia một bài toán

lớn (ví dụ một hệ thống bao gồm các, cuộn dây, mạch từ, khe hở không khí và vỏ)

thành một loạt các bài toán nhỏ SPs như trên hình 0.4 Mỗi bài toán nhỏ SP được giải

và thực hiện trên miền và lưới riêng của nó mà không phụ thuộc vào lưới của miền/bài

toán khác, điều này thuận lợi cho việc chia lưới và có thể làm tăng tính hiệu quả tính

toán SPs có thể bị ảnh hưởng bởi SPs khác thông qua các nguồn mặt (SSs) và các

nguồn khối (VSs) Trong đó: SSs thể hiện sự thay đổi của các điều kiện biên của các

SPs thông qua các bề mặt, VSs thể hiện sự thay đổi các tính chất vật liệu (ví dụ µ,

…) của các miền con

Phương pháp SPM được sử dụng hiệu quả cho các bài toán tính toán sự phân bố

trường điện từ trong hệ thống điện, thiết bị điện nói chung và máy biến áp nói riêng

Trong phạm vi của luận văn này, phương pháp SPM được kế thừa và áp dụng để giải

quyết các bài toán trường có cấu trúc vỏ mỏng mà hiện nay các nhà máy chế tạo thiết

bị điện đang rất quan tâm

Phương pháp SPM có thể thực hiện cho cả hai công thức (công thức kép), đó là

công thức với véctơ mật độ từ thôngb (b = curl a) và công thức véctơ cường độ từ

trường h, cùng với các điều kiện biên ràng buộc (i.e., SS- nguồn mặt, VS- nguồn khối)

như đã đề cập ở trên

3 Mục tiêu của luận văn

Áp dụng phương pháp SPM để giải quyết bài toán trường điện từ trong thiết bị

điện nói chung và máy điện nói riêng Xây dựng mô hình toán cho các bài toán từ tĩnh,

bài toán từ động trong không gian hai chiều, không gian ba chiều với véctơ mật độ từ

thôngb và véctơ cường độ từ trường h

Bài toán nhỏ 1

Bài toán nhỏ 2

Bài toán nhỏ 2

Bài toán nhỏ 3

Bài toán

Hình 0.4: Mô hình chia bài toán đầy đủ thành các bái toán nhỏ Hình 0.4: Mô hình chia bài toán đầy đủ thành các bái toán nhỏ

4 Nội dung chính của luận văn

Trong chương 1, tác giả trình bày tổng quan về hệ phương trình Maxwell ở các

dạng khác nhau, cùng với các điều kiện biên và các luật trạng thái Các mô hình toán

học như không gian hàm liên tục, không gian hàm rời rạc cũng được phân tích một

cách ngắn gọn Sơ đồ Tonti được giới thiệu để thiết lập côngthức kép cho mật độ từ

thôngb và cường độ từ trường h Tiếp theo, mô hình bài toán từ tĩnh, mô hìnhbài toán

từ động cũng được xây dựng, đây là cơ sở để tác giả thực hiện các chương tiếp theo

Trong chương 2, phương pháp SPM mô tả cách tiếp cận mô hình các bài toán

nhỏ SPs Trình bày cách thức kết nối các bài toán nhỏ SPs thông qua các nguồn mặt

SSs với điều kiện biên và nguồn khối VSs với sự thay đổi đặc tính vật liệu.Ngoài ra,

nghiệm của mỗi bài toán nhỏ SP được xem như là nguồn của bài toán kế tiếp, được

thực hiện thông qua phương pháp ánh xạ “Projection method” Tiếp theo, tác giả trình

bày cách thiết lập mô hình toán với công thức véctơ mật độ từ thông b(b =curl a) và

véctơ cường độ từ trường h Hai công thức sẽ được viết dưới dạng phương trình yếu

nhận trong miền nghiên cứu Ω Sau đó, việc chia miền nghiên cứu Ω thành các miền

con, đó là: Ω =Ω1 Ω2 Ω3 … Sự rời rạc hóa các miền con/miền nghiên cứu cũng

được đưa ra trong các phương trình yếu nhận cho cả hai bài toán từ tĩnh và từ động

Mối quan hệ các nguồn mặt SS và nguồn khối VS giữa các bài toán nhỏ cũng được

trình bày trong các phương trình yếu nhận

Trong chương 3, một số bài toán ứng dụng được đưa vào để minh chứng và

kiểm tra tính đúng đắn của phương pháp SPM đã được đề cập ở các chương 2

Chương 1 MÔ HÌNH CHO BÀI TOÁN TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1 Mở đầu

Tất cả các hiện tượng điện từ xảy ra trong các thiết bị điện, hệ thống điện đều

được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell Trong chương này, tác giả trình bày tổng

quan về hệ phương trình Maxwell ở các dạng khác nhau trong không gian và thời gian,

cùng với các điều kiện biên và các luật trạng thái [3, 13] Các đặc tính vật liệu, điều

kiện biên và điều kiện bờ giữa các bài toán cũng được được trình bày Các mô hình

toán học như không gian hàm liên tục, không gian hàm rời rạc cũng được phân tích

một cách ngắn gọn Sơ đồ Tonti được giới thiệu để thiết lập công thức kép cho mật độ

từ cảm b và cường độ từ trường h

1.2 Hệ phương trình Maxwell

Hệ phương trình Maxwell mô tả các quan hệ (các định luật) giữa các đại lượng

véctơ trường (i.e., h, e, b, d) và được viết trong không gian 3 chiều Eculidean 3như

Phương trình (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) là các phương trình xuất phát từ các định

luật Ampere, định luật Faraday, định luật Gauss đối với véctơ từ trường và định luật

Gauss đối với véctơ điện trường Các véctơtrường h, e, b, dlần lượt là véctơ cường độ

từ trường (A/m), véctơ cường độ điện trường (V/m), véctơmật độ từ thông (T) và

véctơ cảm ứng điện (C/m2

) Mật độ điện tích (C/m3) và mật độ dòng điện j(A/m2) đặc trương cho nguồn gây ra bởi các trường trong các môi trường có các hệ số: từ

thẩm (H/m); hệ số điện dẫn suất γ; hằng số điện môi (F/m) Khi miền nghiên cứu

không đổi theo thời gian, các đạo hàm theo thời gian trong hệ phương trình Maxwell

trở nên bằng không và các hiện tượng điện và từ không liên kết với nhau

Bằng cách lấy div hai vế của phương trình (1.1), sau đó thay vào (1.4), ta được

phương trình bảo toàn điện tích được viết như sau:

Nếu như mật độ dòng điệnjtồn tại mọi thời điểm, điện tích có thể đạt được bằng

cách lấy tích phân hai về của phương trình (1.5) trong một miền khối V Sau đó áp

dụng lý thuyết Gauss, phương trình (1.5) được viết lại như sau:

t

Phương trình (1.6) cho ta thấy toàn bộ điện tích nằm trong miền khối V thay đổi

theo dòng chảy điện ngang qua bề mặt của ∂V

Một cách tương tự, từ định luật Gauss (1.3) có thể được rút ra từ phương trình

(1.2) nếu giả thiết ban đầu divb = 0

1.2.1 Các đặc tính vật liệu

Hệ phương trình Maxwell (1.1) đến (1.4) có số lượng phương trình ít hơn so với

các ẩn số, cho nên vẫn chưa thể giải được Vì vậy, hệ phương trình này chỉ được xác

định duy nhất khi được kết hợp với các luật trạng thái của chúng Trong môi trường

chân không, giá trị của véctơ mật độ từ thông b và véctơ cảm ứng điện d được xác

định:

Trong đó: 0 là hệ số từ thẩm của môi trường chân không và là hằng số không

đổi giữa b và h, 0là hệ số điện môi của môi trường chân không và cũng là hằng số

không đổi giữa d vàe

Các giá trị của 0và 0được chọn theo hệ thống đơn vị SI và phụ thuộc vào

nhau Trong hệ thống SI, độ từ thẩm 0chân không được xác định 0 = 4 10-7(Hm-1)

và hằng số điện môi chân không được xác định ε 0 = 1/(μ o c 2 ) (Fm-1), ở đây c là vận tốc

của ánh sáng Độ từ thẩm và hằng số điện môi có thể được biểu diễn theo tham số từ

hóa m và sự phân cực điện p Như vậy, b và d trong phương trình (1.7) và (1.8) được

viết lại như sau:

d = ε 0 .e + p (1.10)

Trong môi trường từ tuyến tính, hệ số m được xác định m = χmb, trong đóχ mlà

hệ số từ hóa (độ từ cảm), p được xác định p = ε 0 χ e e, trong đóχ e là hệ số phân cực Từ

các mối quan hệ đã kể trên, mối quan hệ (1.7) và (1.8) được viết lại như sau:

b = μo(1+ χm)h = μoμrh = μh (1.11)

d = ε0(1+ χe)e = ε0 εre = εe (1.12)

Trong đó, μhệ số từ thẩm (H/m) và ε là hằng số điện môi (F/m), μ r, ε rlà hệ số từ

thẩm tương đối và hằng số điện môi tương đối của vật liệu

Khi xét đến sự xuất hiện của sự phân bố của mật độ dòng điện xoáy trong vùng

dẫn và mật độ dòng điện chảy trong cuộn dây, theo định luật bảo toàn dòng điện, j

được xác định như sau:

Trong đó,j c là mật độ dòng điện dẫn (xoáy) và được biểu diễn theo định luật

Ohm:

Và σlà mật độ điện dẫn (S/m), luôn có giá trị dương (hoặc bằng 0 với vật liệu

không dẫn điện) j s là mật độ dòng điện nguồn cho trước (ví dụ: cuộn dây) Nguồn

dòng này không phụ thuộc vào các điện trường và từ trường trong miền nghiên cứu mà

chỉ phụ thuộc vào giá trị đặt ban đầu

Đối với các vật liệu phi tuyến,μ, ε và ζsẽ không còn là các hằng số và chúng có

thể là “tensors” khi kể đến các trạng thái không đẳng hướng

Các mối quan hệ (1.11), (1.12) và (1.14) là các luật trạng thái Trong phạm vi của luận

văn này, ở đây chỉ xét đến những vật liệu tuyến tính và đẳng hướng và giả thiết rằng

các thông số của vật liệu không thay đổi theo thời gian

1.2.2 Điều kiện bờ

Trong các bài toán kỹ thuật điện, các thiết bị điện từ làm bằng các vật liệu khác

nhau, vì thế miền giải bài toán trường sẽ chứa nhiều các miền con, các miền con này

có các đặc tính vật lý và nguồn khác nhau

Từ miền này qua miền kia tại biên giới, trường phải tuân theo các quy tắc nhất

định phù hợp với các định luật của trường Các quy tắc ấy là điều kiện biên giới hay là

các điều kiện chuyển tiếp bề mặt (ICs) hay điều kiện bờ

Để khảo sát các điều kiện ICs của sự phân bố trường điện từ qua hai vật liệu

khác nhau (hình 1.1) [18], bằng cách lấy tích phân hai lớp của hai vếcủa phương trình

Maxwell (1.1) – (1.4) trên một bề mặt S với đường bao quanh∂S Áp dụng định

lýStoke và div để phân tích định luật Ampere (1.1) và định luật Faraday (1.2), chúng

Một cách tương tự, áp dụng lý thuyết Gauss cho các phương trình (1.3) và (1.4)

trên một miền khối V với biên ∂V, lấy tích phân hai vế:

Phương trình (1.17) cho thấy thông lượng b qua một bề mặt kín Svới đường

biên ∂V là bằng 0.Phương trình (1.18) ngụ ý rằng thông lượng d qua bề mặtS, với

đường biên∂V bằng tổng điện tích trong bề mặt đó

Xét Ω =Ω1 Ω2 là một một miền nghiên cứu hữu hạn trong không gian ba chiều

Eculidean, Г là bề mặt biên giữa hai miền liên tục Ω1 và Ω2 trong hình 1.1 Véctơ pháp

tuyến n trên bề mặt Г có hướng từ Ω1 đến Ω2 Tại mặt biên Г có thể tồn tại các mật độ

điện tích mặt ρ s

và mật độ dòng điện mặt j s Các điều kiện chuyển tiếp bề mặt cho các trường điện từ trên mặt tiếp giáp giữa hai miền khác nhau (hình 1.1) [18] có thể viết

như sau:

Hình 1.1: Điều kiện chuyển tiếp bề mặt giữa hai miền khác nhau Ω1 và Ω2

Hình 1.1: Điều kiện chuyển tiếp bề mặt giữa hai miền khác nhau Ω1 và Ω2

Trong đó, các chỉ số dưới 1 và 2 của các đại lượng thể hiện các trường trên các

phía của bề mặt biên trong miền tương ứng Ω1 và Ω2 Các biểu thức trên được đơn

giản bằng cách lấy tích phân hai vế của các phương trình Maxwell cho các khối và các

mặt thông qua thể thông qua mặt chuyển tiếp Г

Các phương trình (1.19)-(1.22)cho ta quan hệ giữa các thành phần pháp tuyến

hoặc tiếp tuyến của trường Điều này có nghĩa là thành phần pháp tuyến của b và thành

phần pháp tuyến của elà liên tục qua mặt chuyển tiếp Г Còn thành phần pháp tuyến

của d và thành phần tiếp tuyến của h là không liên tục qua mặt chuyển tiếp Г, nếu mật

độ điện tích khối ρs

và mật độ dòng điện j s khác 0 Chúng chỉ liên tục khi mật độ điện

tích khối ρs

và mật độ dòng điện j s bằng 0

Các điều kiện chuyển tiếpICs (1.19) – (1.22) được sử dụng cho việc giải các

phương trình Maxwell với các miền khác nhau, sau đó kết nối các nghiệm để đạt được

các trường trong toàn bộ không gian của miền nghiên cứu

1.2.3 Điều kiện biên

Khi xây dựng mô hình toán cho bài toán nghiên cứu, cần xác định biên giới của

toàn miền và được ký hiệu là BC

Các điều kiện biên BCs thường được sử dụng cho các thành phần pháp tuyến và

tiếp tuyến của trường điện từ được xác định như sau:

Một vật liệu dẫn từ lý tưởng (PM) được ký hiệu là Ωpm (tức là μ ~ ∞) Do đó,

phương trình (1.11) ngụ ý h ~ 0 trên miền Ωpm Điều đó có nghĩa rằng điều kiện

chuyển tiếp IC (1.19) trở thành điều kiện biên BC, tức là:

0,

pm

Trong đó: Гpm = ∂Ωpm là đường bao của Ωpm

Một vật liệu dẫn điện lý tưởng (PE) được ký hiệu Ωpe (tức là ζ ~ ∞) Điều này

có nghĩa rằng điều kiện (1.20) cũng trở thành điều kiện BC, tức là:

0

pe

Trong đó: Гpe = ∂Ωpe là đường bao của Ωpe

1.3 Cấu trúc toán học liên tục và không gian hàm

Phương trình Maxwell (1.1) - (1.7) là các phương trình đạo hàm riêng với sự

phân bố của các trường véctơ (từ trường h, điện trường e, từ thế véctơa…) hoặc các

trường vô hướng (điện thế vô hướng v, từ thế vô hướng ) trong miền nghiên cứu Ω

Các trường này có thể được biểu diễn theo các dạng vi phân, e.g hvà e là 1-forms; bvà

j là2-forms Điều này có nghĩa là thông lượng của trường h và e dọc theo đường cong

khép kín được thể hiện đầy đủ ý nghĩa vật lý, và trường bvàjthông qua bề mặt cũng thể

hiện đầy đủ ý nghĩa vật lý Hơn nữa các toán tử đạo hàm grad, curl và div cũng xuất

hiện trong các phương trình (1.1)-(1.7)

1.3.1 Không gian hàm Helmhotz

Một cấu trúc toán học được thể hiện thông qua hệ phương trình đạo hàm riêng

cần được xác định Cụ thể hơn, chúng ta cần xác định các miền của các toán tử đạo

hàm, chúng là các không gian hàm của các trường véctơ có hướng và trường vô hướng

được xác định trong miền Ω

Các nghiệm của các phương trình (1.1) - (1.4) thuộc về các không gian khả tích

vô hướng và các trường véctơ L 2

(Ω) và L 2 (Ω) (xem phụ lục A)

Để xây dựng được các công thức cho các miền nghiên cứu bất thường

(non-trivial domain), sự phân tích toán học Helmholtz của L 2(Ω) thành năm không gian con

vuông góc lẫn nhau Các không gian hàm nhỏ sẽ được sử dụng trong việc thiết lập các

công thức liên tục và trong tiến trình rời rạc hóa được miêu tả cụ thể trong mức 2

(forms-2) và mức 3 (forms-3) trên hình 1.2

Hình 1.2 chỉ ra miền, không gian rỗng và phạm vi của các toán tử đạo hàm xuất

hiện trong các công thức (1.1) – (1.4): grad, curl and div (xem phụ lục A).Các không

gianL 2 (Ω) vàL 2 (Ω)được biểu diễn theo trục ngang trên bốn mức (0, 1,2 và 3 đối

vớiL 2

(Ω), L 2 (Ω),L 2 (Ω) vàL 2 (Ω), một cách tương ứng), và các không gian con của các

không gian này được biểu diễn thông qua các moduls nhỏ trên trục (e.g., ở mức độ 2

trên trục chúng ta có thể đọc từ phải qua trái) Các mũi tên trong hình vẽ tương ứng với

các ứng dụng của các toán tử grad, curl và div

Không gian H 1 (Ω) là tập hợp của các phần tử có curl bằng không, nhưng nó

không phải là các gradient Kích thước H 1 (Ω) là hữu hạn và bằng số lượng của

“loops”, nếu tồn tại các bề mặt cắt trong miền nghiên cứu không mở Ω của không gian

thực ba chiều 3 Không gian H 2 (Ω)là tập hợp của các phần từ có div bằng không,

nhưng nó không phải là các curl Kích thước của không gian này cũng là hữu hạn và

bằng số lượng rỗng trong miền Ω Các không gian hàm này có thể được xác định như

Các miền của các toán tử (grad, curl và div) được xác định trong không gian

Hình 1.2: De Rham complex trong không gian 3 chiều được xác định trong Ω [9]

Hình 1.2: De Rham complex trong không gian 3 chiều được xác định trong Ω [9]

hạn chế, tức là chúng được xác định như là các không gian con của L 2

Trong đó, các trường vô hướng ω h và ω e , hoặc các trườngvectorω h và ω e được

đưa vào một cách tương ứng.Cấu trúc liên tục được biểu diễn bởi sơ đồ “de Rham

complexes hình 1.2, và được cho tương ứng với sơ đồ Tonti:

hàm đã được xác định ở trên Điều này sẽ được xem xét như các không gian hàm cho

các hàm thử (test function)được sử dụng trong các phương trình yếu nhận “weak

formulations” Các không gian này được ký hiệu là: H 10

h (Ω), H 0

h (curl; Ω), H 0 h(div;

Sơ đồ Tonti được gọi là sơ đồ cơ bản hoặc sơ đồ kép liên quan đến các phương

trình chúng ta cần tính toán (tức là phần trên của sơ đồ là các biểu thức cơ bản liên

quan đến các phương trình cường độ từ trường, phần phía dưới của sơ đồ liên quan

đến các phương trình mật độ từ thông)

Các phương trình Maxwell được trình bày ở phần (1.1 – 1.4) với các luật trạng

thái (1.7 – 1.8) và (1.14) cũng được mô tả trong sơ đồ Tonti Thật vậy, các trường

véctơ như h và e được tính toán giá trị theo đường biên thông qua không gian hàm

H(curl, ) Các véctơ như b hoặc j được tính toán giá trị thông qua thông lượng qua bề

mặt theo H(div, ) Tương tự, trường vô hướng H e1(grad, )và L1( )được xác

định và tích phân trên miền khối tương ứng Không gian hàm của các giá trị h, d, j, e

Sơ đồ này áp dụng dễ dàng đưa ra các phương trình phần tử hữu hạn Đối với

bài toán điện từ, các phương trình thường biểu diễn theo chiều từ trái qua phải và

ngược lại Trong khi đó, các luật trạng thái được biểu diễn theo chiều dọc từ dưới lên

trên và ngược lại Dựa trên cơ sở sơ đồ Tonti, bài toán từ động được phát triển theo hai

H l và vì vậy phương trình yếu nhận của mô hình nghiên cứu được thiết lập từ

định luật “Faraday” và được gọi là phương trình yếu nhận với từ thế véctơ

H l và phương trình yếu nhận của bài toán nghiên cứu được thiết lập từ định

luật “Ampere” và được gọi là phương trình yếu nhận với véctơ cường độ từ trường (h

– formulation)

Một trong hai công thức được sử dụng với các điều kiện bài toán phù hợp Biểu

thức “b – formulation” thỏa mãn chính xác định luật “Ampere”, trong khi đó biểu thức

h – formulation thỏa mãn định luật “Faraday” Từ đó, giúp chúng ta có thể giải quyết

bài toán thông qua một trong hai công thức képtrên Các phương trình yếu nhận được

thiết lập để giải bài toán sẽ được trình bày ở các chương tiếp theo

1.4 Hệ phương trình Maxwell trong miền tần số

Các phương trình Maxwell có thể được giải trong miền tần số khi kích thích là

nguồn sin theo thời gian và các luật trạng thái là tuyến tính [11,15] Trong trường hợp

này, các nghiệm được viết dưới dạng ký hiệu số phức như sau:

f(x,t) = f m (x)cos( t+ (x)), (1.42)

Trong đó, = 2 f là tần số góc của nguồn kích thích, và (x) là góc pha Đối

với các trường véctơ h,e,b,d, nghiệm được viết như sau:

h(x, y, z, t) = re (h m (x, y, z)ejωt), (1.43)

e(x, y, z, t) = re (e m (x, y, z)ejωt), (1.44)

b(x, y, z, t) = re (b m (x, y, z)ejωt) , (1.45)

d(x, y, z, t) = re (d m (x, y, z)ejωt) , (1.46)

Trong đó: j là phần ảo và re(.) là phần thực Các vector phức h m (x, y, z), e m (x, y,

z), b m (x, y, z) và d m (x, y, z) phụ thuộc vào vị trí đặt nhưng không phụ thuộc vào thời

gian Chúng cho biết các thông tin về hướng, độ lớn và các pha tương ứng của trường

điện từ Tương tự như trên, mật độ dòng điện và mật độ điện tích được viết như sau:

j(x, y, z, t) = re (j m (x, y, z)ejωt) (1.47)

ρ(x, y, z, t) = re (ρ m (x, y, z)ejωt) (1.48)

Thông qua các phương trình (1.43) – (1.46), các toán tử đạo hàm theo thời gian

được chuyển thành jω có nghĩa là d/dt = jω Nếu tất cả các trường vật lý được giả thiết

là các số phức như các phương trình trên, các phương trình Maxwell (1.1) – (1.4) trong

miền tần số được thể hiện như sau:

1.5 Mô hình bài toán điện tĩnh và từ tĩnh

Đối với mô hình bái toán tĩnh, các hiện tượng điện trường được xem như là

không phụ thuộc vào thời gian, đó là ∂td = 0 và ∂tb = 0 Phương trình Maxwell (1.1)

– (1.4) và các luật trạng thái (1.11), (1.12) và (1.14) không được kết nối với nhau và

được chia thành hai hệ thống độc lập: mô hình bài toán điện tĩnh và mô hình bài toán

từ tĩnh

1.5.1 Mô hình bài toán điện tĩnh

Đối với bài toán điện tĩnh, ∂tb = 0, khi đó ta có curle= 0 Hệ phương trình

Maxwell (1.1) – (1.4) cùng với luật trạng thái (1.7) được viết thành:

curle = 0, divd = , d = e (1.53a-b-c)

Từ phương trình (1.53a) có thể nhận thấy rằng elà gradient của một hàm vô

hướng v, điện thế vô hướng được xác định:

Để giải được phương trình (1.56), cần phải đặt một điều kiện biên phù hợp để

đảm bảo chắc chắn nghiệm đối với phương trình Poisson (hoặc Laplace) là duy nhất

Điều kiện biên “Dirichlet” và điều kiện biên “Neumann” là được áp dụng trên bề mặt

Mô hình bài toán điện tĩnh là thỏa mãn sơ đồ Tonti Các biến cần tìm d

ϵ H h (div; Ω) và e ϵ H e(div; Ω), nghiệm của phương trình (1.53) với luật trạng thái

(1.7), và điện thế vô hướng vϵ H 1

e(Ω) kiểm tra phương trình (1.54) và thỏa mãn sơ đồ Tonti

1.5.2 Mô hình bài toán từ tĩnh

Mô hình bài toán từ tĩnh là mô hình được xem xétvới các hiện tượng điện từ

độc lập về thời gian (đó là∂td = 0, ∂tb = 0) Khi đó, các phương trình Maxwell (1.1) –

(1.4) và các luật trạng thái (1.11) được viết lại như sau:

Trong đó: j = jslà mật độ dòng điện áp được đặt vào miền Ωs Mật độ từ cảm b

trong phương trình (1.57b) có thể xác định từ một vector từ thế a trong toàn bộ miền

Ω, thật vậy:

Tuy nhiên, akhông phải là duy nhất (ađược xác định là một gradient của một

hàm bất kỳ) Thật vậy, nếu a là một nghiệm thì một hàm bất kỳ có thể viết a’ = a +

grad fcũng là một nghiệm và không phụ thuộc vào f Để có được nghiệm duy nhất của

a, một điều kiện “Gauss”phải được áp dụng Các điều kiện biên cần thiết có thể xác

định như sau:

Điều đó có nghĩa rằngn·b=0 trên miền Гe Điều đáng chú ý rằng bluôn luôn

được xác định là duy nhất ngay cả khi a không xác định duy nhất

Từ trường h trong công thức (1.57a) được phân tích thành hai thành phần h s và

h r, đó là:

Trong đó h s là một trường nguồn được xác định thông qua mật độ dòng điện

được đặt vào cuộn dây:

Từ trường h s trong công thức (1.61) chỉ được xác duy nhất nếu điều kiện Gauss

được đặt vào Ngoài ra, trường này cũng có thể xác định thông qua định luật Biot –

Savart

Từ trườngh r trong phương trình (1.60) được tạo ra do từ hóa của vật liệu từ và

được gọi là trường phản ứng Trong các vùng không có dòng điện (khe hở không khí),

trường này có thể được xác định thông qua một từ thế vô hướngϕ, đó là:

r

Phương trình (1.62) được xem như là phương trình đơn giản nhưng chúng ta

cần phải kiểm tra thông qua miền nghiên cứu thực tế Nếu miền nghiên cứu không

phải là một sự kết nối đơn giản (ví dụ: một trường hợp dòng điện vòng kín), chúng ta

phải sử dụng một mặt cắt với sự không liên tục của từ thế ∆ϕ, được đưa vào để xác

Hình 1.3: Mặt cắt của miền đa liên

định dòng điện Nếu một vòng kín mang theo một dòng điện (hình 1.3), thông lượng từ

trường dọc theo đường cong khép kín bằng tổng dòng điện Ichạy qua mặt kín đó (định

luật Ampere), tức là:

grad

Căn cứ vào sơ đồ Tonti, đối với bài toán từ tĩnh, các đại lượng cần xác

địnhhϵ H h (curl; Ω) vàj ϵ H h (div; Ω), bϵH e(div; Ω) (nghiệm của phương trình (1.57)

với luật trạng thái (1.11)), điện thế ϕϵ H e 1 (Ω) và aϵ H e (curl; Ω) có thể được xác định

trong sơ đồ Tonti và được kiểm tra bởi (1.62) và (1.58) một cách tương ứng Các

không gian còn lại như H e 1 (Ω), H h (curl; Ω), H e (curl; Ω),H e(div; Ω) cũng được xác

định trong sơ đồ Tonti và chứa các điều kiện BC áp dụng cho các trường trên các biên

Гh và Гe của miền nghiên cứu Ω

(1.64)

1.6 Mô hình bài toán từ động

Trong mô hình này, giả thiết chính là kích thước của miền Ω nhỏ hơn rất nhiều

so với chiều dài bước sóng λ = c/ftrong mỗi môi trường Do đó, mật độ dòngđiện dịch

chuyển ∂td trong phương trình (1.1) có thể bỏ qua được Vì vậy, phương trình Maxwell

tổng quát (1.1) – (1.4) được viết lại như sau:

curl e= -∂ t b , curl h = j, div b = 0 (1.65.a-b-c) Với hai luật trạng thái (1.11) và (1.14) của vật liệu là:

b = μh, j = ζe (1.66 a-b) Các phương trình (1.65a-b) được giải cùng với các điều kiện biên, với các thành

phần tiếp tuyến của trường n×e và trường n×hlần lượt được đặt lên biên Гh và Гe

Một cách tương tự như đối với bài toán từ tĩnh, đối với phương trình (1.65c) từ

cảm bđược xác định thông qua một từ thế véctơ a, tức là:

Kết hợp phương trình (1.67) với (1.65a), ta được curl (e + ∂ t a) = 0,điều này dẫn

đến sự xác định của điện thế vô hướng vnhư sau:

Một cách tương tự như trường hợp của bài toán từ tĩnh, một điều kiện “Gauss”

được đặt vào để đảm bảo tính duy nhất của nghiệm a Một điều kiện “Gauss” được ẩn

trong miền dẫn ΩCcho điện thế vô hướng υ bằng không trong toàn miền dẫnΩC Từ đó

dẫn đến một sự tổng quát hóa của của sự thay đổicông thức từ thế véctơ [21] Từ

phương trình (1.65b), từ trường h được phân tích thành:

h = h s + h r – grad ϕ, vớicurl h s = j s, (1.69)

Trong đó trường h r được xác định trong vùng dẫn Ωc và từ thế vô hướng ϕ

được xác định trong vùng không dẫn ΩcC Từ thế ϕ trong vùng ΩcC

là đa trị khi miền

ΩcClà một đa kết nối và khi đó giá trị đơn trị được xác định thông qua các lớp cắt∑icủa

mỗi một lỗ trong miền dẫn Ωc

(1.70)

Bài toán từ động cũng được xác định theo sơ đồ Tonti(1.28) Các đại lượng

hϵ Hh (curl; Ω) và j ϵ H h (div; Ω), b ϵH e (div; Ω), e ϵH e (curl; Ω) (nghiệm của

phương trình (1.65) với luật trạng thái (1.11) và (1.14)), ϕϵ Hh1(Ω), aϵ H e(curl;Ω) và

υϵ H e 1(Ω) có thể được xác định trong sơ đồ Tontivà được kiểm tra thông qua (1.67) và

(1.68) một cách tương ứng Các miền không gian còn lại H h 1 , H h(curl;Ω),

H e 1 (Ω),H e (curl;Ω) và H e(div; Ω) chứa các điều kiện biên BCđược áp dụng cho các

trường trên các biên Гh và Гe của miền nghiên cứu Ω

1.7 Kết luận

Trong chương 1, tác giả đã trình bày ngắn gọn hệ phương trình Maxwell tổng

quát cùng với các đặc tính trạng thái của chúng thông qua đặc tính vật liệu Các điều

kiện của bài toán bao gồm điều kiện chuyển tiếp bề mặt, điều kiện biên cũng được

trình bày Các mô hình toán bài toán từ tĩnh, từ động, các hàm không gian, sơ đồ Tonti

được trình bày là cơ sở lý thuyết để thiết lập công thức kép cho mật độ từ cảm b và

cường độ từ trường h sẽ được trình bày ở chương 2

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP MIỀN NHỎ HỮU HẠN VÀ

PHƯƠNG TRÌNH YẾU NHẬN

2.1 Mở đầu

Trong chương này, phương pháp SPM được trình bày để giải quyết các bài toán

điện từ có cấu trúc vỏ mỏng Với phương pháp này cho phép chúng ta sử dụng các kết

quả tính toán của các bài toán SPs trước đó thay vì phải đi xây dựng lại mô hình mới

cho các PTHH Hơn nữa, mỗi bài toán nhỏ SP lại có dạng hình học và kích thước

riêng và được giải trên lưới PTHH của nó, điều này làm giảm được thời gian tính toán

và tăng độ chính xác của kết quả Trên cơ sở của phương pháp SPM, các phương trình

trong miền liên tục “strong/clasical formulations” của từ thế véctơ a (b –

formulation) và cường độ từ trường h (h – formulation) cho cả hai bài toán từ động và

bài toán từ tĩnh được thiết lập Sau đó các phương trình yếu nhận “weak

formulations” trong miền rời rạc được xây dựng và phát triển cho công thức từ thế

véctơ a cũng như véctơ cường độ điện trường h

2.2 Phương pháp miền nhỏ hữu hạn

2.2.1 Bài toán từ động (hoặc từ tĩnh)

Xét một bài toán từ động (hoặc từ tĩnh) SPi (với i = 1,2… là số thứ tự của các

bài toán nhỏ) mà có nghiệm đầy đủ là tập hợp nghiệm của các bài toán nhỏ tương ứng

với các giá trị của i Bài toán xác định trong miền Ωi với biên là i i h i, e i,

Trong đó Ωc,i là vùng dẫn điện/từ và C,

c ilà vùng không dẫn điện, với , C,

h i = i1 b i + h s,i hoặc b i = i h i + b s,i (2.5 a-b)

j i = i e i + j s,i hoặc e i = i1j i + e s,i (2.6 a-b)

Trong đó n là véctơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của Ωi Các trường h s,i,

b s,i , j s,i và e s,i trong (2.5a), (2.5b) và (2.6a), (2.6b) là các nguồn khối (VSs) Khi biến

đổi từ bài toán 1(i =1) có 1 và 1 sang bài toán 2 (i =2) có 2 và thì các nguồn VSs

h s,2 , b s,2 , j s,2 và e s,2cho các bài toán 2 là:

Theo các điều kiện bờ trong công thức (2.7 a-b-c) thì các trường mặt j f,2 , b f,2và

k f,2 thông thường bằng không Các điều kiện chuyển tiếp bề mặt ICs có thể xác định sự

không liên tục của chúng thông qua bất kỳ bề mặt nào (với hai mặt bên và )

trong i, với ký hiệu: . Nếu như các trường này khác không, thì chúng trở

thành các nguồn mặt (SSs) cho các hiện tượng xảy ra trong vùng cấu trúc mỏng giữa

2.2.2 Phương pháp kết nối các bài toán nhỏ với nhau

Như đã phân tích ở phần trước, nghiệm của một bài toán hoàn chỉnh x (x có thể

là các trường h, b, e, j…) sẽ là tổng các nghiệm xicủa các bài toán nhỏ thông qua

phương pháp xếp chồng, đó là [3]:

i

i P

Mỗi bài toán nhỏ SP được đặc trưng bởi các phương trình tĩnh hoặc phương

trình động và cùng với các nguồn mặt SSs (2.7 a-b-c), (2.10), (2.11), (2.12) và các

nguồn khối VSs (2.8 a-b), (2.9 a-b)

Như một hệ quả, mỗi một bài toán con SP sẽ bị ảnh hưởng bởi tất cả các bài

toán con SPs khác, tức là tất cả các SPs được kết nối với nhau Mỗi nghiệm xi của bài

toán nhỏ SP có thể xem như là hàng loạt sự hiệu chỉnh của x i,j, tức là:

1

lim

n n

Sai số ∈ncủa một nghiệm xn

được tính theo công thức:

n

n r

r

Trong đó x r là nghiệm tham chiếu (nó được tính theo phương pháp số cơ bản

thông thường như phương pháp PTHH) Tuy nhiên, nghiệm tham chiếu thường là

không biết Do đó, một sai số ước lượng n e của một nghiệm xn tại lần lặp thứ nđược

xác địnhnhư sau [3]:

1

n n

n

Việc tính toán cho sự hiệu chỉnh x i,j trong một bài toán nhỏ SP i,j phải đến khi

đạt được sự hội tụ chính xác mong muốn Mỗi sự hiệu chỉnh là chịu ảnh hưởng của tất

cả các hiệu chỉnh trước đó x i,j , với j là chỉ số lặp lại cuối cùng, j = n hoặc n – 1

Nghiệm ban đầu 0

i

x được xem như bằng không

2.2.3 Phương pháp ánh xạ cho sự kết nối các bài toán nhỏ

Mỗi SP được giải một cách độc lập với sự rời rạc hóa trên chính miền nghiên

cứu của nó Vì vậy, các nghiệm (các trường) đạt được trên lưới của các bài toán con

SPs trước được coi là các nguồn SSs hoặc VSs trên các lưới của các bài toán nhỏSPs

tiếp theo thông qua phương pháp ánh xạ Các phép ánh xạ có thể được thưc hiện thông

qua phép nội suy hoặc là phương pháp dưtrọng số dựa trên phương pháp Galerkin

[10] Nội dung phương pháp ánh xạ sẽ được trình bày dưới đây [3]

Xét một miền Ω và hai không gian hàm 2

hàm cơ bản được xác định trên miền rời rạc Ω như:

mặt hoặc các khối) thuộc về lưới của miền nghiên cứu Ω, s ,j và sv,i là các hàm nội suy

được liên kết với các bậc tự do (unknowns)ωj và vi..Thực vậy, nếu như trường vđược

rời rạc trên lưới của bài toán SP i (i = u), và ωtrên lưới của SP i (với i=p), phương

trình (2.18) được viết trong miền rời rạc như sau:

Trong đó Eu và Ep là tập hợp các phần tử hình học thuộc lưới của SP uvà SP p,

sui và spi là các hàm nội suy liên kết tương ứng với phần tử u của SP uvà phần tử p của

SP p Bởi vậy, phương pháp Galerkin được áp dụng mỗi một hàm nội suy spj như là

một hàm thử ω’ Vì vậy, từ (2.20) dẫn tới ta có một hệ thống các ma trận tuyến tính

trong đó các hệ số rời rạc ωpj là chưa biết còn các hệ số rời rạc vuilà đã biết

2.3 Kết nối bài toán nhỏ trong mô hình cấu trúc vỏ mỏng

2.3.1 Nguyên tắc chung

Như đã trình bày ở chương 1, phương pháp SPM được áp dụng cho các bài toán

có các mô hình dẫn từ có cấu trúc vỏ mỏng [3] để tránh việc chia lưới trên toàn bộ

miền nghiên cứu Thay vào đó là một miền mỏng được tách ra và được thực hiện riêng

rẽ với bài toán trước/sau đó Khi đó miền nghiên cứu sẽ trở nên đơn giản hơn cho cả

việc chia lưới và việc giải bài toán trong miền nhỏ

Trong khuôn khổ của phương pháp SPM, bài toán đầu tiên được xem xét ở đây

là một bài toán với mô hình cuộn dây được bao quanh bởi không khí và không bao

gồm miền mỏng Sau đó, bài toán thứ 2 là bài toán chỉ xét đến một một mô hình chỉ

gồm miền mỏng và không kể đến bài toán (mô hình cuộn dây) trước đó Trình tự sẽ

được thể hiện trong phần tiếp theo ngay sau đây

2.3.2 Bài toán nhỏ: “Mô hình cuộn dây –SPu”

Nghiệm của bài toán một SP u được giải trên một mô hình đơn giản như hình

2.1a, hoặc ta cũng có thể sử dụng nghiệm của một bài toán SP khác được giải ở một

mô hình khác trước đó Tiếp theo, là một bài toán nhỏ SP p với mô hình có cấu trúc vỏ

mỏng như hình 2.1b

2.3.3 Bài toán nhỏ: “Mô hình miền mỏng dẫn từ -SPp”

Từ bài toán SPu đến SPp, nghiệm bài toán u bây giờ sẽ là các nguồn mặt SSs và

nguồn khối VSs cho bài toán thông qua các điều kiện chuyển tiếp bề mặt ICs [3] Các

nguồn SSs và VSs cho trường hợp này được xác định như sau:

Đối với các nguồn mặt SSs, sự không liên tục trên bề mặt của bài toán SPp

được thể hiện như sau:

)(b u + b p ) (2.24)

Hình 2.1: Từ bài toán nhỏ SP u sang bài toán nhỏ SP p

(a)(a)

Cuộn dâyCuộn dây

Không có vỏ mỏngKhông có vỏ mỏng

uΩ

(b)(b)

không có cuộn dây không có cuộn dây

Vỏ mỏng

Vỏ mỏng

pΩp

J s,p = (σp – σu )(e u + e p ) hoặc e s,p = -e u (2.25) Ngoài ra, căn cứ vào (2.13), nghiệm toàn bộ của bài toán được xác định:

2.4 Phương trình yếu nhận viết cho véctơ từ thế a

2.4.1 Phương trình yếu nhận cho bài toán từ động

Trong phần này, dựa vào lý thuyết ở chương 1, chúng ta sẽ đi xây dựng công

thức từ động mà đã được chỉ ra ở phần 1.6 Các phương trình Maxwell cụ thể trong

(1.65) cùng với các luật trạng thái (1.11) và (1.14) tạo thành một hệ các phương trình

Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm của bài toán Như đã biết, để thỏa mãn

“strongly” định luật “Faraday” (1.65a) ta có b H e (div, ) và e H e (curl, ) Điều

này tương đương với việc kiểm nghiệm lại sơ đồ Tonti (1.70) Ngoài ra, để thỏa mãn

chính xác các luật trạng thái (1.11) và (1.14) thì trường h H e (div, ) và j H e (curl,

) Định luật “Ampere” (1.65b) có thể được viết dưới dạng phương trình yếu như

sau:

0(curlh a, ') ( , ') ,j a s a' H e (curlh; ), (2.29)

Trong đó, trường a' H e0(curl; ) là một trường của hàm thử không phụ

thuộc vào thời gian Bằng cách áp dụng công thức Green vớicurl-curl(xem phụ lục A)

trong miền cho các trường h và a ’, ta có:

0

( ,h curla') n h a, ' ( , ') ,j a s a' H e (curlh; ) (2.30)

Để thỏa mãn sơ đồ Tonti (cho cả định luật Faraday và định luật Gauss), các luật

trạng thái (1.11) và (1.13) được đưa vào phương trình yếu nhận (2.30), đó là:

( b, curla') ( e, a') n h a, ' ( , ') ,j a s a' H e (curlh; ),

(2.31)

Thay b và e trong (1.67) và (1.68) vào (2.31) và chia biên thành hvà e,ta

Trong đó H e0(curl; )là một không gian hàm được xác định trên , không

gian hàm này bao gồm các hàm nội suy (hàm cơ sở, hàm dạng) cho trường a cũng như

là chohàm thử a’ (xem phần 1.3);( , ) và , được ký hiệu lần lượt là các tích

phân khối trong miền và tích phân mặt trên biên của các tích các trường véctơ của

chúng Điện thế vô hướngv chỉ được xác định trong các miền dẫn c Từ thế véctơ

trong a được xác định là duy nhất trong các miền dẫn c, một điều kiện Gauss phải

được áp vào mọi nơi trong miền (xem phần 1.6)

Phương trình yếu nhận (2.32) cho thấy rằng, bằng cách lấy a’ = gradv’ như là

một hàm thử để có:

10

Trong đó g là một phần của biên C và có dòng điện chạy qua Phương trình

(2.33) thực tế là một phương trình yếu nhận của divj = 0trong miền dẫn C

Các trường trên bề mặt e với các điều kiện bờ cần thiết trên n.b là thường được

bỏ qua vì nó không đóng góp vào phương trình (2.32) Sự tồn tại của trường n × h

trong (2.32) là áp dụng một điều kiện bờ trên các biên Γhcủa Ω Điều kiện bờ này có

thể thực hiện theo cách sau

Sự tồn tại của trường h có thể xác định trong miền cục bộ Đây là trường hợp

một điều kiện “Neumann” đồng nhất, ví dụ một điều kiện đối xứng trục, dòng điện trên

trục đối xứng là bằng không

2.4.2 Phương trình yếu nhận cho bài toán từ tĩnh

Việc xây dựng công thức cho bài toán từ tĩnh được xem xét như là một trường