Nghiên cứu phương pháp loại trừ nhiễu ứng dụng lý thuyết wavelet

Biến đổi Fourier là sự biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số, tuy nhiên phép biến đổi này chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại các thành phần tần số mà không cho bi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

Điện tử - Viễn Thông

Hà Nội – Năm 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

- Đinh Thị Tuyết Minh

NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP LOẠI TRỪ NHIỄU ỨNG DỤNG LÝ

THUYẾT WAVELET

Chuyên ngành : Điện tử - Viễn thông

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

Điện tử - Viễn Thông

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : 1.PGS.TS Nguyễn Hữu Trung

Hà Nội – Năm 2012

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan cuốn đề tài luận văn “ Nghiên cứu phương pháp loại trừ nhiễu ứng dụng lý thuyết Wavelet” là do chính tay tôi thực hiện dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Hữu Trung

Hà Nội, ngày 22 tháng 3 năm 2012

Tác giả

Đinh thị Tuyết Minh

MỤC LỤC

Trang Trang phụ bìa

Lời cam đoan

DANH MỤC CÁC BẢNG 4 

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ,ĐỒ THỊ 5 

LỜI MỞ ĐẦU 7 

Chương 1: GIỚI THIỆU CHUNG 8 

1.1  Tổng quan 8 

1.1.2 Lịch sử phát triển của phép biến đổi Wavelet 9 

1.1.2 Phạm vi ứng dụng của phép biến đổi Wavelet và phương pháp loại trừ nhiễu ứng dụng lý thuyết Wavelet .11 

1.2  Các phần thực hiện trong đồ án: 13 

Chương 2: LÝ THUYẾT VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET 14 

2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet 14 

2.1.1 Phép biến đổi Fourier 14 

2.1.2 Biến đổi Wavelet 17 

2.1.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet 19 

2.1.4 Sự khác nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet 19 

2.2 Phép biến đổi Wavelet liên tục: 21 

2.2.1 Định nghĩa 21 

2.2.2 Các tính chất của phép biến đổi CWT 23 

2.2.3 Ví dụ Wavelet Morlet 28 

2.3 Biến đổi Wavelet rời rạc 29 

2.3.1 Định nghĩa DWT 30 

1

2.3.2 Tính chất biến đổi DTW 31 

2.3.4 Ví dụ Wavelet Haar 31 

2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc 32 

2.4.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis) 32 

2.4.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc 34 

2.4.3 Biểu diễn ma trận DWT 39 

2.4.4 Phân loại Wavelet 42 

2.5 Phân tích gói Wavelet 43 

2.5.1 Khái niệm 43 

2.5.2 Xây dựng các gói Wavelet 44 

2.5.3 Tổ chức các gói Wavelet 45 

2.5.4 Lựa chọn phân giải tối ưu 45 

2.6 Các họ Wavelet 46 

2.6.1 Wavelet Haar 47 

2.6.2 Wavelet Shannon 47 

2.6.3 Wavelet Meyer 48 

2.6.4 Wavelet Battle- Lemaries 50 

2.6.5 Wavelet Daubechies 51 

2.6.6 Lựa chọn biến đổi 54 

2.7 Ứng dụng của phép biển đổi Wavelet: 55 

Chương 3: ỨNG DỤNG WAVELET TRONG LOẠI TRỪ NHIỄU TÍN HIỆU 59 

3.1 Giới thiệu 59 

3.2 Khái niệm về khử nhiễu 61 

2

3.2 Quy trình khử nhiễu 62 

3.2.1 Lựa chọn biến đổi 62 

3.2.2 Lấy ngưỡng 63 

3.2.2 Khôi phục 68 

Chương 4: MÔ PHỎNG VÀ KẾT LUẬN 69 

4.1 Lưu đồ thuật toán: 69 

4.2 Chương trình mô phỏng 71 

4.2.1 Giao diện chính của chương trình 71 

4.2.1 Một số kết qủa khử nhiễu 72 

4.3 Đánh giá kết quả 91 

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 93 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 94 

3

DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Thủ tục tìm cây con tối ưu cho node chưa kết thúc 46 Bảng 2.2: Các moment liên tục, rời rạc của các hàm Wavelet và tỉ lệ với chiều dài N=6 53 Bảng 2.3: Tổng kết tính chất của một số Wavelet 55 

4

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ,ĐỒ THỊ

Hình 2.1 Phân tích Fourier 14 

Hình 2.2: biến đổi Fourier một hàm tuần hoàn 15 

Hình 2.3 Biến đổi Fourier trong mặt phẳng thời gian-tần số 16 

Hình 2.4 Cửa sổ Fourier rộng, hẹp và độ phân giải trên mặt phẳng thời gian – tần số .16 

Hình 2.5 Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số của các phép biến đổi 17 

Hình 2.6: Thuật toán CWT 19 

Hình 2.7 Kết quả của phép biến đổi FT và CWT 20 

Hình 2.8 Các hàm cơ sở trong phép phân tích FT 20 

Hình 2.9 Các hàm cơ sở trong phép phân tích Wavelet 21 

Hình 2.10 Phép dịch trong biến đổi CWT 21 

Hình 2.11 Phép thay đổi tỉ lệ trong biến đổi CWT 22 

Hình 2.12: Tính chất dịch của biến đổi CWT 24 

Hình 2.13 Tính cục bộ về mặt thời gian (a) Đồ thị f(t) = δ(t-to) và dạng nón của vùng ảnh hưởng.(b) đồ thị của hàm nhảy bậc f(t) = u(t-to) và dạng nón của vùng ảnh hưởng 27 

Hình 2.14 Tính cục bộ của biến đổi Wavelet liên tục sử dụng Wavelet sinc (a) Đồ thị phổ của Wavelet và các dạng tỉ lệ của nó (b) đại lượng khác 0 của biến đổi Wavelet liên tục 28 

Hình 2.15: Biểu diễn Wavelet Morlet 29 

Hình 2.16: Wavelet Haar 32 

Hình 2.17: Không gian và các không gian con trong đa phân giải Không gian L2 biểu diễn toàn bộ không gian V biểu diễn một không gian con, W j j biểu diễn chi tiết 33 

Hình 2.18: Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con (a) Quá trình phân tích (b) Quá trình tổng hợp 36 

Hình 2.19: Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử 38 

Hình 2.20: Băng lọc hai kênh 39 

5

Hình 2.21 Phân giải Wavelet thường 43 

Hình 2.22 Phân giải gói Wavelet 43 

Hình 2.23 các wavelet Haar 44 

Hình 2.24 Các cây gói Wavelet 45 

Hình 2.25: Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2 54 

(e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat 55 

Hình 2.26: Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet 56 

Hình 2.27: Ứng dụng Wavelet trong nén ảnh 57 

Hình 2.28: Ứng dụng Wavelet trong phát hiện các điểm đột biến, các sườn 57 

Hình 2.29: Ứng dụng Wavelet trong loại trừ nhiễu tín hiệu 58 

Hình 3.1: Phương pháp khử nhiễu Wavelet Shrinkage 61 

Hình 3.2: Cấu trúc phân tích 63 

Hình 3.3: Biểu diễn các hàm lấy ngưỡng (shrinkage function) 66 

Hình 3.4: Phân tích và khôi phục 68 

Hình 4.1: Quy trình khử nhiễu tín hiệu 70 

Hình 4.2: Form giao diện chính 71 

Hình 4.3: Form chọn phương thức loại trừ nhiễu 71 

Hình 4.4: Loại trừ nhiễu tín hiệu block 72 

Hình 4.5: Loại trừ nhiễu tín hiệu bumps 73 

Hình 4.6: Loại trừ nhiễu tín hiệu heavy sin 74 

Hình 4.7: Loại trừ nhiễu tín hiệu doppler 75 

Hình 4.8: Loại trừ nhiễu tín hiệu noiswom với mức ngưỡng = 10;35 76 

Hình 4.9: Loại trừ nhiễu tín hiệu nbarb với mức ngưỡng = 10;40 77 

Hình 4.10: Loại trừ nhiễu tín hiệu noissi2d với mức ngưỡng = 4;30 78 

6

LỜI MỞ ĐẦU

Trong xã hội hiện đại thì thông tin, tri thức luôn là một trong những nhân tố quan trọng nhất của đời sống kinh tế, xã hội đối với từng quốc gia nói riêng cũng như toàn xã hội nói chung Chính vì thế dành một sự đầu tư thích đáng cho sự phát triển công nghệ chính là đòn bẩy cho sự phát triển các ngành kinh tế khác Ngay từ khi mới ra đời, công nghệ xử lý tín hiệu đã khẳng định một vai trò quan trọng trong đời sống kinh tế, xã hội Đó là sự biến đổi tín hiệu bằng cách sử dụng các công cụ

xử lý, các phép biến đổi để từ đó có thể mô tả, tính toán hoặc tìm hiểu về tín hiệu Các phép biến đổi truyền thống như phép biến đổi Fourier đã được xem là nền tảng

cơ sở không thể thiếu trong lĩnh vực xử lý tín hiệu từ trước đến nay Ngày nay các phép biến đổi đó đang tập trung vào các giải thuật nhanh như FFT, các chuẩn nén ảnh, nén video

Khoa học phát triển đã làm xuất hiện thêm nhiều công cụ mới mẻ hơn, ưu việt hơn trong xử lý tín hiệu, một trong những công cụ mới nhất đó là công cụ xử lý tín hiệu sử dụng phép biến đổi Wavelet mà đi song song với nó là các dãy lọc, mã hóa băng con, các kỹ thuật nén và loại trừ nhiễu Do các ưu điểm nổi trội của nó so với các phương pháp xử lý tín hiệu truyền thống khác

Trong khuôn khổ của đồ án “Nghiên cứu phương pháp loại trừ nhiễu ứng

dụng lý thuyết Wavelet” em xin trình bày những vấn đề cơ bản về phép biến đổi

Wavelet và ứng dụng của nó trong lĩnh vực loại trừ nhiễu Nghiên cứu chỉ ra tầm quan trọng cũng như ưu điểm của việc xử lý nhiễu sử dụng lý thuyết Wavelet Các kết quả thực nghiệm trong việc loại trừ nhiễu đối với một số loại tín hiệu

Trong quá trình thực hiện đồ án không thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các bạn để đồ án được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cám ơn PGS.TS Nguyễn Hữu Trung và các thầy cô giáo khoa Điện Tử - Viễn thông, Đại học Bách khoa Hà Nội đã tận tình hướng dẫn, giúp

đỡ em hoàn thiện đồ án này

Em xin trân trọng cám ơn!

7

Chương 1: GIỚI THIỆU CHUNG

1.1 Tổng quan

Trong lịch sử khoa học, cuộc cách mạng khoa học là một giai đoạn phát sinh nhiều ý tưởng mới về vật lý, thiên văn học, sinh học, hóa học, giải phẫu học con người v.v Từ đó dẫn tới việc loại bỏ các học thuyết cũ để đặt nền móng cho một nền khoa học hiện đại Khoa học hiện đại đã biến khoa học kỹ thuật trở thành nhân

tố chủ đạo Song song với việc đi sâu vào từng ngành khoa học riêng lẻ là sự xuất hiện của những lý thuyết ngày càng bao trùm hơn, của càng nhiều ngành khoa học

cụ thể khác nhau, cho phép ứng dụng thành tựu của khoa học này để phục vụ cho khoa học kia Một trong những lý thuyết đó là lý thuyết xử lý tín hiệu bằng phương pháp số (DSP-Digital Signal Processing) ngày càng được sử dụng phổ biến hơn, thay thế cho phương pháp xử lý tín hiệu bằng phương pháp tương tự (ASP- Analog Signal Processing) vì những ưu điểm vượt trội của nó Các hệ thống DSP có tính mềm dẻo hơn, dể thực hiện hơn, giải thuật đơn giản hơn Hoạt động của DSP cũng

ít bị ảnh hưởng của các điều kiện bên ngoài hơn và khi công nghệ đa tích hợp ngày càng phát triển thì giá thành của DSP cũng trở nên rẻ hơn Tuy nhiên DSP lại bị hạn chế về tốc độ đặc biệt là khi tần số cao

Trong việc xử lý tín hiệu số DSP thì lý thuyết Fourier luôn được xem là nền tảng cơ sở không thể thiếu được từ trước đến nay Nó là công cụ cơ bản của toán học và ứng dụng khoa học kỹ thuật, đặc biệt là xử lý tín hiệu số Biến đổi Fourier là

sự biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số, tuy nhiên phép biến đổi này chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại các thành phần tần số mà không cho biết thời điểm xuất hiện của các thành phần tần số đó

Một vài biến đổi Fourier thế hệ sau như biến đổi Gabor hay biến đổi Fourier nhanh STFT(Short Time Fourier Transform) đã được đưa ra STFT có hàm cửa sổ trượt trên trục thời gian, từ đó tín hiệu được cửa sổ hóa (windowed signal) STFT

8

cho ta quan hệ thời gian – tần số tuy nhiên độ rộng cửa sổ lại cố định và trượt trên trục thời gian nên không đạt hiệu quả trong việc xử lý tín hiệu băng rộng

Phép biến đổi Wavelet ra đời nhằm khắc phục những hạn chế của biến đổi Fourier Biến đổi Wavelet là một công cụ phân tích theo tỉ lệ Sự khám phá của Wavelet dưới dạng những cơ sở trực chuẩn của không gian hàm đã tạo ra các khung chuẩn cho việc khai triển Wavelet gọi là phân tích đa phân giải và thiết lập ra những liên kết với các phương pháp được sử dụng trong các lĩnh vực khác Daubechies đã xây dựng các bộ lọc băng(Filter banks) được sử dụng trong xử lý tín hiệu số

Hiện nay Wavelet đang là một chủ đề nóng về cả 2 lĩnh vực lý thuyết và ứng dụng Wavelet là một cây cầu nối liền các lĩnh vực riêng biệt của toán học, thống

kê, xử lý tín hiệu và các khoa học vật lý khác Để hiểu thêm về Wavelet trước hết là

sơ qua vài nét về lịch sử phát triển của phép biến đổi này

1.1.2 Lịch sử phát triển của phép biến đổi Wavelet

Trong lịch sử toán học, trong một thời gian dài nhiều ý tưởng về biến đổi Wavelet đã được giới thiệu, đưa ra nhiều nguồn gốc khác nhau về giải tích Wavelet Hầu hết các nghiên cứu về Wavelet được thực hiện vào những năm 1930, tuy nhiên

ở thời điểm đó, các nỗ lực riêng biệt đã không đưa ra được một lý thuyết chặt chẽ, thống nhất

Trước 1930

Trước 1930, một nhánh chính của toán học nghiên cứu về Wavelet ban đầu với

Joseph Fourier (1807) và lý thuyết của ông về giải tích tần số (frequency analysis),

hiện nay thường được nhắc đến với biến đổi Fourier (FT) Ông cho rằng một hàm tuần hoàn f(x) có chu kỳ 2Π là tổng của một dãy:

∑∞ (1.1)

=

++

)(

1

dx kx x

f

9

Sau 1807, cùng với sự khám phá ra ý nghĩa của các hàm, sự hội tụ dãy Fourier,

và các hệ thống trực giao, các nhà toán học dần đi từ khái niệm giải tích tần số tới

khái niệm giải tích tỷ lệ (scale analysis) Ý tưởng cơ bản là xây dựng một hàm gốc,

dịch và thay đổi tỷ lệ hàm này, áp dụng chúng với cùng tín hiệu để thu được một xấp xỉ mới của tín hiệu đó Người ta nhận ra rằng, dạng phân tích tỷ lệ ít nhạy cảm với nhiễu vì phân tích tỷ lệ tính sự biến đổi trung bình của tín hiệu ở các tỷ lệ khác nhau Khái niệm Wavelet xuất hiện đầu tiên trong phụ lục lý thuyết của A Haar (1909) Wavelet Haar triệt tiêu bên ngoài một khoảng hữu hạn Và Wavelet Haar không khả vi liên tục, điều này làm hạn chế các ứng dụng của Wavelet Haar

Paley, và Stein thực hiện yêu cầu tính toán năng lượng của hàm f (x):

Năng lượng= ∫ f ( x )2dx (1.3)

Các nhà nghiên cứu đã tìm ra một hàm có thể thay đổi theo tỷ lệ và có thể bảo toàn năng lượng khi tính toán năng lượng hàm David Marr đã đưa ra với thuật toán hiệu quả cho xử lý ảnh số sử dụng Wavelet

1960-1980

Từ năm 1960 đến 1980, các nhà toàn học Guido Weiss và Ronald R.Coifman đã

nghiên cứu các phần tử đơn giản nhất của không gian hàm, gọi là atom (nguyên tử),

với mục đích tìm ra các nguyên tử cho hàm chung và tìm ra quy tắc tập hợp

“assembly rules” cho phép tái xây dựng các yếu tố của không gian hàm sử dụng các

atoms Năm 1980, Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ sư, đã định nghĩa

10

chung Wavelets trong lĩnh vực vật lý lượng tử Hai nhà nghiên cứu này đã đưa ra một cách quan niệm Wavelet dựa trên cơ sở vật lý

1.1.2 Phạm vi ứng dụng của phép biến đổi Wavelet và phương pháp loại trừ nhiễu ứng dụng lý thuyết Wavelet

Tương tự như STFT, biến đổi Wavelet cũng là một phép biến đổi một hàm thời gian thành hàm hai chiều của a và b Tham số a gọi là thang tỉ lệ, nó chia tỉ lệ một hàm bằng cách nén hay giãn hàm đó Tham số b là dịch chuyển của hàm Wavelet trên toàn bộ trục thời gian

Hiện nay Wavelet đang là một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm Dưới các góc nhìn khác nhau Wavelet được quan tâm như là một cơ sở toán học để giải các bài toán thực tế mà các phép biến đổi tín hiệu truyền thống không thể thực hiện được Một số các ứng dụng của Wavelet có thể là: phát hiện điểm đột biến của tín hiệu; xác định sự lặp lại của các đoạn tín hiệu; phân giải tín hiệu thành các sóng sin thành phần; nén tín hiệu; giải nhiễu tín hiệu Bên cạnh các ứng dụng thuần túy về toán học như giải các phương trình vi phân từng phần, phép biến đổi Wavelet đang ngày càng chứng tỏ khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác như thiên văn học, y học, âm nhạc, quang học, xử lý tín hiệu v.v

Vấn đề khử nhiễu tín hiệu luôn là vấn đề được các nhà nghiên cứu quan tâm trên cả phương diện thực tiễn cũng như lý thuyết Vấn đề làm thế nào khôi phục tín hiệu nguyên bản từ dữ liệu bị nhiễu với mong muốn khôi phục tín hiệu càng giống

11

với tín hiệu nguyên gốc đến mức có thể, đồng thời giữ lại những đặc điểm quan trọng của tín hiệu Đã có nhiều thuật toán khác nhau được công bố và mỗi thuật toán này đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng Những phưong pháp khử

nhiễu truyền thống sử dụng phương pháp tuyến tính như là lọc Wiener (Wiener

filtering) Gần đây, phương pháp khử nhiễu phi tuyến được giới thiệu, đặc biệt là

những phương pháp trên cơ sở Wavelet được phát triển mạng mẽ, đa dạng

Một trong những nhà nghiên cứu tiên phong trong lĩnh vực khử nhiễu cơ sở Wavelet là Weaver và các cộng sự của mình, họ đã giới thiệu một phương pháp mới

khử nhiễu từ ảnh cộng hưởng từ MR (Magnetic Resonance) dựa trên cơ sở mô hình

được gọi là lấy ngưỡng cứng Weaver đã chứng tỏ rằng sử dụng lấy ngưỡng Wavelet, có thể được giảm đáng kể nhiễu mà không làm mờ hình ảnh Trong khi Wiever và những nhà khoa học khác chứng minh ưu điểm của mô hình khử nhiễu Wavelet dựa trên các kết quả thực nghiệm, Donoho và Johnstone đã chứng minh các kết quả lý thuyết quan trọng về lấy ngưỡng Wavelet Donoho và Johnstone đã

chứng minh sự co ngắn Wavelet (Wavelet Shrinkage) đem lại kết quả khử nhiễu tốt,

đảm bảo tốc độ hội tụ tốt hơn, và đơn giản Nhiều công trình nghiên cứu đã được

công bố trong lĩnh vực Wavelet Shrinkage, hầu hết tập trung vào mô hình thống kê

của các hệ số Wavelet và sự lựa chọn tối ưu của các ngưỡng

Bên cạnh lấy ngưỡng Wavelet, những phương pháp khử nhiễu khác cũng được

nghiên cứu, như khử nhiễu cơ sở Wavelet sử dụng cây Hidden Markov (Hidden

Markov Trees), được khởi đầu bởi Crouse và thực sự thành công Những mô hình

khử nhiễu dựa trên cơ sở HMT cố gắng mô hình hoá phần phụ thuộc giữa các hệ số Wavelet kế tiếp sử dụng HMT, và sử dụng sai số bình phương trung bình nhỏ nhất

MMSE (minimum mean-squared error) như là sự đánh giá cho khử nhiễu

Các cấu trúc cây (Tree Structures) cho các hệ số Wavelet dựa trên độ lớn của chúng, tỷ lệ và sự định vị rải rác (spatial location) cũng đang được nghiên cứu Biến đổi thích nghi dữ liệu như phân tích thành phần độc lập ICA (Independent

Component Analysis) cũng được khảo sát Xu hướng phát triển tiếp theo của lĩnh

vực khử nhiễu tập trung vào sử dụng các mô hình thống kê để mô hình hoá các đặc

12

điểm thống kê của các hệ số Wavelet và lân cận của nó Xu hướng tương lai sẽ là tìm kiếm các mô hình thống kê chính xác hơn cho phân bố của các hệ số Wavelet không trực giao

1.2 Các phần thực hiện trong đồ án:

Qua một vài nét tổng quan về lịch sử phát triển cũng như một số các ứng dụng của phép biến đổi Wavelet đặc biệt là ưu điểm nổi bật của phép biến đổi Wavelet trong lĩnh vực khử nhiễu tín hiệu Có thể nói đây là một lĩnh vực mới mẻ, nhiều tiềm năng và hết sức hấp dẫn Đồ án này của em trình bày phần lý thuyết về phép biến đổi Wavelet và đi sâu phân tích việc ứng dụng lý thuyết Wavelet trong lĩnh

vực khử nhiễu tín hiệu Với các mục tiêu như đã nêu trên, đồ án “Nghiên cứu

phương pháp loại trừ nhiễu ứng dụng lý thuyết Wavelet” bao gồm các chương như sau:

Chương 1 : Giới thiệu chung Giới thiệu chung về phép biến đổi Wavelet, mục tiêu,

hướng tiếp cận và các nội dung sẽ được trình bày trong đồ án

Chương 2: Lý thuyết về phép biến đổi wavelet Trình bày cơ sở của lý thuyết Wavelet, những đặc điểm quan trọng của các dạng Wavelet khác nhau

Chương 3: Phương pháp loại trừ nhiễu sử dụng phép biến đổi Wavelet.Trình bày phương pháp khử nhiễu ứng dụng lý thuyết Wavelet

Chương 4: Mô phỏng và kết luận giới thiệu chương trình mô phỏng khử nhiễu tín hiệu được viết bằng Matlab, đưa ra các kết quả mô phỏng và phân tích các kết quả khử nhiễu thu được cũng như các hướng nghiên cứu tiếp theo

13

Chương 2: LÝ THUYẾT VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet

2.1.1 Phép biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) là một phép biến đổi tuyến tính, ánh xạ tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số được định nghĩa:

f

dt e t f w

F

iwt

jwt

)()

(

)()

14

Hình 2.2: biến đổi Fourier một hàm tuần hoàn

Thông tin được chia bởi khoảng tương ứng với toàn bộ trục thời gian vì tích phân từ -∝ tới +∝ Do đó biến đổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần số thay

đổi theo thời gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non-stationary) Điều đó có nghĩa là

biến đổi Fourier chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại của các thành phần tần

số nào đó, tuy nhiên thông tin này độc lập với thời điểm xuất hiện thành phần phổ

đó

Do vậy biểu diễn tần số - thời gian tuyến tính được gọi là biến đổi Fourier

nhanh STFT (Short Time Fourier Transform) được đưa ra Trong biến đổi STFT, tín

hiệu được chia thành các đoạn đủ nhỏ, do vậy tín hiệu trên từng đoạn được phân

chia có thể coi là dừng (stationary) Với mục đích này, hàm cửa sổ được lựa chọn

Độ rộng của cửa sổ phải bằng với đoạn tín hiệu mà giả thiết về sự dừng của tín hiệu

là phù hợp Định nghĩa STFT:

= ∫ − − (2.2)

t

jwtdt e l t w t f w

l

với w là hàm cửa sổ

15

Hình 2.3 Biến đổi Fourier trong mặt phẳng thời gian-tần số

Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ được sử dụng Cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại

Do vậy, vấn đề là chọn hàm cửa sổ và sử dụng cửa sổ này cho toàn bộ phân tích, tuy nhiên việc lựa chọn hàm cửa sổ lại phụ thuộc ứng dụng Nếu như các thành phần tần số tách biệt với nhau trong tín hiệu nguyên bản, thì chúng ta có thể hy sinh

độ phân giải tần số và do vậy có độ phân giải thời gian tốt Tuy nhiên, trong trường hợp các thành phần phổ không tách biệt với nhau thì việc lựa chọn cửa sổ phù hợp

là khó khăn

16

2.1.2 Biến đổi Wavelet

Mặc dù vấn đề độ phân giải thời gian và tần số là kết quả của hiện tượng vật

lý (nguyên lý bất định Heisenberg) và luôn tồn tại dù sử dụng bất kỳ biến đổi nào, tuy nhiên người ta có thể khắc phục vấn đề này khi phân tích tín hiệu bất kỳ nhờ sử

dụng phép tính gần đúng luân phiên được gọi là biến đổi Wavelet (WT_Wavelet

Transform) Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với

những độ phân giải khác nhau Trong biến đổi Wavelet mỗi thành phần phổ không được phân tích ngang bằng như trong trường hợp biến đổi STFT

Hình 2.5 Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số của các phép biến đổi

Biến đổi Fourier và STFT dùng các sóng sin tương ứng với tần số để phân tích tín hiệu Biến đổi Wavelet dùng một hàm Wavelet gốc gọi là Wavelet mẹ và các bản dịch, định tỉ lệ Sóng sin dùng trong biến đổi Fourier biến thiên tuần hoàn từ đến , trơn vô hạn cấp Ngược lại, hình dạng của Wavelet không đều, miền xác định có thể hữu hạn và không đối xứng

Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian kém hơn ở tần số thấp Điều này đặc biệt có ý nghĩa trong việc loại trừ nhiễu thông tin có ích thường tồn tại ở các thành phần tần số thấp, trong khi các thành phần nhiễu lại tồn tại chủ yếu ở các thành phần tần số cao

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa như sau:

17

1 , ( ) (2.4)

Là hàm cửa sổ hay còn gọi là Wavelet mẹ (mother Wavelet), a là tỉ lệ (scale) dùng để thay đổi tỉ lệ và b là khoảng dịch (shift) dùng để dịch vị trí thời gian

là hệ số chuẩn hóa năng lượng, tức năng lượng của hàm Wavelet mẹ (bằng ψ (t) khi b=0, a=1) không thay đổi theo tỉ lệ a và độ dịch b

Tích chất đặc biệt của hàm ψ ,b(t)là có khả năng thay đổi độ rộng trong miền thời gian khi tỉ lệ thay đổi, người ta gọi hàm Wavelet có khả năng “zoom in”

và “zoom out” Cụ thể là với a nhỏ (a<1) thì ψ ,b(t) co lại trong miền thời gian và

có tần số cao, ngược lại nếu a lớn (a>1) thì ψ ,b(t)sẽ giản ra và có tần số thấp Việc lấy tỷ lệ Wavelet mẹ cho phép so sánh và rút ra đặc điểm chính xác của tín hiệu Các Wavelet có tỷ lệ bé có khả năng trích được phần biến thiên nhanh, có tần số cao (phần tinh), còn khi tỷ lệ lớn trích được phần biến thiên chậm, tần số thấp (phần thô) của tín hiệu

Thuật toán CWT có thể được mô tả như sau:

1 Chọn Wavelet và so sánh với phần đầu của tín hiệu nguyên bản

2 Tính hệ số C(a,b), thể hiện mức độ tương quan giữa wavelet và phần của tín

hiệu Hệ số C càng cao thì sự tương tự là lớn Chú ý kết quả sẽ phụ thuộc vào hình dạng của Wavelet đã chọn

3 Dịch Wavelet về phía phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao phủ toàn

bộ tín hiệu

4 Lấy tỷ lệ Wavelet và lặp lại từ bước 1 đến bước 3

18

Hình 2.6: Thuật toán CWT

2.1.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet

Biến đổi Fourier nhanh (FFT) và biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) đều là phép toán tuyến tính sinh ra cấu trúc dữ liệu bao gồm các đoạn log2n độ dài thay đổi, điền đầy và biến đổi chúng thành các vectơ dữ liệu với độ dài 2n

Đặc điểm toán học của các ma trận liên quan trong các biến đổi FFT và DWT là tương tự nhau Ma trận biến đổi ngược của cả FFT và DWT là ma trận chuyển vị của ma trận nguyên gốc Và kết quả là, cả hai biến đổi có thể xem như là một phép quay không gian hàm tới một miền khác Với FFT, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở đó là sin và cosin Với biến đổi wavelet, miền mới này bao gồm

các hàm cơ sở phức tạp hơn được gọi là các Wavelet, Wavelet gốc (mother wavelet) hay Wavelet phân tích (analyzing wavelet)

Cả hai biến đổi còn có những điểm tương đồng khác, các hàm cơ sở được phân bố theo tần số, các công cụ toán học như phổ và biểu đồ tỷ lệ có thể được sử dụng để phân biệt các tần số và tính phân bố công suất

2.1.4 Sự khác nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet

Điểm khác biệt lớn nhất giữa hai dạng biến đổi Wavelet và Fourier là các

hàm Wavelet được cục bộ hóa trong không gian (localized in space), trong khi các

hàm sin và cosin của biến đổi Fourier thì không Đặc điểm cục bộ về không gian, cùng với cục bộ các wavelet theo tần số, làm cho các hàm và các phép toán sử dụng

Wavelet được rải rác ra “sparse” khi biến đổi sang miền Wavelet Sự rải rác này,

19

dẫn đến một số ứng dụng hữu ích như là nén dữ liệu, tách các điểm đặc trưng của ảnh, và khử nhiễu

Hình 2.7 Kết quả của phép biến đổi FT và CWT

Điểm khác biệt thứ 2 đó là xem xét sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian – tần

số của các hàm cơ sở trong phân tích FT chỉ có một cửa sổ duy nhất được sử dụng

do đó độ phân giải của phép phân tích là như nhau tại tất cả các điểm trên mặt phẳng thời gian –tần số

Hình 2.8 Các hàm cơ sở trong phép phân tích FT

20

Trong phép biến đổi Wavelet là các cửa sổ có thể thay đổi Để tách các điểm gián đoạn của tín hiệu, người ta có các hàm cơ sở rất ngắn và cùng thời điểm đó để

có được các phân tích tần số chi tiết người ta cần các hàm cơ sở rất dài

Hình 2.9 Các hàm cơ sở trong phép phân tích Wavelet

2.2 Phép biến đổi Wavelet liên tục:

2.2.1 Định nghĩa

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa:

W(a,b)=∫−+∞∞ f(t)ψ* ,b(t)dt (2.5)

Trong đó a là hệ số tỷ lệ (scaling) và b là hệ số dịch (translation), với ψ*a,b(t)

là liên hợp phức của hàm wavelet ψa,b(t)

Hệ số dịch b cho biết hàm được làm trễ đi hoặc nhanh lên, tức sự trượt hàm trên trục thời gian

Hình 2.10 Phép dịch trong biến đổi CWT

Hệ số tỉ lệ a cho biết các hàm bị dãn ra (hoặc co vào), hệ số tỉ lệ càng nhỏ thì hàm bị co vào càng nhiều.Hệ số tỉ lệ bé sẽ cho phép lấy ra được các thành phần biến thiên nhanh, có tần số cao (phần tinh) Còn tỉ lệ bé sẽ cho phép trích ra các thành phần biến thiên chậm, có tần số thấp (phần thô) của tín hiệu

21

Hình 2.11 Phép thay đổi tỉ lệ trong biến đổi CWT

Các phiên bản khác nhau của hàm Wavelet ψa,b(t)có thể thu được từ Wavelet

1 , ( ) (2.6) với a, b là các số thực (a ≠ 0), ψ ,b(t)là hàm Wavelet gốc, có giá trị trung bình bằng

không: ∫∞ Hàm Wavelet

∞

−

= 0 )

( dt t

ψ ψa,b(t)có dạng bất biến trong không gian L2(R)

của các hàm tích phân bình phương vì có hệ số chuẩn hoá 2

(

a

dadb t b a W C

t

ψ

(2.6) trong đó Cψ phải thoả mãn điều kiện:

=+∫∞ <+∞

∞

−

ωω

ωψ

C

2)(

(2.7)

22

với ψ(ω)là biến đổi Fourier của hàm Wavelet ψ ,b(t) là hằng số phụ thuộc vào hàm Wavelet

ψ

C

)(

( dt t

ψ

Để chắc chắn rằng các hàm Wavelet phân rã nhanh chóng tới không và do vậy chúng được cục bộ hóa trong miền thời gian, hàm Wavelet cần thoả mãn điều kiện:

Một chuỗi Wavelet có được nhờ gián đoạn hoá CWT Sự gián đoạn hoá CWT được thực hiện nhờ lấy mẫu trên mặt phẳng thời gian-tỷ lệ Tốc độ lấy mẫu có thể thay đổi theo sự thay đổi tỷ lệ với điều kiện không vi phạm tiêu chuẩn Nyquist Tiêu chuẩn Nyquist: tốc độ lấy mẫu tối thiểu cho phép tái xây dựng lại tín hiệu nguyên bản là 2f, với f là tần số lớn nhất của tín hiệu Do vậy, khi tỷ lệ cao lên (tần

số thấp đi) tốc độ lấy mẫu có thể giảm như vậy số lượng phép tính giảm

2.2.2 Các tính chất của phép biến đổi CWT

Biến đổi Wavelet liên tục có một số tính chất quan trọng, một trong số đó giống với biến đổi Fourier (như tính bảo toàn năng lượng), ngoài ra còn có một số tính chất đặc trưng cho CWT (công thức khôi phục Kernel) Để chứng minh các tính chất này ta giả thiết ψ(t)là thực

Việc dịch tín hiệu ban đầu trong miền thời gian sẽ tương ứng với dịch trong biến đổi Wavelet liên tục

Chứng minh:

CWTf’(a,b)=

= = CWTf( ) (2.14)

24

2.2.2.4 Tính bảo toàn năng lượng

CWT cũng có tính chất bảo toàn năng lượng giống với công thức Parseval của biến đổi Fourier

Định lý: cho hàm f(t) ∈L2(R) và biến đổi Wavelet của nó là CWTf(a,b) thì ta có:

25

Đặt P(w) = và áp dụng công thức Parsaval thì công thức trên trở thành:

Cục bộ về thời gian: Xét một xung dirac tại tại thời điểm to, δ(t-to) và Wavelet Ψ(t).Biến đổi Wavelet liên tục của xung dirac là:

Với hệ số tỉ lệ ao cho trước, ứng với một đường nằm ngang trong miền Wavelet, thì phép biến đổi là đồng nhất với hàm Wavelet được lấy tỉ lệ và nghịch đảo về thời gian đồng thời tập trung quanh vị trí các hàm dirac.Hình 2.13 chỉ ra tính chất định vị này, với hệ số a nhỏ, biến đổi Wavelet đã phóng to hàm dirac với khả năng cục bộ rất tốt đối với các giá trị tỉ lệ rất nhỏ Hình 2.13b vẽ trường hợp một hàm nhảy bậc, cũng có tính chất cục bộ tương tự nhưng khác nhau về mặt biên

26

Hình 2.13 Tính cục bộ về mặt thời gian (a) Đồ thị f(t) = δ(t-to) và dạng nón của vùng ảnh hưởng.(b) đồ thị của hàm nhảy bậc f(t) = u(t-to) và dạng nón của vùng ảnh hưởng

Cục bộ về tần số: Xét hàm wavelet sinc (tương ứng với bộ lọc thông dải lý tưởng)

có biên độ phổ bằng 1 đối với ∈(Π,2Π) Với một hình sin phức có biên độ bằng

1 tại o thì wavelet có tần số cao nhất sẽ đi qua hình sin đó có hệ số tỉ lệ a min =

Các wavelet có tần số thấp nhất đi qua hình sin đó có a max = 2Π/ o và hệ số khuyếch đại Hình 2.14a vẽ các bộ lọc băng octave còn hình 2.14b minh

họa biến đổi wavelet liên tục của một hàm sin sử dụng wavelet sinc

Thể hiện của tính chất đều: Tính cục bộ về thời gian cho thấy khả năng phóng to, thu nhỏ của biến đổi Wavelet Nó cho phép thể hiện tính cục bộ của tín hiệu, một yếu tố làm cho phép biến đổi Wavelet được ưu chuộng hơn biến đổi Fourier Trong biến đổi Fourier một sự không liên tục trong một hàm “trơn” sẽ tạo ra suy giảm hệ

27

số 1/ trong biến đổi Fourier của hàm đó Biến đổi Fourier cục bộ là có thể chỉ ra tính đều cục bộ trong giới hạn một cửa sổ nhưng không thể cục bộ hơn được Còn biến đổi Wavelet do tính chất “phóng to” “thu nhỏ” sẽ cách ly phần không liên tục khỏi hàm và thực hiện biến đổi Wavelet phần còn lại

Xét hình 2.13(a) và hình 2.13(b) trong trường hợp thứ nhất giá trị tuyệt đối của biến đổi Wavelet bằng -1/2 khi tiến tới hàm Dirac Trong trường hợp thứ 2, biến đổi Wavelet là bằng một hàm mũ có chiều cao -1/2.ao1/2 và rộng từ t -a /2 tới

( ) ( )2/ 2

2

πω

Tần số trung tâm 5,336

2ln

ψ rất nhỏ nên vẫn được xem là một hàm của Wavelet

Hình 2.15: Biểu diễn Wavelet Morlet

2.3 Biến đổi Wavelet rời rạc

Vì những hàm Wavelet ψa,b( )ω được định nghĩa đối với mọi điểm trong không gian (a, b) nên rõ ràng việc áp dụng những cơ sở Wavelet ψ ,b( )ω rất dư thừa Do vậy, để giảm bớt sự dư thừa đó biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) được giới thiệu Biến đổi DWT dựa trên cơ sở mã hoá băng con, có thể được thực hiện dễ dàng, giảm thời gian tính toán và tài nguyên yêu cầu

Cơ sở của DWT được xây dựng từ năm 1976, khi các kỹ thuật phân tích tín hiệu rời rạc được phát triển Các nghiên cứu về DWT cũng được thực hiện trong

lĩnh vực mã hóa tín hiệu tiếng nói còn được gọi là mã hoá băng con (sub-band

coding) Năm 1983, các kỹ thuật tương tự kỹ thuật mã hoá băng con được phát triển

được gọi là mã hoá hình chóp (pyramidal coding) và dẫn đến sơ đồ phân tích đa

phân giải (MRA)

Trong biến đổi Wavelet liên tục, tín hiệu được phân tích sử dụng một tập hợp hàm cơ sở liên quan với nhau bởi hệ số tỷ lệ (a) và hệ số tịnh tiến (b) Trong DWT, biểu diễn thời gian-tỷ lệ của tín hiệu số thu được nhờ sử dụng các kỹ thuật lọc số

29

Tín hiệu được phân tích qua các bộ lọc với tần số cắt khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau

k

n f k

j C b a

1)

a f f

A

,

2 2

2

,,ψ (3.27)

với A và B là hai hằng số dương gọi là giới hạn của khung (framebounds)

Biến đổi ngược được xác định như sau:

f , ψ , (2.28)

Nếu giới hạn khung (framebounds) trong (3.27) là A=B=1, thì phép biến đổi là trực

giao

Đây là tổng vô hạn theo cả chỉ số thời gian k và chỉ số tỷ lệ j Tuy nhiên tổng

này có thể được tính hữu hạn với sai số rất nhỏ trong trường hợp các hàm Wavelet với toàn bộ năng lượng tập trung trong một khoảng nào đó, như vậy phép tổng hữu hạn (2.28) theo k là đúng với một số xấp xỉ

Phép tổng (2.28) theo j là hữu hạn với một số xấp xỉ sẽ được giải thích ở phần tiếp theo của chương bởi khái niệm đa phân giải MRA Khái niệm MRA được phát triển bởi Mallat và Meyer, đây là nền tảng lý thuyết để xây dựng các Wavelet sau này

30

2.3.2 Tính chất biến đổi DTW

Wavelet được xác định bởi một số xác định các hệ số khác không M Số hệ

số này đại diện cho số momen triệt tiêu (vanishing moments) được xác định như

sau: Nếu ψ( )x là khả vi M lần và phân rã đủ nhanh, thì M-1 mômen Wavelet đầu tiên triệt tiêu, nghĩa là:

( )x <∞

dt

d k

k

ψ tức là ∫x kψ( )x dx= 0 với 1≤k≤M (2.29) Wavelet phải thoả mãn hai phương trình tỷ lệ:

k

k

k x k

h

ψ 2 1 1 (2.31) Ngoài ra, hàm tỷ lệ là trực giao với phép tịnh tiến của nó:

h 2 0 (2.35) Như vậy, có thể kết luận rằng mọi tính chất của Wavelet được quyết định bởi dãy

của bộ lọc h(k)

2.3.4 Ví dụ Wavelet Haar

Hàm tỷ lệ:

31

,1

t

t t

12

/1,1

2/10

,1

t

t

t t

ψ (2.37)

Hình 2.16: Wavelet Haar

2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc

2.4.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis)

Định nghĩa: Không gian L2 = L2(R) là không gian của các tín hiệu tương tự Phân tích đa phân giải MRA của L2 là một họ các không gian con V j ⊂ L2( )R :

Như vậy họ {φ(t− ,k) k∈Z} tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian tham

chiếu V0 Các không gian V j lồng vào nhau Không gian L2(R) đóng kín tập hợp

mọi V j

Hình 2.17: Không gian và các không gian con trong đa phân giải Không gian L2 biểu

diễn toàn bộ không gian V j biểu diễn một không gian con, Wj biểu diễn chi tiết

Hàm tỷ lệ φ( )t :

Hàm φ( )t trong định nghĩa đa phân giải MRA được gọi là hàm tỷ lệ (scaling

Theo định nghĩa đa phân giải, ta có phương trình tỷ lệ:

1 2

2 1

0 j0

với j0 là độ phân giải nhỏ nhất được chọn trong phân tích

Vì ψ ∈W0 ⊂V1, và ψ(2t−k) là một cơ sở trực chuẩn của , V1 ψ có thể được viết thành:

Các hệ số và từ các phương trình tỷ lệ và phương trình Wavelet tương ứng với các bộ lọc thông thấp (xấp xỉ) và thông cao (chi tiết) Những bộ lọc này được sử dụng trong thuật toán Mallat

( )h k (g k)

2.4.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu các bộ lọc được sử dụng phổ biến Wavelet có thể được thực hiện bởi các bộ lọc lặp đi lặp lại với tỷ lệ thay đổi Độ phân giải của tín hiệu là tiêu chuẩn để đánh giá lượng thông tin chi tiết trong tín hiệu Độ phân giải của tín hiệu được xác định bởi các quá trình lọc, và tỷ lệ được xác định bởi sự

34

phân chia (upsampling) và nội suy (downsampling) còn gọi là quá trình lấy mẫu con (subsampling)

Biến đổi Wavelet rời rạc được tính toán bởi quá trình lọc thông thấp và thông cao liên tiếp của tín hiệu rời rạc theo thời gian, được gọi là thuật toán Mallat hay sự

phân tích cây Mallat (Mallat-tree decomposition) Ý nghĩa quan trọng của thuật

toán Mallat là thuật toán này đã kết nối sự đa phân giải liên tục theo thời gian với các bộ lọc rời rạc

Thuật toán DWT:

Khởi đầu: Chiếu tín hiệu lên , với J được xác định bởi tần số lấy mẫu Trong thực tế, thực hiện thay thế các hệ số tỷ lệ với các giá trị mẫu

J V

1 Chia các hệ số xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết nhờ sử dụng ( )h k

và ( )g k

2 Thay đổi tỷ lệ các hệ số xấp xỉ

3 Tiếp tục chia phần xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết như bước (1)

4 Lặp lại bước (2) và (3) cho đến khi đạt được kết quả thoả mãn

H

H

H G

G

G H

Ở mỗi mức phân tích, các bộ lọc nửa dải (half band filter) đưa ra các tín hiệu

kéo dài duy nhất nửa băng tần Các bộ lọc này làm tăng độ phân giải tần số lên gấp đôi vì tính bất định của tần số được giảm đi một nửa Theo luật Nyquist nếu như tín hiệu nguyên bản có tần số góc cao nhất ω rad/s yêu cầu tần số góc lấy mẫu là 2ω rad/s, vậy khi tần số góc cao nhất là ω/2 rad/s thì tần số góc lấy mẫu sẽ là ω rad/s,

do vậy loại bỏ một nửa số mẫu cần lấy mà không gây ra sự mất mát thông tin Việc lấy mẫu con với hệ số chia 2 làm giảm một nửa độ phân giải thời gian vì toàn bộ tín hiệu bây giờ được biểu diễn trên chỉ một nửa số lượng mẫu

Như vậy, độ phân giải thời gian đạt được tốt ở các tần số cao, trong khi độ phân giải tần số lại trở nên tốt hơn ở các tần số thấp Quá trình lọc và phân chia là liên tiếp nhau cho đến khi đạt được mức yêu cầu Số lượng tối đa các mức phụ thuộc vào độ dài của tín hiệu Biến đổi Wavelet rời rạc của tín hiệu thu được nhờ sự

xâu chuỗi (concatenating) các hệ số a[n] và d[n], bắt đầu từ mức cuối cùng của quá

trình phân tích

36

Hình 2.18b biểu diễn quá trình khôi phục tín hiệu nguyên bản từ các hệ số Wavelet Về cơ bản, quá trình khôi phục là sự đảo ngược của của quá trình phân tích Các hệ số xấp xỉ và các hệ số chi tiết ở mọi mức được nội suy bởi hệ số 2, qua các bộ lọc tổng hợp thông thấp và thông cao và sau đó được gộp vào với nhau Quá trình tiếp tục cho đến đạt được cùng số mức thu được trong quá trình phân tích tín hiệu nguyên bản

Phương pháp tốt nhất để mô tả quy trình trên cũng như đưa ra một quy trình hiệu quả để xác định các hệ số wavelet là biểu diễn phép toán của các bộ lọc

Trở lại hai biểu thức (2.41) và (2.44) trong phần trước, dãy l2 {h( )k ,k∈Z}và

là các bộ lọc gương vuông góc (quadrature mirror filters) trong xử lý

tín hiệu Mỗi liên hệ giữa g và h:

( )

{g k ,k∈Z}

( ) ( ) (k h n)

g = −1n 1− (2.45) Dãy h(k) được biết đến như là bộ lọc thông thấp trong khi dãy g(k) là bộ lọc thông cao Các bộ lọc thuộc họ các bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn (FIR)

Các tính chất sau có thể được chứng minh sử dụng biến đổi Fourier và tính trực giao:

( )= 2,∑ ( )=0

∑

k k

k g k

h (2.46)

Với dãy đại diện cho tín hiệu rời rạc cần được phân tích và các toán tử H

và G được xác định bởi các biểu thức:

Các biểu thức (2.47), (2.48) biễu diễn phép lọc tín hiệu qua các bộ lọc số h(k), g(k)

tương ứng với các phép toán tích chập với đáp ứng xung của các bộ lọc Hệ số 2k

đại diện cho phép phân chia (downsampling) Các toán tử H và G tương ứng với

bước trong phân tích wavelet

Như vậy biến đổi wavelet rời rạc có thể tóm tắt như sau (hình 2.19):