vSáng kiến kinh nghiệm2008 2009 ứng dụng hệ thức viet

Dạy học toán là dạy cho học sinh ph-ơng pháp học toán và giải toán để vận dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống.. Nội dung kiến thức toán học đ-ợc trang bị cho học sinh T

Dạy học toán là dạy cho học sinh ph-ơng pháp học toán và giải toán để vận dụng kiến thức

đã học vào giải toán thực tế cuộc sống Nội dung kiến thức toán học đ-ợc trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh ph-ơng pháp giải một số bài toán, nh-ng để nắm vững cách giải 1 dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã tích luỹ đ-ợc để giải quyết các bài tập có liên quan Thông qua việc giải bài tập các em

đ-ợc rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập, kĩ năng trình bày, kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học Do đó nâng cao năng lực t- duy, óc t-ởng t-ợng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận của học sinh

b) Cơ sở thực tiễn:

Các bài toán úng dụng hệ thức Vi – ét có một vị trí quan trọng trong ch-ơng trình dạy học toán THCS Học sinh vận dụng những ứng dụng của hệ thức Vi - ét nh-: Nhẩm nghiệm của ph-ơng trình bậc hai trong các tr-ờng hợp a + b + c = 0;a - b + c = 0, hoặc các tr-ờng hợp mà tổng

và tích của hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn Tìm đ-ợc hai số biết tổng và tích của chúng Biết cách biểu diễn tổng các bình ph-ơng, các lập ph-ơng của hai nghiệm qua các hệ số của ph-ơng trình còn lúng túng, khó khăn trong quá trình vận dụng vào giải

các bài toán có liên quan

Các bài toán về những ứng dụng hệ thức Vi - et rất ph-ơng phú đa dạng, nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức, cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển t- duy

Những ứng dụng của hệ thức Vi – ét đối với học sinh THCS là khó và mới các em th-ờng gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán này; có những bài toán các em không biết bắt

đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong ch-ơng trình đã học? Làm thế nào để tìm đ-ợc giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện của bài toán ấy? Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáo dục t- t-ởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối -u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống sau này

Chính vì vậy bài toán này th-ờng xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, cũng nh- trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Qua một số năm giảng dạy toán THCS đ-ợc giao công tác bồi d-ỡng học sinh lớp 9 tôi rất quan tâm vấn đề nay chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài này Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề:

“ Những ứng dụng của hệ thức Vi – et ”

2) Đối t-ợng và ph-ơng pháp nghiên cứu:

a, Đối t-ợng nghiên cứu: Là học sinh lớp 9

b, Ph-ơng pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT Toán 9, sách nâng cao

- các đề thi vào các tr-ờng THPT, các chuyên đề đại số

PHần II - giải quyết vấn đề

x x x x x x

a d

+) Hệ quả 2: Nếu ph-ơng trình 2

a x + b x + c = 0 a 0 có a - b + c = 0 thì ph-ơng trình có một nghiệm x1 1 còn nghiệm kia là x2 c

+) Có nghiệm x 1 nếu a b c d 0

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S vả tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của ph-ơng trình bậc hai: 2

b, x0 D sao cho f (x0) m ; KÝ hiÖu m = max f(x), x D

2) m ®-îc gäi lµ mét gi¸ trÞ nhá nhÊt G T N N cña f(x)trªn miÒn D nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y:

B mét sè vÝ dô vÒ nh÷ng øng dông cña hÖ thøc Vi- Ðt

I D¹ng I: øng dông hÖ thøc Vi – et vµo viÖc nhÈm nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai

2

a x + b x + c = 0 a 0 khi biÕt c¸c hÖ sè a; b; c

 HÖ qu¶ 1: NÕu ph-¬ng tr×nh 2

a x + b x + c = 0 a 0 cã a + b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x1 1cßn nghiÖm kia lµ x2 = c

c) 3 x - 1 - 3 x - 1 = 0 d) m - 1 x - 2 m + 3 x + m + 4 = 0

H-ớng dẫn cách giải:

- Muốn giải ph-ơng trình trên ta làm nh- thế nào ?

- Học sinh nêu cách làm là dùng công thức nghiệm để giải các ph-ơng trình này

- Có em đã phát hiện cách làm là vận dụng hệ thức Vi – ét vào tính nhẩm các nghiệm của ph-ơng trình bậc hai 2

ta mới dùng công thức nghiệm để giải

- Việc vận dụng hệ quả của hệ thức Vi – et và tính toán cho phép tính nhanh chóng nghiệm của ph-ơng trình

 Các em có nhận xét gì nếu ta thay đổi yêu cầu của bài toán nh- sau:

+) Có nghiệm x 1 nếu a b c d 0

- Khi đó các em trình bày lời giải nh- sau:

Nhận thây x = - 1 không là nghiệm của ph-ơng trình nên ta chia 2 vế của ph-ơng trình cho

+) Với y1 1

2

x 1

Giải ph-ơng trình này ta đ-ợc 2 nghiệm x3 3 3 ; x4 3 3

Vậy ph-ơng trình đã cho có 4 nghiệm 1 1 5

2

2

 Qua ví dụ 3 tôi đã h-ớng dẫn cho học sinh cách giải ph-ơng trình bằng cách vận dụng hệ thức

Vi - ét vào tính nhẩm nghiệm của ph-ơng trình bậc hai một ẩn và h-ớng dẫn cách biến đổi linh hoạt (đặt ẩn phụ) để đ-a ph-ơng trình bậc 4 về ph-ơng trình bậc hai một ẩn có thể nhẩm nghiệm đ-ợc qua đó các em đ-ợc rèn luyện kĩ năng biến đổi và trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, khả năng phân tích, dự đoán

b) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5

H-ớng dẫn cách giải: Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180

Tức là ta cần tìm 2 số x1 và x2 biết 1 2

1 2

2 7 1 8 0

x x

x x

Nếu áp dụng hệ thức Vi – et đảo thì x1 và x2

là 2 nghiệm của ph-ơng trình bậc hai 2

x - 2 7 x + 1 8 0 = 0 ta có lời giải nh- sau:

x - x + 5 = 0

Ta có: = - 1 - 4 1 5 = 1 - 2 0 = - 1 9 < 0 ph-ơng trình trên vô nghiệm

Vậy không có hai số nào thoả mãn điều kiện đề bài

Khai thác ví dụ 1 tôi nêu ra ví dụ sau:

2 Ví dụ 2:

a) Tìm các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi là 100 m và diện tích bằng 621 m2

b) Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm2

H-ớng dẫn cách giải - Bài toán cho biết gì ? cần tìm gì?

- Nếu gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có điều gì? 2 1 0 0

a b

a b

Nên a và b là 2 nghiệm của ph-ơng trình bậc hai: 2

x - 5 0 x + 6 2 1 = 0 ph-ơng trình có 2 nghiệm x1 2 7; x2 2 3

Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật là 27 (m ) và 23 (m)

a b

a b

Nên a và b là 2 nghiệm của ph-ơng trình bậc hai: 2

x - 1 0 x + 3 2 = 0

' 5 1 3 2 7 0 ph-ơng trình vô nghiệm Vậy không tồn tại hình chữ nhật nào có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32 cm2

về dạng ph-ơng trình bậc hai một ẩn rồi giải

III Dạng III: ứng dụng hệ thức Vi – et vào việc giải hệ ph-ơng trình đối xứng

1 Khái niệm hệ ph-ơng trình đối xứng:

Một ph-ơng trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu ta thay x bởi y và y bởi x thì ph-ơng trình không thay đổi

2 Cách giải hệ ph-ơng trình đối xứng loại I

+) Biểu diễn từng ph-ơng trình qua x y ; x y

2 số khi biết tổng và tích của chúng)

(Hệ đã cho có nghiệm khi hệ ph-ơng trình theo S và P có nghiệm thỏa mãn 2

S 4P 0) Tùy theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận ph-ơng trình theo tham số t từ đó suy ra nghiệm hoặc kết luận cần thiết cho hệ ph-ơng trình

- Muốn giải hệ ph-ơng trình trên ta làm nh- thế nào ?

(GV nêu cách làm bằng cách đặt ẩn phụ S x y và P x y. khi đó các em thảo luận và trình bày lời giải nh- sau)

1

1 2

S P

1 2 3 2 0

Giải ph-ơng trình này ta đ-ợc 2 nghiệm là t1 4 và t2 8

Vậy hệ ph-ơng trình có 2 nghiệm là 4 ; 8 và 8 ; 4

Ví dụ 2: Giải hệ ph-ơng trình

a)

2 2

5 7

rồi giải hệ ph-ơng trình này

- Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi – et vào nhẩm nghiệm của ph-ơng trình bậc hai các em đã trình bày lời giải nh- sau:

1 2

6 7 9

Tõ 1 ; 3 vµ ¸p dông hÖ thøc Vi – Ðt suy ra x + z ; y lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai:

x z

x z

4 5 6

Từ 5 ; 6 và hệ thức Vi - et suy ra x ; z là nghiệm của ph-ơng trình bậc hai:

2

m m Giải ph-ơng trình này m1 2 ; m2 1

Vậy hệ ph-ơng trình có nghiệm là 1; 3; 2 ; 2 ; 3; 1

bài toán về dạng tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng (với số thứ nhất là x + z và số thứ hai

là x z và tim đ-ợc x và z nhờ áp dụng hệ thức Vi – ét từ đó tìm đ-ợc các nghiệm của hệ ph-ơng trình

x x x x x x

a d

- Nhận thấy x 0 ;y 0 ;z 0 không phải là nghiệm của hệ ph-ơng trình

- Với x 0 ;y 0 ;z 0 ta có : Nhân cả 2 vế của ph-ơng trình 3 với x y z ta đ-ợc:

về dạng có thể áp dụng đ-ợc hệ thức Vi – et đối với ph-ơng trình bậc ba một ẩn từ đó giải đ-ợc

Từ 1 ; 2 và áp dụng hệ thức Vi - et suy ra x x + 1 ; y y + 1 là nghiệm của ph-ơng trình bậc

và 3

4

x y

và 4

3

x y

Vậy hệ ph-ơng trình có 4 nghiệm là; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 3 ; 2 ; 4 ; 3

hoạt hệ thức Vi – ét về tổng và tích của 2 số x +y và x.y nh-ng nhìn nhận các số là

1

x x và y y 1 ta sẽ đ-a đ-ợc hệ ph-ơng trình về dạng đơn giản hơn đó là hệ hai

ph-ơng trình bậc hai, mỗi ph-ơng trình bậc hai một ẩn

 Ph-ơng pháp chung:

- Nh- vậy từ những bài toán giải hệ ph-ơng trình đối xứng loại I rất phức tạp xong nếu biết biến

đổi linh hoạt và vận dụng hệ thức Vi - et về tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng ta sẽ đ-a

bài toán trở về dạng đơn giản hơn từ đó tìm đ-ợc nghiệm của hệ ph-ơng trình

- Khi giải hệ ph-ơng trình mà vế trái là những đa thức đối xứng thì ta có thể coi các ẩn đó là

nghiệm của một ph-ơng trình rồi sử dụng hệ thức Vi - et để thiết lập ph-ơng trình mới này

Nghĩa là ta đã chuyển việc giải hệ ph-ơng trình n ẩn về giải một ph-ơng trình bậc n một ẩn, nếu

ph-ơng trình này giải đ-ợc thì đó là nghiệm của hệ n ph-ơng trình đã cho

IV Dạng IV: ứng dụng hệ thức Vi – et vào việc tính giá trị biểu thức đốI xứng của

các nghiệm - tìm điều kiện để 2 nghiệm liên hệ với nhau theo một hệ thức cho tr-ớc

1 + x 1 + x = 5

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2005 -2006)

Sau đó áp dụng hệ thức Vi – et để tính tổng và tích của 2 nghiệm Kết hợp với điều kiện (hệ thức) giải hệ ph-ơng trình gồm điều kiện với tổng và tích các nghiệm chúng ta tìm đ-ợc tham số thỏa mãn điều kiện bài toán ta có lời giải nh- sau:

- Khi đó ph-ơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 2 và x1 x2 = -2m

- Để ph-ơntg trình có 2 nghiệm thoả mãn điều kiện 1 + x 1 1 + x 2 = 5

căn thức và áp dụng công thức sau để tính hoặc bình ph-ơng biểu thức đó để tính theo tổng

và tích các nghiệm của ph-ơng trình bậc hai

1 2

x m x

m

9 2 3

m

9 m 8 2 3

x

( thỏa mãn điều kiện 1

0

m m

)

Vậy với m 9

8

thì ph-ơng trính có 2 nghiệm thỏa mãn nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Hoặc các em có thể thay trực tiếp 2 nghiệm vừa tìm đ-ợc và cho x1 2x2 từ đó ta cùng tìm

đ-ợc giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán

Đối với phần 2 ta cần tìm điều kiện để ph-ơng trình có nghiệm từ đó áp dụng hệ thức Vi -

et tính tổng và tích các nghiệm x 1 , x 2 của ph-ơng trình, và kết hợp với điểu kiện bài toán

từ đó tìm đ-ợc giá trị của m thỏa mãn điều

kiện bài toán

m x

m

1 2

1 2

2

m x

m x

Thay x1 + x2 = 2 và x1 x2 = -2m vào (*) ta có 4 42 2

4

m m

1 m 2m 2

1) Viết ph-ơng trình của parabol P

2) Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng d song song với x 2y 1 và đi qua điểm B( 0 ;m) Với giá trị nào của m thì d cắt parabol P tại hai điểm có hoành độ x1, x2 sao cho 3x1 5x2 5

Giải:

a) Vì Parabol P có đỉnh ở gốc tọa độ O 0 ; 0 nên P có dạng 2

y a x a 0 Vì P đi qua điểm 1; 1

4

1 4

- Để đ-ờng thẳng d cắt P tại 2 điểm có hoành độ x1 và x2

ph-ơng trình hoành độ giao điểm 1 2 1

5 2 1 2

x

x

 Chú ý : Trong bài tập trên ta đã vận dụng điều kiện để đ-ờng thẳng và parabol cắt nhau tại 2

điểm phân biệt (Đ-ờng thẳng d :y m x n cắt Parabol P : 2

y a x tại 2 điểm phân biệt ph-ơng trình 2

0

a x m x n có 2 nghiệm phân biệt) và hệ thức Vi - et để tính tổng và tích các nghiệm để tính đ-ợc giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán

9 Ví dụ 9: Gọi x1; x2 x3; x4 là tất cả các nghiệm của ph-ơng trình:

sáng tạo hệ thức Vi – et để tính tích các nghiệm x1.x2 và x3.x4 từ đó ta có thể tính đ-ợc giá trị biểu thức x x1. 2.x3.x4

Gọi x1; x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình Hãy tìm m để x1 x2 5

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2006 -2007 - Hải D-ơng)

+) Tìm điều kiện để ph-ơng trình có nghiệm 0 (hoặc a.c < 0)

+) áp dụng hệ thức Vi – ét để tính tổng và tích của 2 nghiệm

+) Kết hợp với điều kiện ( hệ thức) giải hệ ph-ơng trình gồm điều kiện với tổng và tích các nghiệm chúng ta tìm đ-ợc tham số thỏa mãn điều kiện bài toán

+) So sánh với điều kiện có nghiệm để (trả lời) kêt luận bài toán

Bài tập áp dụng:

1 Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol 2

y = x (P) và đ-ờng thẳng (d) có ph-ơng trình:

y = 2 a - 1 x + 5 - 2 a ; (a là tham số)

1 Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đ-ờng thẳng (d) và (P)

2 Chứng minh rằng với mọi a đ-ờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

3 Gọi hoành độ giao điểm của đ-ờng thẳng (d) và (P) là x1, x2 Tìm a để 2 2

Gọi x1;x2là các nghiệm của ph-ơng trình 1 Tính giá trị của biểu thức:

1) Chứng minh rằng ph-ơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

2) Tìm điều kiện của m để ph-ơng trình có 2 nghiệm trái dấu

3) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình 2 2 2 2

x x x x

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 1999 -2000- Hải D-ơng)

5 Bài 5: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có ph-ơng trình: y = 2x2, một đ-ờng thẳng (d) có hệ số góc bằng m và đi qua điểm I 0 ; 2

1) Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d)

2) CMR: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

3) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là xA, xB CMR: xA- xB 2

6 Bài 6: Cho hàm số: 2

y = x (P) và 2

y = 3 x + m (d) 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

2) Gọi y1 và y2 là tung độ giao điểm của đ-ờng thẳng (d) và (P) Tìm m để y + y = 1 1 y y1 2 1 2

7 Bài 7: Cho parabol (P):

2

x

y = 2

và đ-ờng thẳng (d): y = m x - m + 2 (m là tham số)

1 Tìm m để đ-ờng thẳng (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng x = 4

2 CMR đ-ờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với m R

3 Giả sử (x1;y1) và (x2;y2) là toạ độ giao điểm của (d) và (P) CMR: y1 y2 2 2 1 x1 x2

8 Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc

đồ thị (P) của hàm số 2

y a x và điểm B không thuộc (P)

a) Tìm hệ số a và vẽ (P)

b) Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua 2

điểm A và B Xác định tọa độ giao điểm thứ

hai của (P) và đ-ờng thẳng AB

2m 1 x 2mx + 1 = 0 a) Xác định m để ph-ơng trình có nghiệm thuộc khoảng 1; 0

; 2

5 3

thì ta vận dụng hệ thức Vi – et đảo (tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng) ta làm nh- sau:

2 2

2 1

1

a

a x

x x

- Từ đó tôi h-ớng dẫn cho học sinh tìm tổng x + x = ?1 2 từ biểu thức

4

7 1

2 1

1

a

a x

x x

2 2

2 1

1

a

a x

x x

 Nhận xét: Để lập đ-ợc ph-ơng trình bậc hai khi biết tích hai ẩn và hệ thức 1 thì ta

cần tìm tổng của hai ẩn để áp dụng định lí Vi –et

(vô lí) Vì 1 5 R ; 3 1 4

8

p q

Z p

 Ph-ơng pháp chung:

+) Muốn lập ph-ơng trình bậc hai có nghiệm là hai số cho tr-ớc ta làm nh- sau:

- B-ớc 1: Tính tổng và tích của hai số đó

- B-ớc 2: áp dụng hệ thức Vi – et đảo để tìm ph-ơng trình cần lập ta tính tổng và tích của chúng rồi áp dụng hệ thức Vi – ét đảo để xác định ph-ơng trình cần lập

+) Trong tr-ờng hợp ph-ơng trình bậc hai cần lập biết tr-ớc một nghiệm và các hệ số là các

số nguyên thì ta thay nghiệm đó vào ph-ơng trình ban đầu rồi tìm các hệ số đó

1

x và 2

2

x là nghiệm