Sáng kiến kinh nghiệm PHUONG PHAP GIAI PT QUY VE PT BAC HAI

í nghĩa và tỏc dụng của giải phỏp mới: Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với các dạng ph-ơng trình kh

Mục lục

Trang

A MỞ ĐẦU

I Đặt vấn đề 2

1 Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết 2

2 í nghĩa và tác dụng của giải pháp mới 3

3 Phạm vi nghiên cứu của đề tài 3

II Ph-ơng pháp tiến hành……… 4

1 Cơ sở lí luận và thực tiễn có tính định h-ớng cho việc nghiên cứu, tìm giải pháp của đề tài 4

2 Các biện pháp tiến hành và thời gian tạo ra giải pháp 5

B NỘI DUNG I Mục tiêu ……….6

II Mô tả giải pháp của đề tài 6

1 Thuyết minh tính mới……….6

2 Khả năng áp dụng 15

3 Lợi ích kinh tế – xã hội……… 15

C KẾT LUẬN ……… 17

Tài liệu tham khảo 19

GV: Trương Thị Ngọc Phượng 2 Trường THCS Nguyễn Huệ

A MỞ ĐẦU

I – Đặt vấn đề

1 Thực trạng của vấn đề địi hỏi phải cĩ giải pháp mới để giải quyết:

Trong xu thế chung những năm gần đây, viêc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhất nhầm đào tạo những con người cĩ năng lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi mới phương pháp dạy học khơng chỉ trong các bài giảng lý thuyết, mà ngay cả trong các giờ luyện tập Luyện tập ngồi việc rèn luyện kỹ năng tính tốn, kỹ năng suy luận cần giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức đã học một cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năng động sáng tạo

Trước tình hình phát triển của đất nước để tiến tới xây dựng nền cơng nghiệp hĩa,hiện đại hĩa, bộ mơn Tốn đã gĩp phần khơng nhỏ trong việc nâng cao cuộc sống con người và làm giàu cho đất nước Nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập bộ mơn Tốn trường THCS hiện nay là một vấn đề được nhiều người quan tâm nhất là các cấp quản lý và những người trực tiếp đứng lớp Việc nâng cao chất lượng địi hỏi các giáo viên phải khơng ngừng cải tiến phương pháp giảng dạy , phát huy tính tích cực của học sinh , tạo cho học sinh sự thích thú khám phá , sáng tạo những cái hay , cái mới trong quá trình học tập bộ mơn Đồng thời qua đĩ càng rèn luyện tính kiên trì , chịu khĩ để hồn thành cơng việc

Hiện nay, với sự phân hố đối tượng trong học sinh về năng lực nổi lên rất rõ

số học sinh khá giỏi đang dần dần chiếm một tỷ lệ tương đối, do đĩ nhu cầu được nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về phương trình và phương trình đưa về phương trình bậc hai ở chương trình THCS chưa được đề cập đến nhiều Đội ngũ giáo viên chưa được chuẩn

bị chu đáo để bắt tay vào dạy bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, do đĩ địi hỏi người giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng mình Chính vì thế nội dung bồi dưỡng phần kiến thức này chưa cĩ sự thống nhất, gây khơng ít khĩ khăn cho người học và người dạy

Nghiên cứu sách giáo khoa và chương trình hiện hành ta thấy: SGK Đại số 9 đã đưa ra cho học sinh một số loại phương trình quy về phương trình bậc hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích, phương trình trùng phương, Song nhìn chung

mức độ yờu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức độ nhận dạng, chỉ phự hợp với học sinh đại trà, cũn với cỏc em học sinh ở cỏc lớp chọn nếu dừng lại ở yờu cầu trờn thỡ chưa

đủ, vỡ vậy cũng cần hệ thống, phõn loại và giới thiệu với cỏc em về mảng kiến thức

“Phương phỏp giải phương trỡnh quy về phương trỡnh bậc hai”

2 í nghĩa và tỏc dụng của giải phỏp mới:

Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với các dạng ph-ơng trình không phải là ph-ơng trình bậc hai Cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm có đ-ợc của bản thân qua nhiều năm giảng dạy Kết hợp với những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội đ-ợc trong ch-ơng trình Đại học Toán mà đặc biệt là sự h-ớng dẫn tận tình của các thầy cô giáo, tôi xin đề xuất một

số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc hai và các bài tập minh họa trong ch-ơng trình toán THCS

Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tự phân loại đ-ợc một số dạng toán giải ph-ơng trình bậc cao, nêu lên một số ph-ơng pháp giải cho từng dạng bài tập Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc giải ph-ơng trình bậc cao Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy đ-ợc khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập nhỏ Từ đó hình thành cho học sinh khả năng t- duy sáng tạo trong học tập

Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số cách giải ph-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc hai Đề tài này có thể áp dụng cho giáo viên toán và những học sinh yêu thích môn toán tham khảo cách giải và cách trình bày Tuy vậy ,nội dung của đề tài vẫn còn hạn chế do năng lực bản thân Vì vậy tôi rất mong nhận đ-ợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo để đề tài này đ-ợc hoàn thiện hơn

3 Phạm vi nghiờn cứu của đề tài:

Phỏt triển năng lực, tư duy của học sinh thụng qua cỏc bài toỏn liờn quan đến phương trỡnh bậc hai đối với học sinh THCS

Đề tài ỏp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là học sinh lớp 9 trong giờ luyện tập, bồi dưỡng học sinh mũi nhọn hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi, ụn tập cuối năm

và ụn tập cho cỏc kỳ thi ở trường, thi học sinh giỏi cỏc cấp, thi vào lớp 10

GV: Trương Thị Ngọc Phượng 4 Trường THCS Nguyễn Huệ

xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 Do đĩ, theo tơi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần cĩ cái nhìn thật đầy đủ về “phương trình quy về phương trình bậc hai” Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tơi thấy, các tác giả đã đưa ra các bài tốn rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài cịn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu khác nhau, do đĩ gây khơng ít khĩ khăn cho việc dạy của giáo viên và của học sinh

Để thực hiện mục tiêu giảng dạy hiện nay đồng thời nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy học theo hướng đổi mới phương pháp, tích cực hĩa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát huy khả năng tự học, hình thành cho học sinh tích cực

và tư duy độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện

kĩ năng áp dụng kiến thức vào thực tiễn, từ đĩ tác động đến tình cảm đem lại hứng thú trong học tập Do đĩ việc dạy bộ mơn Tốn ở THCS là vấn đề hết sức nặng nề, để giúp học sinh hiểu thấu đáo các vấn đề, địi hỏi người thầy phải cĩ phương pháp phù hợp để truyền thụ, đồng thời linh hoạt áp dụng các phương pháp cho phù hợp đối với từng đối tượng học sinh

Từ thực tế quan sát, học sinh rất ngại phải tư duy suy nghĩ, ở lứa tuổi chưa xác định được trong tương lai và hiện tại “học để làm gì” thì việc ép học là điều khơng thể

Để bảo đảm tiến trình lên lớp, truyền tải đủ kiến thức cơ bản nhưng khơng quá cứng nhắc và ràng buộc quá lớn Phải làm như thế nào để học sinh cảm nhận và chấp nhận kiến thức đĩ một cách dễ dàng, tránh sự học như “vẹt” ở học sinh Nếu vấn đề khơng được giải quyết, học sinh sẽ càng chán chường, học cũng như khơng, dẫn đến tình trạng bỏ học, trốn tiết, trầm, sợ sệt và mặc cảm Trong quá trình dạy – học, sự tương tác giữa thầy – trị đĩng vai trị quan trọng rất lớn trong nền giáo dục hiện nay, cũng là vấn đề cơ bản dẫn đến việc cĩ hay khơng hứng thú với mơn học phức tạp này

Trước tình hình đĩ, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tơi mạnh dạn đưa ra một

hệ thống kiến thức nĩi về “phương trình quy về phương trình bậc hai” với một mong ước là làm tài liệu ơn tập, nhằm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho người dạy và người học trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi

“Một số phương pháp giải phương trình đưa về phương trình bậc hai” là một hệ thống kiến thức cĩ đặc thù riêng, được tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau Nĩi về cách giải của một số loại phương trình đưa được về phương trình bậc hai như: Phương trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình bậc ba; phương trình bậc bốn; phương trình vơ tỷ…

Với mỗi loại phương trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lưu ý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu

2 Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp:

Thông qua các bài toán cơ bản về những bài toán liên quan đến phương trình bậc hai, nghiên cứu tìm ra phương pháp giải cho từng dạng phương trình để quy về phương trình bậc hai Từ đó, ứng dụng giải các bài tập, chú ý khắc phục một số sai lầm hay gặp và đưa ra một số bài tập vận dụng

Thời gian tạo ra giải pháp là bắt đầu học chương IV – Đại số 9 SGK của các năm học 2009 – 2010, 2010 – 2011, 2011 – 2012

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng 6 Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ

B NỘI DUNG

I – Mục tiờu

- Bài tập toán giúp cho HS củng cố khắc phục những kiến thức cơ bản một cách

có hệ thống (về toán học nói chung cũng nh- về phần ph-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc hai trong ch-ơng trình dạy toán lớp 9) theo ph-ơng pháp tinh giảm dễ hiểu

- Bài tập về “ phương pháp quy về phương trình bậc hai” nhằm rèn luyện cho HS những kĩ năng thực hành giải toán về ph-ơng trình bậc hai Rèn luyện cho HS các thao tác t- duy ,so sánh ,khái quát hoá ,trừu t-ợng hoá ,t-ơng tự

- Rèn luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các môn học khác ở tr-ờng THCS Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực

- Các ví dụ minh hoạ

- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức để giải ph-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc hai

- Củng cố và h-ớng dẫn học sinh làm bài tập

II – Mụ tả giải phỏp của đề tài

1 Thuyết minh tớnh mới:

1.1 Những kiến cơ bản để giải phương trỡnh bậc hai:

* Định nghĩa: Ph-ơng trình bậc hai một ẩn là ph-ơng trình có dạng ax2 + bx +

c = 0; trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a 0

*Cách giải: đ-a d-ới dạng bản đồ t- duy (kèm theo)

1.2 Phương phỏp giải một số phương trỡnh quy về phương trỡnh bậc hai:

Giải ph-ơng trình (3) rồi thay giá trị của t tìm đ-ợc ( với t 0) vào (2) ta đ-ợc ph-ơng trình bậc hai với biến x giải ph-ơng trình này ta tìm đ-ợc nghiệm của ph-ơng trình trùng ph-ơng ban đầu

*Ví dụ : Giải ph-ơng trình sau

Cả hai nghiệm của ph-ơng trình (2) đều thoả mãn điều kiện t 0

2 + Với t2 = 25 ta có x2 = 25 x3 , 4 5

Vậy ph-ơng trình (1) có 4 nghiệm là : x1 , 2 3

2 , x3 , 4 5

* Nhận xét :

- Ph-ơng trình vô nghiệm khi :

+ Hoặc ph-ơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm

+Hoặc ph-ơng trình bậc hai trung gian có cùng hai nghiệm âm

- Ph-ơng trình trùng ph-ơng có hai nghiệm khi :

+ Hoặc ph-ơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép d-ơng

+ Hoặc ph-ơng trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm

* Đặc điểm : ở vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau

* Ví dụ : Giải ph-ơng trình sau

10x4 - 27x3 - 110x2 - 27x + 10 = 0 (1)

Ta nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt(1)

Do đó chia cả hai vế cho x2 ta đ-ợc

10x2 - 27x – 110 - 27 102

x x

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng 8 Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ

5 26

+ Với t1=-

2

5 <=> (x +1)

x

=- 2

5

<=> 2x2 +5x + 2 = 0 có nghiệm là x1=-2 ; x2= 1

2

+Với t 2=

5

26 <=> (x+1)

x

= 5

26

<=> 5x2 - 26x + 5 = 0 có nghiệm là x3 =5 ; x4 =1

5

5

1

; 2

; 2 1

* Nhận xét :

- Về ph-ơng pháp giải gồm 4 b-ớc

+Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x2 rồi

nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đ-ợc ph-ơng

+Thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)

- Về nghiệm số của ph-ơng trình: x0 là nghiệm của (1) thì

2

2 2

k ) 2 k t x

- Ta đ-ợc ph-ơnmg trình (3) trung gian nh- sau : at2 + bt + c + 2ak = 0 (3)

- Giải (3) ta đ-ợc nghiệm của ph-ơng trình ban đầu

* Ví dụ Giải ph-ơng trình : x4 + 4 = 5x(x2 – 2) (1)

Nhận xét: Từ (1) <=> x4 – 5x3 + 10x + 4 = 0 (a = 1, b = - 5, c = 2, k = 2)

x=0 không phải là nghiệm của (1)

Do đó chia cả hai vế ph-ơng trình cho x2 ta đ-ợc: 2

-Đối với những ph-ơng trình có dạng đặc biệt nh- trên ,nếu ta khai triển vế trái

ta sẽ đ-ợc ph-ơng trình bậc 4 ( th-ờng là loại bậc 4 đầy đủ ) Đối với HS ở THCS việc giải là rất khó khăn Vì vậy từ việc nhận xét tổng hai cặp hệ số của ph-ơng trình bằng nhau rồi nhóm một cách hợp lí Khi khai triển mỗi nhóm ,ta đổi biến của ph-ơng trình

và đ-a về ph-ơng trình bậc hai trung gian

- Ta thấy nếu ph-ơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì ph-ơng trình ban

đầu cũng vô nghiệm Nếu ph-ơng trình trung gian có nghiệm thì ta trả biến lại và giải tiếp ph-ơng trình bậc hai đối với biến x, nghiệm của ph-ơng trình này là nghiệm của ph-ơng trình ban đầu

e) Ph-ơng trình dạng: (x+a) 4 +(x+b) 4 = c (1)

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng 10 Trửụứng THCS

x+b=t -

2

b a

Đây là ph-ơng trình trùng ph-ơng đã biết cách giải

- đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó ph-ơng trình có dạng

at2 + bt +c =0 (2) là PT bậc hai đã biết cách giải

+ nếu (2) có nghiệm là t=t0 thì ta sẽ giải tiếp ph-ơng trình f(x) =t

+ nghiệm của ph-ơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của ph-ơng trình đã cho ) sẽ là nghiệm của ph-ơng trình (1)

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng 11 Trửụứng THCS

Với t1=1 ta có: x2+ 3x = 1<=> x2 +3x -1=0 có nghiệm là x1 , 2 =

2

13 3

Với t2=3 ta có: x2+ 3x = 3<=> x2+ 3x – 3 =0 có nghiệm x3, 4 =

2

21 3

các nghiệm này đều thoả mãn TXĐ

Vậy ph-ơng trình đã cho có 4 nghiệm là x1 , 2 =

2

13 3

;

x3, 4 =

2

21 3

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng 12 Trửụứng THCS

Số 2 đầu tiên đem xuống (a0 = b0);

Muốn có 5 lấy (-1) nhân 2 rồi cộng với 7 ở dòng 1 (αb0 + a1 = b1);

Tiếp tục với 2 (αb1 + a2 = b2)

*Nhận xét :

Khi giải một ph-ơng trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng quát mà chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đ-a ph-ơng trình về dạng ph-ơng trình tích

- Chú ý : tính chất của ph-ơng trình bậc ba : ax3 +bx2 +cx + d =0 ( a 0 )

GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng 13 Trửụứng THCS

+Nếu a+b+c +d =0 thì ph-ơng trình có một nghiệm x=1

+Nếu a-b+c-d =0 thì ph-ơng trình có một nghiệm x= -1

Khi đã nhận biết đ-ợc một nghiệm của ph-ơng trình ta dễ dàng phân tích vế trái thành nhân tử

- Ph-ơng trình : a x3 + bx2 + cx + d = 0 ( a 0 ) với các hệ số nguyên Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là -ớc của hạng tử tự do (định lí sự tồn tại nghiệm nguyên của ph-ơng trình nghiệm nguyên )

1.2.5 Ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu:

* Cách giải:

Thực hiện các b-ớc sau:

điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của ph-ơng trình

( 3

0 ) ( ) ( 3

2 ) (a b

Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt là:x1 a b; x2 a b

2

GV: Trương Thị Ngọc Phượng 14 Trường THCS

Nguyễn Huệ

Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3)

Quy đồng và khử mẫu ta cĩ: 4- (2x+3) - 4(x-2) + (x-2)(x+2) = 0

0 4 8

4 3 2

0 5 6 2

x x

Giải phương trình : x2-6x+5=0 ta được 2 nghiệm: x1=1, x2=5

Đối chiếu với ĐXKĐ ta thấy x1 = 1 và x2 = 5 là 2 nghiệm của pt

* Nhận xét:

+ Loại phương trình chứa ẩn ở mẫu là loại thường gặp ở trường phổ thơng + Khi giải loại này cần lưu ý: Cần so sánh các giá trị tìm được của ẩn với TXĐ trước khi kết luận về nghiệm của phương trình

1.2.6 Phương trình cĩ chứa căn thức:

* Cách giải:

Áp dụng một trong các phương pháp:

- Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ

- Đặt điều kiện rồi bình phương hai vế khi hai vế đều dương

* Ví dụ: Giải phương trình sau: x 5 x 7