Lý do chọn đề tài Sau khi trực tiếp giảng dạy Toán lớp 8 với ch-ơng trình sách giáo khoa mới trong 2 năm, qua quá trình giảng dạy và kết quả các bài kiểm tra ở ch-ơng IV Đại số 8 tôi nhậ
Trang 1A Mở đầu
I Lý do chọn đề tài
Sau khi trực tiếp giảng dạy Toán lớp 8 với ch-ơng trình sách giáo khoa mới trong 2 năm, qua quá trình giảng dạy và kết quả các bài kiểm tra ở ch-ơng IV Đại số 8 tôi nhận thấy học sinh th-ờng lúng túng hoặc không đủ kiến thức để giải thành thạo các ph-ơng trình chứa đấ giá trị tuyệt đối Khi học sinh không nắm vững kiến thức về trị tuyệt đối cũng nh- các ph-ơng pháp giải ph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thì việc không biết giải hoặc mắc sai lầm là điều khó tránh khỏi Mà kiến thức về trị tuyệt đối và các bài tập liên quan rất quan trọng trong ch-ơng trình, đặc biệt là ch-ơng trình toán lớp 9 và toán cấp 3 sau này
Vì sao học sinh th-ờng không nắm vững các b-ớc giải ph-ơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối?
Bài toán giải ph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là bài toán khó vì nó chứa
đựng nhiều kiến thức nh- tính chất của thứ tự và các phép toán cộng, nhân, kiến thức
về trị tuyệt đối, kiến thức về giải ph-ơng trình, giải bất ph-ơng trình Khi gặp dạng toán nào có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh th-ờng ngại khó vì vậy ít l-u tâm khi phải tiếp thu kiến thức
Vậy làm thế nào để học sinh dễ nắm đ-ợc các kiến thức, nắm vững các ph-ơng pháp, các b-ớc giải ph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Trong 2 năm qua, từ thực
tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp và các tài liệu tôi rút ra đ-ợc hệ thống các dạng ph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản th-ờng gặp và các b-ớc giải từng dạng sau đây Với hệ thống kiến thức này học sinh sẽ dễ tiếp thu và giải thành thạo các ph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản trong ch-ơng trình toán 8
II Đối t-ợng và phạm vi nghiên cứu
1 Đối t-ợng nghiên cứu:
Là học sinh lớp 8
2 Phạm vi nghiên cứu:
Học sinh lớp 8A,B Tr-ờng THCS năm học 2016-2017
III Tài liệu tham khảo
Trang 2-Sách giáo khoa Toán 8
-Sách bài tập Toán 8 - Tập 2
-Sách giáo viên Toán 8
-Thiết kế bài soạn Toán 8
-Để học tốt Toán 8 (Nhà xuất bản DG)
-Để học tốt Toán 8 (Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội)
-Tài liệu bồi d-ỡng Toán 8
-Chuyên đề nâng cao Toán 8
B.nội dung
Các dạng cơ bản và ph-ơng pháp giải ph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ở lớp 8
1 Với số a ta có: a a n ế u a 0
a n ế u a < 0
2 Cỏc tớnh chất
2.2 Tớnh chất 2: a = 0 a = 0
2.3 Tớnh chất 3: - a a a
2.4 Tớnh chất 4: a = a
Dựa trờn định nghĩa giỏ trị tuyệt đối ta dễ thấy được cỏc tớnh chất trờn
Thật vậy:
- a a a ; - b a b -( a +b ) a + b a + b
2.6 Tớnh chất 6:
Thật vậy: a = a b b a b b a b a b (1)
Từ (1) và (2) đpcm
2.7 Tớnh chất 7:
a b a b
)
b a b
Trang 3Từ (1), (2) và (3) a b a b (4)
Từ (4) và (5) đpcm
2.8 Tính chất 8:
a.b a.b
Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b 0 hay a 0, b= 0
b a b
a > 0 và b > 0 a = a, b = b và a.b > 0
b a b a b a b a b
a < 0 và b < 0 a = -a, b = -b và a.b > 0
b a b a b a b a b a b
a > 0 và b < 0 a = a, b = -b và a.b < 0
b a b a b a b a b a b
Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm
2.9 Tính chất 9:
( b 0 )
b
a b a
Thật vậy: a = 0 0 0
b
a b
a b
a
(1)
a > 0 và b > 0 a = a, b = b và
b
a b
a b
a b
a
a < 0 và b < 0 a = -a, b = -b và
b
a b
a b
a b
a b
a
a > 0 và b < 0 a = a, b = -b và
b
a b
a b
a b
a b
a
Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm
Trang 4Xuất phát từ kiến thức trên ng-ời ta phát triển thành yêu cầu giải ph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.Trong phạm vi kiến thức lớp 8 chúng ta cần h-ớng dẫn cho học sinh quan tâm tới 3 dạng ph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm:
Dạng 1: Ph-ơng trình: f ( x ) k , với k là hằng số không âm
Dạng 2: Ph-ơng trình: f ( x ) g ( x )
Dạng 3: Ph-ơng trình: f ( x ) g ( x )
Để học sinh tiếp cận và nắm vững các ph-ơng pháp giả ta cần h-ớng dẫn học sinh theo thứ tự cụ thể nh- sau:
Ví dụ1: Giải các ph-ơng trình sau:
a, 2 x 3 1 b, x 1
x
- 2 = 0
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2
b, Điều kiện xác định của ph-ơng trình là x 0
x 1
x 1 2
x
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = 1
3
và x = 1
Ví dụ 2: Giải các ph-ơng trình sau:
Bài toán 1: Giải ph-ơng trình: f ( x ) k , với k là hằng số không âm
Ph-ơng pháp giải:
B-ớc 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần)
B-ớc 2: Khi đó f ( x ) k
f ( x ) k
f ( x ) k
nghiệm x
B-ớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đ-a ra kết luận nghiệm cho ph-ơng trình
Bài toán 2: Giải ph-ơng trình: f ( x ) g ( x )
Ph-ơng pháp giải:
B-ớc 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần)
B-ớc 2: Khi đó f ( x ) g ( x )
f ( x ) g ( x )
f ( x ) g ( x )
nghiệm x
B-ớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đ-a ra kết luận nghiệm cho ph-ơng trình
Trang 5a, 2 x 3 x 3 b,
2
x 1
c,
Giải:
a, Biến đổi t-ơng đ-ơng ph-ơng trình:
2 x 3 x 3
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = -6 và x = 0
b, Điều kiện xác định của ph-ơng trình là x 0
Biến đổi t-ơng đ-ơng ph-ơng trình:
2
2
2
x
2 x 2
x x 2 x ( x 1 )
x 1
x 1
2 x 2 v ô n g h i ệ m
x
x 1
Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 1
Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình: 2 x 3 m = x 6 , với m là tham số
Giải :
Biến đổi t-ơng đ-ơng ph-ơng trình:
2 x 3 m x 6
x 3 m 6
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = 3m + 6 và x = m - 2
Trang 6Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình: x 4 3 x 5
Cách 1: Xét hai tr-ờng hợp:
-Tr-ờng hợp 1: Nếu x + 4 0 x -4 (1)
Ph-ơng trình có dạng: x + 4 + 3x = 5 4x = 1 x = 1
4
thoả mãn điều kiện (1)
-Tr-ờng hợp 2: Nếu x + 4 < 0 x < - 4 (2)
Ph-ơng trình có dạng: -x - 4 + 3x = 5 2x = 9 x = 9
2
không thoả mãn tra
điều kiện (2)
Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 1
4
Cách 2: Viết lại ph-ơng trình d-ới dạng x 4 3 x 5
Với điều kiện - 3x + 5 0 - 3x - 5 x 5
3
Khi đó ph-ơng trình đ-ợc biến đổi:
1 x
x k h ô n g t h o ả m ã n * 2
Bài toán 3: Giải ph-ơng trình: f ( x ) g ( x )
Ph-ơng pháp giải:
Ta có thể lựa chọn một trong hia cách giải sau:
Cách 1: (Phá dấu giá trị tuyệt đối) Thực hiện các b-ớc:
B-ớc 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần)
B-ớc 2: Xét hai tr-ờng hợp:
-Tr-ờng hợp 1: Nếu f(x) 0 (1)
Ph-ơng trình có dạng: f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (1) -Tr-ờng hợp 2: Nếu f(x) < 0 (2)
Ph-ơng trình có dạng: -f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2)
B-ớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đ-a ra kết luận nghiệm cho ph-ơng trình
Cách 2: Thực hiện các b-ớc:
B-ớc 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần) và g(x) 0
B-ớc 2: Khi đó: f ( x ) g ( x )
f ( x ) g ( x )
f ( x ) g ( x )
Nghiệm x
B-ớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đ-a ra kết luận nghiệm cho ph-ơng trình
Trang 7Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 1
4
L-u ý1:
Qua ví dụ trên các em học sinh sẽ thấy rằng cả hai cách giải đều có độ phức tạp nh- nhau Vậy trong tr-ờng hợp nào cách 1 sẽ hiệu quả hơn cách 2 và ng-ợc lại? Khi vế phải là một biểu thức không là đa thức có bâc 1 ta nên sử dụng cách 1 vì khi sử dụng cách 2 thì việc tìm x thoả mãn điều kiện g(x) không âm phức tạp hơn Khi biểu thức trong trị tuyệt đối ở dạng phức tạp thì không nên sử dung cách 1 vì sẽ gặp khó khăn trong việc đi giải bất ph-ơng trình f(x) 0 và f(x) < 0
Tuy nhiên học sinh có thể khắc phục bằng cách không di giải điều kiện mà cứ thực hiện các b-ớc biến đổi ph-ơnmg trình sau đó thử lại điều kiện mà không đối chiếu
Ví dụ 5: Giải các bất ph-ơng trình:
x 1 x x b, 2
x 2 x 4 2 x
Giải:
a, Xét hai tr-ờng hợp
-Tr-ờng hợp 1:
Nếu x + 1 0 x -1 (1)
Khi đó ph-ơng trình có dạng: x + 1 = x2 + x x2 = 1 x = 1 (thoả mãn đk 1) -Tr-ờng hợp 2:
Nếu x + 1 < 0 x < -1 (2)
Khi đó ph-ơng trình có dạng: - x - 1 = x2 + x x2 + 2x + 1 = 0 (x+1)2 = 0
x = -1 ( không thoả mãn đk 2)
Vậy ph-ơng trình cób hai nghiệm x = 1
b, Viết lại ph-ơng trình d-ới dạng:
2
x 2 x 2 x 4 với điều kiện 2x - 4 0 2x 4 x 2 (*)
Ta có:
2
x 2 x 2 x 4
( x 2 ) 0
x 2 k h ô n g t h o ả m ã n *
Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 2
L-u ý 2: - Đối với một số dạng ph-ơng trình đặc biệt khác ta cũng sẽ có những
cách giải khác phù hợp chẳng hạn nh- ph-ơng pháp đặt ẩn phụ, sử dụng bất
đẳng thức Côsi
Ví dụ 6: Giải ph-ơng trình 2
2 x 1 x 2 x 2
Viết lại ph-ơng trình d-ới dạng
2
( x 1 ) 2 x 1 3 0 (1)
Đặt x 1 = t ( t 0)
Trang 8Khi đó từ (1) ta có ph-ơng trình
t2 - 2t - 3 = 0 t2 + t - 3t - 3 = 0 t(t + 1) - 3(t + 1) = 0 (t + 1)(t - 3) = 0
t = - 1 (loại) và t = 3 (t/m)
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = -2 và x = 4
Ví dụ 7: Giải ph-ơng trình 3 x 1 2
(1)
Điều kiện xác định của ph-ơng trình là x -1
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Đặt t = x 1
3
điều kiện t > 0
t
x 1
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
x 1 3
=2
)
9 ( x 1 )
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2
Đối với những ph-ơng trình có giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách đặt
điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối Mỗi trị tuyệt đối sẽ có một giá trị x làm mốc
để xác định biểu thức trong trị tuyệt đối âm hay không âm NHững giá trị x này sẽ chia trục số thành các khoảng có số khoảng lớn hơn số các trị tuyệt đối là 1 Khi
đó ta xét giá trị x trong từng khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối và giải ph-ơng trình tìm đ-ợc
Ví dụ 8: Giải ph-ơng trình x 1 + x 3 = 2
x - 3 0 x 3
Trang 9Khi đó để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba tr-ờng hợp
+Tr-ờng hợp 1: Nếu x < 1
Khi đó ph-ơng trình có dạng:
- x + 1 - x + 3 = 2 -2x = - 2 x = 1 (không t/m đk)
+Tr-ờng hợp 2: Nếu 1 x < 3
Khi đó ta có ph-ơng trình:
x - 1 - x + 3 = 2 0x = 0 luôn đúng => 1 x < 3 là nghiệm
+Tr-ờng hợp 3: Nếu x 3
Khi đó ph-ơng trình có dạng:
x - 1 + x - 3 = 2 2x = 6 x = 3 (t/m đk)
Vậy nghiệm của ph-ơng trình là 1 x 3
C kết quả đạt đ-ợc:
Sau các buổi tổ chức học phụ khoá và tự chọn đối với HS lớp 8 và truyền thụ cho học sinh hệ thống các dạng và ph-ơng pháp giải nêu trên tôi nhận thấy đa số học sinh nắm vững d-ợc kiến thức và giải thành thạo dạng toán giải ph-ơng trình chứa
đấu giá trị tuyệt đối Với hệ thống kiến thức, các dạng toán và ph-ơng pháp giải đ-ợc xây dựng đơn giản và đễ nhớ nên học sinh nắm nhanh vì vậy đã hình thành cho học sinh niềm thích thú khi gặp các dạng toán này Đ-ơng nhiên hệ thống kiến thức trên chỉ dừng lại đối với đối t-ợng học sinh có học lực trung bình và khá, còn đối với học sinh giỏi chúng ta cần xây dựng sâu hơn và bổ sung các dạng toán phong phú hơn
Nh- vậy, từ chỗ họ sinh còn lúng túng trong kiến thức và ph-ơng pháp giải thậm chí tỏ thái độ không yêu thích, qua thực tế giảng dạy với hệ thống kiến thức nêu trên học sinh đã giải thành thạo các dạng toán giải ph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
ở mức cơ bản Khi nắm vững kiến thức và ph-ơng pháp giải học sinh sẽ có đ-ợc sự hứng thú góp phần khơi dậy niềm say mê trong học tập từ đó nâng cao đ-ợc chất l-ợng đại trà trong dạy học bộ môn Toán Với hệ thống kiến thức cơ bản đ-ợc xây dựng và truyền thụ nh- trên học sinh sẽ chủ động để tiếp thu những kiến mới hơn trong ch-ơng trình ở các lớp trên
Trang 10Có thể nói, trên đây là một số điều mà bản thân tôi đã rút đ-ợc qua dạy học Tuy nhiên trong những điều đó cũng đ-ợc qua tìm tòi từ các tài liệu, sách báo và học hỏi
từ đồng nghiệp nên cũng còn có những hạn chế nhất định
Rất mong nhận đ-ợc các ý kiến đóng góp, chỉ bảo của hội đồng khoa học các cấp
và các bạn đồng nghiệp
Xin chân thành cảm ơn !
., ngày 30 tháng 4 năm 2016
Ng-ời làm đề tài