08 SKKN toán 7 phương pháp vẽ yếu tố phụ (read only)

Trong khi tìm ph-ơng pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu không vẽ thêm đ-ờng phụ thì có thể bế tắc.. Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có ph-ơng pháp chung nhất

Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – H-ng Yên

Phần I - Đặt vấn đề

Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những ng-ời năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà n-ớc ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay

Trong tập hợp các môn nằm trong ch-ơng trình của giáo dục phổ thông nói chung, tr-ờng THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng,

nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân

Đổi mới ph-ơng pháp dạy học đ-ợc hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho ng-ời học, kích thích, thúc đẩy, h-ớng t- duy của ng-ời học vào vấn

đề mà họ cần phải lĩnh hội Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của ng-ời học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối t-ợng ng-ời học nhạy cảm việc đ-a ph-ơng pháp học tập theo h-ớng đổi mới là cần thiết và thiết thực Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu t- duy, khả năng t- duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Tr-ớc vấn đề đó ng-ời giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các ph-ơng pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối t-ợng học sinh, xây dựng cho học sinh một h-ớng t- duy chủ động, sáng tạo

Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nh-ng ng-ợc lại, giải quyết đ-ợc điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và ph-ơng pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có h-ớng t- duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán

Phần II - Nội dung đề tài

I/ Những lý do chọn đề tài

Trong khi tìm ph-ơng pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu không vẽ thêm đ-ờng phụ thì có thể bế tắc Nếu biết vẽ thêm đ-ờng phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ nh- thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp

Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có ph-ơng pháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt đ-ợc mục đích là tạo điều kiện

để giải đ-ợc bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi ng-ời giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nh-ng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu đ-ợc vì sao lại phải vẽ nh- vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ

ra đ-ợc cách vẽ đ-ờng phụ nh- vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm nh- vậy mới giải đ-ợc bài toán? … gặp phải tình huống nh- vậy, quả thật ng-ời giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích

mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ đ-ợc cách làm khi gặp bài toán t-ơng tự vì các em ch-a biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt

để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi d-ỡng khả năng t- duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em nh-ng cơ sở của việc vẽ thêm đ-ờng phụ và một số ph-ơng pháp th-ờng dùng khi vẽ thêm yếu

tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ

đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động đ-ợc cách

Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – H-ng Yên

giải, chủ động t- duy tìm h-ớng giải quyết cho bài toán, nh- vậy hiệu quả sẽ cao hơn

ii/ Những cơ sở của việc vẽ thêm yếu tố phụ

I - Cơ sở lý luận

Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số bài toán dựng hình cơ bản Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong ch-ơng trình THCS:

Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c

Giải:

Cách dựng:

- Dựng tia Ax

- Dựng đ-ờng tròn(A; b) Gọi C là giao điểm của đ-ờng tròn ( A; b) với tia Ax

- dựng đ-ờng tròn (A; c) và đ-ờng tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a

Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho tr-ớc

Cách dựng:

- Gọi xOy là góc cho tr-ớc Dựng đ-ờng tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta

đ-ợc OAB

- Dựng O’ A’ B’ = OAB ( c- c- c) nh- bài toán 1, ta đ-ợc Oˆ ' O ˆ

c

b

a

B

b

a

c

y

x

O

A

x

O

A

A’

B’

Bµi to¸n 3: Dùng tia ph©n gi¸c cña mét gãc xAy cho tr-íc

C¸ch dùng:

- Dùng ®-êng trßn ( A; r) c¾t Ax ë B vµ c¾t Ay ë C

- D-îng c¸c ®-êng trßn ( B; r) vµ ( C; r) chóng c¾t nnhau ë D Tia AD lµ tia ph©n gi¸c cña xAy

ThËt vËy: ABD = ACD ( c- c- c) Aˆ1 A ˆ 2

Bµi to¸n 4: Dùng trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB cho tr-íc

C¸ch dùng:

- Dùng hai ®-êng trßn ( A; r ) vµ ( B; r ) ( AB< r < AB )chóng c¾t nhau t¹i

C, D Giao ®iÓm cña CD vµ AB lµ trung ®iÓm cña AB

*Chó ý: ®©y còng lµ c¸ch dùng ®-êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng cho tr-íc Bµi to¸n 5: Qua ®iÓm O cho tr-íc, dùng ®-êng th¼ng vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng a cho tr-íc

C¸ch dùng:

x

y

z

A

B

C

D

r

r

1

2

C

D

B

A

Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – H-ng Yên

- Dựng đ-ờng tròn ( O; r) cắt a tại A, B

- Dựng đ-ờng trung trực của AB

Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng

Khi cần vẽ thêm đ-ờng phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những

đ-ờng cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện

I - Cơ sở thực tế

Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra đ-ợc các cặp cạnh t-ơng ứng bằng nhau, các cặp góc t-ơng ứng bằng nhau Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau

Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta th-ờng làm theo các b-ớc sau:

B-ớc 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?

B-ớc 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau

B-ớc 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) t-ơng ứng bằng nhau

Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng đ-ợc cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện đ-ợc các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán Vì vậy yêu

O

D

B

A

cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm đ-ợc các yếu

tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng Qua thực

tế giảng dạy tôi đã tích luỹ đ-ợc một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi h-ớng dẫn học sinh thực hiện giải toán đã có kết quả tốt

phần III: một số ph-ơng pháp vẽ yêú tố phụ

Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7:

Cách 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC( H BC) sao cho DH = 4cm

Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh

AB Vẽ DH vuông góc với BC( H BC) và DH = 4cm

Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A

2) H-ớng suy nghĩ:

ABC cân tại A AB = AC Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của BC Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC

3) Chứng minh:

Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = BC 6

2

1

cm

Lại có: BD = AB

2

1

= 5 cm ( do D là trung điểm của AB) Xét HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2

BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = 9 BH = 3 ( cm)

GT

ABC; AB = 10cm;

BC = 12 cm;

AB 2

1 DB

DH = 4 cm

KL ABC cân tại A

A

D

Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – H-ng Yên

Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)

DH // AK ( đ-ờng nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3)

Ta có: DH BC, DH // AK AK BC

Xét ABK và ACK có:

BK = KC ( theo cách lấy điểm K)

AKB = AKC = 900

AK là cạnh chung

ABK = ACK (c – g – c)

AB = AC ABC cân tại A

4) Nhận xét:

Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác ,

đ-ờng thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thứ ba, kiến thức về đ-ờng trung bình này học sinh sẽ đ-ợc nghiên cứu trong ch-ơng trình toán 8 nh-ng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh đ-ợc, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có B ˆ Cˆ ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng cách vận dụng tr-ờng hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác)

!) Phân tích bài toán:

Bài cho: tam giác ABC có B ˆ Cˆ ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC

2) H-ớng suy nghĩ:

Đ-ờng phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC (I BC)

3) Chứng minh:

GT ABC; Bˆ C ˆ

A

I

1 2

Vẽ tia phân giác AI của BAC (I BC)

BAC 2

1

A ˆ

A ˆ

2

1 (1) Mà Bˆ C ˆ ( gt)

2

I

ˆ (2)

Xét ABI và ACI ta có:

2

I

ˆ ( theo (2))

Cạnh AI chung

2

1 A ˆ

A ˆ ( theo (1))

ABI = ACI ( g – c – g)

AB = AC (2 cạnh t-ơng ứng)

4) Nhận xét:

Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau.T-ơng tự ta có thể chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng

AI là đuờng cao để tạo ra hai tam giác bằng nhau

Cách 2: Trên một tia cho tr-ớc, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho tr-ớc

Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đ-ờng trung tuyến ứng với cạng

huyền, yêu cầu chứng minh: BC 2 AM BC

2

1 AM 2) H-ớng suy nghĩ:

Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó Nh- vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho

M là trung điểm của AD

1

Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – H-ng Yên

3) Chứng minh:

0

90

A ˆ ;

AM là trung tuyến

2

1 AM

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA

Xét MAC và MDB ta có:

MA = MD ( theo cách lấy điểm D)

M1 = M2 ( vì đối đỉnh)

MB = MC ( Theo gt)

MAC = MDB ( c - g - c)

AB = CD (2 cạnh t-ơng ứng) (1)

và Aˆ D ˆ

1 (2 góc t-ơng ứng)

AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Lại có: AC AB ( gt)

AC CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay 0

90

C ˆ

Xét ABC và CDA có:

AB = CD ( Theo (1))

0

90

C ˆ

A ˆ ( Theo (2))

AC là cạnh chung

ABC = CDA ( c – g – c)

BC = AD (2 cạnh t-ơng ứng) Mà AD

2

1

2

1 AM

B

A

C

M

D

1

1

2

4) Nhận xét: Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh BC

2

1

đã vẽ thêm đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó AD

2

1

AM Nh- vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC Trên một tia cho tr-ớc, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đ-ờng phụ để vận dụng tr-ờng hợp bằng nhau của tam giác

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm của BC So sánh BAM và MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC

Yêu cầu : So sánh BAM và MAC?

2) H-ớng suy nghĩ:

Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác Do vậy ta tìm một tam giác có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có

AB < AC Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho

MD = MA Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải đ-ợc bài toán này

3) Lời giải:

GT ABC; AB < AC

M là trung điểm BC

KL

So sánh BAM và MAC?

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA

Xét MAB và MDC ta có:

MA = MD ( theo cách lấy điểm D)

M1 = M2 ( vì đối đỉnh)

MB = MC ( Theo gt)

MAB = MDC ( c - g - c)

AB = CD (2 cạnh t-ơng ứng) (1)

B

A

C

D

M 2

1

1 2

Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – H-ng Yên

và Aˆ D ˆ

1 (2 góc t-ơng ứng) (2)

Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) CD < AC (3) Xét ACD có:

CD < AC ( theo (3))

Aˆ D ˆ

2 (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)

Mà Aˆ D ˆ

1 ( theo (2))

1

2 A ˆ

A ˆ hay BAM < MAC

4) Nhận xét:

Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong

cùng một tam giác nên không vận dụng đ-ợc định lí về quan hệ giữa góc và

cạnh đối diện trong một tam giác Ta đã chuyển A1 và A2 về cùng một tam

giác bằng cách vẽ đ-ờng phụ nh- trong bài giải, lúc đó A1 = D, ta chỉ còn phải

so sánh D và A2 ở trong cùng một tam giác ADC

Cách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đ-ờng

thẳng

Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD CMR: AB = CD, AC = BD?

( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)

( Bài toán còn đ-ợc phát biểu d-ới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng

song song bị chắn giữa hai đ-ờng thẳng song song thì bằng nhau)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD

Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD

2) H-ớng suy nghĩ:

B

A

để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D

3) Chứng minh:

GT AB // CD; AC // BD

KL AB = CD; AC = BD

Xét ABD và DCA có:

BAD = CDA ( so le trong AB // CD)

AD là cạnh chung

ADB = DAC( so le trong AC // BD)

ABD = DCA ( g – c – g)

AB = CD; AC = BD ( các cạnh t-ơng ứng)

4) Nhận xét: Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cầnm chứng minh ABD = DCA Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng đ-ợc tr-ờng hợp bằng nhau góc – cạnh – góc Điều này thực hiện đ-ợc nhờ vận dụng tính chất của hai đ-ờng thẳng song song

Cách 4: Từ một điểm cho tr-ớc, vẽ một đ-ờng thẳng song song hay vuông góc với một đ-ờng thẳng

Bài toán 6: Tam giác ABC có đ-ờng cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau

Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông và ABM là tam giác đều?

1) Phân tích bài toán:

B

A