Rèn luyện kĩ năng giải toán tỉ lệ thức

Dạng toán này xuyên suốt trong chương trình toán THCS, một số giáo viên chưa chú ý đến kỹ năng giải bài toán tỉ lệ thức cho học sinh mà chỉ chú trọng đến việc học sinh làm được nhiều bài

MỤC LỤC

2.3.1 Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức 5

A CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP

1 Sự cần thiết hình thành giải pháp

Trong quá trình giảng dạy toán tại trường THCS Nguyễn Huệ tôi thấy dạng toán tỉ

lệ thức luôn là một trong những dạng toán cơ bản Dạng toán này xuyên suốt trong chương trình toán THCS, một số giáo viên chưa chú ý đến kỹ năng giải bài toán tỉ lệ

thức cho học sinh mà chỉ chú trọng đến việc học sinh làm được nhiều bài, đôi lúc biến

việc làm thành gánh nặng với học sinh Còn học sinh đại đa số chưa có kỹ năng giải dạng toán này, cũng có những học sinh biết cách làm nhưng chưa đạt được kết quả cao vì: Không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng; lời giải thiếu chặt chẽ

2 Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp

Tìm ra các kỹ năng giải toán mới hoặc các kỹ năng giải toán cũ song có cách vận dụng mới trong việc giải bài toán tỉ lệ thức cho học sinh lớp 7

Giáo viên: biết thêm một số kỹ năng giải bài toán tỉ lệ thức và vận dụng với

từng đối tượng học sinh

Học sinh: chủ động chiếm lĩnh kiến thức, mạnh dạn, tự tin, phát triển trí tuệ của

bản thân; biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng; lời giải chặt chẽ …

3 Mục tiêu – Căn cứ đề xuất giải pháp

Để giúp học sinh sau khi học hết chương trình toán THCS có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán tỉ lệ thức, nắm chắc và biết cách giải dạng toán này Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ Khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán Tạo cho học sinh lòng tự tin, say mê, sáng tạo, không còn ngại ngùng đối với việc giải bài toán tỉ lệ thức, thấy được môn toán rất gần

gũi với các môn học khác và thực tiễn trong cuộc sống Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với mọi đối tượng học sinh

4 Phương pháp thực hiện:

Tôi đã chọn các phương pháp sau:

- Tham khảo tài liệu về một số bài soạn mẫu trong quyển một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS

- Tham ý kiến cũng như phương pháp dạy của đồng nghiệp thông qua các buổi sinh hoạt chuyên môn , dự giờ thăm lớp

- Điều tra khảo sát kết quả học tập của học sinh

- Thực nghiệm dạy các lớp 7 năm 2017-2018 THCS Nguyễn Huệ

- Đánh giá kết quả của học sinh sau khi dạy thực nghiệm

5 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

35 học sinh lớp 7D, 35 học sinh lớp 7G trường THCS Nguyễn Huệ

B QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ NỘI DUNG GIẢI PHÁP

Rèn là: luyện với lửa cho thành khí cụ Kĩ năng là: là năng lực khéo léo khi làm

việc nào đó Rèn kĩ năng là: rèn và luyện trong công việc để trở thành khéo léo, chính xác khi thực hiện công việc ấy Rèn kĩ năng giải toán là: rèn và luyện trong việc giải các bài toán để trở thành khéo léo, chính xác khi tìm ra kết quả bài toán Giải toán tỉ lệ

thức là: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số rồi dùng

các phép biến đổi đại số để tìm ra đại lượng chưa biết thoả mãn điều kiện bài cho

Khi giải bài toán tỉ lệ thức học sinh thường không biết dựa vào mối liên hệ giữa

các đại lượng để giải

Giáo viên chưa có nhiều thời gian và biện pháp hữu hiệu để phụ đạo học sinh yếu kém Giáo viên nghiên cứu về phương pháp giải bài toán tỉ lệ thức song mới chỉ dừng lại ở việc vận dụng các bước giải một cách nhuần nhuyễn chứ chưa chú ý đến việc phân loại dạng toán, kỹ năng giải từng loại và những điều cần chú ý khi giải từng loại đó Trong quá trình giảng dạy nhiều giáo viên trăn trở là làm thế nào để học sinh phân biệt được từng dạng và cách giải từng dạng đó

2 Nội dung giải pháp

2.1 Tổ chức khảo sát chất lượng đầu năm

Ngay từ đầu năm học sau khi nhận lớp tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng để phân loại đối tượng học sinh Qua kết quả khảo sát giúp giáo viên nhận biết được khả năng nhận thức của học sinh

2.2 Hướng dẫn học sinh giải bài toán tỉ lệ thức

* Để giải bài toán tỉ lệ thức phải dựa vào quy tắc chung gồm các bước như sau:

Bước 1: Đưa về tỉ lệ thức x y

trong đó x, y là ẩn ; a, b là hằng số

Bước 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

Bước 3: suy ra giá trị x, y

2.3 Phân loại dạng toán giải bài toán tỉ lệ thức

2.3.1 Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức

Ví dụ 3: Tìm x, y, z biết x y z

8 1 2 1 5

và x y z 1 0

Nhận xét: Ơ ví dụ 1 và ví dụ 3 ta áp dụng ngay được tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Trong thực tế nhiều bài tập phải qua quá trình biến đổi mới có thể đưa được về dạng

để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau Sau đây là một số dạng và cách biến đổi

Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết x y z

và 2 x 3 y z 3 4

Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi dãy

tỉ số sao cho hệ số của x, y, z ở các tử của dãy tỉ số bằng hệ số của x, y, z trong đẳng thức, bằng cách áp dụng tính chất cơ bản của phân số Cụ thể nhân cả tử và mẫu của tỉ

số x

2

với 2 và nhân cả tử và mẫu của tỉ số y

3 với 3 rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y z

Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết.2 x 3 y 4 z và x y z 1 6 9

sao cho hệ số của x, y, z trong dãy tỉ số bằng nhau bằng bằng 1

Cách làm chia các tích cho 12 [ vì: B C N N 2 ; 3 ; 4 1 2] sau đó làm như ví dụ 3

Ví dụ 8: Tìm x, y biết x y

và x y 1 1 2

Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi dãy

tỉ số bằng nhau làm xuất hiện tích x.y bằng cách lập luận để chứng tỏ x 0 rồi nhân hai vế của hai tỉ số x y

8 Nếu x 8 8 y 1 1 2 y 1 1 2 y 1 4

8

Vậy: x 8 ; y 1 4 hoặc x 8; y 1 4

Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 10: Tìm x, y, z biết x y z

2 x 2 y 3 z 1 0 0

Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi dãy

tỉ số bằng nhau làm xuất hiện 2 2 2

x ; y ; z bằng cách bình phương các tỉ số sau đó làm giống ví dụ 4

Vậy: a b c 2 0 1 2

khi a b c 0 Tính giá trị mỗi tỉ số đó

nhau với ba tỉ số Ta chỉ có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với hai tỉ số

Phân tích đề bài: Ta nhận thấy tử số của tỉ số thứ ba bằng tổng hai tử số của hai tỉ số

đầu do đó, áp dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau của hai tỉ số đầu để tìm x

Phân tích đề bài: Trong hình chữ nhật có hai kích thước là chiều dài và chiều rộng

(còn được gọi là hai cạnh của hình chữ nhật) chiều rộng thì ngắn hơn chiều dài Hai cạnh của chúng tỉ lệ với 3; 4 vậy cạnh ngắn tỉ lệ với 3 còn cạnh dài tỉ lệ với 4

Nếu gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b 0 a b Vì hai cạnh hình chữ nhật ti lệ với 3 và 4 nên ta có: a b

Chu vi hình chữ nhật là 2 a b nên ta có: 2 a b 2 8 a b 1 4

Như vậy ta đã đưa bài toán về dạng bài áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

a b a b 1 4 2

a 3 2 6 ; b 4 2 8

Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật là 6cm và 8cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có số đo các góc A , B , C   lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3 tính số

đo các góc của tam giác ABC

Phân tích đề bài: Ở bài này cho các góc A , B , C   lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3

Vậy ta lấy luôn A , B , C   là số đo ba góc cần tìm

Vì số đo các góc A , B , C   lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3 nên ta có:

Vậy số đo ba góc A , B , C   của tam giác ABC lần lượt là: 3 0 ; 6 0 ; 9 00 0 0

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3 Các góc ngoài tương

Tổng ba góc của một tam giác bằng 1 8 00 nên ta có: A B C 1 8 00

Từ đó ta tìm được số đo các góc của tam giác,

Mà tổng của góc ngoài và góc trong tại một đỉnh của tam giác bù nhau

 0 0

1

B 1 8 0 6 0 1 2 0  0 0

C 3 1 2 3 6 C1 1 8 00 3 60 1 4 40

A : B : C 9 6 : 1 2 0 : 1 4 4 4 : 5 : 6

Vậy các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với: 4 : 5 : 6

Ví dụ 4: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng, trị giá mỗi loại

tiền trên đều bằng nhau Hỏi mỗi loại có mấy tờ

Phân tích đề bài:

Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c

Vì giá trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có: 2 0 0 0 a 5 0 0 0 b 1 0 0 0 0 c

Có 16 tờ giấy bạc các loại nên: a b c 1 6

Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt là 10 tờ, 4 tờ và 2 tờ

Ví dụ 5: Ba đội công nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho

theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m Hãy phân chia số hàng

cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển

Phân tích đề bài: Vì phân chia số hàng cho mỗi đội sao cho khối lượng hàng tỉ lệ

nghịch với khoảng cách cần chuyển nên ta có: 1 5 0 0 a 2 0 0 0 b 3 0 0 0 c

Tổng số hàng cần chuyển đến ba kho là 1530 nên ta có: a b c 1 5 3 0

Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C lần lượt là: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ

Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2: 3: 4 Hỏi ba chiều cao tương ứng

ba cạnh đó tỉ lệ với số nào

Vì cạnh và chiều cao tương ứng của một tam giác là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên

Vậy ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó của tam giác tỉ lệ với 6 : 4 : 3

Ví dụ 6: Một lớp học có 35 em, sau khảo sát chất lượng số học sinh được xếp thành ba

loại: Giỏi, khá và trung bình Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số học sinh khá

và trung bình tỉ lệ với 4 và 5 Tính số học sinh mỗi loại

Phân tích đề bài: Nếu gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: a, b,

Vậy số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: 8 em, 12 em, 15 em

Ví dụ 7: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giac vuông tỉ lệ với 8: 15, cạnh

huyền dài 51cm Tính độ dài hai cạnh góc vuông

Phân tích đề bài:

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là: a, b

Vì hai cạnh tỉ lệ với 8: 15 nên ta có: a b

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là: 24cm, 45cm

Ví dụ 8: Hai xe ô tô cùng khởi hành từ hai địa điểm A và B Xe thứ nhất đi quãng

đường AB hết 4 giờ 15 phút Xe thứ hai đi quãng đường BA hết 3 giờ 45 phút Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai đi được quãng đường dài hơn quãng đường xe thứ nhất đã đi

là 20 km Tính quãng đường AB

Phân tích đề bài:

Gọi vận tốc, thời gian, quãng đường của xe đi từ A đến B là v1 ; t1 và s1

Thì vận tốc, thời gian và quãng đường của xe đi từ B về A là v2; t2 và s2

Ta có 4 giờ 15 phút 4 1 h 1 7 h

và 4 giờ 45 phút 3 3 h 1 5 h

Trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Từ tỉ số thời gian ta tìm được tỉ số vận tôc của hai xe là: 1 2

số gạo của kho

đó Khi đó số gạo của ba kho bằng nhau Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu, biết rằng kho

B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo

Phân tích đề bài: Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c

Số gạo ở kho A sau khi thêm 1

Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c a , b , c 0

Số gạo ở kho A sau khi thêm là: a 1 a 8 a

Vậy: số gạo ở mỗi kho lúc đầu lần lượt là 70 kg, 90 kg và 112 kg

Ví dụ 10: Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cái cầu hết 38 triệu đồng Xí nghiệp

I có 40 xe ở cách cầu 1,5km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3km, xí nghiệp III có 30

xe ở cách cầu 1km Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu

Phân tích đề bài: Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c

Vì số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp

đến cầu nên ta có: a : b : c 4 0 : 2 0 : 3 0

1, 5 3 1 Tổng số tiền mà ba xí nghiệp cần đóng là 38 triệu nên ta có: a b c 3 8

Giải:

Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c a , b , c 0

Theo bài ra ta có:

5 Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 1: 3 : 7 Tìm ba phân số đó

Phân tích đề bài: Gọi ba phân số cần tìm lần lượt là: a, b, c

Vì tử của ba phân số tỉ lệ nghịch với 20: 4: 5 và mẫu của chúng tỉ lệ thuận với

1: 3 : 7 nên ba phân số đó tỉ lệ với

3

; 2 59

; 2 0

2 1

Bài 3: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với

1: 2: 3

Bài 4: Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích 3 0 0 m2

Lớp 7A nhận 15% diện tích vườn, lớp 7B nhận 1

5 diện tích còn lại Diện tích còn lại của vườn sau khi hai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C, 7D, 7E tỉ lệ với

: :

2 4 1 6

Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp

Bài 5: Ba công nhân được thưởng 100000 đồng, số tiền thưởng phân chia tỉ lệ với mức

sản xuất của mỗi người Biết mức sản xuất của người thứ nhất so với mức sản xuất của

người thứ hai bằng 5: 3, mức sản xuất của người thứ ba bằng 25% tổng số mức sản

xuất của hai người kia Tính số tiền mỗi người được thưởng

Bài 6: Có ba gói tiền gói thứ nhất gồm toàn tờ 500 đồng, gói thứ hai gồm toàn 2000

đồng, gói thứ ba gồm toàn tờ 5000 đồng Biết rằng tổng số tờ giấy bạc của ba gói là

540 tờ và số tiền ở các gói bằng nhau

Bài 7: Cho tam giác ABC có các đường cao ha, hb, hctỉ lệ thuận với 2; 3; 4 Chu vi

tam giác ABC bằng 13 Tính độ dài cạnh lớn nhất của tam giác ABC

Bài 8: Ba tổ công nhân có mức sản xuất tỉ lệ với 5; 4; 3 Tổ I tăng năng xuất 10%, tổ II

tăng năng xuất 20%, tổ III tăng năng xuất 10% Do đó trong cùng một thời gian, tổ I

làm được nhiều hơn tổ II là 7 sản phẩm Tính số sản phẩm mỗi tổ làm được trong thời

Một số M được chia làm 3 phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ thuận với 4

và 5; phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ nghịch với 5 và 3 Biết phần thứ ba hơn phần

thứ hai là 10 Tìm số M

Bài 14: Ba máy xay, xay được 350 tấn thóc Số ngày làm việc của ba máy tỉ lệ với 3:

4: 5, số giờ làm việc của ba máy tỉ lệ với 6: 7: 8, công xuất các máy tỉ lệ nghịch với 5:

4:3 Hỏi mỗi máy xay được bao nhiêu tấn thóc

Phân tích đề bài: Quan sát tỉ lệ thức phải chứng minh, dùng phương pháp phân tích

suy luân ngược để tìm ra hướng chứng minh Khi chứng minh ta chứng minh theo chiều xuôi Khi chứng minh chú y điều kiện có nghĩa của tỉ lệ thức

C HIỆU QUẢ GIẢI PHÁP

1 Thời gian áp dụng thử :

Năm học 2017 - 2018

2 Hiệu quả đạt được

Kết quả khảo sát đầu năm:

Sau khi thực nghiệm đề tài tại trường tôi thấy học sinh có ý thức giải toán tỉ lệ thức kỹ hơn , cẩn thận hơn , trình bày lời giải bài toán khoa học , chặt chẽ hơn được thể hiện qua kết quả sau đây:

3 Khả năng áp dụng:

Đề tài này tôi đã nghiên cứu và có áp dụng trong trong trường bằng cách thông qua các buổi họp chuyên môn hai lần trên tháng, đưa cho giáo viên nghiên cứu và trao đổi làm nội dung chuyên môn và từ đó mỗi giáo viên nắm bắt được và áp dụng trong từng tiết lên lớp cho dạng toán giải bài toán tỉ lệ thức Vì vậy đề tài này rất dễ nhân rộng cho giáo viên trong huyện hoặc tỉnh làm chuyên đề sinh hoạt chuyên môn

D KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ

1 Kết luận :

Sau quá trình nghiên cứu thực trạng, áp dụng rèn các kỹ năng giải bài toán tỉ lệ

thức cho học sinh lớp 7 bản thân tôi tự đúc rút bài học kinh nghiệm như sau:

Mỗi giáo viên dạy môn toán THCS cần xác định việc nâng cao chất lượng dạy học là một nhiệm vụ quan trọng đòi hỏi phải có sự quan tâm, đầu tư về trí tuệ và sự hợp lực của giáo viên và học sinh

Làm tốt công tác xã hội hoá giáo dục, thu hút sự quan tâm của nhà trường, phụ huynh học sinh cùng tham gia trong việc nâng cao chất lượng dạy học

Giáo viên cần sáng tạo trong công tác vận dụng linh hoạt phương pháp và hình thức dạy học tích cực trong quá trình dạy học, tìm tòi học hỏi để nâng cao nghiệp vụ chuyên môn

Song song với việc kiểm tra, đôn đốc cần chú trọng đến công tác thi đua, khen thưởng cho học sinh Từ đó giao chỉ tiêu rõ ràng và điều kiện đi kèm với chỉ tiêu đó

để khuyến khích các em học sinh cố gắng đạt được mục tiêu đề ra Đây là giải pháp quan trọng mang tính đột phá trong việc thúc đẩy các em học sinh tìm tòi, cố gắng, quyết tâm dành được thành tích cao trong học tập

2 Những đề xuất, kiến nghị

2 1 Đối với Phòng Giáo dục và Đào tạo

- Mở các chuyên đề về kỹ năng giải toán trong trường THCS

2.2 Đối với ban lãnh đạo nhà trường

- Quan tâm hơn nữa đến việc nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện

Phước Hưng, ngày 20 tháng 7 năm 2017

Người viết sáng kiến

Đường Hồng Phúc