142 skkn đc tuấn anh năm học 2018 2019

Việc dạy học sinh học toỏn khụng đơn thuần chỉ cung cấp cho cỏc em một số kiến thức cơ bản thụng qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khú, hay mà giỏo viờn phải biết rốn luyệ

Phần I: Lý DO CHọN Đề TàI

Toỏn học là một bộ mụn khoa học tự nhiờn mang tớnh logớc, tớnh trừu tượng cao,

nú giỳp cho học sinh khả năng tớnh toỏn, suy luận logớc và phỏt triển tư duy sỏng tạo Việc dạy học sinh học toỏn khụng đơn thuần chỉ cung cấp cho cỏc em một số kiến thức cơ bản thụng qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khú, hay mà giỏo viờn phải biết rốn luyện kỹ năng và thúi quen suy nghĩ tỡm tũi lời giải của một bài toỏn và vận dụng bài toỏn đú trờn cơ sở cỏc kiến thức đó học

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán nói chung và toán 7 nói riêng, tôi thấy phần kiến thức về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong ch-ơng trình Đại số lớp 7 Các dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau rất phong phú và

đa dạng nh-ng trong sách giáo khoa, sách giám khảo lại trỡnh bày nội dung khụng nhiều mà các kỳ thi học sinh giỏi toán 7 thì hấu nh- đề nào cũng có Trong ch-ơng II, khi học về đại l-ợng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một ph-ơng tiện quan trọng giúp ta giải toán Trong phân môn Hình học, để học đ-ợc định lý Talet, tam giác đồng dạng thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn t- duy cho học sinh rất tốt giúp các

em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới

Với mong muốn được gúp một phần cụng sức nhỏ của mỡnh trong việc bồi dưỡng năng lực học toỏn cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rốn luyện khả năng sỏng tạo trong học toỏn cho học sinh để cỏc em cú thể tự phỏt huy năng lực độc lập sỏng tạo của mỡnh, nhằm gúp phần vào cụng tỏc chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi toỏn, tụi xin cung cấp và trao đổi cựng đồng nghiệp đề tài kinh nghiệm:

" Giúp học sinh chuyên sâu về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau"

Do điều kiện có nhiều hạn chế nên sau đây tôi xin đ-a ra một số dạng toán th-ờng gặp với nội dung bắt đầu từ bài toán cơ bản, tôi thay đổi giả thiết của bài toán để đ-ợc bài toán mới, tôi thấy vận dụng vào quá trình ôn tập và bồi d-ỡng học sinh giỏi cho học sinh khối 7 phần tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là rất phù hợp

Thông qua các bài tập tôi sẽ đ-a đến cho học sinh các cách tiếp cận khác nhau đối

với các bài toán có cùng một dạng nhằm phát triển t- duy cho học sinh

Phần II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI

A Lí THUYẾT:

1) Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức

a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

d

c b a

d a

c b

d d

b c

a d

c b

c b

a

f d b

e c a f d b

e c a f

e d

c b a

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

c b

+) Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp có số mũ chẵn hoặc tích của 2 số, để tránh tìm ra số không thoả mãn yêu cầu của bài Cũng lưu ý các trường hợp có thể xảy ra để không bỏ xót những giá trị cần tìm

có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x

Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)

Chúng ta bắt đầu với bài toán đơn giản sau :

Bµi to¸n 1: (Bµi 54 – SGK To¸n 7- tËp 1- tr 30- nhà xuất bản giáo dục năm 2007)

* Đây là bài toán đơn giản có thể áp dụng trực tiếp tính chất của dãy tỉ số bằng

nhau để giải hoặc giải theo một số cách khác

x

Nhận xét : Với cách 2 và cách 3 ta có thể áp dụng để giải hầu hết các bài toán về

¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, tuy nhiªn trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi tËp cô thÓ c¸c em cã thÓ chän lùa ph-¬ng ph¸p gi¶i phï hîp nhÊt víi bµi

Bµi to¸n 1.1: Tìm hai số x và y biết 3

= 5

x y

và x+ y = 16

Với bài toán này Học sinh cũng có thể giải theo phương pháp thế Nhưng để giải

x y

là bài toán trở thành bài toán 1

Cách 2 (Đặt ẩn phụ) : làm tương tự cách 2 bài toán 1

Cách 3 ( Dùng phương pháp thế ): làm tương tự cách 3 bài toán 1

H-ớng phát triển của bài toán 1.5 cũng t-ơng tự nh- bài toán 1 nh-ng với ba đại

l-ợng x, y, z đòi hỏi học sinh phải có h-ớng suy luận cao hơn

Giữ nguyên dữ kiện thứ hai của bài toán 1.5 và thay đổi dữ kiện thứ nhất , ta có các bài toán sau:

( cỏc bai toỏn từ 1.6 đến 1.24 hầu hết đều ỏp dụng được cỏch giải theo phương đặt

ẩn phụ hoặc phương phỏp thế, nhưng để ỏp dụng tỉ lệ thức và tớnh chất của dóy tỉ

số bằng nhau nờn đề tài khụng đưa hai cỏch này vào)

Bài toán 1.6 : Tỡm ba số x, y, z, biết rằng: ;

Và bà i toỏn trở về bài toỏn 1.5

Bài toán 1.7 : Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 2x = z và x + y+ z = 36

Gợi ý :

Bài toán này khác gì so với bài toán tr-ớc ?

Hãy biến đổi 2 đẳng thức 3x = 2y; 2x = z thành dãy tỉ số bằng nhau ?

hay 6x = 4y = 3z do đó bài toán 1.5 cho

ta bài toán khó hơn sau:

Bài toán 1.8: Cho 6x = 4y = 3z và x + y + z = 36, tìm x, y, z

Đến đây ta đó đưa bài toán 1.8 về bài toán 1.5

và x +y +z = 36

Gặp bài này, các em không tránh khỏi băn khoăn x còn v-ớng - 4, y v-ớng - 6 và

z v-ớng - 8 Cứ bình tĩnh và làm nh- bình th-ờng xem sao?

3 8

4

x

x y

y z

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp nh- bài tập 1.8

Có thể ra bài tập 1.11 d-ới dạng gộp hai điều kiện lại một nh- sau :

Bài toán 1.12: Tìm x, y, z biết 5x 3z 3y 6x 2z 4y 3 6

Bài chỉ cho dãy tỉ số bằng nhau chứ không cho thêm mối quan hệ khác nh- những bài tr-ớc, học sinh thấy mới lạ Vậy thì làm thế nào? Liệu có làm xuất hiện mối quan hệ khác từ dãy tỉ số bằng nhau không?

( Đề thi HSG huyện Thanh Ch-ơng mụn toỏn 7 năm học 2008 – 2009 )

HD : Áp dụng tớnh chất dóy tỷ số bằng nhau từ 2 tỷ số đầu ta cú:

+ Nếu: 2x 3y 1 0 6x 1 2 x 2 Thay vào tớnh được y 3

+ Nếu: 2x 3y 1 0 2x 1 3y Thay vào 2 tỷ số đầu tớnh được 2 , 1

Tổng quát lên ta có Bài toán:

Bài toán 1.14 : Tìm x, y, z biết

c

z b

y a

ny ma

mx

ta đ-ợc

pc nb ma

d pc

nb ma

pz ny mx pc

pz nb

ny

ma

mx

Từ đó ta tìm đ-ợc x, y, z

Tiếp tục giữ nguyên dữ kiện thứ nhất của bài toán 1.5 và thay đổi dữ kiện thứ hai,

ta có bài toán thứ hai khó hơn nh- sau:

Bài toán 1.15 :Tìm 3 số x, y, z biết

y z z

y a

x

vµ mx k ny k pz k d Víi a,b,c,d,m,n, p,d,k 0 lµ c¸c sè cho tr-íc vµ k N sao cho k k k

m a n b p c 0

Ph-¬ng ph¸p gi¶i nh- sau:

k k

k k k

pc

pz nb

ny ma

mx c

z b

k k k

pc

pz nb

ny ma

mx

ta ®-îc:

k k k k

k k

k k k k

k k

k

k

k

pc nb ma

d pc

nb ma

pz ny mx pc

pz nb

ny

ma

mx

Từ đó ta tìm đ-ợc x, y, z

Tiếp tục giữ nguyên dữ kiện thứ nhất của bài toán 1.5 và thay đổi dữ kiện thứ hai,

ta có bài toán nh- sau:

Bài toán 1.18: Tìm 3 số x, y, z biết

Nhận xét: Rõ ràng học sinh đã biết đ-ợc cách biến đổi 3x=2y ;4y=3z thành dãy tỉ

số bằng nhau

Bài toán 1.20: Tỡm x, y, z biết rằng 21x = 9y ; 15x = 12z và 2x – y + z = 33

( Đề thi HSG Thành phố Vinh mụn toỏn 7 năm học 2010 – 2011 )

Học sinh đã biết đ-ợc cách biến đổi 6x = 4y = 3z thành dãy tỉ số bằng nhau

Bài toán 1.22: Cho : 2000x = 5000y = 10000z vaứ x – 2y + 5z = 12 Tỡm x, y ,z ? (GVDG huyện Thanh Ch-ơng năm học 2008–2009;Tân Kỳ năm học 2009–2010 )

Bài này để ỏp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau , học sinh sẽ cú suy nghĩ việc đổi 2000x = 5000y = 10000z về dóy tỉ số bằng nhau, và bài làm tương tự Bài toán 1.21

3 3

và 2x + 3y – 5z = 18;

( Đề thi Học Sinh giỏi Toán 7 Thành Phố Vinh năm 2013 )

ở đây vì dãy tỉ số đã cho có dạng không thuận tiện cho việc áp dụng tính chất dãy

tỉ số bằng nhau Vậy làm thế nào để sử dụng dãy tỉ số bằng nhau đã cho cho phù hợp

Gợi ý: Ta nên ta chia các tỉ số đó cho BCNN của các hệ số của tử số

Giải:

15 16 18 5

4 4

3 3

Tiếp tục khai thác Bài toán 1.19 , thay dữ kiện 2x + 3y – 5z = -28 thành dữ kiện

Dạng bài tập này t-ơng đối phức tạp, nếu không trình bày cẩn thận thì rất dễ bị

nhầm lẫn Kiến thức thì không phải là quá khó nh-ng rất cần đến khả năng quan sát các hệ số của 2 dự kiện và kĩ năng biến đổi các dự kiện một cách phù hợp để áp dụng giả thiết Cũng cần đến sự khéo léo đ-a bài toán về dạng quen thuộc Tóm lại

từ bài toán cơ bản th-ờng gặp sau:

Từ đó tìm đ-ợc x a d. ;y b d ;z c d

H-ớng khai thác từ bài trên nh- sau :

+Giữ nguyên điều kiện (2–) thay đổi đk (1–) theo 5 hướng nh- sau:

z y x

2 2

z y x

và xyz 810

e)

z y x z

y x y

x z x

Phương phỏp 3: Sử dụng tớnh chất của tỉ lệ thức: Dùng các tính chất của tỷ lệ thức rồi

hoán vị các số hạng và dựng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ lệ thức đã cho đến tỷ lệ thức phải chứng minh

Một số kiến thức cần chỳ ý:

Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Bµi to¸n 2 (Bµi tËp 73 s¸ch bµi tËp to¸n 7- tËp 1- trang 14)

Cho a, b, c, d kh¸c 0 Tõ tØ lÖ thøc a

b

= c d

Tương tự bài toán 2 ta có bài toán sau:

Bµi to¸n 2 1: Cho a, b, c, d 0; a b; c d Tõ tØ lÖ thøc a

b

= c d h·y suy ra tØ lÖ

thøc: a) a b c d

b) a c

a b c d

( Bà i 35 trang 22 – 400 bà i tập toán 7 – Nhà xuất bản giáo dục )

*Bµi to¸n 2 vµ bµi to¸n 2.1 ®-îc xem nh- c¸c tÝnh chÊt quan träng cña tØ lÖ thøc

Bµi to¸n 2.2 : Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc a

b

= c d (a - b 0 vµ c - d 0)

ë trªn vµ phÐp to¸n trõ ë d-íi nªn ph¶i biÕt chuyÓn tØ lÖ thøc cÇn chøng minh vÒ tØ

lÖ thøc nµo mµ ¸p dông ®-îc tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau?

a d

c b

a

) Gi¶i :

Từ giả thiết:

d

b c

a d

c b a

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

d c

b a d c

b a d

b

c

a

d c

d c b a

b a

(đpcm)

Hoàn toán tương tự bài toán trên ta có bài toán sau :

Cho ta bài toỏn khú hơn:

Bài toán 2.4: cho tỉ lệ thức

Phỏt triển thờm bài toỏn 2.2 ta cú bài toỏn sau :

b d thỡ:

b) Bài này có khó hơn một chút Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện

Từ a c a b a22 b22 a22 b22

b d c d c d c d (1)

2 2

Tương tự cõu b của Bài toán 2.5 ta cú bài toỏn sau :

Bài toán 2.6: Cho tỉ lệ thức a c

( Thi HSG huyện Đô Lương Môn Toán 7 năm học 2003 – 2004 )

Tõ Bài to¸n 2.5 ta cã thÓ ®-a ra bµi to¸n tæng qu¸t sau:

Bµi to¸n 2.7: Chøng minh r»ng: Tõ tØ lÖ thøc a

Ở Bài toán 2.2 nếu ta cho d =a suy ra 2

T-¬ng tù bµi tËp 2.9 Häc sinh dÔ dµng gi¶i bµi tËp sau:

Bài toán 2.11 Cho : a b

b c chứng minh

2 2

Bà i tậ p 5:Cho

c b a

z c

b a

y c

b a

x

4 4 2

2

.Chứng minh rằ ng

z y x

c z

y x

b z

y

x

a

4 4 2

Lời giả i:

áp dụ ng củ a dãy tỉ số bằ ng nhau ta có :

) 1 ( 9

2 2

2 4 4

4 2

2 2

2 4

2 4

4 2

z y x c b a c b a c b a

z y x c

b a

y c

b a

z c

b a

y c

b

a

x

) 2 ( 9

2 ) 4 4 ( 2

4 2

2 4

2

2 4

4 2

z y x c b a c b a c b a

b y x c

b a

x c

b a

z c

b a

y c

b

a

x

) 3 ( 9

4 4 4

4 ) 4 4 8 ( 4

8

4

4 4

4 4 8

4 4

8 4

4 4

4 2

2

c

z y x c b a c b a c

b

a

z y x

c b a

y c

b a

x c

b a

z c

b a

y c

z y x a

z y x

9

4 4 9

2 9

2

suy ra

z y x

c z

y x

b z

y

x

a

4 4 2

) ( 1

) ( 2

1 1

a c c b b a a c c b b a

Từ (1) và (2) => 4( a – b) (b – c) = (c - a)2

GV: Ta thấy 4 (a – b) (b – c) = (2a – 2b) (2b – 2c)

Để chứng minh (*) ta có thể biểu diễn 2b qua a + c như thế nào?

VËn dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau chóng ta ®-a ra hÖ thèng bµi to¸n so

s¸nh gi÷a c¸c sè víi nhau:

Bài toán 2.13: So s¸nh c¸c sè a, b vµ c biÕt r»ng: a b c

Ta có bài toán tổng quát sau:

Điểm thú vị là ta có bài toán đảo của bài toán 2.1 nh- sau:

Bài toán 2 19: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức a b c d

a+5b+6 =

a-5b-6 =

(a+5)-(a-5)(b+6)-(b-6) =

(a+5)+(a-5)(b+6)+(b-6) Hay: a

Gîi ý : Tõ 2(x+y) = 5(y+z) = 3(x+z) ®-a vÒ d·y tØ sè b»ng nhau nh- thÕ nµo?

Gi¶i: Cã: 2(x+y) = 5(y+z) = 3(x+z)

6 =

x+z

10 =

(x+z)-(y+z)10-6 =

x-y

4 (1) +) x+y

15 =

x+z

10 =

(x+y)-(x+z)15-10 =

a+bc+d = -

a-bc-d +) NÕu a+b

c+d =

a-bc-d th×

a+bc+d =

a-bc-d =

(a+b)+(a-b)(c+d)+(c-d) =

(a+b)-(a-b)(c+d)-(c-d)

c+d = -

a-bc-d th×

a+bc+d = -

a-bc-d =

(a+b)+(b-a)(c+d)+(c-d) =

(a+b)-(b-a)(c+d)-(c-d) b

d c

b a d

c

b a

c)

d c

d c

b a cd

ab

e)

d c

d c b

a

b

a

4 3

5 2 4

bd b ac

a

ac

a

5 7

5 7 5

7

5

7

2 2 2

b b

2003

c b

a

) ( ) )(

(

2 2

a a

a a

+) Đõy là loại bài tập khú, đũi hỏi học sinh phải huy động nhiều kiến thức và

kĩ năng cũng như biết tổng hợp tri thức phương phỏp đó học Khả năng quan sỏt

và dự đoỏn được sử dụng nhiều, liờn tục, đồng thời với sự suy luận logic, sỏng tạo

+) Làm dạng bài tập này, học sinh rất cần đến sự xỳc tỏc của giỏo viờn mỗi khi cỏc em gặp bế tắc Những lỳc đú thỡ giỏo viờn chỉ cần gợi mở hướng đi cho học sinh bằng những cõu hỏi mở

Bài này t-ơng đối khó khi thoạt nhìn, vì học sinh chẳng biết làm thế nào để

tính đ-ợc P đây ? Cứ bình tĩnh quan sát đặc điểm của biểu thức P để tìm mối liên

hệ giữa P và dãy tỉ số bằng nhau đã cho thì các em không chỉ tìm đ-ợc một cách làm

Víi hai c¸ch gi¶i trªn chóng ta hoµn toµn cã thÓ cho häc sinh dÔ dµng gi¶i bµi

to¸n tæng qu¸t sau :

Bµi to¸n 3.1: Cho biÕt x, y, z tho¶ m·n: x y z

Víi bµi nµy c¸c em dÔ m¾c ph¶i c¸ch gi¶i nh- sau:

Nh-ng chØ cã thÕ th× lêi gi¶i bµi to¸n ch-a ®-îc hoµn thiÖn v× cã thÓ a + b + c=0

Mµ ph¶i tr×nh bµy nh- sau:

Rõ ràng nếu biến đổi M để tính thì các em sẽ khó tìm ra kết quả mà phải đi tìm gia trị của từng : a

a c

a c

Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ,ta cú:

b

b a c a

a c

Tìm giá trị của mỗi tỉ số trên

B-ớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại l-ợng ch-a biết

B-ớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện

B-ớc 3:Tìm các số hạng ch-a biết

B-ớc 4:Kết luận

Bài toán 4 1:( Bài 76 SBT toán 7-Trang 14 ):

Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh của tam giác tỉ

lệ với các số 2;4;5

Hướng dẫn: Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (a,b,c 0)

Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22

Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có

5 4 2

c b a

Đến đây cách giải giống Bài toán 1.5

T-ơng tự bài toán này ta có bài toán sau :

Số viờn bi của ba bạn Minh, Hựng, Dũng tương ứng tỉ lệ với cỏc số 2, 4, 5 Tớnh số viờn bi của mỗi bạn, biết rằng cả ba bạn cú tất cả 44 viờn bi

Hướng dẫn: Gọi số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng lần l-ợt là x, y, z ( viên)

Bài tập 4.3: Chia số 44 thành 3 phần tỉ lệ với 2, 4, 5

Bài tập 4 4: Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng

đ-ợc tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 60 cây Tính số cây mỗi lớp trồng đ-ợc

Từ đó Học sinh giải đ-ợc t-ơng tự nh- bài toán 1.13

Bài tập 4 5: Ba lớp 7A, 7B, 7C có 117 bạn tham gia đi trồng cây Số cây mỗi bạn ở

ba lớp trồng đ-ợc tỉ lệ với các số 2; 3; 4 cây , và số cây mỗi lớp trồng đ-ợc bằng nhau Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh đi trồng cây

(Đề kiểm định chất l-ợng đại trà Đô L-ơng môn Toán 7 năm học 2008 – 2009 )

Bài tập 4: :( Aựp dụng đối với HS Giỏi)

Gọi số thúc của 3 kho I,II,III lỳc đầu lần lượt là a,b,c (tấn, a,b,c>0)

Số thúc của kho I sau khi chuyển là 1 4

Thử lại cỏc giỏ trờn ta thấy thoả món

Vậy số thúc lỳc đầu của của kho I,II,III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn

Bài tập 4 6 : Cho tam giác ABC có Â và Bˆ tỉ lệ với 3 và 15, Cˆ = 4 Aˆ Tính các góc của tam giác ABC

Đây là bài toán có nội dung hình học nh-ng lại đ-ợc giải bằng ph-ơng pháp đại

số, thật đơn giản khi nhớ đ-ợc dữ kiện cho d-ới dạng ẩn là tổng các góc trong một

Đến đây bài toán giải nh- bài toán 1.5

Bài tập 4 7 : Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn sách Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ

thứ nhất sang tủ thứ 3 thì số sách ở tủ thứ 1, thứ 2, thứ 3 tỉ lệ với 16;15;14 Hỏi tr-ớc khi chuyển thì mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách ?

Bài này khá phức tạp ở chỗ: số l-ợng sách trong mỗi tủ tr-ớc và sau khi chuyển