Hƣớng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức CÔSI

Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Toán trong đó có các bài toán về bất đẳng thức cũng là mộ

PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học Toán) những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgic, một phương pháp luận khoa học

Trong dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Toán trong đó có các bài toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh

Bài toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến thức rộng, đặc biệt là với học sinh THCS Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy khi dạy toán bất đẳng thức đó là: Bất đẳng thức Côsi là một bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong việc chứng minh bài toàn bất đẳng thức và còn ứng dụng trong giải các dạng toán khác, tuy nhiên học sinh có hiểu biết về bất đẳng thức này cũng như những ứng dụng của nó rất hạn chế Trong các kì thi học sinh giỏi học sinh thường mất điểm đối với các bài toán liên quan đến bất đẳng thức

Vì vậy: Để giải góp phần quyết vấn đề này, mặt khác nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, chúng tôi đã chọn

đề tài:" Hướng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức CÔSI"

nhằm trang bị cho các em những kiến thức cơ bản về kỹ thuật sử dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức C, đặc biệt là với các học sinh khá giỏi Từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải ,chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn

Qua những bài toán về về bất đẳng thức mà học sinh đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó Bằng các hình thức như:

- Kiểm tra cách làm Xem xét lại các lập luận, xem lại kỹ năng áp dụng Bất đẳng thức Côsi trong bài đó

- Nghiên cứu, tìm tòi, với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệu các bài toán ở dạng khác có thể sử dụng Bất đẳng thức Côsi được hay không? Có thể khai thác giả thiết bài toán như thế nào cho phù hợp? Các dạng của Bất đẳng thức Côsi được sử dụng trong mỗi bài toán có mối liên hệ như thế nào với nhau? Mỗi bài toán đã giải được cũng như một kiến thức toán học sử dụng trong bài toán đó liệu có thể sử dụng để giải các bài toán khác hay không?

Trong đề tài này, chúng tôi xin minh hoạ một số kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Cosi, thấy được các ứng dụng của bất đẳng thức Côsi trong việc giải các dạng toán khác Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong bất đẳng thức nói riêng Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp học sinh thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán

PHẦN II- NỘI DUNG

A THỰC TRẠNG, MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Thực trạng của vấn đề

- Khi giảng dạy trên lớp gặp một số bài tập về bất đẳng thức tôi thấy học sinh còn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập, hay định hướng cách làm, đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình

- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác, phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải được

- Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền mạch, phương pháp giải hạn chế, các bài toán bất đẳng thức thường khó, phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng, nên học sinh hay ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán khó như cực trị, hàm số,

2 Mục đích nghiên cứu

a Đối với giáo viên:

- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy

- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức

b Đối với học sinh:

- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo

và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức

- Bồi dươngc năng lực toán cho học sinh, khắc phục một phần hạn chế trong các

kì thi học sinh khá giỏi

- Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học

- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi và ứng dụng của bất đẳng thức trong giải các bài tập toán liên quan

Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đẳng thức

3 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại trường Nghiên cứu qua mạng Internet

- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp

B GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC COSI

1 Giới thiệu bất đẳng thức Côsi (CAUCHY)

Nếu a1, a2, … , an là các số thực không âm thì

1 2 n n

a a a n

Bất đẳng thức này có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của arithmetic mean và GM là viết tắt của geometric mean)

Ở nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tên của nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức

COSI(CAUCHY) Thật ra đây là một cách gọi tên không chính xác vì Cauchy

không phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một phép chứng minh đặc sắc cho nó Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Côsi Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức

và cực trị Trong phạm vi chương trình Toán THCS, chúng ta quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Côsi

2 Các quy tắc cần nhớ khi sử dụng bất đẳng thức Côsi

Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta

có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn

Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng Nó

giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này

Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về

tính xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu

“=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến

Quy tắc biên: Đối với các bài toán bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc thì dấu

đẳng thức thường đạt được tại vị trí biên

Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến

trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=” xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể

b Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm

Cho x1, x2, x3 , ,xn không âm ta có:

C Các kỹ thuật sử dụng của bất đẳng thức Côsi

1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

Chúng ta biết rằng bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân.Vì vậy trong chứng minh bất đẳng thức chúng ta thường sử dụng biến đổi từ tổng sang tích, việc biến đổi này chính là đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Dưới đây là một số ví dụ thể hiện sự đánh giá đó

Ví Dụ 1.1: Cho các số thực a, b, c bất kì Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

Phân tích : Trong bất đẳng thức trên thì vế trái là tích của các tổng các số không

âm, ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho mỗi tổng

và nhân các kết quả theo vế với vế

- Để ý rằng ta dùng cách viết: x2 + y2 2 2 2

x y = 2|xy| vì x, y không biết âm hay dương

- Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Côsi như bài toán nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Côsi

Ví dụ 2.1: Cho các số dương a, b thỏa mãn 12 12 2

Chứng minh rằng: a b 2

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh nhìn đơn giản nhưng các biến có sự

ràng buộc, nên trước khi chứng minh ta cần phân tích giả thiết để tìm ra sự ràng buộc đơn giản hơn giữa các biến và trong phép phân tích này ta vẫn sử dụng sự đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =1

Ví Dụ 3.1: Cho các số thực dương không âm a, b Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho các

ví dụ sau đây

Ví dụ 4.1: Cho a, b, c là các số thực không âm Chứng minh rằng :

cho ba số không âm Ta có:

1 a 1 b 1 c 1 a b b c c a a b c a b c

2 2 2

3 3

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra a = b= c

Ví dụ 5.1: Cho các số thực dương a , b ,c , d Chứng minh rằng

Nhận xét: Có thể nói đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân là kỹ

thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản, nhưng đòi hỏi mỗi học sinh khá, giỏi

đều phải nắm được trong chứng minh bất đẳng thức Tuy nhiên không phải bất

đẳng thức nào cũng chứng minh được bằng cách đánh giá này Vì vậy ta tiếp tục

hướng dẫn học sinh tìm hiểu tiếp kỹ thuật tiếp theo

2 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng

Nếu như đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân là đánh giá

từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu a + b bằng dấu a.b thì ngược lại đánh

giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng là thay dấu a.b bằng dấu a + b Và

cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt

tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số Dưới đây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật

đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng

Ví dụ 1.2: Cho a, b, c là các số thực dương.Chứng minh rằng:

a b c d a c b d

Phân tích: - Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể

triệt tiêu ẩn số nên ta có phép biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng

minh, sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số

- Dấu “ ” gợi ý cho ta nếu sử dụng bất đẳng thức Côsi thì ta phải

đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra a = b và c = d

Ví dụ 2.2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a c , b c Chứng minh rằng: c a c c b c a b

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức khá giống với ví dụ 1.2

Vì vậy một cách tự nhiên ta có thể biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho

và đánh giá theo chiều từ trung bình nhân sang trung bình cộng

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = 2c

Ví dụ 3.2: Cho các số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 4.2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 1

Chứng minh rằng: a b c a b b c c a 8

Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng do đó dấu đẳng thức

của bất đẳng thức xảy ra khi a b c 1

3 Nhưng thực tế ta chỉ cần quan tâm

là sau khi sử dụng bất đẳng thức Côsi ta cần suy ra được điều kiện xảy ra dấu đẳng thức là a = b = c

Nhận xét: Có thể nói hai kỹ thuật trên là hai kỹ thuật đánh giá ngược chiều

nhau, tùy theo điều kiện bài toán mà ta chọn cách đánh giá phù hợp Trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần phải giới thiệu để học sinh nắm được hai kỹ thuật cơ bản này

3 Kỹ thuật tách, ghép cặp nghịch đảo

Chúng ta biết rằng tích của hai số nghịch đảo nhau bằng 1 Từ điều này chúng ta dẫn học sinh đi tới ý tưởng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là nghịch đảo của nhau nhằm mục đích triệt tiêu các biến Tuy nhiên trong quá trình vận dụng ta người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng tách một hạng tử thành nhiều hạng tử sao cho có thể ghép được các cặp là nghịch đảo của nhau Dưới dây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật tách và ghép cặp nghịch đảo

Ví dụ 1.3: Cho các số thực dương a, b Chứng minh rằng: a b 2

Phân tích: Ở bất đẳng thức cần chứng minh trên ta chưa thấy cặp nghịch đảo vì

vậy ta cần biến đổi vế trái để tạo ra cặp nghịch đảo Để ý rằng

Phân tích: Để chứng minh được bất đẳng thức trên ta cần ghép cặp nghịch đảo

cho ba số dương, để ý rằng muốn triệt tiêu được hết biến ta cần ghép nghịch đảo cho c số dương sau , 1

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = 2 và b = 1

Ví dụ 4.3: Cho các số thực dương a, b,c Chứng minh rằng:

3

2

Phân tích: Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta cần biến đổi tương đương để

sử dụng kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho ba số dương

Ta biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau:

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c

Nhận xét: Có thể kỹ thuật ghép nghịch là kỹ thuật không có gì mới lạ nhưng nó

lại đem đến một số hiệu quả nhất định trong chứng minh bất đẳng thức Vi vậy học sinh cần phải nắm được kỹ thuật này như một kỹ năng cơ bản trong gải các bài tập cề bất đẳng thức

4 Kỹ thuật chọn điểm rơi

Trong bất đẳng thức, kỷ thuật chọn điểm rơi là một kỹ thuật tối quan trọng Ý tưởng chính của kỹ thuật này là việc xác định được dấu đẳng thức xảy

ra khi nào để có thể sử dụng những đánh giá hợp lý.Trong quá trình chứng minh

các bất đẳng thức học sinh thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu Vì vậy khi hướng dẫn học sinh tìm tòi chứng minh các bài toán bất đẳng thức , người giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy rằng trong bất kỳ đánh giá nào ( trong chuỗi đánh giá của mình ) không bảo toàn được dấu bằng thì bài toán chứng minh sẽ bị phủ nhận hoàn toàn Hãy xét một số ví dụ dưới đây ta sẽ hiểu hơn vấn đề dang được đề cập

Ví dụ 1.4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điền kiện a b c 1 Chứng minh rằng: a b b c c a 6

Lời giải Khi giải bài toán này học sinh thường gặp sai lầm như sau:

Cách chứng minh trên hoàn toàn sai

Nguyên nhân sai lầm: Dấu “ = ” xảy ra a + b = b + c = c + a = 1 a + b + c

= 2 Điều này trái với giả thiết

Phân tích: Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm rơi

của bất đẳng thức sẽ là a b c 1

3 từ đó ta có a + b = b + c = c + a = 2

3 , như vậy để sử dụng dược bất đẳng thức Côsi ta cần nhân them hằng số là 2

3 Vậy lời giải đúng là : Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x y x y

2

cho hai số không

âm ta có:

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra a b 1

Phân tích: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi x y z 1

Vì vậy khi áp dụng Cosi cho x

y

2

y 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 1

Nhận xét: Việc chọn điểm rơi cho bài toán đã giải quyết một cách đúng đắn về

mặt toán học Nếu chúng áp dụng việc chọn điểm rơi kết hợp với các kỹ năng đánh giá khi sử dụng bất đăng thức Côsi hì có thể giải được nhiều bài toán nhanh gọn hơn, đẹp hơn

5 Kỹ thuật ghép đối xứng

Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật “ Ghép đối xứng ” để bài toán trở nên đơn giản

Ở các bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp phải hai dạng toán sau:

- Dạng 1:Chứng minh X + Y + Z A + B + C

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được X + Y 2A Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra

Y + Z 2B và Z + X 2C (Nhờ tính chất đối xứng của bài toán)

Sau đó cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh

- Dạng 2.Chứng minh XYZ ABC với X, Y, Z 0

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY A2 Sau đó tương tự hóa để chỉ ra

YZ B2 và ZX C2 (nhờ tính chất đối xứng của bài toán) Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên vế theo vế rồi lấy căn bậc hai , ta có

, suy ra

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh

Bài toán được giải quyết xong Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 2.5 Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng:

b c c a a b a b c

Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c Từ đó, bài toán được giải quyết hoàn toàn

Ví Dụ 3.5 Cho các số thực a , b , c , d 0 thỏa mãn điều kiện :

1 1 1 1 3

Chứng minh rằng a b c d 1

8 1

Từ giả thiết suy ra:

Với kỹ thuật ghép đối xứng, ta tiếp tục chứng minh các bất đẳng thức

dưới đây, nhưng không bằng một cách trực tiếp mà phải thông qua một bổ đề

trung gian Để chứng minh được các bất đẳng thức như vậy đòi hỏi học sinh

phải có sự sáng tạo và vận dụng linh hoạt các kiến thức cần thiết

Ví dụ 4.5 Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thỏa mãn

2

Cộng ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế và rút gọn cả hai vế của bất đẳng

Theo giả thiết thì dấu bằng xảy ra a b c

Điều này chứng tỏ tam giác đã cho là tam giác đều

Nhận xét: Kỹ thuật ghép đối xứng có thể giúp ta chứng minh được rất nhiều bất

đẳng thức đối xứng, nhưng với các bất đẳng thức không có tính đối xưng thì kỹ thuật nay gần như vô tác dụng Vì vậy đòi hỏi học sinh cần phải chăm chỉ rèn luyện để có thêm các kinh nghiệm khi đánh giá một bất đẳng thức

6 Kỹ thuật đổi biến số

Trong bất đẳng thức, có một quy luật chung, đó là “Trong một dạng cụ thể, thì những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó” Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn” Kỹ thuật đổi biến chính là một công cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này

Ví dụ 1.6: Cho x, y là hai số thực khác 0 Chứng minh rằng:

Phân tích : Nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy hai hạng tử sau ở vế

trái có vẻ như tạo ra được nghịch đảo của hạng tử thứ nhất Vì vậy ta thử phân tích tổng hai hạng tử đó để xem kết quả có như dự đoán hay không

Từ đó ta được t 1 t 4 0

t

, bài toán được giải quyết hoàn toàn

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết ta có:

a b 2 a b 2 , c d 2 c d 2

Suy ra x – 2 0 và y – 2 0 Từ đó ta có y 2 x 2 0

Bài toán được chứng minh xong Dấu bằng xảy ra a b c d 1

Ví dụ 4.6: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh

Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy ra x y z a b c 1

Ví dụ 5.6: Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức này đã được chứng minh ở ví dụ 4.4, ở đây ta có thể

sử dụng cách đổi biến để chứng minh lại bất đẳng thức này

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu “ = ” xảy ra x = y = z a = b = c

Ví dụ 6.6: Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Nhận xét: Trong chứng minh bất đẳng thức cũng như các dạng toán khác, kỹ

thuật đổi biến có vai trò quan trọng vì nó giúp bài toán trở nên đơn giản hơn về hình thức cũng như cách chứng minh, đôi khi việc đổi biến còn giúp ta tạo thêm giả thiết mới cho bài toán Việc trang bị cho học sinh kỹ năng đổi biến là không

thể thiếu trong dạy học về bất đẳng thức

7 Kỹ thuật thêm bớt

Nếu ở các kỷ thuật trên ,học sinh được rèn luyện thói quen định hướng

thức phong phú hơn – những bất đẳng thức mà lời giải cho chúng luôn đòi hỏi một tầm nhìn bao quat cũng như sự đột phá ý tưởng

Kỹ thuật thêm bớt là một minh chứng rõ ràng nhất cho lối tư duy sử dụng những “yếu tố ngoại cảnh” trong việc giải quyết vấn đề

Ngay từ đây chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với kỹ thuật này với những ví

dụ mà cách đánh giá nó tương đối đa dạng

Ví dụ 1.7: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau:

Phân tích: Trước hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si thì

cũng không ra được kết quả, kĩ thuật ghép đối xứng cũng không giải quyết được Bây giờ ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi nào? Dễ nhận thấy đó là khi a = b = c Suy ra

2

a

b b

, vì vậy ta thêm b vào phần tử đại diện

2 a b

một số m b c và dấu bằng của bất đẳng thức Côsi xảy ra được, nghĩa là

2 a

Bài toán được chứng minh xong Dấu bằng xảy ra a b c

Ví dụ 3.7: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 1

Bài toán được chứng minh xong Dấu bằng xảy ra a b c 1

Nhận xét: Từ những ví dụ trên ta đã thấy được sự hiệu quả của kỹ thuật thêm

bớt trong chứng minh bất đẳng thức Tuy nhiên không phải với bất đẳng thức nào cũng có thể làm được theo cách như trên, mà đôi khi ta cần phải thực hiện việc biến đổi tương bất đẳng thức trước rồi mới thực hiện thêm bớt Dưới đây là một số ví dụ như vậy

Ví dụ 4.7: Chứng minh rằng với mọi số thực dương tùy ý a, b, c ta luôn có

Phép chứng minh hoàn tất Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b =c > 0

Ví dụ 5.7: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh bất

Bài toán được giải quyết Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =c = 1

8.Kỹ thuật Côsi ngƣợc dấu

Sử dụng ý tưởng tương tự như kỹ thuật thêm bới, thậm chí có phần khéo léo hơn , kỹ thuật Cosi ngược dấu đã chứng tỏ sự đột phá đơn giản nhưng đem lại hiệu quả bất ngờ đến ngạc nhiên khi giải quyết lớp bất đẳng thưc hoán vị chặt

Phân tích:Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy với mẫu vì bất

đẳng thức sau đó sẽ đổi chiều:

21 21 21 1 1 1 3

Đến đây chúng ta sẽ bị lúng túng trong cách giải

Nhận xét: Kỹ thuật Cauchy ngược dấu có thể hiểu là ta lấy nghịch đảo hai vế

của bất đẳng thức Cauchy sau đó nhân hai vế với -1 Khi đó dấu của bất đẳng thức ban đầu sẽ không đổi chiều Dưới đây là một số ví dụ tương tự

Ví dụ 2.8: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :a b c 3