Ứng dụng phương pháp tối ưu hóa trong xử lý một số bài toán về lịch trình giao thông và khả năng áp dụng cho mạng giao thông thành phố hà nội

Yêu cầu này thường được thể hiện dưới dạng một tập hợp các hành trình chạy xe nối các nút giao thông chính trong thành phố với tần suất xác định và trong những khoảng thời gian nhất định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

PHẠM XUÂN HINH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA TRONG XỬ LÝ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LỊCH TRÌNH GIAO THÔNG VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CHO MẠNG GIAO THÔNG THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA TRONG

XỬ LÝ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LỊCH TRÌNH GIAO THÔNG VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CHO MẠNG

GIAO THÔNG THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi, các kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và luận án hoàn toàn không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nào khác

Phạm Xuân Hinh

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH Phạm Huy Điển và PGS.TS Tống Đình Quỳ Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận án này Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Vũ Thiệu

đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và góp nhiều ý kiến quý báu trong quá trình viết luận án

Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, Lãnh đạo Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Đào tạo Sau đại học - trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, cùng tập thể các thầy cô giáo của trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, Viện Toán học đã động viên giúp đỡ, tạo nhiều điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới TS Nguyễn Phương Anh, TS Nguyễn Cảnh Nam và các thầy cô giáo thuộc bộ môn Toán ứng dụng – Viện Toán ứng dụng

và Tin học, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã dành thời gian đọc luận án

và cho những nhận xét quý báu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Thạc sỹ Trịnh Đình Hoàn và Kỹ sư Nguyễn Hoàng Vũ đã nhiệt tình hỗ trợ trong việc triển khai các tính toán thử nghiệm

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Lãnh đạo trường Cao đẳng Sư phạm Hà Nội, khoa Tự nhiên, bộ môn Toán thuộc trường Cao đẳng Sư phạm Hà Nội, gia đình, người thân và bạn bè đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi, ủng hộ, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Phạm Xuân Hinh

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN 7

DANH MỤC CÁC BẢNG TRONG LUẬN ÁN 8

DANH MỤC 10

CÁC HÌNH VẼ TRONG LUẬN ÁN 10

CHƯƠNG I TỔNG QUAN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LỊCH TRÌNH TRÊN MẠNG GIAO THÔNG VÀ MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA CHÚNG 15

I CÁC BÀI TOÁN VỀ THIẾT LẬP HỆ THỐNG LỊCH TRÌNH CHO MẠNG GIAO THÔNG CÔNG CỘNG 15

1.1 Bài toán thiết lập hệ thống lịch trình cho mạng giao thông có một trung tâm điều hành 15

1.2 Bài toán thiết lập lịch trình với ràng buộc khoảng thời gian 18

1.3 Bài toán cực tiểu hóa số lượng lịch trình chạy xe trên mạng 19

1.4 Bài toán thiết lập hệ thống lịch trình cho mạng giao thông với nhiều trung tâm điều hành 21

II CÁC BÀI TOÁN VỀ LỊCH TRÌNH THU GOM VÀ PHÂN PHỐI CÓ RÀNG BUỘC 23

2.1 Bài toán thu gom hàng hóa với ràng buộc khoảng thời gian 23

2.2 Bài toán lịch trình thu gom và phân phối hàng hóa 25

Bài toán thu gom và phân phối bằng một xe 26

Bài toán lịch trình thu gom và phân phối của nhiều xe 28

2.3 Bài toán thu gom và phân phối với ràng buộc 2 phía 30

III CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM ĐƯỜNG ĐI VỚI RÀNG BUỘC 31

3.1 Bài toán tìm đường đi 31

Bài toán người du lịch 31

Bài toán tìm đường đi với ràng buộc khoảng thời gian 32

3.2 Bài toán tìm đường đi với ràng buộc tài nguyên 34

3.3 Bài toán tìm lịch trình tối ưu với ràng buộc địa hình 36

IV BÀI TOÁN DỰ BÁO GIAO THÔNG LIÊN TỈNH ĐA THÀNH PHẦN 37

4.1 Đặt vấn đề 37

4.2 Mô hình toán học 38

4.3 Nhận xét 41

CHƯƠNG II MỘT GIẢI PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN THIẾT LẬP HỆ THỐNG LỊCH TRÌNH VẬN TẢI ĐỐI VỚI MẠNG GIAO THÔNG CÓ NHIỀU TRUNG TÂM ĐIỀU HÀNH VÀ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG CHO

MẠNG XE BUS HÀ NỘI 43

I ĐẶT VẤN ĐỀ 43

II MÔ HÌNH TOÁN HỌC VÀ CÁC GIẢI PHÁP XỬ LÝ BAN ĐẦU 43

2.1 Mô hình toán học 43

2.1.1 Một số khái niệm và ký hiệu 43

2.1.2 Bài toán thiết lập hệ thống lịch trình vận tải trong mạng giao thông với nhiều trung tâm điều hành 51

2.2 Giải pháp xử lý ban đầu 59

2.2.1 Tháo gỡ điều kiện ràng buộc về chủng loại xe 59

2.2.2 Bài toán với điều kiện thuần nhất về chủng loại xe 61

2.3 Giải pháp phân rã và lặp đan xen 63

2.3.1 Phương án khởi tạo 63

2.3.2 Giải pháp phân rã 64

2.3.3 Khả năng làm tốt dần qua các vòng lặp 65

2.3.4 Bài toán cho mạng giao thông với một TTĐH 67

2.4 Sơ đồ nguyên tắc của thuật toán 69

2.4.1 Sơ đồ thuật toán 69

2.4.2 Nhận xét về tính hữu hạn và tính khả thi của thuật toán 69

III TRIỂN KHAI TÍNH TOÁN CHO MÔ HÌNH MẠNG XE BUS THÀNH PHỐ HÀ NỘI 70

3.1 Mạng lưới xe bus thành phố Hà Nội và giải pháp thiết lập dữ liệu mô phỏng 70

3.1.1 Thông tin sơ bộ về mạng lưới xe bus thành phố Hà Nội 70

3.1.2 Tổ chức cơ sở dữ liệu 74

3.2 Kết quả triển khai tính toán thử nghiệm 76

3.2.1 Tính toán từ phương án khởi tạo 76

3.2.2 Tính toán từ phương án hiện có 84

IV KẾT LUẬN 87

CHƯƠNG III MỘT PHƯƠNG PHÁP MỚI GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI VỚI RÀNG BUỘC HAI PHÍA VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHÂN BỔ TUYẾN CHO CÁC TTĐH CỦA MẠNG XE BUS HÀ NỘI 88

I NỘI DUNG BÀI TOÁN 88

II TRƯỜNG HỢP CÁC NHU CẦU LÀ CỐ ĐỊNH: b j b j b j 90

2.1 Một số tính chất cơ sở 91

2.2 Thuật toán giải bài toán Q 95

III THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN TỔNG QUÁT 102

3.1 Bài toán biến thể 102

3.2 Thuật toán giải Bài toán P 106

IV MỘT ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN PHÂN BỔ CÁC TUYẾN XE CHO CÁC TTĐH CỦA MẠNG XE BUÝT HÀ NỘI 114

4.1 Cấu trúc mạng lưới giao thông xe buýt của Thành phố Hà Nội 115

4.2 Mô hình toán học 118

4.3 Hiện trạng của mạng xe buýt thành phố Hà Nội 120

4.4 Giải pháp cải tiến 120

V KẾT LUẬN 122

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 124

I KẾT LUẬN 124

II KIẾN NGHỊ 125

TÀI LIỆU THAM KHẢO 127

Phần tiếng Việt 127

Phần tiếng Anh 128

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN

DANH MỤC CÁC BẢNG TRONG LUẬN ÁN

Bảng 2.1 Danh mục các TTĐH của mạng xe bus Hà Nội 70

Bảng 2.2 Bảng thống kê các nút ven nội và ngoại thành Hà Nội 72

Bảng 2.3 Minh họa một phần cơ sở dữ liệu thông tin về các HTBB 73

Bảng 2.4 Một góc của ma trận số đo quãng đường đi giữa các điểm

đầu (cuối) của các hành trình (theo đơn vị km) 75

Bảng 2.5 Thông tin về khoảng cách (đường đi) từ các nút giao

Bảng 2.6 Một phần của tập lịch trình khởi tạo (3 trong số 334 lịch

Bảng 2.7 Biểu diễn lịch trình đầu tiên và lịch trình cuối cùng 79

Bảng 2.8 Kết quả phân bổ lịch trình khởi tạo về cho các TTĐH 80

Bảng 2.9 Kết quả phân bổ lịch trình khởi tạo về cho các TTĐH, với

ràng buộc mỗi trung tâm không chứa quá 150 xe 80

Bảng 2.10 Tập lịch trình khả thi nhận được sau kết quả tính toán tới

Bảng 2.11 Bảng giá trị hàm mục tiêu trong 30 vòng tính toán 84

Bảng 3.1 Tập ô chọn G và phương án tối ưu ở Bước 0 100

Bảng 3.2 Tập ô chọn & Phương án cực biên 1 100

Bảng 3.3 Tập ô chọn & Phương án cực biên 2 101

Bảng 3.4 Tập ô chọn & Phương án cực biên 3 101

Bảng 3.5 Phương án tối ưu (fmin = 500) 102

Bảng 3.6 Tập ô chọn G và phương án tối ưu ở Bước 0 111

Bảng 3.7 Tập ô chọn & Phương án cực biên 1 112

Bảng 3.8 Tập ô chọn & Phương án cực biên 2 112

Bảng 3.9 Tập ô chọn & Phương án cực biên 3 113

Bảng 3.10 Tập ô chọn & Phương án cực biên 4 113

Bảng 3.12 Các TTĐH của mạng lưới xe bus thành phố Hà Nội 115

Bảng 3.13 Thông tin chi tiết về phân bổ các tuyến xe cho từng

Bảng 3.14 Thông tin chi tiết về số lượng xe trên từng tuyến 118

Bảng 3.15 Thông tin về quãng đường không tải của từng TTĐH 120

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ TRONG LUẬN ÁN

Hình 2.1 Sơ đồ các điểm nút giao thông (giả định) vùng nội đô 73

Hình 2.2 Biểu đồ minh hoạ giá trị hàm mục tiêu qua từng vòng lặp 81

Hình 2.3 Biểu đồ minh hoạ giá trị hàm mục tiêu qua từng vòng lặp 85

Hình 2.4 Kết quả tính toán sau 100 vòng lặp 86

MỞ ĐẦU

Việc xây dựng và quản lý hệ thống giao thông là một trong những vấn

đề then chốt đối với một quốc gia đang phát triển như nước ta hiện nay Song song với công tác đầu tư phát triển hạ tầng, bài toán quy hoạch và quản lý hệ thống giao thông đang được đặt ra một cách cấp bách Thực tiễn nước ta trong mấy năm qua đã cho thấy rằng, dù có tập trung đầu tư cho phát triển cơ

sở hạ tầng đến mức nào đi chăng nữa, nhưng nếu không biết quản lý hệ thống giao thông một cách hợp lý thì những đầu tư này cũng không thể phát huy được hiệu quả và vấn đề ách tắc giao thông vẫn không sao giải quyết được Điều này dĩ nhiên không chỉ là vấn đề của riêng nước ta, mà là của mọi quốc gia, cho nên những bài toán liên quan đến quy hoạch và quản lý mạng lưới giao thông luôn nhận được sự quan tâm đặc biệt của cộng đồng Toán học trên khắp thế giới Nét đặc trưng của các bài toán quy hoạch và quản lý giao thông

là ở chỗ chúng thường có mô hình toán học là những bài toán quy hoạch

nguyên, phi tuyến và có số lượng biến rất lớn, cho nên thường thuộc lớp NP- khó và không có được giải pháp tổng quát cho việc tìm lời giải Việc giải

quyết những bài toán này thường phải dựa vào việc khai thác các đặc điểm riêng của từng thành phố, và do vậy lời giải chỉ có thể áp dụng được cho từng trường hợp cụ thể Ta hiểu vì sao mà những bài toán giao thông đã được đặt

ra từ lâu, đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu và đã thu được rất nhiều kết quả (xem trong [10], [22], [23], [34]), nhưng vấn đề vẫn luôn có tính thời

sự thu hút được sự quan tâm của giới toán học đương thời, như người bạn đồng hành của quá trình phát triển và mở mang đô thị trên thế giới Những kết quả gần đây thuộc loại này có thể xem, chẳng hạn như, trong các công trình [27] của Gabor và Salhib (2005), [35] của Lim và Wang (2005), [28] của Hadjar, Marcotte và Soumis (2006), [29] của Hoa, Hob, Jib và Laub (2008) và các tài liệu dẫn trong đó

Những bài toán liên quan đến mạng lưới giao thông là vô cùng đa dạng, vượt ra ngoài khuôn khổ của bất kỳ một chương trình nghiên cứu nào, cho nên mỗi nhóm tác giả, mỗi “trường phái” nghiên cứu thường chỉ đề cập đến một số vấn đề cụ thể Trong luận án này, chúng tôi cũng chỉ có thể đề cập đến những bài toán liên quan đến vấn đề thiết lập lịch trình trong mạng giao thông và các ứng dụng có ý nghĩa thiết thực đối với thực tiễn nước ta hiện

Một trong những vấn đề “nổi cộm” nhất của ngành giao thông nước ta hiện nay chính là vấn đề tổ chức và quản lý mạng lưới giao thông đô thị tại các thành phố lớn Mục tiêu cao nhất của một mạng giao thông công cộng thành phố là đáp ứng được các yêu cầu đi lại của cư dân thành phố Yêu cầu này thường được thể hiện dưới dạng một tập hợp các hành trình chạy xe nối các nút giao thông chính trong thành phố (với tần suất xác định và trong những khoảng thời gian nhất định, căn cứ trên kết quả khảo sát và điều tra kỹ lưỡng của cơ quan quản lý giao thông thành phố) Trong quá trình thực hiện các hành trình này, xe thường phải thực hiện một số hành trình phụ trợ không

có trong yêu cầu (ví dụ như đoạn đường từ trung tâm điều hành của đoàn xe cho đến điểm đầu của hành trình phục phụ đầu tiên, hay là đoạn đường xe chạy từ điểm cuối của một hành trình vừa thực thi xong cho đến điểm đầu của hành trình khác cần thực thi tiếp theo,v.v ) Đây là phần chi phí không sinh lợi, mà một trong những mục tiêu quan trọng của ngành giao thông là giảm thiểu các chi phí này Điều này được thực hiện dựa trên việc sắp xếp hợp lý các hành trình vào thành một số tuyến (mỗi tuyến được phân cho một

xe thực hiện trong ngày, được gọi là một lịch trình chạy xe), và cùng với đó

là phân bổ tối ưu tập các lịch trình chạy xe về chịu sự quản lý của một số trung tâm điều hành (được ấn định trước trong mạng giao thông thành phố)

Bài toán này được gọi là bài toán thiết lập hệ thống lịch trình tối ưu cho mạng lưới giao thông công cộng Việc giải quyết tốt bài toán này sẽ là cơ sở

cho việc giải quyết hàng loạt vấn đề khác liên quan đến mạng lưới giao thông công cộng (như phân công tối ưu các đội lái, sử dụng tối ưu số đầu xe,v.v )

Cho nên, mặc dù nó là một bài toán rất khó (thuộc lớp NP-khó, như sẽ thấy

sau này) người ta vẫn cứ phải tập trung giải quyết

Trong thực tế, mạng lưới xe bus của một thành phố được hình thành và phát triển qua nhiều giai đoạn, song song với sự phát triển của chính thành phố đó Cho dù ngay từ ban đầu nó có thể được thiết kế một cách "tối ưu", nhưng trong quá trình vận hành, với sự mở rộng của đô thị và sự tăng trưởng không ngừng của các lực lượng tham gia giao thông, mạng sẽ không thể giữ nguyên cấu trúc "tối ưu" ban đầu, do việc phải bổ sung thêm các hành trình mới (xuất phát từ yêu cầu thực tế) Khi ấy, một yêu cầu tự nhiên được đặt ra

là cần tái cơ cấu lại lịch trình (và kèm theo là phân bố lại chỉ tiêu phục vụ của các trung tâm điều hành) để tiếp tục có được tính tối ưu ở mức hợp lý Như

vậy, song song với việc đưa ra giải pháp thiết lập hệ thống các lịch trình tối

ưu cho mạng tại một thời điểm nào đó, người ta còn phải quan tâm đến vấn

đề “tái cấu trúc mạng” sau một khoảng thời gian nào đó Thông thường, một phương án tối ưu thực sự cho giai đoạn mới thường khác biệt rất xa so với

phương án trước đó, và do vậy sẽ đòi hỏi có những thay đổi đáng kể trong công tác điều hành và quản lý hoạt động của mạng, và sự thay đổi này

thường kéo theo các khoản chi phí không hề nhỏ Một phương án mới sẽ chỉ

là khả thi khi "tính tối ưu lý thuyết" của nó mang lại hiệu quả kinh tế vượt trội so với cái giá phải trả cho việc làm xáo trộn nền nếp quản lý và vận hành (do sự thay đổi gây ra) Có lẽ đây là một trong những nguyên nhân chính làm cho các "phương án tối ưu lý thuyết” không phải lúc nào cũng được triển khai trong thực tiễn, cho dù việc tìm ra được một lời giải tối ưu như vậy là một công việc vô cùng gian nan Với các đô thị đang trong tiến trình thay đổi như

ở nước ta, đặc biệt là khi khả năng dự báo về giao thông còn rất hạn chế, việc tìm một lời giải áp dụng cho vận hành mạng ổn định trong thời gian dài (như

là ở các nước phát triển) có lẽ chưa khả thi, mà vấn đề thực tế hơn có lẽ là tìm các phương án vận hành mạng trong khoảng thời gian vừa phải, để rồi tiếp tục có những thay đổi mới Rõ ràng, các phương án đưa ra, bên cạnh việc làm giảm các chi phí không sinh lợi trong quá trình vận hành mạng, còn phải ít gây xáo trộn nhất có thể trong công tác quản lý và điều hành hệ thống (để ít phải trả giá cho việc xáo trộn này) Mục tiêu chính của Luận án là nhằm đề xuất một giải pháp khả thi cho việc tìm ra lời giải có khả năng dung hòa được hai mục tiêu đó

Bên cạnh việc nghiên cứu về giao thông nội đô, chúng tôi còn đề cập đến một số bài toán về vận tải và thiết kế giao thông đặt ra trong tình hình thực tiễn nước ta Những nghiên cứu của luận án được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết các mô hình toán học về mạng lưới giao thông và các phương pháp tối ưu hóa trong việc giải các bài toán quy hoạch phi tuyến với

số biến lớn Nội dung của luận án bao gồm 3 chương

Trong Chương I, chúng tôi trình bày tổng quan về những mô hình toán học của một số lớp các bài toán liên quan đến lịch trình mạng giao thông Mỗi phần của chương được dành cho việc trình bày một nhóm bài toán, làm

cơ sở cho chúng tôi phát triển một chủ đề nghiên cứu của mình, riêng phần cuối cùng đề cập đến vấn đề quy hoạch mạng lưới giao thông liên tỉnh (ngoại

vi thành phố), là chủ đề mà chúng tôi dự kiến theo đuổi trong tương lai

Trong Chương II chúng tôi nghiên cứu về một giải pháp tiếp cận bài toán thiết lập hệ thống lịch trình vận tải đối với mạng giao thông có nhiều trung tâm điều hành và khả năng ứng dụng cho mạng xe bus thành phố Hà Nội Sau khi đưa ra một số giải pháp chuyển bài toán tổng quát với độ phức tạp cao về bài toán có độ phức tạp thấp hơn, dựa trên một số giả thiết về điều kiện triển khai mang tính thực tế, chúng tôi sử dụng giải pháp kết hợp đan xen hai quá trình lặp và phân rã Mỗi bước trong quá trình lặp cho ra một mức cải thiện hàm mục tiêu Quá trình phân rã chuyển bài toán này thành 2 bài toán tối ưu khác dễ giải hơn, mỗi bài toán là một công đoạn làm giảm giá trị của hàm mục tiêu, mà kết quả cho ra là một phương án chấp nhận được có tính khả thi (không đòi hỏi sự xáo trộn quá nhiều trong công tác quản lý và điều hành hệ thống, so với phương án hiện tại) Các tính toán thử nghiệm, với một mạng giao thông với cấu trúc và tầm cỡ tương tự như mạng xe bus Hà Nội, cho thấy rằng thuật toán có khả năng đem lại phương án mà giá trị hàm mục tiêu giảm tới trên 24% so với phương án hiện tại Kết quả của chương này đã được công bố trong các công trình [3], [4], [5] (Danh mục các công trình đã công bố của luận án)

Nội dung Chương III nghiên cứu và đưa ra một phương pháp giải mới cho bài toán vận tải với ràng buộc hai phía Do bài toán này có cấu trúc khá đặc thù (gần với cấu trúc bài toán vận tải quen thuộc, chỉ khác ở chỗ có thêm các biến bị chặn trên), nên nếu chỉ sử dụng đơn thuần thuật toán xử lý biến bị chặn trên đối với qui hoạch tuyến tính tổng quát thì sẽ không hiệu quả, do số biến trong bài toán tăng theo tích của số lượng điểm thu và điểm phát Vì thế, khai thác cấu trúc đặc biệt của bài toán để tìm ra thuật toán giải hiệu quả là rất cần thiết và có ý nghĩa cả về khoa học lẫn ứng dụng thực tiễn Chúng tôi

đã áp dụng phương pháp thế vị để đề xuất một thuật toán, với các thao tác tương tự như khi giải một bài toán vận tải thông thường, nhưng điểm mới là ở chỗ thuật toán đã khai thác cấu trúc đặc biệt của bài toán để có được các tính toán đơn giản, đặc biệt trong xây dựng phương án cực biên ban đầu, lập và xử

lý chu trình, tìm phương án cực biên mới Thuật toán thu được đã được áp dụng để giải bài toán phân lịch trình cho các trung tâm điều hành của mạng lưới xe bus của thành phố Hà Nội Kết quả của chương này được công bố trong [1], [2], [6], (Danh mục các công trình đã công bố của luận án)

Giả sử một xí nghiệp vận tải cần điều xe để thực hiện n hành trình đã

định trước, ký hiệu là T T1, , ,2 T Với xí nghiệp vận tải xe bus thì đây là n

những hành trình được đặt ra từ phía cơ quan quản lý giao thông (gọi là

những hành trình bắt buộc – HTBB), dựa trên kết quả khảo sát kỹ lưỡng nhu

cầu đi lại thực tế của cư dân trong thành phố Mỗi hành trình T , i

i  1,2, ,n, được ứng với một cung đường nhất định (có điểm đầu, điểm cuối) và một khoảng thời gian thực thi nhất định cùng với thời điểm khởi hành cũng được ấn định trước, ký hiệu là a , i i  1,2, ,n Nói chung, các cặp (điểm đầu, điểm cuối) của các hành trình khác nhau là độc lập với nhau, bởi vậy nếu một xe đi thực hiện hai hành trình thì cần phải có một khoảng thời gian để xe đi từ điểm cuối hành trình trước sang điểm đầu của hành trình sau

Ký hiệu t là thời gian thực hiện hành trình ij T cộng với thời gian i

chuyển tiếp từ T sang i T , (chẳng hạn nếu j T kết thúc ở điểm E, i T bắt đầu ở j điểm F thì thời gian đi từ E đến F là thời gian chuyển tiếp từ T sang i T ) j

Ký hiệu N  1,2, ,n Một cặp hành trình T T , , i, j  i j  N được xem là

tương thích nếu thoả mãn mối quan hệ a i t ij a j, nghĩa là sau khi thực hiện hành trình T thì xe phải có mặt ở điểm bắt đầu hành trình i T vào trước j thời điểm khởi hành của nó) Ký hiệu I là tập hợp các cặp chỉ số  i j mà ,cặp hành trình T T là tương thích, ta có i, j I  N N Một lịch trình là

một chuỗi các hành trình bắt buộc, trong đó hai hành trình liên tiếp nhau thì thỏa mãn điều kiện tương thích

Trong mục này, ta xét trường hợp xí nghiệp vận tải chỉ có một trung tâm điều hành (TTĐH), là nơi bảo dưỡng, duy tu và cũng là nơi lưu trú của các xe

thuộc xí nghiệp ngoài thời gian đi phục vụ Theo quy định, xe xuất phát từ TTĐH đi thực hiện một lịch trình được phân công rồi cuối cùng phải quay trở

về TTĐH để lưu trú (sau thời gian phục vụ)

Giả sử xí nghiệp cần thực thi n hành trình bắt buộc (HTBB) Nếu TTĐH có đủ n xe thì một phương án khả thi là giao cho mỗi xe thực hiện

một HTBB Tuy nhiên, trong thực tế số lượng các HTBB là rất lớn, còn số đầu xe của xí nghiệp thường là rất hạn chế, cho nên cách phân công này là nói chung là không phù hợp

Một cách phân công hợp lý hơn là nên ghép một số HTBB với nhau

thành các lịch trình (như đã nói ở trên) và giao cho một xe thực hiện Vấn đề

đặt ra là nên ghép những hành trình nào với nhau để TTĐH sử dụng số đầu

xe là ít nhất có thể và chi phí tổng thể cho việc thực hiện toàn bộ các HTBB

là nhỏ nhất có thể

Ký hiệu c ij, , i j  , là chi phí chạy xe kể từ khi bắt đầu thực hiện I

hành trình T cho đến khi sẵn sàng thực hiện hành trình i T , còn j c n1,j

j  N là chi phí cho xe rời TTĐH đi thực hiện hành trình đầu tiên là T j

(chi phí đi từ TTĐH đến nơi xuất phát của hành trình T ), và tương tự j c j n, 1

là chi phí để xe trở về TTĐH sau khi kết thúc hành trình T (chi phí đi từ nơi j

kết thúc hành trình T về đến TTĐH) Để giải quyết bài toán đặt ra, ta đưa ra j

mô hình toán học như sau

Ta lập đồ thị G gồm n  đỉnh, mỗi đỉnh từ 1 đến n biểu thị một hành 1

trình bắt buộc (đỉnh i biểu thị hành trình T ), còn đỉnh i n  biểu thị TTĐH 1

của xí nghiệp Các cạnh của đồ thị G là tập hợp

Mỗi cạnh ( , )i j , với , i j  , biểu thị cặp hành trình I T T tương i, j 

thích, có thể giao cho một xe đảm nhận (sau khi thực hiện hành trình T thì i

thực hiện tiếp hành trình T ), mỗi cạnh ( , j j n  biểu thị hành trình khi xe 1)quay về TTĐH sau khi thực hiện hành trình T j

Với tập các đỉnh của đồ thị là V  N n 1, ta có thể viết ( , )

G  V A , trong đó A là tập hợp các cạnh (đã nói ở trên)

Đồ thị con của G , có tập đỉnh là N và tập cạnh là I , được ký hiệu là

N I Đây là một đồ thị có hướng và không chứa chu trình Đặt ,  X là biến ij

chỉ thị trên cung  i j,  , nghĩa là A X  nếu có hành trình liên kết từ ij 1 T i

đến T và j X  trong trường hợp ngược lại Bài toán đặt ra có mô hình ij 0toán học là một bài toán quy hoạch nguyên có ràng buộc sau đây:

Hàm mục tiêu chính là tổng chi phí thực hiện các hành trình trên mạng

và chi phí sử dụng đầu xe Ràng buộc (1.2) là điều kiện đảm bảo rằng mỗi HTBB chỉ thực hiện đúng một lần (mỗi HTBB chỉ thuộc một lịch trình nào đó) Ràng buộc (1.3) và (1.4) tương ứng là điều kiện giới hạn số lượng xe và điều kiện bảo toàn ràng buộc luồng

Từ nghiệm của bài toán (1.1) – (1.5) người ta sẽ xác định ra những hành trình kế tiếp nhau (có hành trình liên kết giữa hai hành trình đó) và lập ra các

điểm khởi đầu tại TTĐH và hành trình cuối cùng có điểm kết thúc tại TTĐH) Nói chung, số lượng các lịch trình ít hơn rất nhiều số lượng các hành trình bắt buộc Rõ ràng bài toán nêu trên chính là bài toán thiết lập hệ thống lịch trình làm cực tiểu chi phí vận tải trên mạng, hay nói gọn là bài toán cực tiểu hoá chi phí vận hành mạng Bài toán này đã có thuật toán giải bởi Bertossi A.A., Carraresi P., Gallo (1987), G Ahuja, Magnanti & Orlin (1993), với thời gian đa thức, (xem [10], [12], [17], [25])

1.2 Bài toán thiết lập lịch trình với ràng buộc khoảng thời gian

Trong mục trên, mỗi hành trình bắt buộc có các mốc thời gian bắt đầu

và kết thúc là những thời điểm (chính xác), còn trong mục này ta xét trường hợp các mốc thời gian được cho là những khoảng thời gian nào đó Ví dụ trong bài toán thiết lập hệ thống lịch trình cho xe đưa đón khách, thời gian

đón trả khách tại một địa điểm E là từ 6h đến 6h15, tại điểm F là từ 7h đến 7h20 Nghĩa là, xe không được đến một điểm nào đó sớm hơn khoảng thời

gian qui định và xe không được đến điểm nào đó muộn hơn khoảng thời gian qui định

Mô hình toán học của bài toán này được mô tả như sau

Ký hiệu N  1,2, ,n biểu thị các điểm đến TTĐH được “phân tách” thành 2 điểm: điểm xuất phát là o và điểm trở về là d Xét đồ thị

G  V A , ở đây A là tập hợp các cạnh và V  N o d,  là tập hợp các đỉnh

Ký hiệu khoảng thời gian ràng buộc là a b i i,  tại mỗi điểm i V Một

lịch trình trong đồ thị G được định nghĩa bởi một dãy điểm kế tiếp nhau

0 1, , , H

i i i , trong đó mỗi cạnh i k1,i k  Tất cả các lịch trình bắt đầu từ A

điểm i0  , tại thời điểm o a , và kết thúc tại điểm 0 i H  không muộn hơn d

thời điểm b d

Một lịch trình là sơ cấp nếu nó không chứa chu trình Mỗi một cạnh

 i j,  có thể có chi phí dương hoặc chi phí âm và xác định trong khoảng A

thời gian t Chúng ta qui định thời gian của xe sau khoảng thời gian ràng ij buộc tại điểm i là một phần trong giá trị thời gian t , ij i  N Một cạnh

 i j thuộc tập hợp A nếu có một lịch trình thực hiện được, chẳng hạn nếu ,

có một lịch trình thì phải thoả mãn điều kiện: a i t ij b j Mô hình toán học của bài toán có hai tập biến: biến luồng X ij, , i j  và biến thời gian A

điều kiện luồng trong đồ thị G “ Khoảng thời gian phục vụ” xuất hiện trong

ràng buộc (1.10) và điều kiện tương thích giữa biến luồng và biến thời gian trong ràng buộc (1.9) Có nhiều tác giả đã tham gia nghiên cứu dạng bài toán này, Joksch (1966), Aneja, Aggarwal & Nair (1983) Jaffe, Martins (1984),

một nghiên cứu của Dror (1994) cho thấy bài toán này thuộc lớp NP- khó (xem [14], [23])

1.3 Bài toán cực tiểu hóa số lượng lịch trình chạy xe trên mạng

Hiện nay, chi phí mua xe (thuê xe) và chi phí cố định của một xí nghiệp

là rất cao, nên các chi phí này có ảnh hưởng lớn đến giá thành và lợi nhuận của xí nghiệp Bởi vậy việc làm đầu tiên của xí nghiệp là phải cực tiểu hoá số lượng xe, mà vẫn đảm bảo được việc thực hiện các HTBB được giao Như đã

nói ở trên, mỗi xe có trách nhiệm thực hiện một lịch trình, cho nên việc cực tiểu hóa số lượng xe cũng là việc tìm phương án khả thi với số lượng các lịch

trình là ít nhất Đây chính là bài toán cực tiểu số lượng lịch trình chạy xe

Một lịch trình trong đồ thị ở Mục 1.1 là một tập hợp các hành trình T i

thỏa mãn điều kiện tương thích, hành trình T gọi là một lịch trình sơ cấp nếu i

nó không chứa chu trình Việc tìm cực tiểu số xe cần thiết để phục vụ các HTBB đã cho là tương đương với việc tìm cực tiểu số lịch trình phủ toàn bộ các điểm của đồ thị N I , 

Nếu T T thuộc một lịch trình thì chúng phải thoả mãn điều kiện i, j

i ij j

a t a , i N j,  N, từ đó suy ra ( , )i j được sắp thứ tự trong N Từ

đó chúng ta có thể tìm cực tiểu số lịch trình bằng cách sử dụng kết quả của

Dilworth [1950], nói rằng: Trên tập hợp sắp thứ tự bộ phận số lịch trình nhỏ nhất bằng số lớn nhất của các điểm không có quan hệ với nhau trong N Để

tìm cực tiểu số lịch trình như ở trên ta dựa vào nhận xét sau: Trong đồ thị không có chu trình người ta có thể tìm được cách đánh số các đỉnh sao cho mỗi cung  i j đều thỏa mãn i,  Sau đó chúng ta sử dụng thuật toán của j

Ford & Fulkeson để tìm cực tiểu số lịch trình Năm 1962 Ford & Fulkeson đã

đề ra thuật toán để tìm cực tiểu số lịch trình: Giả sử rằng với tập hợp các điểm được đánh số như ở trên ta chọn phần tử nhỏ nhất (ví dụ chọn phần tử

1) sau đó đi tới đỉnh tiếp sau đầu tiên j của nó Cứ tiếp tục đi như vậy cho

đên khi tới một phần tử nào đó mà không thể đi tiếp đến đỉnh nào nữa thì dừng lại, điều đó đã vạch cho ta một lịch trình của một phân hoạch tối thiểu Sau đó chúng ta xoá các phần tử của lịch trình vừa tìm được và lặp lại quá trình trên Độ phức tạp tính toán của thuật toán là ( )O n

Trong trường hợp  i j,  , ,i j I  Ncó thể không tạo thành tập sắp thứ

tự (T T nối được với nhau), thì việc tìm cực tiểu số xe có thể dựa vào thuật i, jtoán luồng cực đại (Ford&Fulkeson) Số xe nhỏ nhất để phủ hết được các

chuyến đi theo bài toán luồng cực đại bằng

 i j, I ij



  (xem [3], [8], [9], [23])

Tuy nhiên, cũng cần lưu ý rằng mục tiêu cực tiểu hóa số lượng đầu xe

có thể kéo theo không ít khó khăn cho việc thiết lập hệ thống lịch trình và thường làm gia tăng các quãng đường chạy không tải, gây lãng phí xăng dầu, nhân công và chi phí khấu hao xe Tổng các chi phí này có khi còn lớn hơn cả chi phí mua xe, cho nên một cách thực tế hơn là cần đưa tất cả các chi phí này vào một hàm mục tiêu chung (với trọng số ưu tiên phù hợp) và tìm giải pháp cực tiểu hóa hàm mục tiêu này Một giải pháp cho vấn đề này sẽ được chúng tôi đề xuất trong Chương II

1.4 Bài toán thiết lập hệ thống lịch trình cho mạng giao thông với nhiều trung tâm điều hành

Với một thành phố lớn (như Hà Nội hiện nay), việc duy trì chỉ một trung tâm điều hành (TTĐH) để phục vụ cho tất cả các xe thực hiện các HTBB của thành phố sẽ là điều bất cập, vì số lượng xe phải phục vụ tại TTĐH là quá đông, phần lớn các xe phải đi những quãng đường quá xa để đến được điểm phục vụ của hành trình đầu tiên trong ngày, và khi kết thúc việc phục vụ HTBB trong ngày lại cũng phải đi những quãng đường rất dài mới trở về được TTĐH) Chính vì vậy, trong trường hợp này, người ta thường sử dụng một số TTĐH thay vì chỉ một (mạng xe bus như Hà Nội hiện nay có bốn TTĐH)

Việc thay đổi từ một TTĐH lên nhiều TTĐH làm cho bài toán thiết lập

hệ thống lịch trình cho mạng giao thông có những biến đổi về chất, cho dù về hình thức bên ngoài vẫn có những nét tương tự Giả sử tập hợp các TTĐH là

K và tại TTĐH thứ k người ta điều hành v chiếc xe, k k  K Mỗi xe của TTĐH được sử dụng để thực hiện một số các HTBB rồi cuối cùng quay trở lại chính TTĐH đó sau mỗi ngày làm việc

Cũng như các mục trước đây, ta xét đồ thị gồm n đỉnh, mỗi đỉnh biểu thị một HTBB và I là tập hợp các cặp hành trình tương thích (tương tự như

trong đó đỉnh n  biểu thị TTĐH thứ k k

ChoX là biến chỉ thị đối với cạnh ij k  i j,  A k và chi phí trên cạnh này

là (chi phí này không phụ thuộc vào k nếu  i j,  , còn các chi phí I c n k j , với j  N và c i n k,  với i  N thì có thể phụ thuộc vào k )

Mô hình toán học của bài toán này là:

và (1.14) tương ứng là ràng buộc về số lượng xe và điều kiện cân bằng luồng

Khi K  thì đây là bài toán thiết lập hệ thống lịch trình cho mạng 1giao thông với một TTĐH duy nhất (đã được nói tới trong Mục 1.1.)

Nếu K  thì bài toán này thuộc lớp NP- khó (như đã chỉ ra trong 2[19], [13], [10], [29]) Khi ấy, ngay cả bài toán tìm nghiệm tối ưu xấp xỉ  cũng đã là NP-khó Ngoài ra, người ta còn chỉ ra rằng bài toán tìm phương án chấp nhận được cho bài toán này khi có ràng buộc về dung lượng của các trung tâm cũng đã là một bài toán NP đầy đủ Đây chính là lý do vì sao bài

toán này, mặc dù đã được rất nhiều người quan tâm nghiên cứu (xem [16], [21], [31], [32]), nhưng cho đến nay vẫn chưa có được giải pháp thỏa đáng Trong luận án này, chúng tôi sẽ dành toàn bộ Chương II để nghiên cứu

về chủ đề này

II CÁC BÀI TOÁN VỀ LỊCH TRÌNH THU GOM VÀ PHÂN PHỐI CÓ RÀNG BUỘC

2.1 Bài toán thu gom hàng hóa với ràng buộc khoảng thời gian

Đây là bài toán thu gom hàng hóa từ nhiều điểm phân bố rải rác trên một địa bàn rộng Thời gian thu gom hàng tại mỗi điểm được ấn định trước Đó là bài toán đặt ra đối với các công ty môi trường đô thị trong việc thu gom rác thải, và cũng đặt ra đối với các công ty thu mua hàng hóa nông sản ở nước

ta hiện nay Mô hình toán học của bài toán này như sau

A Tập V chứa tập k N o k d k   , , trong đó o k d k là biểu thị    ,

điểm xuất phát và điểm trở về đối với xe k , k  K Tập A là tập con của k

mà hành khách được phục vụ Định nghĩa tải trọng của mỗi khách hàng

i  N là l i  p i Với mỗi xe k K , ký hiệu tải trọng ban đầu là l o k( ), khoảng thời gian ràng buộc tại vị trí khởi hành là a o k( ),b o k( )

được xem là không thỏa mãn ràng buộc thời gian nếu a i t ij k b j, hoặc

không thỏa mãn ràng buộc dung lượng nếu l i l j Q k

Mô hình toán học của bài toán này sẽ có các biến sau đây:

o Biến luồng X ij k, , i j A k, k  K , nhận giá trị là 1 nếu cạnh  i j ,

được sử dụng bởi chiếc xe k , bằng 0 trong các trường hợp khác;

o Biến thời gian k, k,

i

T i V k  K , chỉ rõ thời điểm bắt đầu sự phục

vụ tại điểm i của chiếc xe k ;

o Biến trọng tải L i k i, V k,k  K , chỉ rõ tải trọng của xe k sau khi phục vụ tại điểm i

Mô hình toán học của bài toán như sau:

Ở đây hàm mục tiêu (1.16) mô tả tổng chi phí bao gồm chi phí cố định

c của việc sử dụng xe và tổng tất cả các chi phí k( ), ;

o k j

c j  N Ràng buộc (1.17) biểu thị mỗi khách hàng được phân bổ đúng 1 lịch trình xe Ràng buộc

(1.19)-(1.21) mô tả lịch trình mà xe k sẽ sử dụng Ràng buộc (1.22)-(1.23)

đảm bảo về lịch trình thời gian có thể thực hiện được Ràng buộc (1.26) đảm bảo việc thực hiện tải trọng của xe Ràng buộc (1.27) của biến luồng là nhị phân

(1.24)-Bài toán này đã có nhiều người tham gia nghiên cứu (xem [24], [38], [23]) Tuy nhiên cho đến nay cũng chưa có lời giải cho trường hợp tổng quát Năm 1992, Desrosiers & Solomon đưa ra lời giải cho trường hợp với 100 khách hàng

2.2 Bài toán lịch trình thu gom và phân phối hàng hóa

Bài toán này đề cập đến việc thu gom nhiều loại hàng hóa (tại các xí nghiệp khác nhau) rồi sau đó đem đi phân phối (tại các địa điểm khác) Bài toán này khác biệt so với bài toán trên không chỉ ở chỗ hàng hóa được thu gom sau đó được chuyển đi phân phối ngay trong lịch trình hoạt động của xe (thay vì tập kết về một địa điểm trung chuyển), mà còn ở chỗ định rõ ra địa điểm phân phối đối với chủng loại hàng đã thu gom ở một nơi xác định Cụ

thể, xét tập hợp của n yêu cầu, ta gọi điểm thu gom hàng hóa là i , còn điểm phân phối hàng thu được tại điểm này là n  Lưu ý rằng các điểm khác i

nhau cũng có thể có cùng vị trí địa lý, cho nên bài toán này không loại trừ khả năng hàng thu gom tại một địa điểm có thể được đem đi phân phối cho nhiều địa điểm, và ngược lại, hàng thu gom tại nhiều địa điểm có thể được tập trung cho cùng một địa điểm

Ký hiệu N P  1,2 ,n là tập hợp các điểm thu gom và

Bài toán thu gom và phân phối bằng một xe

Tại mỗi điểm i N P, yêu cầu đặt ra là phải vận chuyển p đơn vị i

(hàng hoá hoặc khách hàng) từ điểm đó đến điểm tương ứng n  i N D

Ký hiệu l là tham biến tải trọng của điểm i , nó nhận giá trị dương khi yêu i

cầu là tải đi và nhận giá trị âm khi yêu cầu là nhận về, lúc đó l i  p i,, khi

P

i  N ; và l n i   , khi p i i  N D Dung lượng của xe được cho là Q

Với một cặp hai điểm khác nhau ,i j V, t biểu thị thời gian đi lại và thời ij gian phục vụ tại điểm i , còn c là chi phí đi lại Ký hiệu ij a b i i,  là khoảng thời gian ràng buộc tại điểm ,i i  N

Ta chỉ giữ lại trong tập hợp A (tập hợp các cạnh của đồ thị) các cạnh

 i j, , ,i j V , thoả mãn tải trọng và ràng buộc thời gian

Trong mô hình toán học ta sử dụng 3 biến:

o Biến luồng X ij, , i j A,là biến nhị phân, bằng 1 , nếu xe đi từ

điểm i đến điểm j , bằng 0 trong các trường hợp khác

o Biến thời gian ,T i i V , biểu thị thời gian bắt đầu phục vụ tại điểm i

o Biến tải trọng L i i, V , cho biết tổng trọng tải của xe ngay sau khi

phục vụ tại điểm i

Ta giả thiết rằng xe khởi hành rỗng từ TTĐH, tại thời gian cố định đã cho, nghĩa là L  , 0 0 a0 b0 T0

Mô hình toán học của bài toán là:

luồng và biến thời gian, còn ràng buộc (1.35) mô tả mối quan hệ giữa biến luồng và biến trọng tải Ràng buộc (1.39) là mối quan hệ giữa điểm thu gom

và điểm phân phối

Bài toán này đã có nhiều người tham gia nghiên cứu, năm 1986 các tác giả Desrosiers, Dumas & Soumis đã đưa ra được lời giải tối ưu cho bài toán Năm 1993, các tác giả Van der Bruggen, Lenstra & Schuur đã đưa ra một thuật toán cảm tính, áp dụng vào bài toán thực tế và được kết quả là tối ưu xấp xỉ, (xem [26], [23])

Bài toán lịch trình thu gom và phân phối của nhiều xe

Bài toán thu gom và phân phối với nhiều xe tham gia có ràng buộc khoảng thời gian chỉ gần đây mới thu hút được sự quan tâm nghiên cứu Mới chỉ có một thuật toán tối ưu được đề xuất, theo mô hình của bài toán vận tải hàng hoá, bởi Dumas, Derosiers &Soumis (1991) Thuật toán này cơ bản dựa trên cách tiếp cận phân rã Dantzig-Wolfe kết hợp cây tìm kiếm nhánh-cận (xem [33], [27], [40]) Tuy nhiên, giải pháp này chỉ khả thi đối với tập các yêu cầu là không lớn Khi tập yêu cầu là lớn thì các giải pháp khả thi vẫn là các thuật toán cảm tính

Gọi K là tập hợp các xe tham gia hoạt động Khi đó, với mỗi k  K ,

V A là một đồ thị tương ứng với chiếc xe k Tập hợp k, k 

   

k

V  N  o k d k là tập hợp các đỉnh, trong đó o k biểu thị điểm  

xuất phát, d k biểu thị điểm trở về của chiếc xe k Tập hợp các cạnh là  

điểm xác định, cho bởi T o k k( ) a o k( ) b o k( )

Mô hình toán học của bài toán như sau

chi phí đi lại Lưu ý rằng chi phí cố định của xe k thường được sát nhập vào

trong giá trị c o k j k( ), ,j  N P

Ràng buộc (1.46) là điều kiện tương thích giữa các luồng đường và lịch trình Ràng buộc (1.47) là ràng buộc về khoảng thời gian Ràng buộc (1.48) là điều kiện tương thích giữa các luồng đường và tải trọng của các xe Ràng buộc (1.49) và (1.50), tương ứng, là khoảng dung lượng tại điểm thu gom và điểm phân phối Ràng buộc (1.51) là điều kiện tải trọng ban đầu của mỗi xe

Ràng buộc (1.52) là điều kiện bắt buộc xe phải phục vụ điểm i trước điểm

n  , i i N P Ràng buộc (1.53) là điều kiện đảm bảo rằng một chiếc xe k

sẽ phục vụ cho cả hai điểm i và n  , i i  N p

2.3 Bài toán thu gom và phân phối với ràng buộc 2 phía

Giả sử có một loại hàng cần vận chuyển từ m điểm cung cấp (trạm

phát), ký hiệu =1,2,i , ,m tới n điểm tiêu thụ (trạm thu), j 1,2, , n

Cho biết khả năng cung cấp của trạm phát i thuộc khoảng cho trước a a i, i , với 0 a i  , còn nhu cầu tiêu thụ của trạm thu j thuộc khoảng a i b b j, j  , với 0 b j  Chi phí vận chuyển một đơn vị hàng từ trạm phát i tới b j

trạm thu j được cho bằng c  Bài toán đặt ra là hãy tìm một phương án ij 0vận chuyển hàng từ các trạm phát tới các trạm thu sao cho tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất

Mô hình toán học của bài toán có dạng:

(x biểu thị lượng hàng cần vận chuyển từ trạm phát i tới trạm thu j ) ij

Đây là một dạng của bài toán vận tải có ràng buộc hai phía, trước đây chưa có một tác giả nào đề cập tới, mặc dù bài toán qui hoạch tuyến tính với ràng buộc hai phía, cũng như bài toán vận tải có và không có khả năng thông qua đã được nhiều tác giả nghiên cứu Trong Chương III của luận án này, chúng tôi sẽ trình bày lời giải tổng quát cho bài toán nêu trên và đưa ra một

áp dụng cho bài toán phân bổ tuyến cho các trung tâm điều hành của mạng giao thông Thành phố Hà Nội

III CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM ĐƯỜNG ĐI VỚI RÀNG BUỘC

3.1 Bài toán tìm đường đi

Bài toán người du lịch

Đây là bài toán cổ điển, đã được biết đến từ lâu và có mô hình toán học

như sau Có n thành phố, đánh số từ 1 đến n Xuất phát từ 1 trong n thành

phố này, chẳng hạn thành phố 1, một người du lịch muốn thăm n  thành 1phố còn lại, mỗi thành phố đúng 1 lần, rồi trở về thành phố xuất phát Cho biết c là chi phí đi từ thành phố i đến thành phố j Giả thiết ij c  với ij 0mọi i  j c, =ii  với mọi i (có thể c ji c ij) Bài toán đặt ra là tìm hành trình với tổng chi phí nhỏ nhất

Bài toán này có tầm quan trọng đặc biệt trong tối ưu tổ hợp Trước hết, nhiều bài toán thực tế có thể diễn đạt dưới dạng một bài toán tương tự Chẳng hạn, bài toán lập kế hoạch kiểm tra định kì các đồ vật, máy móc hay thiết bị; lập lịch gia công các chi tiết trên các máy,… Mặt khác, đây là một bài toán khó, vì thế nó được dùng để kiểm tra và thử nghiệm các bộ vi xử lý mới, (xem [8], [9]) Mô hình toán học của bài toán được mô tả như sau

Mỗi hành trình 1, , i2 i n,1 có thể đặt tương ứng 1 – 1 với hoán vị

và kí hiệu P là tập hợp tất cả các hoán vị của n  số tự nhiên 2, 3, ,n1  Khi

đó bài toán người du lịch có thể diễn đạt dưới dạng bài toán tối ưu rời rạc sau

min{ ( ) :f    P}

Ta xét một cách diễn đạt khác của bài toán này

Đặt biến x ij 1 nếu người du lịch có đi từ thành phố i tới thành phố

j và x ij 0 trong trường hợp ngược lại

Mô hình toán học của bài toán như sau

trong đó các biến u u nhận các giá trị nguyên i, j

Tập hợp các biến  xij thoả mãn các điều kiện (1.60) – (1.63) gọi là

một lời giải hay phương án của bài toán Một lời giải đạt cực tiểu của (1.59) gọi là lời giải tối ưu hay phương án tối ưu Như vậy, mỗi lời giải hay phương

án của bài toán sẽ tương ứng với một hành trình của người du lịch đi qua mọi thành phố, mỗi thành phố được đi qua đúng một lần, rồi trở về thành phố xuất phát Chú ý: ràng buộc (1.63) đảm bảo rằng, mỗi hành trình của bài toán chỉ

chứa một chu trình duy nhất Bài toán này thuộc lớp NP- khó (xem [4], [8],

[9], [23])

Bài toán tìm đường đi với ràng buộc khoảng thời gian

Đây là bài toán tìm đường đi của nhân viên bưu chính (hay những người

đi giao hàng tận nhà của các trung tâm bán hàng qua mạng hiện nay) Họ cũng có đường đi giống như người du lịch, nhưng thay vì có thể tự do về mặt thời gian thăm viếng các điểm đến như người du lịch thì họ lại bị ràng buộc

về thời gian đến mỗi điểm Họ chỉ được đến mỗi điểm trong một khoảng thời gian đã được ấn định tại điểm đó (mà không được đến sớm hơn hay muộn hơn khoảng thời gian này) Vấn đề đặt ra là cần phải sắp xếp lịch trình như thế nào để có thể đến các địa điểm trong khoảng thời gian ràng buộc với chi phí nhỏ nhất Bài toán này có mô hình toán học như sau:

Cho tập hợp các điểm N  1,2, 3, ,n là các điểm tới thăm và một

TTĐH, phân chia TTĐH thành 2 điểm, điểm xuất phát của TTĐH là o và điểm trở về của TTĐH là d

Ký hiệu V  N  o d, , a b i, i là khoảng thời gian ràng buộc tại mỗi điểm i V , a là thời điểm ban đầu của xe rời TTĐH, 0 b là thời gian muộn d

nhất của xe về tới TTĐH, A là tập hợp các cạnh, t khoảng thời gian xe đi ij

trên mỗi cạnh  i j , và , c và chi phí trên cạnh ij  i j ,

Chúng ta xem thời gian sau khoảng thời gian ràng buộc tại điểm i là

một phần trong giá trị t , với ij i  N  o Một cạnh  i j thuộc tập hợp ,

A nếu thoả mãn

a i t ij  ,b j i  N  o , j  N  d ,i  j (1.64) Bài toán có tập các biến nhị phân X  X ij,( , )i j  A và tập các biến thời gian T  ( ,T i i V) Biến nhị phân X  , nếu cạnh ij 1  i j thuộc lịch ,trình, và bằng 0 trong trường hợp khác Biến T i i,  N  o , là thời gian

chờ đợi trước khi sự phục vụ bắt đầu tại điểm i , còn biến T là thời gian về d

đến điểm trở về của TTĐH

Lịch trình khởi hành tại điểm xuất phát của TTĐH trong khoảng thời gian a b o o,  , đi qua tất cả các điểm của N chỉ một lần, trong khoảng thời gian ràng buộc, và kết thúc tại điểm trở về của TTĐH trước thời gian giới hạn

mô tả trong (1.65) - (1.69) , (1.72) bài toán này trở thành bài toán cực tiểu chi phí vận tải trên mạng Ràng buộc (1.70)-(1.71) là điều kiện đảm bảo cho lịch trình thời gian được thực hiện đúng

Bài toán tìm lịch trình của người giao hàng với ràng buộc khoảng thời gian đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu, như Magnanti (1981), Bodin, Golden, Assad & Ball (1983) Năm 1985 Savelsbergh đã chứng minh bài

toán này thuộc lớp NP- đầy đủ (xem [23])

3.2 Bài toán tìm đường đi với ràng buộc tài nguyên

Đây là bài toán mở rộng của bài toán trên, khi xem thời gian là một loại tài nguyên Trong thực tế còn có nhiều loại tài nguyên khác mà người ta phải

“tiêu” dọc theo đường đi, để có thể đến được đích Cũng như thời gian, các tài nguyên này được giới hạn trong một khoảng nào đó tại mỗi điểm đến cho trước Do vậy, một bài toán đặt ra một cách tự nhiên là cần phải tìm lịch trình sao cho lượng tài nguyên phải tiêu tại mỗi điểm là phù hợp với các ràng buộc đặt ra, đồng thời có tổng chi phí dọc theo đường đi là ít nhất Nội dung bài toán này có thể được mô tả như sau

Cho đồ thị G  V A, , ở đây A là tập hợp các cạnh và V là tập hợp

các đỉnh, V  N  o d, , trong đó N gồm tất cả các điểm có thể đến được

từ một điểm xuất phát o và sau đó trở về d Một đường đi trong đồ thị G

được định nghĩa bởi một dãy các điểm i i0 1, , ,i , sao cho mỗi cạnh H

i h1,i h Tất cả đường đi bắt đầu tại điểm xuất phát A i0 o và kết thúc tại điểm trở về i H d Gọi c là chi phí mỗi cạnh ij  i j,  Chi A

phí của đường đi được định nghĩa là tổng các chi phí của các cạnh của đường

đi Đường đi không nhất thiết phải là dạng sơ cấp, nghĩa là mỗi điểm có thể đến nhiều hơn một lần (i có thể bằng h i h, cho dù h  h)

Cho R là tập các tài nguyên được sử dụng để mô hình hóa một tình huống phức tạp Trong mô hình này, thời gian đi lại trên cạnh  i j là , t ij

được thay thế bởi tập t đơn vị tài nguyên r , ij r r  Ràng buộc khoảng R

thời gian a b i, i tại điểm i được thay thế bởi R các ràng buộc khoảng có dạng r, r

hơn a tài nguyên r được xem là chấp nhận được (xem như bỏ phí một số tài i r

nguyên r ) Đường đi đến được i nhưng sử dụng nhiều hơn b tài nguyên i r r

i i0 1, , ,i H  có chi phí tài nguyên tương ứng , 0 ,

h

r i

T  h H với mỗi loại tài nguyên sao cho

Mô hình toán học của bài toán này như sau

Cho X ij, , i j  , là biến luồng và A T i i r, V r,  , là biến tài R

nguyên Bài toán đặt ra là :

3.3 Bài toán tìm lịch trình tối ưu với ràng buộc địa hình

Cho một đồ thị đầy đủ G  ( , )A E với tập đỉnh A a a1, , , a2 n

t  Bài toán tìm lịch trình tối ưu với ràng buộc địa hình là bài toán tìm t

đường đi Hamilton đi từ điểm nguồn đến điểm đích sao cho mức khác biệt lớn nhất giữa cao độ hai đỉnh liên tiếp là nhỏ nhất Bài toán này đã được

nhiều tác giả nghiên cứu (xem [18], [20], [30], [33]) và cũng đã được chúng tôi nghiên cứu và đưa ra một phương pháp giải mới (xem [39])

IV BÀI TOÁN DỰ BÁO GIAO THÔNG LIÊN TỈNH ĐA THÀNH PHẦN

4.1 Đặt vấn đề

Chúng ta biết rằng giao thông đóng một vai trò quan trọng trong việc phát triển kinh tế, xã hội của vùng Để có một mạng lưới giao thông tốt, ngoài việc đầu tư củng cố, nâng cấp và làm mới các tuyến giao thông, mua sắm thiết bị phương tiện giao thông…, một khâu quan trọng là đưa ra được một

mô hình tổ chức mạng lưới giao thông liên tỉnh tối ưu để phục vụ nhu cầu phát triển kinh tế, xã hội của vùng Muốn xây dựng được một mạng lưới giao thông tối ưu thì chúng ta phải tiến hành khảo sát các tuyến đường, lưu lượng khách và hàng hoá, tại các điểm trung tâm của vùng (thành phố, thị xã, thị trấn, thị tứ) Đây là công việc rất khó khăn, đòi hỏi mất rất nhiều thời gian, công sức và tiền bạc Do nhu cầu ngày càng phát triển của mạng lưới giao thông, để có một mạng lưới giao thông tốt và có thể sử dụng được trong một thời gian dài, thì chúng ta phải dự báo được lưu lượng hành khách, hàng hoá

và các nhu cầu vận tải khác tại các điểm trung tâm và các luồng xe của vùng

Từ đó chúng ta có thể lập kế hoạch phát triển mạng lưới giao thông cho những năm tiếp theo, sao cho đáp ứng được nhu cầu, đòi hỏi của hiện tại và tương lai phát triển kinh tế, xã hội của vùng Trong những năm gần đây khi nghiên cứu về giao thông người ta thường quan tâm đến việc lựa chọn cách thức đi lại của các đối tượng tham gia giao thông và phân chia các đối tượng này thành từng lớp Ví dụ, có thể phân lớp các đối tượng tham gia giao thông tuỳ theo từng mục đích, nhu cầu đi lại của các đối tượng đó Để cho đơn giản thì chúng ta phân chia các đối tượng đó thành 2 lớp, lớp thứ nhất là các đối tượng tham gia giao thông theo thời gian biểu đã định (ví dụ các công chức đến công sở làm việc, học sinh, sinh viên đến trường,…), lớp thứ 2 là các sự

đi lại khác và các luồng xe tải Trên mỗi lớp đối tượng tham gia giao thông có thể có các cách đi khác nhau Khi các đối tượng tham gia giao thông tự tìm cho mình một lộ trình riêng tốt nhất thì bản thân chúng đã tạo thành những luồng giao thông trên mạng Mạng giao thông này sẽ tối ưu theo nguyên lí

biến phân Wardrop Nếu chúng ta có thể dự báo được dung lượng của các đối

tượng này giữa hai điểm nguồn và đích, dự báo được số lượng các đối tượng

đó đi theo cách thức nào, thuộc lớp nào, đi theo tuyến nào, thì chúng ta có thể

xây dựng được một qui hoạch và tổ chức được mạng lưới giao thông tối ưu của vùng cho hiện tại và tương lai Lời giải của bài toán giúp chúng ta lập được kế hoạch cũng như lập được một mô hình giao thông hiệu quả, đáp ứng được nhu cầu, đòi hỏi cho sự phát triển của một vùng kinh tế nào đó (xem [15],[11])

4.2 Mô hình toán học

Ký hiệu:

l là lớp các đối tượng tham gia giao thông

m là cách đi (kiểu đi) của các đối tượng tham gia giao thông

R là tập hợp các tuyến đường nối từ khu vực p tới khu vực q

A là cách đi của đối tượng tham gia giao thông mà không bị ràng buộc

Ở đây chúng ta chỉ xét 2 cách đi là (A) và (T) và chúng được xem là hoạt

động độc lập trên mạng, vì thế tổng chi phí tương ứng với mỗi cách đi là

riêng biệt Chi phí của cách đi T là chi phí trên các tuyến đường nối khu vực

p tới khu vực q là cố định và được thể hiện bởi thời gian biểu và tiền vé của

tiền tệ cũng như độ dài của các tuyến đường của (A) Thời gian hành khách

ngồi trong xe của mỗi đường nối của mạng đường là hàm tăng của tổng luồng

đi qua chính nó Thời gian hành khách ở ngoài xe trên mạng đường là thời gian ra vào xe tại các điểm xuất phát và điểm kết thúc Chi phí tiền tệ phát sinh trên mạng đường là lệ phí đường nối và lệ phí bãi đỗ xe tại điểm kết thúc Chi phí hoạt động của xe đối với một đường nối được giả thiết là hàm

số tuyến tính theo thời gian đi trên đường nối (tính theo phút) và độ dài của đường nối (tính theo km) Thời gian đi và độ dài của quãng đường là các biến

số của hàm mục tiêu, chúng có tác động đến cả hai: cá nhân đi lại và chi phí

hoạt động có liên quan đến (A) Tác động của các biến này đến hàm mục tiêu được biểu diễn bởi hệ số đánh giá Chi phí tiền tệ của (T) là tiền vé của (T)

Chúng ta định nghĩa các biến liên quan đến chi phí như sau: