Ứng dụng các phương pháp giảm bậc mô hình giải quyết một số bài toán của mạng viễn thông

Cụ thể, Jonekheere và Silverman năm 1993 đã chứng minh tính bất biến theo hệ toạ độ của tập giá trị riêng đặc trưng cho hệ làm việc trong khâu khép kín và đề xuất mô hình giảm bậc đối vớ

NGUYỄN THÚY ANH

ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢM BẬC

MÔ HÌNH GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CỦA

MẠNG VIỄN THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS ĐỖ XUÂN THỤ

Hà Nội - 2008

NGUYỄN THÚY ANH

ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢM BẬC

MÔ HÌNH GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CỦA

MẠNG VIỄN THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS ĐỖ XUÂN THỤ

Hà Nội - 2008

Chương 1

hình và các bài toán mô phỏng mạng viễn thông

Trong chương này, tác giả khảo sát các phương pháp giảm bậc đối với mô hình bậc cao về chung trong không gian biến trạng thái và phát biểu dưới dạng một bài toán nhằm trình bày và so sánh ngắn gọn các phương pháp giảm bậc khác nhau Sau đó tác giả khảo sát một số bài toán mô phỏng mạng Viễn thông theo phương pháp giảm bậc hệ thống liên quan đến khảo sát bản chất động học hệ thống thay thế quan điểm khảo sát hệ thống dựa trên hàm truyền đạt giữa tín hiệu đầu vào và tín hiệu đầu ra của

hệ thống

1.1 Giới thiệu

Nhiều trường hợp trong thực tiễn ta gặp những hệ động học, kể cả những hệ thống thuộc lĩnh vực mạng viễn thông, mô tả bởi mô hình toán học phức tạp, bậc rất cao Đối với những hệ phức tạp này sẽ gặp không ít khó khăn trong việc nắm bắt trạng thái hoạt

động của hệ phục vụ cho mục tiêu phân tích và càng khó khăn hơn khi muốn tổng hợp

và điều khiển hệ đó Vấn đề sẽ trở lên dễ dàng hơn khi sử dụng một mô hình bậc thấp

được chọn sao cho có các đặc điểm quan trọng của mô hình bậc cao Có thể mô tả các

đặc trưng của những phần tử cấu thành mạng viễn thông dưới dạng hệ thống động học cần quản lý, điều khiển Hiển nhiên, chất lượng điều khiển, vận hành các phần tử mạng càng cao khi mô hình toán học có khả năng mô tả càng chính xác những động học xảy

ra trong hệ thống thực Nhưng đáp ứng đòi hỏi về tính chính xác đó, thường là các mô hình toán học phức tạp có bậc cao, gây nhiều khó khăn khi nắm bắt về hệ thống cũng như thoả mãn tính hội tụ, tính tốc độ theo nhu cầu thời gian thực

Hơn 40 năm qua, đã có rất nhiều công trình nghiên cứu để giải bài toán giảm bậc của mô hình bậc cao được công bố, đề xuất các phương pháp tiếp cận khác nhau Tuy nhiên, theo quan niệm của tác giả, đối với một mô hình bậc cao cho trước, các phương pháp đã đề xuất trên thực tế có thể phân loại theo 3 nhóm chính: nhóm phương pháp giảm bậc thứ nhất được đề xuất dựa trên cơ sở bảo toàn các trị riêng quan trọng của mô hình gốc bậc cao để xác định bậc của mô hình bậc thấp Các tham số của mô hình bậc thấp được xác định sao cho đáp ứng của mô hình bậc thấp trước tác động của tín hiệu tại đầu vào gần đúng với đáp ứng của mô hình gốc; nhóm phương pháp giảm bậc thứ

hai được đề xuất trên cơ sở áp dụng các tiêu chí tối ưu mà không quan tâm tới các trị riêng quan trọng của mô hình gốc; nhóm phương pháp giảm bậc thứ ba được đề xuất trên cơ sở chọn trùng khớp một số đặc tính khác ngoài những thuộc tính về đáp ứng Tuy nhiên, còn một số phương pháp đề xuất khác không thuộc bất kỳ một trong các nhóm trên Đáng chú ý nhất là phương pháp nhiễu loạn được Sannuti và Kokotovic

đề xuất năm 1969 [100] và phương pháp cân bằng ma trận (cân bằng nội) do Moore đề xuất năm 1981 [78] Phương pháp cân bằng nội sau đó được phát triển đối với những bài toán cần xem xét trong cả tư duy hệ “hở” và cả tư duy hệ “kín” Cụ thể, Jonekheere

và Silverman năm 1993 đã chứng minh tính bất biến theo hệ toạ độ của tập giá trị riêng

đặc trưng cho hệ làm việc trong khâu khép kín và đề xuất mô hình giảm bậc đối với bộ

bù trừ động học [65]; Mustafa và Glover đề xuất trong công trình năm 1991 sự kết hợp giữa phương pháp cân bằng nội với phương pháp H∞ để xác định tham số bộ điều khiển giảm bậc và đề xuất phương án bù trừ trong miền tần số [79]

Rõ ràng, nếu mục đích của các phương pháp giảm bậc của mô hình liên quan đến việc sử dụng các mô hình bậc thấp để có được những hiểu biết ban đầu về mô hình gốc

và từ đó dẫn đến khả năng điều khiển hệ một cách hiệu quả hơn, thì việc bảo toàn bản chất vật lý mô tả bởi các trạng thái của mô hình gốc bậc cao trong các trạng thái của mô hình giảm bậc sẽ đóng vai trò quan trọng hơn là việc tìm kiếm các giải pháp để thu

được sai số cực tiểu tuyệt đối Với mục đích đó, việc tìm kiếm các biện pháp để lưu giữ bản chất vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình gốc trong quá trình thực hiện giảm bậc là hướng nghiên cứu đúng đắn

Sau đây tác giả trình bày ngắn gọn một số phương pháp giảm bậc mô hình hệ thống, những so sánh và nhận xét, phần tiếp theo tác giả phân tích một số bài toán mô phỏng mạng Viễn thông cơ bản dưới con mắt của nhà quản lý hệ thống từ đó đưa ra mục tiêu phương hướng thực hiện luận án

1.2 Phát biểu bài toán giảm bậc mô hình hệ thống

Cho một hệ tuyến tính, bất biến theo thời gian có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra mô tả bởi hệ các phương trình sau:

= x Ax Bu+ (1.1)

y = Cx

trong đó, x ∈ Ρn, u ∈ Ρp, y ∈ Ρq , A ∈ Ρnxn , B ∈ Ρnxp , C ∈ Ρqxn

Mục tiêu của bài toán giảm bậc đối với mô hình mô tả bởi hệ phương trình (1.1)

Trong số các phương pháp đề xuất trên cơ sở bảo toàn các trị riêng quan trọng của

hệ gốc trong mô hình giảm bậc, phương pháp tổng quát nhất là phương pháp ghép hợp

do Aoki nghiên cứu, xây dựng năm 1968 dựa trên mối quan hệ trực quan [22]:

ω = Kx (1.3) trong đó, K là một ma trận chiếu không đổi có kích thước (r x n) và được gọi là ma

trận ghép hợp Phương trình (1.3) gọi là luật ghép hợp

Thay (1.3) vào các biểu thức(1.1) và (1.2) dẫn đến các biểu thức:

KA = ArK, KB = Br, C ≈ CrK (1.4) Liên quan đến phương pháp ghép hợp có những nhận xét như sau

a) Để xác định mô hình giảm bậc cần phải tính các trị riêng và các vector riêng của ma trận A, trong khi đó ma trận A có thể có kích thước rất lớn Nên dù đã có các

phương pháp tính các giá trị riêng đó, nhưng cần phải mất một thời gian đáng kể b) Khuếch đại một chiều ở chế độ xác lập có thể không được bảo toàn và kết quả

là trước tác động của tín hiệu dạng bước, các đáp ứng của hệ gốc và của mô hình giảm bậc có thể khác nhau đáng kể Sự không phù hợp đáp ứng này có thể được khắc phục nếu sử dụng phối hợp giữa phương pháp ghép hợp với phương pháp trùng khớp các

điểm theo thời gian [48]

c) Một câu hỏi quan trọng đối với phương pháp ghép hợp là việc chọn các giá trị riêng như thế nào Câu hỏi này có đáp án khi kết hợp với một tiêu chuẩn áp dụng trong

kỹ thuật phân tích, tổng hợp hệ thống Tiêu chuẩn tỷ số năng lượng dựa trên cơ sở xét tổng năng lượng đáp ứng xung ở đầu ra của hệ gốc, bảo toàn các trị riêng đóng góp nhiều nhất vào tổng đó đã được dùng để xác định bậc thích hợp nhất cho mô hình giảm bậc do Lucas đề xuất năm 1985 [73] Năm 1981, Commault sử dụng những xung đơn

vị để tìm một đại lượng đo sự ảnh hưởng của từng trị riêng của ma trận A làm cơ sở để

xác định giá trị quyết định [36] Một tiêu chuẩn khác có thể được dùng tham khảo do Skelton và Yousuff đề xuất năm 1983 để chọn các trị riêng của hệ để bảo toàn dựa trên cơ sở đóng góp của từng mode biến đổi theo thời gian vào đặc tính giữa các đầu vào và

ra của hệ [101], [102]

d) Một hạn chế khác của phương pháp ghép hợp cũng như của phần lớn những phương pháp giảm bậc là các trạng thái của mô hình giảm bậc không mang ý nghĩa vật

lý nào Điều này dẫn đến khó khăn trong trường hợp mô hình giảm bậc được xét cùng với các khâu khác của một quá trình khi chúng được liên kết với nhau thông qua trạng thái Phương pháp nhiễu xạ không suy biến do Fernando và Nicholson đề xuất năm

1982 [45] cũng như phương pháp do Rozsa, Sinha và Lastman đề xuất năm 1981 [91] khắc phục được một bước khó khăn đã nêu

1.3.2 Phương pháp trên cơ sở trùng khớp tại các thời điểm

Một phương pháp tiếp cận khác để thu được mô hình giảm bậc đã đề xuất trên cơ

sở chọn trùng khớp đáp ứng xung của mô hình giảm bậc với đáp ứng xung của mô hình gốc tại các điểm theo thời gian [32], [92], [53]

Đối với các hệ thống động học được biểu diễn bởi phương trình (1.1), dễ dàng viết biểu thức ma trận hàm truyền Phân tích ma trận hàm truyền theo chuỗi Laurentz hoặc chuỗi Taylor (ứng với trường hợp khi có hoặc không có các điểm cực tại gốc toạ độ của mặt phẳng phức) ta có biểu thức theo tham số Markov hoặc Markov suy rộng như sau:

G(s) = C(sI - A)-1B = ( ( )1

0

n i i i

J s ) (1.5)

Để xác định mô hình bậc thấp, tìm các ma trận Ar, Br và Cr sao cho một số tham

số Markov suy rộng của mô hình giảm bậc trùng với các tham số Markov của hệ gốc Nhờ vào sự trùng khớp tại các thời điểm đáp ứng của mô hình giảm bậc với đáp ứng của mô hình gốc, mà trước tác động của tín hiệu có thể phân tích theo chuỗi luỹ thừa tại đầu vào, các đáp ứng trong chế độ xác lập giống nhau Mặt khác, sự phù hợp các tham số Markov sẽ nâng cao tính gần đúng cả vùng chuyển tiếp hoặc gián đoạn của

đáp ứng đó Qúa trình tìm các ma trận Ar, Br và Cr được gọi là quy trình khả hiện thành phần, trong đó ma trận khối Hankel được tạo thành, gồm có các tham số Markov suy rộng (tham số MarkovJ i được biết là bất biến dưới phép biến đổi tuyến tính áp dụng trên trạng thái):

, với J i = (CAiB hoặc CA-(i+1)B) (1.6)

Theo như cách ở trên, quy trình khả hiện thành phần có thể được coi là phương pháp gần đúng Pade suy rộng áp dụng đối với trường hợp hệ đa biến có nhiều đầu vào, nhiều đầu ra

Hạn chế chính của tất cả những phương pháp như vậy là sự ổn định của mô hình giảm bậc không được đảm bảo dù rằng hệ gốc hoạt động ổn định Đã có nhiều phương pháp được nghiên cứu, tiến cử để khắc phục hạn chế này Trong đó, đáng chú ý nhất ở các tiến cử này là phương pháp gần đúng Routh được Hutton và Friendland nghiên cứu, phát triển năm 1975 đối với các hệ có một đầu vào và một đầu ra [54] Dạng đa biến, nhiều đầu vào, nhiều đầu ra do Sinha và các đồng tác giả khác phát triển năm 1982 [106] qua việc tìm các phần chẵn, lẻ của đa thức đặc trưng cho mô hình gốc Điều này cho phép xác định các ma trận Ar và Br và dưới dạng chính tắc Ma trận Cr lúc đó phải tìm sao cho thu được càng nhiều điểm trùng khớp giữa các đáp ứng càng tốt

Sự hấp dẫn chủ yếu của phương pháp trùng khớp tại các điểm theo trục thời gian

là giảm đáng kể số lượng tính toán Hạn chế chủ yếu của các phương pháp này nằm ở phương diện thực tiễn vì không tồn tại bất kỳ mối liên hệ trực tiếp nào giữa các trạng thái của hệ gốc bậc cao với các trạng thái của mô hình giảm bậc

1.3.3 Phương pháp kết hợp giữa ghép hợp với trùng khớp tại các thời điểm

Vì mô hình giảm bậc thu được bằng phương pháp ghép hợp cho phép giữ các trị riêng trội của các hệ thống gốc, nên tính ổn định của mô hình giảm bậc được đảm bảo nếu hệ gốc ổn định Nhưng, các đáp ứng ở chế độ xác lập của mô hình giảm bậc không trùng khớp với các đáp ứng của hệ thống gốc Điều này được khắc phục bằng cách kết hợp giữa phương pháp ghép hợp với phương pháp trùng khớp tại các thời điểm với điều kiện càng nhiều điểm trùng khớp càng tốt Phương pháp kết hợp này không những cho một mô hình gần đúng tốt hơn với đáp ứng trong khi vẫn bảo tồn được tính ổn định, mà còn có được mối chiếu giữa các trạng thái của hệ gốc với các trạng thái của mô hình giảm bậc Điều này đặc biệt tiện lợi nếu mô hình giảm bậc được sử dụng để thiết kế những thiết bị cần phải áp dụng phản hồi theo biến trạng thái

Quy trình để tìm một mô hình giảm bậc bằng cách kết hợp phương pháp ghép hợp với phương pháp trùng khớp tại các thời điểm là tường minh Vì ma trận Ar ở dạng

đường chéo (dạng Jordan) và hoàn toàn xác định bởi các trị riêng luôn tồn tại trong ma trận bậc thấp của ma trận A Điều đó dẫn trực tiếp tới ma trận K qua biểu thức (1.6) để

có Br = KB Các phần tử của ma trận Cr bây giờ có thể được chọn sao cho trùng khớp

được càng nhiều điểm càng tốt

1.3.4 Phương pháp nhiễu xạ kỳ dị

Đây là một phương pháp hấp dẫn đối với bài toán giảm bậc của mô hình vì bản chất vật lý của mô hình gốc được bảo toàn Trên cơ sở phân chia vector trạng thái thành hai phần; phần vector trạng thái thuộc mode “chậm” và vector trạng thái thuộc mode

“nhanh” Do đó, phương trình (1.1) được viết lại có vector x2 biểu diễn cho các trạng thái thuộc mode nhanh như sau:

= + + = + +

1 =  11 - 12( 22) 21 1 +  1 - 12( 22) 2

x A A A A x B A A B u (1.8) Mô hình giảm bậc biểu diễn bởi phương trình (1.8) bây giờ có thể giải để tìm trực tiếp các trạng thái

Khó khăn chính khi sử dụng phương pháp này là vấn đề phân chia một cách hợp lý vector các trạng thái theo các mode Đó là điều khá phức tạp vì trên thực tế các biến trạng thái bị liên kết với nhau đến mức không thể tách riêng để mà có thể quyết

định một trạng thái nào đó thuộc mode nào

1.3.5 Phương pháp cân bằng nội

Khái niệm cân bằng nội được Moore đề xuất đầu tiên năm 1981 và áp dụng để giải bài toán giảm bậc của mô hình [78], được Perenbo và Silverman phát triển thêm năm 1982 [87] và năm 1984, được Glover xác định mối quan hệ với các chuẩn Hankel [49] Điều kiện cân bằng nội được xây dựng trên cơ sở chéo hoá đồng thời hai Gramian

đặc trưng cho khả năng điều khiển và quan sát của hệ thống

Đối với một hệ mô tả bởi phương trình (1.1), ma trận Gramian đặc trưng cho khả năng điều khiển và cho khả năng quan sát của hệ được định nghĩa như sau:

Wc =

∞

∫0

exp(At)BBTexp(ATt)dt (1.9)

Wo =

∞

∫0

exp(ATt)CTCexp(At)dt (1.10) Nếu A là ma trận ổn định (tất cả trị riêng của A đều có phần thực âm) và hệ mô tả

bởi phương trình (1.1) có khả năng đồng thời điều khiển và quan sát hoàn toàn, thì khi

đó Wc cho trong (1.9) và Wo cho trong (1.10) là các ma trận xác định thực dương, đối xứng và là nghiệm duy nhất của các phương trình Lyapunov tương ứng:

AWc + WcAT = - BBT (1.11)

ATWo + WoA = - CTC (1.12)

Từ lý thuyết hệ thống được biết rằng đáp ứng nội của hệ động học được biến đổi thích hợp để không làm thay đổi quan hệ vào-ra của hệ khi thực hiện phép biến đổi trên vector trạng thái của hệ đó Như vậy, một ma trận không suy biến:

S = VcΛcPΛ-0,5 (1.13)

có tính chất sau:

(Wc)* = S-1Wc(S-1)T = Λ (1.14) (Wo)* = S-1WoS = Λ

trong đó, (Wc)* và (Wo)* là các Gramian đặc trưng cho tính đồng thời điều khiển, quan sát của hệ gốc trong hệ toạ độ biến đổi:

* = * * + * x A x B u (1.15)

y = C * x *

với A* = S-1AS, B* = S-1B, C* = CS Trong trường hợp này hệ được gọi là cân bằng nội

Trong hệ mô tả bởi phương trình (1.15) sẽ có một phân hệ cân bằng nội bậc r [71], [72] Như vậy, từ (1.15) một mô hình bậc r hay mô hình giảm bậc có thể thu được Mô hình giảm bậc này cũng thoả mãn điều kiện cân bằng nội và cũng được mô tả bởi dạng phương trình (1.2) [71]

Như thế với phương pháp cân bằng nội, mô hình giảm bậc thu được bằng cách cắt

bỏ từ phương trình (1.15) các trạng thái ít khả năng điều khiển và quan sát Kết quả là các biến trạng thái của mô hình giảm bậc gần đúng với r biến trạng thái đầu tiên trong phương trình (1.15) Việc so sánh giữa phương pháp cân bằng ma trận với phương pháp ghép hợp được Lastman cùng các tác giả khác thực hiện qua các ví dụ tính toán [72] và

cho thấy mô hình giảm bậc thu được bởi việc áp dụng phương pháp ghép hợp có thể ở cùng mức độ tiện lợi so với phương pháp cân bằng nội với điều kiện là các trị riêng của mô hình gốc mang đúng nghĩa tính trội Qua phân tích sai số trong trường hợp xấu nhất của phương pháp cân bằng nội cho thấy rằng khi mô hình gốc được cân bằng nội toàn bậc, việc tính toán tìm các giá trị giới hạn của sai số được đơn giản hoá [70]

Năm 1989, Prakash và Rao đề xuất phiên bản điều chỉnh đối với phương pháp cân bằng nội của Moore, trong đó mô hình giảm bậc tìm được bằng cách làm gần đúng trạng thái của các phân hệ yếu theo nghĩa cân bằng quanh trục tần số có giá trị không [88] Điều đó có tác dụng giảm chuẩn phổ đối với sai số mô phỏng ở tần số thấp

1.3.6 Các mô hình sử dụng phép gần đúng tối ưu

Thay vì tìm mô hình giảm bậc bảo toàn các trị riêng quan trọng của mô hình gốc bậc cao, người ta có thể bỏ qua điều kiện bảo toàn đó và chọn các tham số của một mô hình có bậc cụ thể chọn trước (giảm bậc) sao cho trước tác động của tín hiệu đầu vào,

đáp ứng của mô hình giảm bậc gần đúng tối ưu (theo nghĩa nào đó), với đáp ứng của hệ gốc, bậc cao Cũng có thể thực hiện quá trình gần đúng tối ưu trong miền tần số như là một sự lựa chọn thích hợp

Nhiều tác giả đã đề xuất áp dụng các tiêu chí gần đúng khác nhau theo miền thời gian Năm 1967, Anderson đề xuất phương pháp hình học trên cơ sở phép chiếu trực giao, mô hình bậc thấp tìm được là mô hình tối thiểu hoá tích phân bình phương các sai

số Sinha và Pille đề xuất phương pháp sử dụng ma trận tựa nghịch đảo để tìm mô hình giảm bậc trên cơ sở tối thiểu hoá tổng bình phương sai số tại những điểm lấy mẫu khác nhau giữa các đáp ứng Các tiêu chuẩn gần đúng tối ưu khác cũng đã được đề xuất áp dụng như Shinha và các đồng tác giả năm 1971 [103]; Bandler và các đồng tác giả năm

1973 [24]; Bistritz và Langholtz năm 1979 [31] Năm 1980 Elliott và Wolovich đề xuất một quy trình tối ưu theo miền tần số, có giá trị đối với cả các hệ đa biến [42]

Tóm lại, các mô hình giảm bậc thu được bằng phương pháp tối ưu phù hợp với mô hình gốc tốt hơn so với các mô hình thu được bằng phương phép ghép hợp Và về mặt tính toán, do sử dụng hiệu quả các phương pháp tính số tối ưu nên giảm được đáng kể

số lượng tính toán Tuy nhiên, các mô hình giảm bậc này không có gì để đảm bảo rằng khi được sử dụng làm đối tượng điều khiển thì bộ điều khiển có thể đạt gần tối ưu Thêm vào đó, không có mối liên hệ trực tiếp giữa các trạng thái của mô hình giảm bậc với các trạng thái của hệ gốc

1.3.7 Một số nhận xét

1.3.7.1 Chọn các trạng thái và / hoặc các trị riêng để bảo toàn

Tất cả các phương pháp được trình bày tóm tắt ở phía trên, trừ phương pháp nhiễu xạ kỳ dị, có hạn chế là bản chất vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình gốc bậc cao bị mất đi Điều đó trở thành một vấn đề lớn khi hệ gốc tham gia như một phân hệ trong một hệ lớn hơn, vì tình trạng thường gặp trong thực tế, việc nghiên cứu về tính ổn

định động học của hệ lớn lại thông thường được thực hiện thông qua mối liên kết giữa các phân hệ

Với cách nhìn trên, trong phương pháp của Rozsa và các đồng tác giả khác, năm

1982 [91], của Lastman và các đồng tác giả khác, năm 1984 [70] đã đề xuất chọn các thành phần trong vector trạng thái của mô hình bậc thấp thành một tập con chứa những thành phần trong vector trạng thái của mô hình gốc để các trạng thái của mô hình giảm bậc giữ được nguyên bản ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái gốc Việc lựa chọn các trạng thái cần bảo toàn được thực hiện trên cơ sở phân chia ma trận chứa các tích phân năng lượng Mặc dù quy trình cuối cùng cũng tương tự như quy trình của phương pháp nhiễu xạ kỳ dị, nhưng khác về cách thức tìm mô hình giảm bậc, qua sự thật là sự

đóng góp vào quan hệ vào-ra của các trạng thái thuộc mode “chậm” chiếm ưu thế đối với hệ thống còn các trạng thái thuộc mode “nhanh” thì ít chiếm ưu thế hơn

Giống như phương pháp ghép hợp, phương pháp trên cũng cần phải tính các giá trị riêng của ma trận A Giả sử rằng A là ma trận ổn định Thì:

A = VΛU (1.16) trong đó, các cột của V là các vector riêng bên phải của A và các hàng của U là vector

riêng bên trái của A Tương ứng với các trị riêng Λ của A được cho bởi:

Λ = diag (λ1, λ2, …, λn), với 0 > Re(λ1) ≥ Re(λ2) ≥ … ≥ Re(λn) (1.17) Các vector cột trong V và U được kích thước hoá thích hợp sao cho:

VU = I (1.18) Giả sử rằng tất cả các tín hiệu đầu vào đều có dạng xung đơn vị, có thể chứng tỏ

được rằng tổng năng lượng E ở đầu ra được cho bởi:

E = ∞∫

0

yTydt = trace(PW) (1.19) trong đó, trace (.) là vết của ma trận viết bên trong dấu (.), P = CTC, W là một ma trận

kích thước (n x n) có giá trị - bTUTMijUb tại phần tử (i,j), b là tổng các cột của ma trận

B, Mij là một ma trận kích thước (n x n) có giá trị υ υà( ) ( )i υj /(λà +λυ) tại các phần tử

(à ν , và , ) υ là giá trị tại hàng thứ ( )i i của V

Theo đó, các trạng thái có ý nghĩa nhất của mô hình gốc bậc cao cần được lưu giữ trong mô hình giảm bậc ứng với các phần tử có giá trị lớn nhất trên đường chéo của

PW Và ứng với điều đó, các cực mang tính quyết định được chỉ ra từ bất phương trình

trong (1.17)

Một khi đã xác định được các trạng thái có ý nghĩa nhất và các cực có tính quyết

định đối với mô hình gốc thì mô hình giảm bậc có thể tìm được Tuy nhiên, khi ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình gốc bậc cao cần phải bảo toàn, thì ta có thể sử dụng phương pháp dưới đây

1.3.7.2 Về cách bảo toàn ý nghĩa vật lý của các trạng thái

ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình gốc có khả năng được bảo toàn trong các trạng thái của mô hình giảm bậc nếu có thể phân được vector trạng thái của mô hình gốc, theo Rozsa và các đồng tác giả khác năm 1982 [91]; Lastman và các tác giả khác năm 1983 [70], như sau:

x = [wT zT], trong đó w ∈Ρr , z ∈ Ρn-r (1.20)

Λ = diag (Λ1 Λ2), (1.21)

ở đây, Λ1 = diag (λ1, λ2, …, λr), Λ2 = diag (λr+1, λr+2, …, λn)

Nếu ma trận U và các ma trận tham số được chia khối:

B

B , C = C C1 2 (1.22) Trong các ma trận ở trên, U11, A11 có kích thước (r x r), B1 có kích thước (r x p)

và C1 có kích thước (q x r) còn các ma trận khối khác có kích thước thích hợp Trong trường hợp này, ở phương trình (1.22) không cần đặt giả thiết trị riêng được xếp theo thứ tự giảm dần như trong phương trình (1.17); A11 gồm các trị riêng trội nhất ứng với

xr chứa các trạng thái có ý nghĩa nhất như khi được xác định bằng qui trình mô tả trong phần trước Các trị riêng có thể phải đánh số lại từ (1.17) để thu được (1.21)

Mô hình giảm bậc là dạng giống như trong phương trình (1.2), với:

Ar = A11 - A12(U22)-1U21 (1.23)

Br = B11 - A12(U22)-1(Λ2)-1(U21B1 - U22B2) (1.24)

Cr = C11 - C2(U22)-1U21 (1.25)

Năm 1984, Lastman và các đồng tác giả khác đã chứng minh rằng đáp ứng của hệ mô tả bởi phương trình (1.2) có Ar, Br và Cr thu được bằng cách áp dụng phương trình

từ (1.23) tới (1.25) hội tụ về đáp ứng của hệ mô tả bởi phương trình (1.1) với bất kỳ dạng tín hiệu tác động tại đầu vào u(t) nào khi t, thời gian, tiến đến vô cùng Ngoại trừ trong chế độ quá độ, đáp ứng của mô hình giảm bậc tìm được rất gần đúng với đáp ứng của hệ gốc trước mọi tín hiệu vào dạng tựa tĩnh

1.4 Các Hệ phương trình chiếu tối ưu (OPEQ)

1.4.1 Tiêu chí tối ưu theo sai số đầu ra [56]

Tối thiểu hoá bài toán L2 xác lập trên cơ sở sai số đầu ra trong điều kiện ràng buộc bởi hai phương trình điều kiện Lyapunov viết cho hệ hợp của hai mô hình, bậc cao và giảm bậc, dẫn đến tối thiểu hoá hàm Lagrangian L (.) được định nghĩa:

L (Ar, Br, Cr, Q ) = trace[λ QR + (AQ + QA     T +V)P   ] (1.26) trong đó, trace ký hiệu vết của ma trận viết bên trong dấu [.], Q và P là gramian điều

khiển và quan sát của hệ hợp, T

Định lý 1.1: Giả sử hệ gốc mô tả bởi phương trình (1.1) là ổn định và có tính điều

khiển và quan sát đồng thời, ký hiệu bởi (A, B, C) Giải bài toán tối ưu xây dựng để

tìm mô hình giảm bậc (Ar, Br, Cr) Khi đó, tồn tại các ma trận xác định không âm Q, P

∈ Ρnxn sao cho việc thừa số hoá theo G, M, Γ của QP được thực hiện thì Ar, Br và C r

được xác định bởi:

Ar = ΓAGT (1.28)

Cr = CGT (1.30) sao cho với một ma trận chiếu tối ưu σ = GTΓ, các điều kiện sau đây thoả mãn:

ρ(Q) = ρ(P) = ρ(QP) = r (1.31)

σ[AQ + QAT + BVBT] = 0 (1.32)

[ATP + PA + CTRC]σ = 0 (1.33) trong đó, ρ(.) ký hiệu cho hạng của ma trận bên trong (.)

Các phương trình (1.32) và (1.33) được ghép với nhau bởi ma trận chiếu tối ưu σ, nên chúng được gọi là các phương trình Lyapunov biến dạng Trong đó, hai ma trận thực, không âm, Q và P đóng vai trò trong hai phương trình Lyapunov biến dạng như

vai trò của các Gramian đặc trưng cho tính điều khiển và quan sát, nhưng không phải là các Gramian mà lại không thoả mãn điều kiện về hạng nên đã được các tác giả đặt tên

là các tựa Gramian ("Pseudo-Gramian") Hệ các phương trình từ (1.28) đến (1.33) ở trên được gọi là hệ phương trình chiếu tối ưu và được viết tắt là OPEQ

Định đề 1.1: Giả sử (Ar,Br,Cr) là cực trị Khi đó sai số sinh ra do giảm bậc thu được:

Jm(Ar, Br, Cr) = 2tr[(QP - WoWc)A] = 2tr(QPA) + tr(CTRCWo)

= 2tr(QPA) + tr(BVBTWc) (1.34) trong đó, Wc và Wo là các ma trận Gramian đặc trưng tương ứng cho tính điều khiển và quan sát của hệ gốc, Q và P đã được giải thích ở phía trên

điều kiện để tách các phương trình (1.32) và (1.33) ghép trong OPEQ nhằm khả năng

sử dụng những công cụ sẵn có để giải tìm nghiệm của chúng Thêm vào đó, hiệu ứng của phép ghép hai phương trình (1.32) và (1.33) đã được chứng minh giống như kết quả của một điều kiện ràng buộc dùng thêm vào đối với bài toán L2, từ đó làm cơ sở để xây dựng điều kiện đủ trong một miền nào đó Vì vậy, việc phát triển OPEQ có ý nghĩa rất quan trọng trong tìm kiếm nghiệm duy nhất của bài toán tối ưu Nhưng từ phần chứng minh bổ đề, định lý cũng như dẫn dắt toán học để đến kết quả mới cho thấy rằng công

cụ toán học sử dụng khá phức tạp, có tính chuyên khảo cao nhất là các biến số ở đây là các ma trận nên ít quen thuộc đối với đại bộ phận cán bộ trong đội ngũ công nghệ học b) OPEQ này chỉ áp dụng đối với hệ đã được nhận dạng (đã có trước mô hình gốc bậc cao) Thêm vào đó, trong quá trình phát triển OPEQ, các tác giả không có lựa chọn nào khác để sử dụng các điều kiện ràng buộc ngoài cách sử dụng hệ ghép hợp giữa mô

hình bậc cao và mô hình giảm bậc dẫn đến yêu cầu mô hình gốc chỉ chứa các trạng thái thoả mãn tính điều khiển và quan sát đồng thời Tuy nhiên, một hệ động học trong thực

tế rất có thể gồm cả các phần chứa những trạng thái khác như các trạng thái không điều khiển, v.v… và thậm trí gồm cả các trạng thái không ổn định Như vậy, thấy OPEQ đã nêu ít có giá trị ứng dụng trong thực tế Điều đó dẫn đến điều mong muốn là có OPEQ

độc lập với trạng thái tự nhiên của mô hình gốc

c) Quan niệm chung về ý nghĩa của phép giảm bậc mô hình nằm ở chỗ bảo toàn

ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái đã mô hình hoá trong mô hình giảm bậc hơn

là việc tìm kiếm các biện pháp để thu được sai số tối thiểu vì mô hình giảm bậc thường

được dùng thay thế cho mô hình gốc trong mọi bài toán thuộc lĩnh vực điều khiển, nhất

là với mục đích khảo sát chuyên sâu về hệ thống Nhưng, không thể tìm thấy dấu vết về

ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình gốc trong các trạng thái của mô hình giảm bậc thu được bằng việc áp dụng OPEQ đã nêu Vì thế, nhìn từ phương pháp luận, cần có một phương pháp phát triển OPEQ sao cho trong quá trình phát triển các OPEQ có thể đưa ra các giải pháp để lưu giữ thông tin của các trạng thái mô phỏng gốc trong các trạng thái của mô hình giảm bậc

Những nhận xét ở trên dẫn đến công trình của San và Nath, năm 1994 [96] và của San, năm 1995 [93] Trong [96], các tác giả đã áp dụng phương pháp sai số đầu vào do các tác giả đã đề xuất trước đó để tránh quá trình xác định mô hình gốc bậc cao, tránh tính chất kích thích liên tục của tín hiệu đầu vào và có khả năng áp dụng đối với một hệ

có những trạng thái bất kỳ Trong [93], tác giả đề xuất phương pháp tiếp cận bài toán tối ưu giảm bậc một cách hoàn toàn khác, trên cơ sở khái niệm tối ưu theo trạng thái do mình khởi xướng Thay vì dùng các phép biến đổi thích hợp lên tham số của mô hình, tác giả dùng phép biến đổi không đồng dạng lên vector trạng thái của mô hình gốc khi biết trước mô hình bậc cao và biến đổi đồng dạng lên vector trạng thái của mô hình giả

định khi chưa biết mô hình gốc để thu được vector trạng của mô hình giảm bậc sao cho thoả mãn tiêu chí tối ưu L2 theo trạng thái Phương pháp tối ưu theo trạng thái sau đó

được phát triển để xử lý các bài toán thuộc lĩnh vực lý thuyết hệ thống Trong phạm vi tổng quan về các phương pháp giảm bậc của hệ, những kết quả chính có liên quan đến giảm bậc đối với trường hợp chưa biết trước mô hình gốc bậc cao được trình bày

1.4.2 Tiêu chí tối ưu theo sai số đầu vào [96]

Giả sử rằng, đáp ứng tại đầu ra của hai mô hình nào đó có bậc và tham số khác nhau được làm hoàn toàn trùng khít Thì hiển nhiên, tín hiệu kích thích u1(t) tại đầu vào của mô hình này khác tín hiệu kích thích u2(t) tại đầu vào của mô hình kia Sự khác nhau giữa hai tín hiệu kích thích tại đầu vào của hai mô hình được gọi là sai số đầu vào

[96] Đối với bất kỳ bậc nào chọn trước, tham số của một mô hình có thể thay đổi và

tham số của một mô hình có giá trị tối ưu theo tham số của mô hình kia khi sai số đầu

vào đạt giá trị tối thiểu Tiêu chí tối ưu L2 xây dựng trên cơ sở sai số đầu vào từ đó đã

được định nghĩa như sau:

JIn =

∞

∫0

[u1(t) - u2(t)]TR[u1(t) - u2(t)]dt =

∞

∫0

||u1(t) - u2(t)||Rdt (1.35) trong đó, R là ma trận trọng, thực dương có kích thước tương ứng

Các tác giả đã sử dụng phương pháp sai số đầu vào để giải quyết bài toán theo hai

trường hợp; biết và không biết trước tham số của mô hình gốc bậc cao Không có thay

đổi lớn trong hệ phương trình OPEQ đối với trường hợp biết trước tham số của mô hình

gốc, ngoại trừ khả năng thu được sai số nhỏ hơn so với OPEQ phát triển trước đó Tuy

nhiên, đối với trường hợp chưa biết trước tham số của mô hình gốc, OPEQ do San và

Nath phát triển là một giải pháp hấp dẫn Vì vậy, những kết quả chính có liên quan đến

OPEQ để giảm bậc một mô hình gốc bậc cao không biết trước tham số được trình bày

ở phần dưới đây

1.4.2.1 Những kết quả chính

Bổ đề 1.2: Giả sử (A2, B2, C2) là một mô hình đồng thời điều khiển và quan sát được

Thì mô hình kết hợp (A ,2 B ,2 C ) có tính đồng thời điều khiển và quan sát được khi và 2

chỉ khi (∆A, ∆B, ∆C) là đồng thời điều khiển và quan sát được Trong đó,

=  + ∆ 

B B

B B

 , C2 =[C2 C2+ ∆C] (1.36)

Định lý 1.2: Đối với bất kể mô hình gốc bậc cao nào, có thể chọn được một mô hình

giả định AM có các tham số xác định (A2, B2, C2), thỏa mãn tính đồng thời điều khiển

và quan sát Khi đó, đối với một mô hình bậc cao nào đó luôn tồn tại một tập không

rỗng mô hình giảm bậc ROM có các tham số (Ar, Br, Cr) được xác định thông qua các

tham số của mô hình giả định AM như sau:

∆A = -P P A Q Q11−1 12 2 12T 11−1 - A (1.37)2 ∆B = -P P B11−1 12 2 - B2 (1.38)

∆C C Q Q = 2 12T 11−1 - C2 (1.39)

trong đó, ma trận Q12 và P12 chứa những đại lượng đặc trưng giá trị tương quan chéo giữa những trạng thái điều khiển được và quan sát được của AM và ROM, ma trận Q11

và P11 chứa những đại lương đặc trưng giá trị tự tương quan của những trạng thái điều khiển được và quan sát được của AM

Tồn tại một phép chiếu tối ưu σ2 = T

AM như sau:

Ar = Γ2A G2 T2, Br = Γ2B2, Cr = C G2 T2 (1.40)

ρ(Qˆ2) = (ρ Pˆ2) = (ρ P Qˆ2ˆ2) = m (1.41)

σ2[A Qrˆ2 + Q Aˆ2 T2 + B V B2 2 T2] = 0 (1.42) [A PT2ˆ2 + P Aˆ2 2 + C R CT2 2 2]σ 2 = 0 (1.43)

trong đó, các biểu thức trong (1.40) phải thoả mãn ba biểu thức về hạng trong (1.40) và hai phương trình điều kiện trong (1.41) và (1.43)

Trong OPEQ, hai ma trận vuông Q và ˆ2

Định đề 1.2: ứng với (Ar,Br,Cr) cực trị, sai số do giảm bậc được tính theo:

trong đó, W2c và W2o là các ma trận gramian đặc trưng tương ứng cho tính điều khiển

và quan sát của mô hình giả định, α2 là giá trị riêng lớn nhất của W2cW2o

1.4.2.2 Những nhận xét, bình luận

a) Rõ ràng, trên cơ sở sử dụng mô hình AM, San và Nath đã phát triển OPEQ để giảm bậc khi không biết trước các tham số của mô hình gốc bậc cao, tránh được những phiền toái thường gặp đối với một quá trình nhận dạng hệ động học Thêm vào đó, do

sử dụng sai số đầu vào, đáp tuyến của ROM trùng khớp với đáp tuyến của mô hình gốc nên phương pháp này cho phép sử dụng ROM thay cho mô hình bậc cao tham gia trong các khâu khép kín như bộ bù trừ động học, bộ điều khiển theo quỹ đạo định trước mà không lo đến việc hiệu chỉnh, làm mất đi chiến lược điều khiển tuyến tính

b) Tuy nhiên, ma trận chiếu tối ưu σ2 ở đây vẫn có đặc tính xiên nên vẫn không tránh được những khó khăn cản trở đã gặp trong trường hợp trên khi tính toán xác định các tham số của ROM và vẫn phải sử dụng những vấn đề toán học rất phức tạp

Những kết quả và nhận xét trên dẫn đến phương pháp luận tối ưu theo trạng thái Tối ưu trạng thái được phát hiện đầu tiên áp dụng đối với bài toán đánh giá tham số hệ

động học tuyến tính mô tả trong không gian biến trạng thái [95] Sau đó, phương pháp này được phát triển, áp dụng đối với bài toán giảm bậc mô hình [93] Tối ưu trạng thái với các bài toán hệ thống và bài toán giảm bậc bộ điều khiển là nội dung sẽ được trình bày chi tiết ở chương sau Những kết quả chính của bài toán giảm bậc mô hình áp dụng phương pháp tối ưu trạng thái được trình bày rất tóm lược trong khuôn khổ của bài tổng quan nhằm sáng tỏ những ưu điểm của phương pháp so với các phương pháp khác; luận

cứ để phương pháp được lựa chọn sử dụng ở chương sau

Bổ đề 1.4: Cho ma trận T kích thước (r x n), có hạng đủ theo hàng, xn∈ R(TT) và xr Khi đó, tồn tại một ma trận ánh xạ đẳng cự thành phần E kích thước (r x n) sao cho T

được thừa số hoá như sau:

T = GE = EH (1.45)

ở đây, R(.) ký hiệu cho không gian xác định của (.), G là ma trận xác định thực dương, kích thước ( r x r) và H là ma trận xác định không âm, kích thước (n x n)

Định lý 1.3: Cho một hệ tuyến tính, bất biến theo thời gian và bậc n Luôn tồn tại ma

trận T có hạng đủ theo hàng, kích thước (r x n) biến đổi các trạng thái của hệ sao cho

tham số tối ưu của mô hình giảm bậc thu được như sau:

Ar = TAnT+; Br = TBn; Cr ≈ CT+ (1.46) trong đó, T+ ký hiệu ma trận tựa nghịch đảo của ma trận T

Định lý 1.4: Luôn tồn tại ma trận đẳng cự thành phần E kích thước (r x n) và ma trận

xác định không âm H kích thước (n x n) sao cho tham số tối ưu của mô hình giảm bậc

có thể thu được theo tham số của mô hình gốc như sau:

Ar = EHAnH+ET; Br = EHBn; Cr = CH+ET (1.47)

và luôn tìm được ma trận chiếu tối ưu σ kích thước (n x n), hai ma trận xác định không

âm P và Q kích thước (n x n) sao cho các điều kiện sau đây phải thoả mãn nếu mô hình

giảm bậc tối ưu có tính điều khiển và quan sát đồng thời:

σH Q QA H HB V B HΑ   T T  0

n + n + n 1 n = (1.48)

H+ΑTP PA H  + H C R C H+ T +σ 0

n + n + n 2 n = (1.49) trong đó, V1 = lim∫[u(t)uT(t)]dt∈Ρpxp ; R2∈Ρqxq là ma trận trọng số tại đầu ra

Định đề 1.2: Đối với một mô hình giảm bậc có các tham số tối ưu sai số đầu ra cực

tiểu, hàm sai số (phạt) là:

Jm(Ar,Br,Cr) = trace[( -I Hn +σΗ C R C H I H Η) (T Tn 2 n) +( -n +σ )] (1.50)

1.4.3.2 Những nhận xét, bình luận

Năm 1985, Hyland và Bernstein [56] biểu diễn kết quả do Wilson tìm ra từ năm

1970 [123] áp dụng trong một không gian hẹp, điều kiện ngặt hơn (điều khiển và quan sát đồng thời) thành hệ phương trình chiếu tối ưu (OPEQ) Hyland và Bernstein cũng liên hệ OPEQ với kết quả thu đựơc do áp dụng phương pháp cân bằng nội đề xuất bởi Moore năm 1981 [76] và với kết quả thu được bởi nguyên lý thứ tự bậc động học đóng góp vào quan hệ vào-ra của hệ do Skelton đề xuất năm 1980 [101] Kết quả của Hyland

và Bernstein đã được xem xét khá chi tiết ở phía trên nhằm kế thừa những ưu điểm và xác định những hạn chế làm luận cứ để đề xuất phương pháp mới Do đó, chỉ cần phân biệt kết quả San với kết quả thu được bởi Wilson là đủ Các điểm khác nhau giữa hai kết quả được chỉ ra cụ thể dưới đây:

a) Wilson không thể tìm được kết quả khi hệ có phần không ổn định, ngay cả khi

hệ chỉ có phần không có khả năng quan sát, trong khi đó định lý mới không từ chối đối với các phần này Mặc dù đối với hệ có khả năng điều khiển và quan sát đồng thời, kết quả của Wilson phù hợp với kết quả mới nhưng, nhìn từ phương pháp luận mà nói, tính tường minh thuộc về tư duy tối ưu theo trạng thái Điều này là cội nguồn dẫn đến khả năng đơn giản hoá toán học trong quá trình xử lý bài toán

b) Bản chất vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình gốc bậc cao không hề

được lưu giữ dấu vết trong mô hình giảm bậc thu được bằng cách áp dụng phương pháp của Wilson, nhưng có khả năng được bảo toàn (nếu có đòi hỏi) trong các trạng thái của mô hình giảm bậc tìm được bởi phương pháp tối ưu trạng thái Hơn nữa, phương pháp tối ưu trạng thái còn cho phép chú ý tới các trạng thái hoặc tổ hợp các trạng thái theo cách mong muốn riêng biệt vì những mục đích khác nhau

c) Nhìn trên quan điểm ứng dụng; đối với kết quả do Wilson tìm ra, khi ứng dụng cần phải tiến hành một quá trình tối ưu sau khi giải hệ phương trình phi tuyến ma trận

và cần phán đoán các giá trị ban đầu cho các tham số của mô hình giảm bậc Khả năng hội tụ trong việc giải hệ các phương trình phi tuyến do Wilson tìm ra vì thế mà không

được đảm bảo chắc chắn Trong khi đó, việc áp dụng kết quả do San tìm ra thì đơn giản hơn nhiều, chỉ cần thực hiện quá trình lựa chọn ma trận T để hàm phạt đạt được giá trị

tối thiểu Không cần phải bỏ ra nhiều nỗ lực nếu việc chọn ma trận T được định hướng

một cách thích hợp Những định hướng về việc lựa chọn T đã được tác giả trình bày chi

tiết trong công trình của mình

1.5 Xây dựng mô hình mô phỏng mạng viễn thông

Có thể xây dựng mô hình toán học mô tả động học xảy ra trên mạng qua việc xác

định phương trình động học đối với từng đường truyền, từng nút mạng (chuyển mạch) Chuyển mạch truyền thống đã được đặc thù hoá theo công nghệ truyền thông hoặc điều khiển, xử lý tín hiệu Cụ thể, giải quyết cơ chế hàng đợi trong chuyển mạch đối với các

tế bào theo thời gian trong phương thức truyền thông không đồng bộ (ATM), tế bào hoá trong các gói tin theo tần số khác nhau trong phương thức truyền thông IP, chuyển mạch trên nền ATM tìm kết nối trong tất cả giải tần thông qua các giao diện và mềm hoá các giao diện nhằm thích ứng với mọi môi trường truyền thông trong tổng đài mềm [26], [77], [107]-[111] Như vậy, rõ ràng nếu xây dựng được mô hình toán học mô tả

động học của tổng đài truyền thống, cơ chế xếp hàng và giải phóng hàng đợi, các giao diện và cơ chế mềm hoá thì mô hình của nút mạng sử dụng cho bất kỳ phương thức truyền thông nào đều có thể xác lập được

Trên cơ sở lựa chọn thích hợp các biến trong không gian trạng thái, mô hình hoá mạng viễn thông được chia thành các bài toán mô tả động học trên các tuyến truyền và tại các nút mạng thiết lập xung quanh 3 bus truyền của CPU Từ đó, bốn bài toán điển hình đã được thiết lập liên quan đến mô hình hoá nút mạng viễn thông Đó là chuyển mạch truyền thống, cơ chế giải phóng hàng đợi có nhiều mức ưu tiên, các giao diện và cơ chế mềm hoá chuyển mạch [6]-[8]

1.5.1 Bài toán đối với chuyển mạch điện tử

a) Phát biểu bài toán: Xác định tham số của mô hình toán học bậc n:

x( )t = A1x1(t) + B1u1(t) (1.51)

y1(t) = C1x1(t) (1.52) mô tả động học của ma trận chuyển mạch sao cho thoả mãn các điều kiện sau đây: i) Có p đầu vào, q đầu ra với min(p, q) ≥ 2; n ≥ max(p, q);

ii) Chuyển mạch làm việc ổn định, điều khiển được và quan sát được;

iii) Đồng nhất hoá đáp tuyến ở tất cả các đầu ra trước tác động của tín hiệu tại bất

kỳ đầu vào nào trong sự hiện diện của nhiễu

b) Nghiệm của bài toán: Chọn một mô hình giả định {Aa,Ba,Ca} bậc m ổn định, đồng thời điều khiển và quan sát mô tả trong không gian trạng thái:

xa(t)=A xa a(t)+B ua a(t) (1.53)

a (t)= a a (t)

y C x (1.54) Nếu chọn ua(t) ≡ u1(t), vector ya(t) có kích thước giống y1(t), có số liệu theo tiêu chí bình phương tối thiểu thì tham số tạo nên phần đồng thời điều khiển và quan sát của chuyển mạch điện tử xác định như sau:

A1 = ET H+ Aa H E (1.55)

B1 = ET H+ Ba (1.56)

C1 = K CaH E (1.57) trong đó, E = Ε(xaxT) ∈ Ρmìn là đẳng cự thành phần, H = Ε(x1x1T) ∈ Ρmìm là thực dương, phép biến đổi K có kích thước phù hợp để trùng khớp tín hiệu ở các đầu ra của

mô hình giả định với các tín hiệu đầu ra của chuyển mạch

Từ điều kiện của bài toán, đòi hỏi kích thước vector ya(t) lớn hơn hoặc bằng kích thước vector y1(t) và m ≥ n

Đường chéo hoá ma trận chứa các hàm truyền đạt của chuyển mạch:

1

s s

Để tính các tham số theo các biểu thức từ (3.7) đến (3.9) cần có số liệu liên quan

đến H và E Các số liệu này thu được trực tiếp từ hai phương trình Lyapunov:

1.5.2 Bài toán đối với cơ chế xếp hàng trong chuyển mạch ATM

a) Phát biểu bài toán: Xác định tham số mô hình toán học mô tả động học quá trình

xử lý hàng đợi theo các mức ưu tiên khác nhau:

i) Quan hệ xếp hàng xảy ra tại các bộ đệm của ma trận chuyển mạch có p đầu vào, q đầu ra với min(p, q) ≥ 2;

ii) Động học xử lý hàng đợi là ổn định, điều khiển và quan sát được

b) Nghiệm của bài toán: Bài toán được giải theo tư duy hệ hở vì phương pháp này cho

phép thực hiện tối ưu theo từng bước [95]-[97] Việc đánh giá tham số mô hình toán học trong các biểu thức từ (1.61) đến (1.63) ở bước thứ nhất thực hiện giống như giải bài toán đối với ma trận chuyển mạch trước đó Nghĩa là áp dụng phương pháp tối ưu trạng thái và sử dụng một mô hình giả định và A2, B2 và C2 được xác định

Bước tiếp theo là trên cơ sở của A2, B2, C2 và dữ liệu về tín hiệu kích thích, về đáp ứng, xác định tham số mô hình mô tả động học của bộ ước lượng trạng thái:

xˆ2(t)=A xˆ 2ˆ2(t)+B uˆ2ˆ2(t) (1.64)

yˆ2(t)=C xˆ2ˆ2(t) (1.65) sao cho yˆ (t)2 =x2(t) để C x2 2(t)−y2(t) đạt giá trị tối thiểu (1.66) trong đó, uˆ2( )t chứa những dữ liệu cả về tín hiệu kích thích u2(t) lẫn đáp ứng y2(t)

ˆ (t)=  (t) (t)

u u y và Bˆ (t)2 = B2 M2 với ma trận M2 có kích thước thích hợp, tổ hợp tuyến tính các dữ liệu của vector đáp ứng y2(t) Qua một vài phép biến đổi toán học đơn giản có:

i) Bộ đánh giá trạng thái ổn định nên Aˆ2 =A2 −M C2 2ổn định với bất kỳ M2 trừ khi M2C2 có giá trị riêng làm triệt tiêu bất cứ giá trị riêng nào của A2

ii) Bộ đánh giá trạng thái có tính điều khiển được với bất kỳ sự lựa chọn nào đối với M2 sao cho M2 không phải là tổ hợp tuyến tính của B2

iii) Điều kiện để bộ đánh giá trạng thái có tính quan sát được giống như điều kiện

để bộ đánh giá trạng thái ổn định

Vấn đề còn lại là xác định K2 sao cho chiến lược điều khiển tuyến tính thoả mãn nhiều mức ưu tiên khác nhau Gán mỗi mức ưu tiên với một độ trễ, thành phần của ma trận K2 tại mức ưu tiên thứ i có giá trị:

i 1

2

i

2 kk

ki - 1 ≤ ≤ +

2

k = τi ± sign(∆τi), i = 1, , (1.68) trong đó ∆τi là độ rộng thời gian đối với độ trễ τi tại mức ưu tiên thứ i

Coi trạng thái ban đầu của các nguồn lưu lượng là các biến ngẫu nhiên, thực hiện tối thiểu hoá kỳ vọng toán học có trọng số đối với mọi x(t0):

θ θ để

2 1

và, bài toán đối với cơ chế xếp hàng đã được giải

1.5.3 Bài toán đối với các giao diện

Giao diện giữa bên ngoài với tổng đài tại mỗi nút mạng thuộc một trong ba bus chức năng của mô hình xây dựng xung quanh CPU [5],[77] Nhưng, tất cả giao diện

đều làm nhiệm vụ truyền thông, chuyển tín hiệu bên ngoài (có thể là phi chuẩn hoá so với tiêu chuẩn qui định đối với CPU) thành các tín hiệu chuẩn hoá theo CPU và ngược

lại Nên từ phương diện chuẩn hoá tín hiệu thì động học cơ bản của các giao diện là giống nhau

Mô hình toán học mô tả động học của quá trình chuyển đổi tín hiệu u3(t) từ bên ngoài tổng đài thành tín hiệu y3(t), chuẩn hoá theo CPU:

x3(t)=A x33(t)+B u33(t)+B w33(t) (1.72)

y3(t)=C x33(t) (1.73) trong đó, nhiễu trong quá trình chuyển xuôi w3(t)xuất hiện do nhiều nguyên nhân khác nhau, kể cả sai số sinh ra do việc làm tròn số

Mô hình toán học thái mô tả quá trình chuyển từ tín hiệu u4(t) chuẩn hoá theo CPU của tổng đài thành tín hiệu y4(t) theo yêu cầu của thiết bị kèm theo:

x4(t)=A x 44(t)+B u44(t)+B w4 4(t) (1.74)

y4(t)=C x44(t) (1.75) trong đó, w 4(t) là nhiễu xạ trong quá trình chuyển ngược

Điều kiện để các giao diện làm việc:

0 B



 và

3 3

a) Phát biểu bài toán: Hãy xác định các giới hạn cần thiết để giao diện làm việc xuôi,

ngược như trong chế độ danh định, nếu mô hình toán học mô tả động học của giao diện

được cho trong các biểu thức (1.77) và (1.78)

b) Nghiệm của bài toán: Dưới tác động của nhiễu xạ, các tham số trong động học bị

bất định Bài toán trên đòi hỏi các điều kiện cần trong chế độ danh định và điều kiện đủ

để giao diện trong chế độ danh định đại diện cho cả họ nghiệm

i) Điều kiện cần (trong chế độ danh định):

* Giao diện làm việc ổn định; nghĩa là ma trận A3 ổn định,

* Giao diện phải thoả mãn các điều kiện về tính điều khiển và quan sát đồng thời; các cặp ma trận (A3, B3) và (C3, A3) thoả mãn các điều kiện về hạng

ii) Xác lập điều kiện đủ:

* Giới hạn khoảng biến thiên của các tham số bất định,

* Giới hạn khoảng biến thiên của các trạng thái (động học)

Khi có tác động của nhiễu xạ, phương trình của các giao diện trở thành:

(s)

− +

áp dụng công thức nghịch đảo của ma trận khối và các biến đổi toán học cần thiết

ta xác định được các thành phần khối trong ma trận cuối cùng trong (1.83) cho cả hai trường hợp; biến đổi xuôi và biến đổi ngược Đường chéo hoá các ma trận theo thứ tự giảm dần của các giá trị riêng như sau:

áp dụng chuẩn H∞ của ma trận [61], đối với giao tiếp xuôi và giao tiếp ngược của giao diện Sử dụng điều kiện ổn định theo đồ thị Nyquist, ta thu được bất đẳng thức đặc trưng cho điều kiện cần trong trường hợp giao tiếp xuôi và giao tiếp ngược như sau:

1.5.4 Bài toán đối với chuyển mạch mềm

Chuyển mạch truyền thống được chế tạo trên cơ sở lý thuyết tập kinh điển, lấy mô hình 3 bus chức năng cơ bản của CPU làm hạt nhân Vì vậy, giải pháp "uyển chuyển hoá" chuyển mạch truyền thống đang được nghiên cứu để chuyển mạch truyền thống

có thể làm việc trong nhiều điều kiện môi trường khác nhau

Có thể hiểu quá trình "uyển chuyển hoá" tổng đài truyền thống để trở thành tổng

đài mềm là quá trình áp dụng tính toán mềm (soft computing) thực hiện chức năng của giao diện, biến đổi tín hiệu phi chuẩn hoá so với tiêu chuẩn làm việc của CPU sang tiêu chuẩn theo CPU và ngược lại Nếu coi phương thức truyền thông là môi trường thì việc biến đổi theo hướng tích hợp hoá môi trường để chuyển mạch có thể làm việc với bất

kỳ tín hiệu thuộc công nghệ truyền thông nào Môi trường như vậy được các tác giả gọi

là môi trường đại cương để tiện cho việc trình bày

Mô hình toán học mô tả động học chuyển đổi nguồn tín hiệu từ môi trường đại cương sang môi trường làm việc chuẩn hoá của chuyển mạch truyền thống:

x5(t)=A x55(t)+B u55(t)+B w55(t) (1.88)

y5(t)=C x55(t) (1.89) trong đó, u5(t)chứa tất cả các nguồn lưu lượng đại diện cho các môi trường thành phần

Mô hình toán học mô tả động học biến đổi tín hiệu từ môi trường làm việc chuẩn hoá của chuyển mạch truyền thống sang tín hiệu thuộc môi trường thích hợp:

đổi nguồn tín hiệu từ những môi trường thành phần của môi trường đại cương sang môi trường chuẩn của tổng đài truyền thống; w6(t) chứa các tín hiệu nhiễu sinh ra bởi các sai số và lý do khác; y6(t) chứa các nguồn lưu lượng ứng với từng nguồn tín hiệu thành phần thích hợp

Giao diện thực hiện chức năng mềm hoá tổng đài thoả mãn:

i) Chuyển hoá về phía môi trường của tổng đài truyền thống:

y5(t)=u61(t) (1.92) ii) Chuyển hoá về phía các môi trường khác:

B 0 B

0 C



 , (1.96)

và ma trận ~5

K là nghiệm duy nhất của phương trình Riccatti để chiến lược điều khiển tuyến tính đạt tối ưu [18]

Rõ ràng mô hình mô tả giao diện trong biểu thức từ (1.94) đến (1.96) có:

- Sự hiện diện củaB trong ma trận62 B làm nhiệm vụ tổ hợp tuyến tính nguồn 4

lưu lượng thành phần của môi trường đại cương hoá

- Sự hiện diện của B K62 trong ma trận5 A phản ánh sự ràng buộc của động 4

học biến đổi xuôi từ môi trường đại cương hoá sang môi trường chuẩn hoá

a) Phát biểu bài toán: Cho mô hình toán học mô tả động học của giao diện làm mềm

hoá tổng đài truyền thống như trong (1.96) đến (1.98), hãy xác định các điều kiện để: i) Giao diện làm việc ổn định;

ii) Giao diện có thể điều khiển được và quan sát được đồng thời;

iii) Giao diện có thể làm việc xuôi, ngược

b) Giải bài toán: Bài toán được giải theo hai bước Xây dựng các điều kiện cần ở trong

bước thứ nhất và trong bước thứ hai, xác định các điều kiện đủ

.i).Điều kiện cần: Trong chế độ danh định, khi không có nhiễu xạ, w4(t) = 0,

từ (1.94), (1.95) xác định điều kiện cần qua việc đánh giá các tham số trong khâu phản hồi của giao diện làm mềm hoá chuyển mạch truyền thống cóA và5 A chọn trước: 6

x4(t)=A x4 4(t) (1.97)

y4(t)=C x4 4(t) (1.98) sao cho tối thiểu hoá hàm phạt J4(B B B C C K 5, 61,62, 5, 6,  ): 5

J = Ε4( ) { T T T } ( )

4

4(t) 1 4(t)+ (t) 2 4(t)+ 4(t) 3 4(t) =trace 4 4

x S x x S y y S y Q R (1.99) trong miền giao diện làm mềm hoá chuyển mạch truyền thống ổn định; ma trận Q4chứa thông tin về động học của hệ phải thoả mãn tiêu chuẩn ổn định Lyapunov:

và C , sau đó 6 B ,5 B , 61 B và 62 K cuối cùng 5

ii).Điều kiện đủ: Dưới tác động của nhiễu xạ, tham số trong mô hình mô tả

động học giao diện mềm hoá chuyển mạch truyền thống trở thành bất định:

4(t)+Δ (t)4

x x = (A4 + ∆A4) (x4(t) + ∆x4(t)) + (B4 + ∆B4) w(t) (1.102) y(t) + ∆y(t) = (C4 + ∆C4) (x4(t) + ∆x4(t)) (1.103) trong đó, A4, B4, C4 đã được cho chi tiết ở các biểu thức (1.96)

Hàm tiêu chí định nghĩa cho điều kiện đủ:

áp dụng giới hạn Petersen-Hallot [86] ta có:

J4d ≥ J4 + trace ∆R4Q4 (1.106) trong đó, J4 được tối thiểu hoá khi xác định các tham số đối với điều kiện cần

Như vậy, thay vì tối thiểu hoá J4d trong (1.104), có thể tiến hành tối thiểu hoá giới hạn Petersen-Hollot:

J4e (∆A4 , ∆B4, ∆C4, ∆R4) = trace ∆Q4R4 (1.107) Triển khai điều kiện ràng buộc (1.107), chú ý tới điều kiện trong chế độ danh

trong đó, V4 chứa các giá trị tự tương quan của tín hiệu kích thích và

Ω(.) = ΔA Q4 4 + Δ + Ψ (.)Q4 AT4 4 (1.109) với Ψ (.) = Δ4 B B4 T4 + Δ + Δ ΔB4 BT4 B4 B T4 (1.110) Chú ý tới biểu thức Ω(.)trong (1.109), vì Q4 đã được cho trước đối với động học của giao diện ổn định trong chế độ danh định nên ΔA ổn định khi và chỉ khi 4 Ψ (.) là 4

thực dương Từ biểu thức (1.108) thu được điều kiện sau đây:

(A4 + Δ )Δ + Δ ( + Δ ) + A4 Q4 Q A4 4 A4 T B B4 T4 ≥0 (1.111)

áp dụng chuẩn L2 [61] trong miền thời gian, biên độ biến đổi lớn nhất đối với từng tham số ∆A4 , ∆B4, ∆C4 cũng như động học ∆Q4 dưới tác động của nhiễu xạ được xác định và trở thành điều kiện đủ về tính ổn định của giao diện

Khi quan tâm đến chất lượng công nghệ của giao diện thì ngoài yêu cầu về tính

ổn định bền vững còn yêu cầu về tính bền vững đối với điều khiển và quan sát Những yêu cầu đồng thời đó đòi hỏi sử dụng phép chiếu để miền nghiệm tối thiểu Je(.) cũng là miền nghiệm của điều kiện ràng buộc Điều đó, dẫn đến việc tối thiểu hoá hàm Lagragian đối với điều kiện đủ L d(∆A4, ∆B4, ∆C4, ∆Q4, ∆P4) định nghĩa như sau:

trong đó, 0 < λd ≤ 1 và ∆P4 là nhân tử Lagrangian, không đồng thời bằng 0

Phương pháp giải để tìm các số gia biến thiên trong trường hợp điều kiện đủ ở đây thực hiện tương tự như trong trường hợp điều kiện cần Có thể tìm kiếm hệ nghiệm duy nhất ứng với điểm tối ưu toàn cục nếu chuyển các phương trình động học của giao diện

về hệ toạ độ cân bằng nội để điều kiện diag(Q4) = diag(P4) và điều kiện diag(∆Q4) = diag(∆P4) thoả mãn đồng thời

1.6 kết luận chương và mục tiêu nghiên cứu của luận án

Việc nghiên cứu, tìm kiếm phương pháp thích hợp nhất đối với bài toán giảm bậc nói chung và giảm bậc mô hình nói riêng áp dụng trong từng trường hợp cụ thể đang còn tiếp diễn, nhất là đối với các hệ động học phi tuyến Nhân đề cập đến vấn đề phi tuyến của hệ động học, tác giả vẫn chưa được thấy có một định nghĩa rõ ràng về khái niệm giảm bậc đối với hệ động học phi tuyến Và, khi chưa có định nghĩa rõ ràng thì các họ phi tuyến khác nhau thường gặp trong thực tiễn có các phương pháp trình diễn

tuyến tính khác nhau nên, khó có thể tìm được tiếng nói chung về vấn đề giảm bậc vì mục đích đơn giản hoá ứng xử đối với các hệ động học phi tuyến

Trong chương này, nhằm thực hiện việc tổng quan các phương pháp giảm bậc mô

hình hiện có tác giả đã xây dựng, phát biểu bài toán mang tính tổng quát theo lý

thuyết hệ thống Thông qua bài toán đó và trên cơ sở tương đồng trong nguyên lý của

từng nhóm, các phương pháp tìm mô hình giảm bậc đối với một hệ thống bậc cao được phân thành ba nhóm chính: (i) Trên cơ sở bảo toàn các giá trị riêng quan trọng của mô hình gốc, (ii) Sử dụng nguyên lý tối ưu và (iii) Trùng khớp các đặc tính khác ngoài những thuộc tính về đáp ứng Từ đó, tác giả phân tích làm sáng tỏ những ưu điểm, các

hạn chế của mỗi nhóm phương pháp để đề xuất liệu pháp sử dụng thích hợp đối với

từng phương pháp theo nhu cầu ứng dụng

Phần sau tác giả đã khảo sát mô hình hoá mô phỏng mạng Viễn thông ở các vấn

đề: cung cấp dữ liệu về trạng thái lưu lượng của mạng, định vị tín hiệu sự cố, phân bố băng thông và xử lý cuộc gọi, bảo mật thông tin và chuyển mạch mềm thông qua mô tả

động học của các phần tử từ đó có thể xác định các tiêu chuẩn về tính ổn định, tính

điều khiển và quan sát của chúng Có thể mô tả các đặc trưng của các phần tử cấu

thành mạng viễn thông dưới dạng hệ động học cần quản lý, điều khiển Hiển nhiên,

chất lượng điều khiển, vận hành các phần tử mạng càng cao khi mô hình toán học có khả năng mô tả càng chính xác những động học xảy ra trong hệ thống thực Nhưng đáp ứng đòi hỏi về tính chính xác cao đó thường là các mô hình toán học phức tạp có bậc cao, gây nhiều khó khăn khi nắm bắt về hệ thống cũng như thoả mãn tính hội tụ, tính tốc độ theo nhu cầu thời gian thực Tuy vậy, như đã trình ở trên, mô hình giảm bậc cũng như mô hình gần đúng thu được bằng phương pháp tối ưu trạng thái cung cấp khả năng bảo lưu những đặc trưng cơ bản của hệ động học Điều đó cho phép ta thực hiện những phân tích cần thiết về hệ thống động học theo thời gian thực, dẫn đến khả năng

sử dụng hiệu quả các bộ điều khiển giảm bậc nhờ vào việc bù trừ động học hệ thống

Từ những phân tích và nhận xét ở chương 1 trong chương 2 và chương 3 của luận

án tác giả phân tích phương pháp giảm bậc mô hình hệ thống và giảm bậc bộ điều

khiển theo tối ưu trạng thái và áp dụng phương pháp này để giải quyết một số bài toán điển hình của mạng Viễn thông

Chương 2

hệ thống và bài toán giảm bậc bộ điều khiển

Chương này tổng hợp những kết quả trong hai công trình nghiên cứu công bố của tác giả liên quan đến tiếp cận bài toán giảm bậc bộ điều khiển và các bài toán hệ thống theo tối ưu trạng thái Ngoài những bổ xung cơ bản, bài toán Bài toán chuẩn liên quan

đến bộ điều khiển cầu phương tuyến tính tựa Gauss, bài toán giảm bậc mô hình được trình bày tiếp làm cơ sở trình bày các kết quả mới của tác giả đối với giảm bậc bộ điều khiển thu được từ phương pháp tối ưu trạng thái và cuối cùng trình bày phương án đề xuất cho việc bù trừ động học khi sử dụng bộ điều khiển giảm bậc Những kết quả thu

được đối với những bài toán hệ thống điển hình (theo tư duy hệ hở, tư duy hệ kín) bằng cách áp dụng phương pháp tối ưu trạng thái được trình bày ngắn gọn nhằm làm sáng tỏ những hứa hẹn về hướng phát triển tiếp theo của phương pháp

1909, v.v… Nghịch đảo suy rộng đối với ma trận được Moore phát triển trước tiên vào năm 1920 dưới tên gọi đối ngẫu chung Năm 1955, Penrose chỉ ra tính duy nhất của tựa nghịch đảo đối với ma trận kích thước giới hạn thoả mãn 4 phương trình sau [61]:

Bốn phương trình trên được biết đến dưới tên gọi phương trình Moore-Penrose và

ma trận duy nhất X thoả mãn 4 phương trình đã nêu thường được nói đến là nghịch đảo

(TT ) = (T ) T và (TT* +) = T T+( * +)d) ρ(T) = ρ(T+) = ρ( +

2.1.1.2 Biến đổi trạng thái trong các bài toán hệ thống

Giả sử có một hệ động học (S) và một mô hình giả định (AM) mô tả trong không gian trạng thái như sau:

(S) xn =A xn n +Bnun (2.2)

(AM) xm =A xm m +Bmum (2.3)

ym =C xm m

trong đó, chữ n và m viết ở dưới ám chỉ thuộc (S) và thuộc (AM), các vector và ma trận

được kích thước hoá phù hợp với bậc n của (S) bậc m của (AM)

Có thể nhận thấy rằng bất luận về sự tương quan giữa chỉ số n và m là như thế nào (bằng nhau hoặc không), nếu cả (S) và (AM) cùng chịu tác động bởi cùng một vector tín hiệu ở đầu vào (um = un), thì bao giờ cũng tồn tại một phép biến đổi giữa hai vector trạng thái (gọi là biến đổi trạng thái - state transformation) và một phép biến đổi giữa hai vector đáp ứng (gọi là biến đổi đầu ra - output transformation) Phép biến đổi đầu

ra trong hầu hết các trường hợp là biến đổi đồng dạng (similarity transformation) hay

ma trận khả nghịch vì vector ym đầu ra của (AM) và vector y n đầu ra của (S) có cùng

kích thước Nhưng, không phải như vậy đối với phép biến đổi trạng thái, thường là biến

đổi không đồng dạng Tuy nhiên nhờ vai trò của biến đổi đầu ra, ta có thể làm ym hoàn toàn trùng khớp với yn ngay cả khi biến đổi trạng thái là không đồng dạng Phép biến

đổi không đồng dạng không phải là phép biến đổi hai chiều thuận ngược tional transformation) dẫn đến ý tưởng đề xuất khái niệm tối ưu theo trạng thái

(non-bidirec-2.1.2 Định nghĩa, bổ đề

Định nghĩa 2.1: Bài toán xây dựng để giải quyết những vấn đề về hệ thống cần phải xử

lý trong khâu khép kín thì được nói đến là bài toán theo tư duy hệ kín Ngược lại thì gọi

là bài toán xử lý theo tư duy hệ hở

Bổ đề 2.1.1: Cho vector xn chứa n trạng thái độc lập tuyến tính của hệ (S) Giả sử chọn

được một mô hình giả định (AM) có vector xm chứa m trạng thái độc lập tuyến tính với

m < n Luôn tồn tại phép biến đổi không đồng dạng T ∈ Ρ mxn , ρ(T) = m, lên vector xn

để thu được vector xm sao cho nếu số đầu ra q của hệ (S) nhỏ hơn hoặc bằng bậc m của

mô hình giả định (AM), (q ≤ m), thì T+xm đưa đến chuẩn tối thiểu trong số những bình

phương tối thiểu sai số đầu ra

Nhận xét 2.1.1:

a) Trong bổ đề 2.1.1 trên cả vector xr và vector xm đều biết trước, vấn đề trở thành

xác định chuẩn tối thiểu trong số bình phương tối thiểu sai số đầu ra có mặt của T

b) Tuy nhiên, liên quan đến vector xr và vector xm còn tồn tại hai trường hợp Đó

là trường hợp của bài toán ước lượng tham số mô hình của hệ (S) thông qua phép biến

đổi T lên vector trạng thái xm của mô hình giả định (AM) chọn trước Và trường hợp

bài toán giảm bậc mô hình (S); nghĩa là thông qua phép biến đổi T lên vector xn biết

trước để xác định tham số mô hình giả định (AM) khi m = r ≤ n Trong hai trường hợp

sau, vai trò của việc tìm chọn phép biến T trong không gian nhiều chiều trở nên quan

Thông thường không biết trước n bậc của (S), nên rất có thể (AM) được chọn có

bậc m cao hơn n Tuy nhiên, trong trường hợp như vậy, tính đúng đắn của bổ đề trên đã

được biện luận trong bài báo là vẫn đảm bảo

b) Để ma trận T kích thước (r x n) được chọn một cách ngẫu nhiên, r ≤ n Khi đó,

có thể chuyển T về dạng Hermit chuẩn và từ đó dễ dàng xác định cơ sở không gian xác

định R(T), cơ sở không gian không N(T) của T và cơ sở không gian xác định R(T T) cũng như sơ sở không gian không N(TT) của T T [52] Xuất hiện các trường hợp khác nhau trong việc xác định xr và xác định lại xn như trình bày sau đây

i) Nếu chọn x r ∈ R(T), thì có thể xác định xr duy nhất bởi:

xr = T xn (2.6)

Rõ ràng, để r thành phần của xr là xác định độc lập với nhau, T phải là một ma

trận có hạng đủ theo hàng Nghĩa là ρ(T) = r

Vì ρ(T+) = ρ(T) = r và tương ứng với xr mọi thành phần của xn phải được xác định

độc lập, thì điều kiện xn ∉ R(TT) cần thoả mãn Trong trường hợp như vậy, chỉ có thể chờ đợi tìm được giá trị gần đúng đối với xn Theo [113], trong số các nghiệm tối thiểu bình phương sai số của (2.6), thì ˆx = T + xr là nghiệm ứng với giá trị tối thiểu chuẩn L2 Nghĩa là +

xn = T +xr + en , en ∉ R(T) (2.7) trong đó, en là một vector n chiều biểu diễn sai số cực tiểu theo chuẩn L2 sinh ra từ biến

đổi ngược, chuyển từ xr về xn

ii) Nếu chọn xr ∉ R(T), thì chỉ có thể tìm được giá trị gần đúng đối với xr

từ việc xem xét phương trình dưới đây:

Như vậy, bất luận chọn xr thuộc không gian con nào, để thu lại được chính xác xnbằng phép biến đổi ngược, Txn là vector gần đúng nhất có thể gán cho xr Hay nói cách

khác, đối với một xr xác định, thì T+ xr là giá trị gần đúng nhất đối với xn theo nghĩa của bất kể chuẩn vector nào trong ba chuẩn tồn tại trong toán học, L1, L2, L∞

Hàm chi phí tối thiểu gắn với chuẩn L2 cực tiểu do đó có thể viết là:

m n r 2

0

J =∫∞ x −T x+ Rdt, xn ∉ R(TT) (2.9) trong đó, R chỉ chuẩn trọng và là ma trận xác định không âm có kích thước phù hợp

Nhận xét 2.1.2

a) Bổ đề chỉ cần có điều kiện biết trước xn, không quan trọng liệu tương ứng với cơ sở của hệ, các thành phần của xn có được xác định độc lập hay không Thực tế là về

mặt toán học, phương trình x = αx + βu luôn có nghiệm Như vậy, bao giờ cũng có thể

tìm được nghiệm gần đúng bất luận các điều kiện áp đặt lên α và β ra sao, nhìn từ khía cạnh của điều khiển học Vì T +xr là giá trị gần đúng nhất đối với xn không phụ thuộc vào liệu xr nằm trong không gian con nào, nên ước lượng tối ưu xr được phát hiện ra là nằm trên mặt thoả mãn điều kiện xn, en ∉ R(T T) Điều này chỉ ra rằng tồn tại một phép chiếu trực giao để tìm tối ưu xr từ xn sao cho ( )T

c) Ma trận hạng đầy đủ theo hàng là điều kiện duy nhất áp đặt cho T Tuy nhiên,

vì T được chọn tuỳ ý nên T khác nhau dẫn tới các giá trị của vector xr khác nhau đối với cùng một xn cho trước Điều này có nghĩa là J1 định nghĩa trong biểu thức (2.11) có

nhiều điểm cực tiểu theo nghĩa địa phương, phụ thuộc vào từng không gian con chọn cho xr Nhưng, với một T xác định thì xr được xác định duy nhất

Bổ đề 2.1.2: Cho ma trận Tkích thước (r x n) hạng đủ theo hàng, xn ∉ R(TT) và xr đã biết Thì luôn tồn tại một đẳng cự thành phần Ekích thước (r x n) sao cho Tđược phân tích theo thừa số như sau:

trong đó, các ma trận G và H tương ứng là xác định dương và không âm có kích thước (r x r) và (n x n)

Nhận xét 2.1.3

a) Bổ đề trên có giá trị cho cả hai trường hợp xr ∈ R(T) và xr ∉ R(T)

b) T+ = E+G-1 = H+E+

c). ETE và EET là tối ưu (theo cùng nghĩa của T) và là phép chiếu trực giao

d) Giả thiết biết trước xn, thì H dễ dàng được tạo thành Theo định lý 6 [52], tồn

tại r đẳng cự thành phần {Ei: i = 1, …, r} thoả mãn:

2.2 Tiếp cận các bài toán hệ thống theo tối ưu trạng thái 2.2.1 Giới thiệu

Có thể chia các bài toán thuộc lý thuyết hệ thống thành bốn phần là mô hình hoá, xây dựng các phương trình toán học, phân tích và thiết kế [34] Nhưng khi giới hạn những vấn đề thảo luận ở những hệ thống động học tuyến tính mô tả trong không gian trạng thái thì có thể xem các bài toán hệ thống thuộc nhóm tư duy theo hệ mở hoặc tư duy theo hệ kín [34], [94] Đã có nhiều công trình nghiên cứu các khía cạnh khác nhau cả về lý thuyết lẫn thực tiễn theo tư duy của hệ hở và tư duy của hệ kín Nhưng, có hai phương pháp đáng chú ý liên quan đến khảo sát nhanh về cách tiếp cận tối ưu ở đây là

từ phương pháp luận về lý thuyết động học bên trong hệ thống (theo biến trạng thái) và

từ cách xử lý theo hệ các phương trình chiếu tối ưu (OPEQ)

ý tưởng nghiên cứu động học xảy ra bên trong hệ thống trên cơ sở những đóng góp của các phần tử động học (biến trạng thái) vào việc xác lập quan hệ vào-ra của hệ

được khởi xướng đầu tiên bởi Moore năm 1981 dưới tên gọi giá trị riêng [78] đối với

hệ trong tư duy hở và sau đó được phát triển thành giá trị đặc trưng đối với hệ trong tư duy kín bởi Jonekheere và Silverman [65], Mustafa và Glover [79] Mức độ đóng góp của các trạng thái vào xác lập mối quan hệ vào-ra của hệ có thể xác định được trên cơ

sở chuyển đồng thời quá trình đường chéo hoá hai ma trận Gramian điều khiển và quan sát của hệ (theo bất kỳ tư duy nào) thành cùng một ma trận đường chéo tương đương (điều kiện cân bằng nội) Phương pháp luận này cho nhiều hứa hẹn đối với những bài toán phân tích hệ thống thuộc cả hai kiểu tư duy Nhưng, hạn chế chính thường gặp của phương pháp này là ở vấn đề tối ưu khi thiết kế vì không sử dụng bất kể một tiêu chí tối

ưu nào, dẫn đến nhiều phiền phức do tích tụ sai số trong quá trình khép kín hoá hệ như trường hợp của các bộ điều khiển, nhất là điều khiển theo quỹ đạo xác định Nguyên lý thứ hạng các thành phần do Skelton đề xuất trước đó [101] trên cơ sở xác định tỷ lệ

đóng góp của các thành phần động học vào tiêu chí cầu phương sai số, theo quan điểm của tác giả, có thể xem như một trường hợp riêng của phương pháp đã nói ở trên vì không có khả năng đảm bảo chắc chắn về tính tối ưu mặc dù đề xuất được định hướng theo một tiêu chí tối ưu rõ ràng Tuy nhiên, đây là một gợi ý về sự kết hợp giữa phương pháp cân bằng nội với phương pháp tối ưu khi thiết kế

Hai thập kỷ qua, nhóm ba nhà khoa học Mỹ (Bernstein, Haddad và Hyland) đã có nhiều đóng góp thông qua việc công bố một số lượng đáng kể công trình về phát triển OPEQ để xử lý các bài toán hệ thống khác nhau, cả tư duy theo hệ hở [51], [52], [56], lẫn tư duy hệ kín [27], [28], [55] Từ điều kiện cần bậc nhất đối với mỗi bài toán tối ưu một ma trận chiếu tối ưu được phát hiện và sử dụng để phát triển hệ OPEQ tương ứng Tầm quan trọng của cách xử lý các bài toán theo OPEQ nằm ở câu trả lời cho bản chất

đa nghiệm của bài toán tối ưu vì trong quá trình phát triển OPEQ đã tạo môi trường để

sử dụng thêm một số nhất định điều kiện ràng buộc hoặc giới hạn; chẳng hạn điều kiện cân bằng nội [56], giới hạn H∞ [27], [51], giới hạn Petersen-Hollt [52], giới hạn đảm bảo hàm phạt [28], [55], v.v… Vì vậy, rõ ràng là phương pháp xử lý theo OPEQ có thể

áp dụng cho cả bài toán phân tích lẫn bài toán thiết kế Nhưng, nếu quan sát kỹ thì thấy rằng quá trình tối ưu hoá trong tất cả mọi trường hợp đã nêu đều được thực hiện đối với các tham số mà chúng vốn không thể tách khỏi biến trạng thái đối với một hàm đầu ra nào đó Điều đó dẫn đến hạn chế quan trọng liên quan đến độ phức tạp của toán học và trạng thái nghiêng của ma trận chiếu Thêm vào đó, mặc dù có thể tạo cơ hội sử dụng thêm nhiều điều kiện ràng buộc cũng như giới hạn nhưng không có cách nào để lưu giữ

ý nghĩa vật lý của các trạng thái mong muốn trong kết quả Điều đó, làm giảm giá trị của phương pháp OPEQ nếu nhìn từ khía cạnh của bài toán phân tích

Khái niệm tối ưu theo trạng thái được khởi xướng năm 1994 [95] từ việc phát hiện

sự tồn tại một phép biến đổi không đồng dạng giữa hai hệ thống trong không gian trạng thái và tính tối ưu của ảnh biến đổi ngược đạt được nhờ vai trò của phép tựa nghịch đảo của chính phép biến đổi không đồng dạng đó Tác giả chỉ ra rằng đối với một hệ, phép biến đổi không đồng dạng được tự lựa chọn nên hoàn toàn có khả năng bảo lưu ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái của mô hình hệ gốc ở các trạng thái của phiên bản biến đổi [20], [95], [97] Và khi phân tích phép biến đổi không đồng dạng theo thừa số của một đẳng cự thành phần thì một ma trận chiếu trực giao được xác lập, làm cơ sở để xác lập hệ OPEQ ở dạng đơn giản đối với mỗi bài toán Vì vậy, tiếp cận các bài toán hệ thống theo phương pháp tối ưu trạng thái sẽ vượt qua được trở ngại do hạn chế của mỗi phương pháp đã nêu (phương pháp động học bên trong hệ thống và phương pháp xử lý theo OPEQ) nhưng lại được hưởng lợi những ưu điểm của cả hai phương pháp đó

2.2.2 Những bài toán điển hình theo tư duy hệ hở

2.2.2.1 Bài toán đánh giá tham số mô hình

Chỉ có rất ít công trình đã công bố liên quan đến đánh giá tham số mô tả trong cả không gian trạng thái tương tự lẫn rời rạc của mô hình Trong [97], [98] tác giả đã chỉ

ra rằng sử dụng mô hình trong không gian trạng thái cho phép tránh sử dụng các thuật toán động học tuyến tính cung cấp số liệu về đạo hàm tín hiệu tại đầu vào, đạo hàm tín hiệu tại đầu ra phục vụ mục đích nhận dạng hệ động học theo phương pháp tối ưu tham

số Nhưng, không thể tránh khỏi những phức tạp trong dẫn dắt toán học do quá trình tối

ưu hoá giữa các vector biến trạng thái, chủ thể trong không gian biến trạng thái chỉ thu

được như hiệu ứng phụ Vì vậy, tối ưu theo trạng thái là phương pháp trực tiếp xử lý tới chủ thể của mô hình

a) Phát biểu bài toán: Cho hệ động học (S) bậc n mô tả trong không gian trạng thái:

(S) xn =A xn n+Bnun (2.17)

yn =C x n n

ở đây, un, yn là vector p-, q-chiều, ma trận An, Bn và Cn có kích thước phù hợp

Và mô hình giả định (AM) bậc m có các tham số biết trước chịu cùng tín hiệu tác

động của hệ thống:

(AM) xm =A xm m +Bmun (2.18)

ym =C xm m

trong đó, ym là vector q-chiều, Am, Bm và Cm có kích thước thích hợp

Hãy dùng phương pháp tối ưu trạng thái để đánh giá tham số của (S)

Kết quả của bài toán trên được phát biểu dưới dạng định lý 2.2.1 Chi tiết chứng

minh trong công trình [95]

Định lý 2.2.1: Giả sử có sẵn các dữ liệu để đánh giá tham số của hệ động học S bậc n

và mô hình điều khiển, quan sát được AM bậc m, m > n, có các tham số biết trước Thì tồn tại một ma trận chiếu trực giao tối ưu σ = EET ∈ Ρmxm , ρ(σ) = n và hai ma trận xác

định không âm Q = HEWcET ∈ Ρmxm, P = H+EWoET ∈ Ρmxm đều hạng n sao cho tham

số phần điều khiển, quan sát đồng thời của S được cho bởi:

ma trận xác định dương, Wc và Wo là các gramian điều khiển và quan sát của S, K là

ma trận biến đổi đồng dạng dùng để trùng khớp tín hiệu đầu ra của AM với tín hiệu

đầu ra của S

Phần đảo định lý 2.2.1: Giả sử mô hình điều khiển, quan sát đồng thời (AM) bậc m đã

được chọn trước và các tham số của (S) được xác định theo các biểu thức trong (2.19) thoả mãn các biểu thức (2.20) và (2.21) Thì σ, Q và P là tối ưu